高中数学教案-条件概率复习过程

1、高中数学教案-条件概率P(A B)=?P(A )=?例如，掷一颗均匀骰子，例如，掷一颗均匀骰子，A=掷出掷出2点点， B=掷出偶数点掷出偶数点，P(A|B)=？掷骰子掷骰子已知事件已知事件B发生，此时试验所有可能结果发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是构成的集合就是B，于是于是P(A|B)= 1/3.B中共有中共有3个元素，它们的出现是等可个元素，它们的出现是等可能的，其中只有能的，其中只有1个在集个在集A中，中，容易看到容易看到)()(636131BPBAPP(A|B)探究问题探究问题61P(B)=?2161 在解决许多概率问题时，往往需要在有某在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加

2、信息些附加信息(条件条件)下求事件的概率下求事件的概率.如在事件如在事件B发生的条件下求事件发生的条件下求事件A发生发生的概率，将此概率记作的概率，将此概率记作P(A|B).A,B事件是有联系的事件是有联系的)()|(APBAPP(A )=3/10， 又如，又如，10件产品中有件产品中有7件正品，件正品，3件次品，件次品，7件正品件正品中有中有3件一等品，件一等品，4件二等品件二等品. 现从这现从这10件中任取一件，件中任取一件，问在取到正品的前提下取到一等品的概率是多少？问在取到正品的前提下取到一等品的概率是多少？ B=取到正品取到正品记记A=取到一等品取到一等品，P(A|B)=？)()(1

3、0710373BPBAP)()(636131BPBAPP(A|B)P(A B )=3/10，107)(BPP(A )=3/10， B=取到正品取到正品P(A|B)=3/7 本例中，计算本例中，计算P(A)时，依时，依据的前提条件是据的前提条件是10件产品中一件产品中一等品的比例等品的比例. A=取到一等品取到一等品， 计算计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只时，这个前提条件未变，只是加上是加上“事件事件B已发生已发生”这个新的条件这个新的条件. 这好象给了我们一个这好象给了我们一个“情报情报”，使我们，使我们得以在新增的条件下导致的某个缩小了的范得以在新增的条件下导致的某个缩小了的范围内来

4、考虑问题围内来考虑问题.)()|(APBAP数发生的条件下基本事件在包含的基本事件数发生的条件下在ABAABP)|(中包含的基本事件数中包含的基本事件数ABA)()(AcardBAcard/ )(/ )(AcardBAcard)()(APBAP【问题】一般【问题】一般 情况下，情况下，P(P(| |) P() P() )，那么，那么P(|) ？ BABA二、条件概率的定义（计算公式）二、条件概率的定义（计算公式）定义定义 设设A、B是两个事件，是两个事件，且且, 0)( AP则称则称)()(APBAPABP）（(1)为在事件为在事件A发生的条件下，发生的条件下，事件事件B的的条件概率条件概率.

5、BABA若在事件若在事件A A已发生的条件下，已发生的条件下，基本基本事件空间由事件空间由缩小为事件缩小为事件A A，为使，为使 B B 也也发生发生 , ,试验结果必须是既在试验结果必须是既在 A A 中又在中又在B B中的基本事件中的基本事件, ,即此点必属即此点必属于于ABAB. . 深化理解深化理解)()(APBAPABP）（1、准确把握公式的形式。、准确把握公式的形式。)()(|BPBAPBAP）（在在A发生的条件发生的条件下事件下事件B的概率的概率在在B发生的条件发生的条件下事件下事件A的概率的概率2、计算条件概率的两种思维。、计算条件概率的两种思维。(1) 用上面的公式计算用上面

6、的公式计算;(2)根据加入条件后改变了的情况来计算根据加入条件后改变了的情况来计算. 2)从加入条件后改变了的情况去算从加入条件后改变了的情况去算 1) 用定义计算用定义计算:316361)()()|(BPBAPBAP 掷骰子掷骰子例：例：A=掷出掷出2点点， B=掷出偶数点掷出偶数点P(A|B）=31B发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间所含样本点总数所含样本点总数在缩减样本空间在缩减样本空间中中A所含样本点所含样本点个数个数例例1 掷两颗均匀骰子掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出已知第一颗掷出6点点,问问“掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10”的概率是多少的概率是多少? 解法解法1:

7、)()()|(BPBAPBAP解法解法2: 2163)|(BAP解解: 设设A=掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出第一颗掷出6点点应用定义应用定义在在B发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间中计算中计算21366363例例2: 2:甲、乙两城市都位于长江下游，根据一百余年气象记录，知甲、乙两城市都位于长江下游，根据一百余年气象记录，知道甲、乙两市一年中雨天占的比例分别为道甲、乙两市一年中雨天占的比例分别为20%20%和和18%18%，两地同时，两地同时下雨的比例为下雨的比例为12%12%，求：，求： （1 1）乙市为雨天时，甲市也为雨天的概率；）乙市为雨天时，甲市也为雨

8、天的概率； （2 2）甲市为雨天时，乙市也为雨天的概率）甲市为雨天时，乙市也为雨天的概率. . 解解 设设A A=甲市是雨天甲市是雨天 ，B B=乙市是雨天乙市是雨天 ， P(A)=0.2， P(B)=0.18， P(AB)=0.12， 则则()0.12(|)0.67,( )0.18P ABP A BP B()0.12(|)0.60,( )0.2P ABP B AP A【例题讲解】例例 3 某种动物出生之后活到某种动物出生之后活到20岁的概率为岁的概率为0.7，活到，活到25岁的概率为岁的概率为0.56，求现年为，求现年为20岁的这种动物活到岁的这种动物活到25岁的概率。岁的概率。解解 设设A

9、表示表示“活到活到20岁岁”(即即20)，B表示表示“活到活到25岁岁” (即即25)则则 ( )0.7, ( )0.56P AP B所求概率为所求概率为 ()( )()0.8( )( )P ABP BP B AP AP AAB0.560.560.70.75 5BAABB由于故，例例4在在6道题中有道题中有4道理科题和道理科题和2道文科题，如果不放回道文科题，如果不放回的依次抽取的依次抽取2道题道题（1）第一次抽到理科题的概率）第一次抽到理科题的概率（2）第一次与第二次都抽到理科题的概率）第一次与第二次都抽到理科题的概率（3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科）第一次抽到理科题的条件下，

10、第二次抽到理科题的概率题的概率.)()()|(BPBAPBAP三、三、两个事件两个事件同时发生概率计算公式同时发生概率计算公式?)(BAP)()(APBAPABP）（)|()()|()()(BAPBPABPAPBAPB)P(A ,52)AP( ,21A)|P(B,BA,求已知为两个事件设例例 5条件概率条件概率P(A|B)与与P(A)的区别的区别 每一个随机试验都是在一定条件下进行每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设的，设A是随机试验的一个事件，则是随机试验的一个事件，则P(A)是在是在该试验条件下事件该试验条件下事件A发生的可能性大小发生的可能性大小.P(A)与与P(A |B)的区别在于

11、两者发生的条件不同的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同在数值上一般也不同. 而条件概率而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加是在原条件下又添加“B发生发生”这个条件时这个条件时A发生的可能性大小，发生的可能性大小，即即P(A|B)仍是概率仍是概率. 一场精彩的足球赛将要举行，一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去大家都想去,只好用抽签的方法来解决只好用抽签的方法来解决.入场入场券券5张同样的卡片，只有一张上写有张同样的卡片，只有一张上写有“入场券入场券”，其余，其余的什么也没写

12、的什么也没写. 将它们放在一起，洗匀，让将它们放在一起，洗匀，让5个人依个人依次抽取次抽取.“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ” 到底谁说的对呢？让我们用到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下概率论的知识来计算一下,每个每个人抽到人抽到“入场券入场券”的概率到底的概率到底有多大有多大?“大家不必争先恐后，你们一个一个大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到按次序来，谁抽到入场券入场券的机会都的机会都一样大一样大.”我们用我们用Ai表示表示“第第i个人抽到入场券个人抽到入场券” i1,2,3,4,5.显然，显然，P(A1)=1/5，P(

13、)4/51A第第1个人抽到入场券的概率是个人抽到入场券的概率是1/5.也就是说，也就是说，iA则则 表示表示“第第i个人未抽到入场券个人未抽到入场券”因为若第因为若第2个人抽到个人抽到了入场券，第了入场券，第1个人个人肯定没抽到肯定没抽到.也就是要想第也就是要想第2个人抽到入场券，必须第个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，个人未抽到，)|()()(1212AAPAPAP212AAA 由于由于由乘法公式由乘法公式 计算得：计算得： P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5)|()|()()()(2131213213AAAPAAPAPAAAPAP 这就是有关抽签顺序问题的正确解答这就是有关抽签顺序问题的正确解答. 同理，第同理，第3个人要抽到个人要抽到“入场券入场券”，必须，必须第第1、第、第2个人都没有抽到个人都没有抽到. 因此因此(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 继续做下去就会发现继续做下去就会发现, 每个人抽到每个人抽到“入入场券场券” 的概率都是的概率都是1/5.抽签不必争先恐后抽签不必争先恐后.也就是说，也就是说， 我们说，在事件我们说，在事件B发生的条件下事件发生的条件下事件A的条件概率一般地不等于的条件概率一般地不等于A的无条件概率的无条件概率. 但是，会不会出现但是，会不会出现P(A)=P(A |B)的情形呢？的情形