勾股定理及其逆定理的综合应用

1、一、理清脉络构建框架勾股定理勾股定理直角三角形边直角三角形边长的数量关系长的数量关系勾股定理勾股定理的逆定理的逆定理直角三角直角三角形的判定形的判定互逆定理互逆定理a2+b2=c2形形 数数a2+b2=c2三边a、b、ct直角边a、b，斜边ct互互逆逆命命题题勾股定理勾股定理: :直角三角形的两直角边为直角三角形的两直角边为a ,b , 斜边为斜边为 c ,则有则有三角形的三边三角形的三边a,b,c满足满足a2+b2=c2,则这个三角形则这个三角形是是直角三角形直角三角形; 较大边较大边c 所对的角是直角所对的角是直角.逆定理逆定理: :a2+ b2=c21、下列各组线段中，能够组成直角三角形

2、的是(）A6，7，8B5，6，7C4，5,6D3，4，52.在RtABC中，C=90. .（1）如果a=3，b=4，则c=；（2）如果a=6，c=10，则b=；（3）如果c=13，b=12，则a=；3、在ABC中，A=90，则下列各式中不成立的是（）ABC2=AB2+AC2;BAB2=AC2+BC2;CAB2=BC2-AC2;DAC2=BC2-AB24、已知直角三角形的两边长为3、2，则第三条边长是二、复习巩固第一组练习:勾股定理的直接应用1.在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的

3、大树砸到大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（）A一定不会B可能会C一定会D以上答案都不对第二组练习:用勾股定理解决简单的实际问题2.如图，滑杆在机械槽内运动，如图，滑杆在机械槽内运动，ACB为直角，已知滑杆为直角，已知滑杆AB长长2.5米，顶端米，顶端A在在AC上运动，量得滑杆下端上运动，量得滑杆下端B距距C点的距离为点的距离为1.5米米，当端点，当端点B向右移动向右移动0.5米时，求滑杆顶端米时，求滑杆顶端A下滑多少米？下滑多少米？AECBD第二组练习:用勾股定理解决简单的实际问题解：设滑杆顶端解：设滑杆顶端A A下滑了下滑了x 米，依题意米，依题意得得CE=AC - x ,AB=DE=2.5

4、,=2.5,BC=1.5,=1.5,C=90=90，AC= =2.= =2.又又BD=0.5, =0.5, BC=1.5 CD=2.=2.在在RtECD中，中，CE= =1.5.= =1.5.2- 2- x =1.5 =1.5， x =0.5. =0.5. 即即AE=0.5 . =0.5 . 答：梯子下滑答：梯子下滑0.50.5米米22EDCD22ABBC思考：思考：利用勾股定理解题决实际问题时，基利用勾股定理解题决实际问题时，基本步骤是什么？本步骤是什么？Zxxk1.1.把实际问题转化成数学问题，找出相应的直把实际问题转化成数学问题，找出相应的直角三角形角三角形.2.2.在直角三角形中找出直

5、角边，斜边在直角三角形中找出直角边，斜边. .3.3.根据已知和所求，利用勾股定理解决问题根据已知和所求，利用勾股定理解决问题. .1证明线段相等.已知：如图，AD是ABC的高，AB=10，AD=8，BC=12. .求证： ABC是等腰三角形.证明：证明：AD是是ABC的高，的高，ADB=ADC=90.在在RtADB中，中，AB=10，AD=8，BD=6 .BC=12, DC=6.在在RtADC中，中，AD=8， DC=6.AC=10，AB=AC.即即ABC是等腰三角形是等腰三角形. 分析：分析：利用勾股定理求出线段利用勾股定理求出线段BD的长，也能求出线段的长，也能求出线段AC的长，最后得出

6、的长，最后得出AB=AC，即可，即可.第三组练习:会用勾股定理解决较综合的问题2 2解决折叠的问题解决折叠的问题. .已知如图，将长方形的一边已知如图，将长方形的一边BC沿沿CE折叠，折叠，使得点使得点B落在落在AD边的点边的点F处，已知处，已知AB=8，BC=10, 求求BE的长的长.【思考】【思考】1、由由AB=8，BC=10,你可以知道哪些线段长？你可以知道哪些线段长？2、在在RtDFC中，你可以求出中，你可以求出DF的长吗？的长吗？3、由、由DF的长，你还的长，你还可以求出哪条线段长？可以求出哪条线段长？4、设、设BE = x，你可以用含有，你可以用含有x的式子的式子表示出哪些线段长？

7、表示出哪些线段长？第三组练习:会用勾股定理解决较综合的问题2 2解决折叠的问题解决折叠的问题. .已知如图，将长方形的一边已知如图，将长方形的一边BC沿沿CE折叠，折叠，使得点使得点B落在落在AD边的点边的点F处，已知处，已知AB=8，BC=10, 求求BE的长的长.第三组练习:会用勾股定理解决较综合的问题解解:设设BE=x，折叠，折叠，BCE FCE， BC=FC=10. 令令BE=FE=x，长方形，长方形ABCD， AB=DC=8 ，AD=BC=10，D=90，DF=6, AF=4，A=90, AE=8-x ， ，解得，解得 x = 5 .BE的长为的长为5.222)8(4xx3.作高线，

8、构造直角三角形.1)已知：在ABC中，B=45，C=60，AB=2. .求（1）BC 的长；（2）SABC . 分析分析：由于本题中的：由于本题中的ABC不是直角三角形，所以添加不是直角三角形，所以添加BC边上的边上的高这条辅助线，就可以求得高这条辅助线，就可以求得BC及及SABC .第三组练习:会用勾股定理解决较综合的问题解解:过点过点A作作ADBC于于D,ADB=ADC=90.在在ABD中，中，ADB=90，B=45，AB=2，AD=BD= .在在ABD中，中，ADC=90，C=60，AD= ，CD= ,BC= ，SABC =33233222.361 2A AMMNP PQQA AMMNP

9、 PQQ思考思考 ：在不是直角三角形中如何求线段长和面积？ 解一般三角形的问题常常通过作高转化成解一般三角形的问题常常通过作高转化成直角三角形，利用勾股定理解决问题直角三角形，利用勾股定理解决问题.已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3， 且且ABBC.求四边形求四边形 ABCD的面积的面积. 分析：分析：本题解题的关键是恰当的添加本题解题的关键是恰当的添加辅助线，利用勾股定理的逆定理判定辅助线，利用勾股定理的逆定理判定ADC的形状为直角三角形，再利用的形状为直角三角形，再利用勾股定理解题勾股定理解题.解：连接解：连接AC,ABBC，ABC=90.

10、在在ABC中，中，ABC=90，AB=1，BC=2，AC= .CD=2，AD=3, ACD是直角三角形；是直角三角形；四边形的面积为四边形的面积为1+ .55第四组练习:勾股定理及其逆定理的综合应用变式训练变式训练:如图，有一块地，已知，如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，ADC=90，AB=13m，BC=12m。求这块地的面积。求这块地的面积。ABC341312D你在本节课你在本节课的收获是什么？的收获是什么？三.课堂小结v通过学习，我们知道勾股定理的使用范围是通过学习，我们知道勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此要注意直角三角形的在直角三角形中，因此要注意直角三角形的条件，要创造直角三角形，作高是常用的创条件，要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提高综合应用能力。过程中，提高综合应用能力。v在不同条件、不同环境中反复运用定理，要在不同条件、不同环境中反复运用定理，要达到熟练使用，灵活运用的程度。达到熟练使用，灵活运用的程度。1.一个直角三角形的两边长分别为一个直角三角形的两边长分别为4、5，那么第三条边，那么第三条边长为长为_.2.已知：如图，等边已知：如图，等边ABC的边长是的边长是6 cm.