函数的基本性质

1、新欣教育一、函数的单调性及单调区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时都有f(x1)<f(x2)。那么就说f(x)在这个区间上是增函数。相反地，如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时都有f(x1)>f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数。2、 函数单调性的判断与证明1函数单调性定义：对于给定区间D上的函数f(x)，若对于任意x1,x2D,当x1&

2、lt;x2时，都有f(x1) <f(x2)，则称f(x)是区间D上的增函数，D叫f(x)单调递增区间 当x1<x2时，都有f(x1)> f(x2)，则称f(x)是区间D上的减函数，D叫f(x)单调递减区间三、函数单调性的性质(1) 定义法:      利用定义证明函数单调性的一般步骤是： 任取x1、x2D，且x1<x2； 作差f(x1)f(x2)，并适当变形 (“分解因式”、配方成同号项的和等)； 依据差式的符号确定其增减性

3、0;(2) 导数法:    设函数yf(x)在某区间D内可导如果f (x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f (x)<0，则f(x)在区间D内为减函数四、复合函数的单调性五、函数的最值及其几何意义（无）六、奇函数如果对于一个定义域关于原点对称的函数f（x）的 定义域内任意一个x，都有f（-x）= - f（x），那么函数f（x）就叫做 奇函数1、奇函数图象关于原点对称。2、奇函数的定义域必须关于原点对称，否则不能成为奇函数。3、若为奇函数，且在x=0处有意义，则7、 偶函数一般地，如果对于函数f(x)的 定

4、义域内任意的一个x，都有f(x)=f(-x),那么函数f(x)就叫做 偶函数。偶函数的定义域必须关于 y轴对称，否则不能称为偶函数。八、函数奇偶性的判断先看定义域是否关于原点对称，如果不是关于原点对称,则函数没有奇偶性若定义域关于原点对称，则f(-x)=f(x),f(x)是偶函数 f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数九、函数奇偶性的性质十 、奇偶函数图像的对称性十一、奇偶性与单调性的综合一、函数的单调性及单调区间1、下列函数中，单调增区间是（-，0的是（）Ay=-|x|By=x2-2Cy=-（x-1）Dy=-1/x2、函数y=6/x的减区间是（）A0，+）B（-，0C（-，0），（0，+）

5、D（-，0）（0，+）3、函数y|x1|的单调递增区间为_，单调递减区间为_4、在下面的四个选项中，（）不是函数f（x）=x 2 -1的单调减区间A（-，-2）B（-2，-1）C（-1，1）D（-，0）5、函数y=x2+1的单调递增区间是_。二、函数单调性的判断与证明1、设x1，x2a，b，如果f(x1)f(x2) /(x1x2)0，则f(x)在a，b上是单调（）函数.A. 增 B. 减 C. 奇 D. 偶2、 下列函数中,在区间（0,+）上不是增函数的是（ ）A.y=2x+1,B,y=3*x²+1 ,C,y=2/x D y=|x|3、下列函数中，在区间(0，)上是减函数的是（

6、60; ）AyByxCyx 2Dy1x4、下列函数中，既是偶函数、又在（0，+）单调递增的函数是（）A. y=x B. y=|x| C. y=-x2+1 D. y1/x5、已知函数f（x）=3/x，则它在下列区间上不是减函数的是（）A. （0，+） B. （-，0） C. （-，0）（0，+） D. （1，+）三、函数单调性的性质1、若函数f（x）=kx+3在R上是增函数，则k的取值范围是 _2、y=f（x）在R上为增函数，且f（2m）f（-m+9），则实数m的取值范围是_3、若（a，b）是函数y=f（x）的单调增区间，x1，x2（a，b），且x1x2，则有（）Af（x1）

7、f（x2） Bf（x1）=f（x2） Cf（x1）f（x2） D以上都有可能4、函数f（x）=x分之1在1,正无穷）上 （）A：有最大值无最小值 B：有最小值无最大值 c：有最大值也有最小值D无最大值也无最小值5、若函数y=f（x）定义在-3，4上的递增函数，且f（2m）f（m-1），则实数m的取值范围是（）A（-1，2 B（-1，+） C（-1，4 D-1，+）四、复合函数的单调性1、函数f(x)=根号（3-2x-x2）的单调增区间为_2、函数f(x)=根号x2+4x的单调增区间为_3、函数f(x)=根号x2-2x-3的单调增区间_4、函数y=根号（-x2+4x-3)的单调增区间_5、函数f

8、(x)=根号3-2x-x2的单调增区间为五、函数的最值及其几何意义1、求函数y=x(1-3x)(0x1/3)的最大值2、函数y=|x-1|+2的最小值点是3、 已知函数f(x)=根号下2x+1,（1）判断函数f(x)的单调性,并证之.（2）求函数f(x)=根号下2x+1的最值.4、函数y=-x2-2ax（0x1）的最大值a2，则实数a的取值范围是（）A0a1B0a2C-2a0D-1a0六、奇函数1、下列函数是奇函数的是（）Ay=|x|By=3-x Dy=-x2+42、奇函数f(x)在区间【1,4】上是减函数则它在区间【-4,-1】上是增函数还是减函数3、若f(x)是以4为周期的奇函数,且f(-

9、1)=a,(a0),则f(5)的值等于4、已知f(x)是R上的奇函数,则f(0)的值为5、若奇函数f(x)满足f(3)=1,f(x+3)=f(x)+f(3),则f(3/2)=七、偶函数1、定义在R上的偶函数f（x）对于任意的xR都有f（2+x）=-f（2-x），且f（-3）=-2，则f（2009）的值为_2、已知定义在R上的函数f（x）是偶函数，对xR都有f（2+x）=f（2-x），当f（-3）=-2时，f（2013）的值为（）A. -2 B. 2 C. 4 D. -43、4、设函数f（x）定义在R上，且f（x+1）是偶函数，f（x-1）是奇函数，则f（2003）=（）A1 B0 C2003

10、D-2003八、函数奇偶性的判断1、下列函数中不是奇函数的一个是（）A y=x By=1/x Cy=x+1 Dy=x32、 下列哪个函数能满足f（x）+f（-x）=0（）Af（x）=-x2+1Bf（x）=|x|Cf（x）=2x-1Df(x)x+13、4、九、函数奇偶性的性质1、函数f(x)=ax3+bx+2,若f(100)=8,则f(-100)=2、已知函数 F(x)=ax3+bx-2,若f(2008)=10,则f(-2008)的值为多少3、奇函数f（x）在区间3，7上是增函数，在区间3，6上的最大值为8，最小值为-1，则2f（-6）+f（-3）=_4、已知函数f(x)=ax3-bx-1,若f

11、(3)=-2,则f(-3)=_5、已知函数f（x）=ax3-bx+1，a，bR，若f（-2）=-1，则f（2）=_十 、奇偶函数图像的对称性1、函数f（x）=x3+x的图象关于（）A. y轴对称 B. 直线y=-x对称 C. 坐标原点对称 D. 直线y=x对称2、 函数f（x）=x3的图象关于（）Ay轴对称B坐标原点对称C直线y=x对称D直线y=-x对称3、 函数f（x）=2x-1/x的图象关于（）Ay轴对称Bx轴对称C原点对称Dy=x对称4、已知函数y=f（x），在同一坐标系里，函数y=f（1+x）和y=f（1-x）的图象关于直线_对称十一、奇偶性与单调性的综合1、若f（x）为奇函数，且在（

12、-，0）上是减函数，又f（-2）=0，求xf（x）0的解集2、已知定义域为R的函数f(x)在区间(4,+)上为减函数,且函数y=f(x+4)为偶函数A f（2）f（3 ）B f（2）f（5）C f（3）f（5） Df（3）f（6）答案一、函数的单调性及单调区间1、选项A，y=-|x|，当x0时，y=x，在区间（-，0内单调递增，符合题意；选项B，y=x2-2，抛物线开口向上，对称轴x=0，在区间（-，0内单调递减，不符合题意；选项C，y=-（x-1）=-x+1，在区间（-，+）内单调递减，不符合题意；选项D，y=-1/x，x0，图象在第二、四象限，在区间（-，0）内单调递减，不符合题意；故选A

13、2、函数y=6/x的定义域为（-，0）（0，+），其图象过第一三象限，图象的形状为双曲线，且每一段都是下降的，故函数y=6/x的减区间是（-，0），（0，+），故选：CD意思在这两个区间是单调减,c的意思是在这两个区间分别是单调减3、答案：1，),(，14、函数f（x）=x 2 -1的图象是开口方向朝上，以y轴为对称轴的抛物线故其在区间（-，0上为减函数，在区间0，+）上为增函数；（-，-2）（-，0，（-，-2）是函数f（x）=x 2 -1的单调减区间（-2，-1）（-，0，（-2，-1）是函数f（x）=x 2 -1的单调减区间（-1，1）（-，0，（-1，1）不是函数f（x）=x 2 -1

14、的单调减区间（-，0）（-，0，（-，0）是函数f（x）=x 2 -1的单调减区间故选C5、函数y=x的平方+1的单调递增区间是0,+）二、函数单调性的判断与证明1、由题意可得：当x1x2时，x1-x20，结合f(x1)f(x2) x1x20可得f（x1）-f（x2）0，即f（x1）f（x2），可得函数单调递增；同理，当x1x2时，x1-x20，结合f(x1)f(x2) x1x20可得f（x1）-f（x2）0，即f（x1）f（x2），可得函数单调递增；综上可得函数在a，b上单调递增，故选A2、选CA是一次函数,因为k=20,所以在区间（0,+）是增函数B是二次函数,因为a=30,所以在区间（0

15、,+）是增函数C是反比例函数,因为k=20,所以在区间（0,+）是减函数D在区间（0,+）上实际是正比例函数y=x,所以是增函数3、A:B:增函数；C：二次函数在对称轴y 轴右侧是增函数；D:一次函数是减函数。故选D4、y=x为一次函数，斜率为1，故在（0，+）上单调递增，根据奇函数的定义可知，y=x为奇函数，故A选项不符合题意；y=|x|为偶函数，且在（0，+）上单调递增，故B选项符合题意；y=-x2+1为偶函数，但在（0，+）上单调递减，故C选项不符合题意；y=-1x为奇函数，在（0，+）上单调递增，故D选项不符合题意故选B5、函数f（x）=3x的定义域为（-，0）（0，+），由反比例函数

16、的单调性知：f（x）的单调减区间为：（-，0），（0，+），无增区间，所以选项A，B，D都是减区间，而C，可通过特殊值验证：比如：x1=-1，x2=1，有x1x2，但f（x1）f（x2），故选：C三、函数单调性的性质1、函数f（x）=kx+3在R上是增函数，其一次系数大于0，k0，故答案为：k02、y=f（x）在R上为增函数，且f（2m）f（-m+9），则2m-m+9，解得，m3，故答案为：（3，+）3、函数y=f（x）在（a，b）上单调递增，由增函数的定义可得，当x1，x2（a，b），且x1x2时，f（x1）f（x2）故选C4、f(1/x)在x>=1单调减,最大值为f(1)=1,而当x

17、为无穷时,f(x)趋于0,但不能取到0,因此没有最小值.选A5、根据题意，对于f（2m）f（m-1），由函数y=f（x）的定义域是-3，4，则有-32m4，-3m-14，又由函数y=f（x）为增函数，则有2mm-1；联立有32m43m142mm1，解可得-1m2，则m的取值范围是（-1，2；故选A四、复合函数的单调性1、由被开方数大于等于0,得x属于-3,1.再求3-2x-x2的顶点坐标,X=-1.综合答案为（-3,-1）.2、f(x)=(x2+4x）因为x2+4x0,所以定义域为（-,-4）（0,+）在由复合函数单调性知；f(x)=(x2+4x）的单调增区间为（0,+）3、f(x)=（x2-

18、2x-3）x2-2x-30 =x3或x-1因为：二次函数y=x2-2x-3在（-,-1】上单调递减,在【3,+）上单调递增所以：f(x)=（x2-2x-3）的单调增区间为【3,+）.4、先求定义域-x²+4x-30x²-4x+30(x-1)(x-3)01x3这个函数由y=t和t=-x²+4x-3复合而成因为y=t是增函数,所以要使t=-x²+4x-3递增所以t=-x²+4x-3在(-,2上递增因为1x3所以递增区间是1,25、由被开方数大于等于0,得x属于-3,1.再求3-2x-x2的顶点坐标,X=-1.综合答案为（-3,-1）.五、函数的最值

19、及其几何意义1、（2）二次函数：y=x(1-3x)=-3x2+x=-3(x-1/6)2+1/12函数在 (0,1/6）上是增函数,（1/6,1/3）上是减函数当x=1/6是最大,为1/12.2、因为y>=2所以取最小值时,x-1=0此时x=13、（1）f(x)是增函数下面证明：定义域2x+10,得x-1/2任取-1/2x1x2,f(x2)-f(x1)=(2x2+1)-(2x1+1)=2(x2-x1)/(2x2+1)+(2x1+1)因为x1x2所以x2-x10,又(2x2+1)+(2x1+1)0所以f(x2)-f(x1)0即f(x2)f(x1)所以f(x)是增函数（2）又（1）知f(x)在

20、x-1/2为增函数所以f(x)=(2x+1)f(-1/2)=0所以f(x)的最小值为04、y=-x2-2ax=-（x+a）2+a2，函数的对称轴x=-a，又0x1且函数的最大值是a2，0-a1，即-1a0故选D六、奇函数1、2、是减函数因为f(x)的图像关于原点对称所以在原点两旁的区间单调性相同.所以在区间【-4,-1】是减函数【偶函数关于y轴对称,原点两旁的单调性相反】3、f(-1)=-f(1)则：f(1)=-a,由于f(x)是以4为周期得函数,所以f(5)=f(1)=-a4、05、f(3)=1,f(x+3)=f(x)+f(3)所以f(x+3)=f(x)+1令x=-3/2f(3/2)=f(-

21、3/2)+1奇函数则f(3/2)=-f(3/2)+1f(3/2)=1/2七、偶函数1、f（2+x）=-f（2-x），f（-x）=f（x），f2+（2+x）=-f2-（2+x）=-f（-x）=-f（x），f（8+x）=f（x），f（x）是以8为周期的函数；f（2009）=f（251×8+1）=f（1）=f（-1）=-f（3）=-f（-3）=2故答案为：22、f（x）是R上的偶函数，f（-x）=f（x）；又对xR都有f（2+x）=f（2-x），f（2+（x-2）=f（2-（x-2），f（x）=f（4-x）；f（-x）=f（4+x），f（x）=f（4+x），f（x）是以4为周期的函数；当f

22、（-3）=-2时，f（2013）=f（504×4-3）=f（-3）=-2；故选：A3、4、函数f（x）定义在R上，且f（x+1）是偶函数，f（x-1）是奇函数，可得f（-1）=0且函数f（x）的图象关于x=1成轴对称，关于（-1，0）成中心称由此知函数的周期是8故f（2003）=f（3）=f（-1）=0故选B八、函数奇偶性的判断1、C2、3、4、九、函数奇偶性的性质1、函数f(x)=ax3+bx+2,若f(100)=8,a×100³+b×100+2=8;a×100³+b×100=6;则f(-100)=-a×100³-100b+2=-6+2=-2;2、f(2008)=a*2008³ +2008b -2=10,所以 a*2008³ +2008b=12于是,f(-2008)= -a*2008³ -2008b -2 =-143、f（x）在区间3，6上也为递增函数，即f（6）=8，f（3）=-12f（-6）+f（-3）=-2f（6）-f（3）=-15故答案为：-154、分析，f