高中数学-4.2.2圆与圆的位置关系课件-新人教a版必修2教学教材

1、高中数学-4.2.2圆与圆的位置关系课件-新人教A版必修2课课 前前 热热 身身 一般地一般地,设圆设圆C1和和C2的方程分别为的方程分别为(x-x1)2+(y-y1)2=r21,(x-x2)2+(y-y2)2=r22.圆心分别为圆心分别为C1(x1,y1),C2(x2,y2),半径分别为半径分别为r1,r2,两圆圆心距两圆圆心距d=|C1C2|= 那么那么,当当dr1+r2时时,两圆两圆_.当当d=r1+r2时时,两圆两圆_.当当|r1-r2|dr1+r2时时,两圆两圆_.当当d=|r1-r2|时时,两圆两圆_.当当0dr1+r2;两圆两圆C1、C2外切外切|C1C2|=r1+r2;两圆两圆

2、C1 C2相交相交|r1-r2|C1C2|r1+r2;两圆两圆C1、C2内切内切|C1C2|=|r1-r2|;圆圆C1内含于圆内含于圆C20|C1C2|r2-r1|,其中其中|C1C2|=0时时,两圆两圆同心同心. 2122 (2)判断两圆的位置关系时的一般步骤判断两圆的位置关系时的一般步骤: 第一步第一步:将两圆的方程化为标准方程将两圆的方程化为标准方程; 第二步第二步:依据圆的标准方程计算出两圆的半径依据圆的标准方程计算出两圆的半径r1、r2及及圆心距圆心距d(即即|C1C2|); 第三步第三步:根据根据d与与r1、r2之间的关系之间的关系,判断两圆的位置关判断两圆的位置关系系. 2.判断

3、两圆的位置关系为什么不用代数法判断两圆的位置关系为什么不用代数法 跟判断直线与圆的位置关系一样跟判断直线与圆的位置关系一样,判断两圆的位置关判断两圆的位置关系也可以用代数法求方程组解的组数系也可以用代数法求方程组解的组数,但由于解两个但由于解两个二元二次方程组通常计算量较大二元二次方程组通常计算量较大,较为麻烦较为麻烦,而且当无而且当无解或是一解时往往还得重新用几何法来讨论解或是一解时往往还得重新用几何法来讨论,不如直不如直接运用几何法简便接运用几何法简便.典典 例例 剖剖 析析题型一题型一 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系例例1:a为何值时为何值时,两圆两圆x2+y2-2ax+4y+a2-5

4、=0和和x2+y2+2x-2ay+a2-3=0.(1)外切外切;(2)内切内切.分析分析:把圆的方程化成标准方程把圆的方程化成标准方程,求出两圆半径及圆心距求出两圆半径及圆心距,再作再作比较比较. 解解:将两圆方程写成标准方程将两圆方程写成标准方程 (x-a)2+(y+2) 2=9,(x+1) 2+(y-a) 2=4. 设两圆的圆心距为设两圆的圆心距为d,则则d2=(a+1) 2+(-2-a) 2=2a2+6a+5. (1)当当d=5,即即2a2+6a+5=25时时,两圆外切两圆外切,此时此时a=-5或或2. (2)当当d=1即即2a2+6a+5=1时时,两圆内切两圆内切,解得解得a=-1或或

5、a=-2. 规律技巧规律技巧:解决两圆的位置关系解决两圆的位置关系,运用几何方法运用几何方法(圆心圆心距与半径的关系距与半径的关系)比代数方法比代数方法(方程组解的情况方程组解的情况)简单简单.变式训练1: A的方程为x2+y2-2x-2y-7=0, B的方程为x2+y2+2x+2y-2=0,判断 A和 B是否相交,若相交,求过两交点的直线的方程;若不相交,说明理由. 分析:判定两圆是否相交,只需判定两圆的半径和差与圆心距间关系即可. 解: A的方程可写为(x-1)2+(y-1) 2=9, B的方程可写为(x+1) 2+(y+1) 2=4, 两圆心之间的距离满足3-20),利用题设条件,得到关

6、于a、b、r的三个方程,解方程组求得a,b,r即可.30 xy(3,3) 解:设所求圆的方程为 (x-a)2+(y-b) 2=r2 (r0), 将x2+y2-2x=0化为标准形式(x-1) 2+y2=1,由题意可得规律技巧规律技巧:本题利用了待定系数法本题利用了待定系数法,设出所求圆的方程设出所求圆的方程,根根据圆与圆相切据圆与圆相切,圆与直线相切的条件列出关于圆与直线相切的条件列出关于a,b,r的的方程组求解方程组求解.变式训练变式训练2:以以(3,-4)为圆心为圆心,且与圆且与圆x2+y2=64内切的圆的内切的圆的方程方程. 解解:设所求圆的半径为设所求圆的半径为r, 则则 r=3或或r=

7、13, 故所求圆的方程为故所求圆的方程为 (x-3) 2+(y+4) 2=9或或(x-3) 2+(y+4) 2=169.223( 4)|8|,r 题型三题型三 与两圆公共弦有关的问题与两圆公共弦有关的问题 例例3:已知圆已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0.求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长. 分析分析:因两圆的交点坐标同时满足两个圆的方程因两圆的交点坐标同时满足两个圆的方程,联立联立方程组消去方程组消去x2项项y2项项,即得两圆的两个交点所在的直即得两圆的两个交点所在的直线方程线方程.利用勾股定理可求

8、出两圆公共弦长利用勾股定理可求出两圆公共弦长. 解:设两圆交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则AB两点坐标是方程组 -得3x-4y+6=0. AB两点坐标都满足此方程, 3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆C1的圆心(-1,3),半径r=3. 规律技巧规律技巧:求两圆的公共弦所在直线方程求两圆的公共弦所在直线方程,只要将只要将表示圆的两个方程相减即可得到表示圆的两个方程相减即可得到.求圆的弦长用几求圆的弦长用几何法简单何法简单. 变式训练变式训练3:判断圆判断圆C1:x2+y2-2x-6y-6=0,与圆与圆C2:x2+y2-4x+2y+4=0的公切线的条数的公切线的

9、条数. 分析分析:先判断两圆位置关系先判断两圆位置关系. 解解:由题意得由题意得:将圆将圆C1化为标准方程化为标准方程: (x-1) 2+(y-3) 2=16. 将圆将圆C2化为标准方程化为标准方程:(x-2) 2+(y+1) 2=1. 得圆得圆C1的圆心坐标的圆心坐标C1 (1,3),半径半径r1=4. 圆圆C2的圆心坐标的圆心坐标C2 (2,-1),半径半径r2=1,22|1 2|(12)(3 1)17.C C 又r1+r2|C1C2|r1-r2, 即两圆相交. 圆C1与圆C2有两条公切线. 易错探究 例4:求与圆(x-2)2+(y+1) 2=4相切于点A(4,-1)且半径长为1的圆的方程

10、. 错解:设所求圆的圆心C(a,b),则 由解得a=5,b=-1. 所求圆的方程为(x-5) 2+(y+1) 2=1.错因分析:两圆相切包括内切和外切两种情况,错解中认为相切就是外切,思考不到位,丢掉了内切的情况,造成错解. 正解:设所求圆的圆心C(a,b),则 (1)当两圆外切时,有 由解得a=5,b=-1. 所求圆的方程为(x-5)2+(y+1) 2=1.22(4)(1)1,ab22(2)(1)3,ab (2)若两圆内切,则有 由解得a=3,b=-1. 所求圆的方程为(x-3)2+(y+1) 2=1. 综上所述,所求圆的方程为 (x-5) 2+(y+1) 2=1或(x-3) 2+(y+1)

11、 2=1.22(2)(1)1,ab技技 能能 演演 练练基础强化基础强化1.圆圆x2+y2-2x=0和和x2+y2+4y=0的位置关系是的位置关系是( )A.相离相离 B.外切外切C.相交相交D.内切内切解析解析:圆圆:x2+y2-2x=0,配方配方(x-1)2+y2=1,圆心圆心C1(1,0),半径半径r1=1.圆圆:x2+y2+4y=0,配方配方x2+(y+2)2=4,圆心圆心C2(0,-2),半径半径r2=2.圆心距圆心距|C1C2|= 0)外切,则r的值是( ) 答案:D. 10. 510.5.2ABCD22(03)(0 1)102 .10.2:rr 解析 圆心距 3.两圆x2+y2-

12、4x+2y+1=0与x2+y2+4x-4y-1=0的公切线有( ) A.1条B.2条 C.3条D.4条 解析:圆x2+y2-4x+2y+1=0(x-2) 2+(y+1) 2=4,圆心C1(2,-1),半径r1=2.圆x2+y2+4x-4y-1=0(x+2) 2+(y-2) 2=9,圆心C2(-2,2),半径r2=3. |C1C2|= =5=r1+r2. 两圆相外切,公切线有3条. 答案:C22(22)( 12) 4.圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为 的点共有( ) A.4个B.3个 C.2个D.1个 解析:圆x2+2x+y2+4y-3=0(x+1) 2+(y+2)

13、 2=8. 圆心(-1,-2),半径为 而圆心(-1,-2)到直线x+y+1=0的距离 圆上点到直线的距离为 的点有3个. 答案:B22 2.r | 1 2 1|2,2d 2 5.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7) 2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是( ) A.(x-5) 2+(y+7) 2=25 B.(x-5) 2+(y+7) 2=17或(x-5) 2+(y+7)2=15 C.(x-5) 2+(y+7) 2=9 D.(x-5) 2+(y+7) 2=25或(x-5) 2+(y+7) 2=9 解析:设动圆圆心G(x,y).当两圆内切时, 有(x-5) 2+(y+7) 2=9. 当两

14、圆外切时,有(x-5) 2+(y+7) 2=25.应选D. 答案:D 6.已知两圆x2+y2=10和(x-1) 2+(y-3) 2=20相交于AB两点,则直线AB的方程是_. 解析:二圆相减可得x+3y=0.x+3y=07.以点(1,2)为圆心,与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是_.解析:半径又圆心(1,2).圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=25.22|4 1 3 235|5,43r (x-1)2+(y-2)2=25 8.两圆x2+y2=1和(x+4) 2+(y-a) 2=25相切,则实数a的值为_. 解析:当两圆内切时,有(0+4) 2+(0-a) 2=(5-1) 2.a=0;

15、当两圆外切时,有(0+4) 2+(0-a) 2=(5+1) 2,a= a=0或a=2 5.2 5.02 5或 能力提升 9.已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,点A(12,0)是x轴上的一定点,当点P在圆上运动时,线段PA的中点M的轨迹是什么?并分析此轨迹与圆x2+y2=16的位置关系. 解:设线段PA的中点M(x,y),P(x0,y0),则由中点坐标公式得: P(x0,y0)在圆x2+y2=16上, (2x-12) 2+(2y) 2=16, 即(x-6) 2+y2=4. 这就是点M的轨迹方程. 点M的轨迹是以(6,0)为圆心,2为半径的圆. 两圆的圆心距 而两半径之和为6. 两圆相外切

16、.22(60)06,d 10.求半径为4,与圆x2+y2-4x-2y-4=0相切,且和直线y=0也相切的圆的方程. 解:由题意,设所求圆的方程为圆C:(x-a) 2+(y-b) 2=r2.圆C与直线y=0相切,且半径为4,则圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a,-4). 又已知圆x2+y2-4x-2y-4=0的圆心A的坐标为(2,1),半径为3. 若两圆相切,则|CA|=4+3=7或|CA|=4-3=1. (1)当C1(a,4)时,(a-2)2+(4-1)2=72或(a-2) 2+(4-1) 2=12(无解),故可得a=2 所求圆的方程为 +(y-4) 2=42, 或 +(y-4) 2=42. (2)当C2(a,-4)时,(a-2) 2+(-4-1) 2=72, 或(a-2) 2+(-4-1) 2=12(无解),故a=2 所求圆的方程为 +(y+4) 2=42, 或 +(y+4) 2=42.2 10.2(22 10)x2(22 10)x2 6.2(22 6)x2(22 6)x 11.圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是( ) A.相离B.相交 C.外切D.内切 解析:圆O1:x2+y2-2x=0,配方得(x-1) 2+y2=1,圆心O1,(1,0),半径r1=1. 圆O2:x2+y2-