人教版高中数学椭圆专题复习资料

1、实用文案高中数学椭圆的专题复习椭圆知识点梳理标准文档1.椭圆的定义：1,22 x（1）椭圆：焦点在x轴上时-2 a2+.一（）仁y：bsos数方程,其中数），焦22y x22点在y轴上时 彳+ 方 =1 （ a b0）。万程Ax + By = C表小椭圆的充要条件是什么？ （ ABO0,且A, B, C a b同号）Aw B） o2.椭圆的几何性质：22（1）椭圆（以 : + J=1 （ab0）为例）：范围：awxwa,bwywb；焦点：两个焦点（士c,0）;a2 b2对称性：两条对称轴x=0, y=0, 一个对称中心（0,0）,四个顶点（土a,0）,（0, b）,其中长轴长为 2a,短轴长2

2、为2b；准线：两条准线 xa-c=；离心率：e =,椭圆u 0e1 ；ab(2)点P(Xo,yo)在椭圆（3）点P（xo, y0）在椭圆内二22xo . yo_ d22 1，a b2 2上江13 , 2a b4 .直线与圆锥曲线的位置关系 ：（1）相交：AaOu直线与椭圆相交；（2）相切：A=0u直线与椭圆相切；（3）相离：AcOu 直线与椭圆相离；如：直线ykx 1=0与椭圆22=1恒有公共点，则 m的取值范围是5m(答：1 , 5) U (5, +8)；4、焦半径（圆锥曲线上的点离，即焦半径 r=ed=aex0,P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距 其中

3、d表示P到与F所对应的准线的距离。如（1）已知椭圆Ed=1上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距离为(答：10/3);（2）椭圆坐标为25 1622x-十匕=1内有一点P（1,1）, F为右焦点，在椭圆上有一点43（答：（等,-1）;M,使MP +2MF 之值最小，则点 M的5、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）2问题：S = b tan=c|y0|,当 | y01= b 即 2P为短轴端点时，Smax的最大值为bC；6、弦长公式：若直线y = kx+b与圆锥曲线相交于两点A、B,且X1,X2分别为A、B的横坐标，则 AB =J1+k2|x -x2，若y1，y

4、2分别为A、B的纵坐标，则AB =11k2y1-y2 ,若弦AB所在直线方程设为 x = ky + b ,则|AB|=小十k2, - 丫2卜特别地，焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是 将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。7、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用 “韦达定理”或“点差法”2求解。在椭圆)2 a2+ 2 =1中，以 b2P(xo, yo)为中点的弦所在直线的斜率k,5;a yo22x y如(1)如果椭圆 一 +匚=1弦被点A(4, 2)平分，那么这条弦所在的直线方程是 369x + 2y -8 = 0）；2X(2)已知直线y=x+

5、1与椭圆-y a则此椭圆的离心率为2工b2.2=1(abA0)相交于A B两点，且线段AB的中点在直线L: x2y=0 上,2直线y =4x+m对称(答： _2匹，2/13);(3)试确定m的取值范围，使得椭圆22+-y- =1上有不同的两点关于431313特别提醒：因为A。是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了 检验 0!椭圆知识点1 .如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程 才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a

6、,b ； 一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2 .椭圆标准方程中的三个量 a,b,c的几何意义（ab0）, （ac0）,且（a2=b2+c2）。椭圆标准方程中，a,b,c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半 轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为:可借助右图理解记忆：显然：a, b, c恰构成一个直角三角形的三条边，其中边。3 .如何由椭圆标准方程判断焦点位置总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2, y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4 .方程Ax2 + By2 =C(A,B

7、,C均不为零)是表示椭圆的条件A 22方程Ax2 +By2 =C可化为A +竺=1 ,C C22即)_+2=1,所以只有 A B、C同号，且A/B时，方程表C CA BC CC C本椭圆。当 A 时，椭圆的焦点在 x轴上；当 一(一时，椭圆的焦点在 y轴上。A BA B5 .求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的 参数a,b,c的值。其主要步骤是“先型, 再定量定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6 .共焦点的椭圆标准方程形式上的差异2222共焦点，则c相同。与椭圆 与+冬 =

8、1 (a Ab 0)共焦点的椭圆方程可设为 T一+T = 1(mb2),此 a ba m b m类问题常用待定系数法求解。7 .判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据： 若把曲线方程中的 x换成-x,方程不变，则曲线关于 y轴对称； 若把曲线方程中的 y换成-y,方程不变，则曲线关于 x轴对称；若把曲线方程中的 x、y同时换成-x、- y ,方程不变，则曲线关于原点对称。8 .如何求解与焦点三角形 PF1F2 (P为椭圆上的点)有关的计算问题？思路分析：与焦点三角形 PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角形面 1积公式S占FF =-|PF1 PF2F1

9、F2 ,有关角 ZF1PF2 ( ZF1PF2 E N F1BF2)结合起来，建立 PF1 +|PF2、PF11MlpF2之间的关系.9 .如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系?长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率C,、none = -(0 e c0 ,用 a、b表 a示为e 二(0e1)。显然：当b越小时，e(0 e1)越大，椭圆形越扁；当 -越大，e(0e0,n 0)上两点，且0 =九胃0,则九二 m n例4、如上图，把椭圆22+L =1的长轴AB分成25 16弓集尸3尸4,巳P6,P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于PF|+|P2F

10、|+|P3F + +|ff|+|P6F|Hp7F =题型5:焦点三角形问题1、已知Fi,F2为椭圆2 x 十92y工=1的两个焦点，p为椭圆上的一点，已知 P, F1,F2为一个直角三角形的三个顶点, 4一 一 一PF1，且PF1 PF2，求1的值;PF222例2、已知F1, F2为椭圆C:二十匕=1的两个焦点，在 C上满足PF1 _L PF2的点的个数为 8422例3、若E,F2为椭圆 二十上=1的两个焦点，p为椭圆上的一点，当 NF1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围为 943例4、已知椭圆的焦点是 F(0,-1),己(0,1)，且经过点(1,3) 求椭圆的万程； 设点P在椭圆上，且PF

11、1 - PF2 =1,求 cos/F1PF2.题型6:三角代换的应用22例1、椭圆十工=1上的点到直线l: x+y 9 =0的距离的最小值为16922例2、椭圆 +L =1的内接矩形的面积的最大值为169题型7:直线与椭圆的位置关系的判断22例1、当m为何值时，直线 y = x+m与椭圆 十上二1相交？相切？相离?169例2、若直线22y = kx+1(k w R)与椭圆 人 +匕=1恒有公共点，求实数5 mm的取值范围；题型8：弦长问题4x2例3.求直线y=2x4被椭圆92+L=1所截得的弦长.92例4、已知椭圆 + y2 =1的左右焦点分别为 Fi,F2,若过点P (0,-2)及Fi的直线

12、交椭圆于 A,B两点，求ABF2的 2面积;题型9:中点弦问题22例5、求以椭圆 土+匕=1内的点A (2,-1)为中点的弦所在的直线方程。856、中心在原点，一个焦点为F1(0，屈)的椭圆截直线y=3x-2所得弦的中点横坐标为求椭圆的方程.22- _27、椭圆mx + ny =1 ,与直线x + y = 1相交于乂、B两点，L是HR的中点.右AB| = 272 ,斜率为(O为原点)，求椭圆的方程.题型10：椭圆与向量、解三角形的交汇问题例6、设过点P(x, y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于 A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，。为坐标原点，若BP =2PA，且OQ AB =1

13、,求P点的轨迹方程；15.如图在 Rt-。,AB=2, AC=f。一曲线E过点C,动点P在曲线E上运动,的值不变，直线l经过A与曲线E交于M N两点。(1)建立适当的坐标系，求曲线 E的方程；(2)设直线l的斜率为k,若/ MBN钝角，求k的取值范围。且保持|PA|+|PB|基础巩固训练1.如图,椭圆中心在原点，F是左焦点,直线AB1与BF交于D,且/BDB1,则椭圆的离心率为X222.设Fl, F2为椭圆 + y2 =1的两焦点，P在椭圆上，当AFiPF2面积为1时，PF1 PF2 4的值为223.椭圆 +： =1的一条弦被 A(4,2 )平分，那么这条弦所在的直线方程是34.在ABC中，N

14、A=90 , tanB =.若以A, B为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆的离心率 e =45.若Fi,F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，若“讦2 :& ：/FFF2 =1: 2:3,则此椭圆的离心率为6.在平面直角坐标系中，椭圆222与+4=1(a Ab A0)的焦距为2,以。为圆心，a为半径的圆，过点(旦-,0)作圆的a bc两切线互相垂直，则离心率综合提高训练22xy7、已知椭圆 十一=1(ab 0)与过点 A(2, 0), B(0, 1)的直线l有且只有一个公共点且椭圆的离心率abe =二3.求椭圆方程;228.已知A、B分别是椭圆与+ab2= 1(ab0)的左右两个焦点，。为坐标原点，点p-1, 在椭圆上，线段PBL 2 J与y轴的交点M为线段PB的中点。