202X届高考数学一轮复习第七章不等式7.3基本不等式及不等式的应用课件

1、7.3基本不等式及不等式的应用高考数学高考数学 (浙江专用)(2016浙江文,20,15分)设函数f(x)=x3+,x0,1.证明:(1)f(x)1-x+x2;(2),所以f(x).综上,得f(x),从而问题得证.11x 23(1)(1)1xxxxx411xx11x11x 11x 11x 11x 3232(1)(21)2(1)xxx32321219243434考点一基本不等式考点一基本不等式B B组统一命题、省（区、市）卷题组组统一命题、省（区、市）卷题组1.(2019天津理,13,5分)设x0,y0,x+2y=5,则的最小值为 .(1)(21)xyxy答案答案4 3解析解析本题主要考查利用基

2、本不等式求最值;通过不等式的应用考查学生推理论证能力及运算求解能力;体现了逻辑推理与数学运算的核心素养.x+2y=5,x0,y0,=2+2=4,当且仅当即或时,原式取得最小值4.(1)(21)xyxy221xyxyxy26xyxyxy6xy62 xyxy325,62,xyxyxy3,1xy2,32xy32.(2019江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+(x0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 .4x答案答案4解析解析本题通过曲线y=x+(x0)上的动点到直线的最小距离考查点到直线的距离公式、基本不等式等有关知识,利用点到直线的距离公式变形考查学生的运

3、算求解能力,体现了从几何关系到代数关系的直观想象和数学运算的核心素养.设P,x00,则点P到直线x+y=0的距离d=4,当且仅当x0=,即x0=时取“=”.故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.4x0004,x xx00042xxx2002xx02x2一题多解一题多解 当点P到直线x+y=0的距离最小时,在点P处的切线与直线x+y=0平行.设P,x00,易知y=1-,令1-=-1,得=2.x00,x0=,P(,3).此时点P到直线x+y=0的距离为=4.故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.0004,x xx24x204x20 x222|23 2 |23.(2019上海,7,5分)若x

4、,yR+,且+2y=3,则的最大值为 .1xyx答案答案 98解析解析本题主要考查函数的最值,考查学生的逻辑推理能力及运算求解能力.x0,=3-2y,3-2y0,y0,0y0,b0)过点(1,2),则2a+b的最小值为 .xayb答案答案8解析解析本题考查基本不等式及其应用.由题设可得+=1,a0,b0,2a+b=(2a+b)=2+24+2=8.故2a+b的最小值为8.1a2b12abba4ab4baab4,2,babaab当且仅当即时 等号成立7.(2017天津文,13,5分)若a,bR,ab0,则的最小值为 .4441abab答案答案4解析解析本题考查基本不等式的应用.a4+4b42a22

5、b2=4a2b2(当且仅当a2=2b2时“=”成立),=4ab+,由于ab0,4ab+2=4当且仅当4ab=时“=”成立,故当且仅当时,的最小值为4.4441abab2241a bab1ab1ab14abab1ab222,14ababab4441abab规律方法规律方法 利用基本不等式求最值,若需多次应用基本不等式,则要注意等号成立的条件必须一致.8.(2016江苏,14,5分)在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的最小值是 .答案答案8解析解析sin A=2sin Bsin C,sin(B+C)=2sin Bsin C,即sin Bco

6、s C+cos Bsin C=2sin Bsin C,亦即tan B+tan C=2tan Btan C,tan A=tan-(B+C)=-tan(B+C)=-=,又ABC为锐角三角形,tan A=0,tan B+tan C0,tan Btan C1,tan Atan Btan C=tan Btan Ctantan1tantanBCBCtantantantan1BCBCtantantantan1BCBCtantantantan1BCBC=,令tan Btan C-1=t,则t0,tan Atan Btan C=22(2+2)=8,当且仅当t=,即tan Btan C=2时,取“=”.tan A

7、tan Btan C的最小值为8.22(tantan)tantan1BCBC 22(1)tt12tt1t考点二不等式的综合应用考点二不等式的综合应用1.(2019课标全国理,6,5分)若ab,则()A.ln(a-b)0 B.3a0 D.|a|b|答案答案C本题考查不等式的性质及指数函数和对数函数的单调性;通过特值法和综合法考查了推理论证能力;考查的核心素养为逻辑推理.ab,a-b0,取a-b=1,则ln(a-b)=0.故A错误.由y=3x在R上单调递增可知3a3b,故B错误.由y=x3在R上是增函数可知a3b3,故C正确.取a=0,b=-1,则|a|b直接得|a|b|而致错.2.(2019天津

8、理,8,5分)已知aR.设函数f(x)=若关于x的不等式f(x)0在R上恒成立,则a的取值范围为()A.0,1 B.0,2 C.0,e D.1,e222 ,1,ln ,1.xaxa xxax x答案答案C本题主要考查分段函数及不等式恒成立问题,考查学生推理论证能力及运算求解能力,将恒成立问题转化为求最值问题,考查了学生化归与转化思想及分类讨论思想.(1)当x1时, f(x)=x2-2ax+2a=(x-a)2+2a-a2,若a1,则f(x)在(-,1上是减函数,所以f(x)f(1)=10恒成立;若a1,则f(x)f(a)=2a-a2,要使f(x)0在(-,1上恒成立,只需2a-a20,得0a2,

9、0a1,综合可知,a0时, f(x)0在(-,1上恒成立.(2)当x1时,ln x0, f(x)=x-aln x0恒成立,即a恒成立.令g(x)=,g(x)=,令g(x)=0,得x=e,当x(1,e)时,g(x)0,g(x)为增函数,g(x)min=g(e)=e,ae.综合(1)(2)可知,a的取值范围是0ae,故选C.lnxxlnxx2ln1(ln )xx解后反思解后反思 求不等式恒成立时的参数取值范围的方法:一是分离参数法,不等式f(x)a在R上恒成立f(x)mina, f(x)a在R上恒成立f(x)maxa;二是讨论分析法,根据参数取值情况进行分类讨论,从而确定参数的取值范围.3.(20

10、17天津理,8,5分)已知函数f(x)=设aR,若关于x的不等式f(x)在R上恒成立,则a的取值范围是()A. B.C.-2,2 D. 23,1,2,1.xxxxxx2xa47,21647 39,16 163392 3,16答案答案A本题考查分段函数的应用及不等式恒成立问题.当x1时,关于x的不等式f(x)在R上恒成立等价于-x2+x-3+ax2-x+3在R上恒成立,即有-x2+x-3ax2-x+3在R上恒成立.由y=-x2+x-3图象的对称轴为x=,可得在x=处取得最大值-;由y=x2-x+3图象的对称轴为x=,可得在x=处取得最小值,则-a.当x1时,关于x的不等式f(x)在R上恒成立等价

11、于-+ax+在R上恒成立,即有-a+在R上恒成立,因为x1,所以-2=-2,当且仅当x=时取得最大值-2;因为x1,所以x+2=2,当且仅当x=2时取得最小值2,则-2a2.由可得-a2,故选A.2xa2x123212141141447163234314343916471639162xa2xx2x2x322xx2x2x322xx322xx3233122x122xx34716思路分析思路分析 讨论当x1时,运用绝对值不等式的解法和分离参数,可得-x2+x-3ax2-x+3,再由二次函数的最值求法,可得a的取值范围;讨论当x1时,同样可得-a+,再利用基本不等式可得最值,从而可得a的取值范围,求交

12、集即可得到所求范围.1232322xx2x2x4.(2015课标,24,10分)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(1)若abcd,则+ +;(2)+ +是|a-b|cd得(+)2(+)2.因此+ +.(2)(i)若|a-b|c-d|,则(a-b)2(c-d)2,即(a+b)2-4abcd.由(1)得+ +.(ii)若+ +,则(+)2(+)2,即a+b+2c+d+2.因为a+b=c+d,所以abcd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|+是|a-b|0,b0,且a+b=+.证明:(1)a+b2;(2)a2+a2与b2+b0,

13、b0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b2=2,即a+b2.(2)假设a2+a2与b2+b2同时成立,则由a2+a0得0a1;同理,0b1,从而ab1,这与ab=1矛盾.故a2+a2与b2+b0,b0),则+的最小值等于()A.4 B.2+2 C. D.2+12ba1b2522答案答案B +=+=+-1=(a+2b)-1=+22+2,当且仅当a=b时取到最小值.2ba1b1aa1b1a1b11abab2ba22一题多解 +=+=+22+2,当且仅当a=b时取到最小值.2ba1b2ba2abb2baab223.(2019浙江高考信息优化卷(二),7)设a是实数2x,2y的等差中项

14、,是x,y的等比中项,则实数a的取值范围是()A.0,4 B.(-,0)4,+)C.-4,0)(0,4 D.(-,-44,+)|a答案答案D由已知得a=x+y,|a|=xy,因为(x+y)24xy,所以a24|a|(a0),即|a|4,故选D.4.(2018浙江新高考调研卷五(绍兴一中),15)已知a0,b0,ab+2a+b-3=0,则+的最小值为 .11a 12b答案答案 2 55解析解析由ab+2a+b-3=0得(a+1)(b+2)=5,所以+2=,当且仅当=时取等号.11a 12b1112ab2 5511a 12b5.(2019浙江金丽衢第一次联考,13)若实数x,y满足xy0,且log

15、2x+log2y=1,则+的最小值是 ,的最大值为 .2x1y22xyxy答案答案2; 14解析解析由已知可得log2xy=1,所以xy=2,则+2=2,当且仅当x=2,y=1时取等号.令x-y=t0,则=,当且仅当t=2时取等号.2x1y2 1x y22xyxy24tt 14tt142 tt146.(2019浙江学军中学高三上期中,17)实数x、y、z满足x2+y2+z2=1,则xy+yz的最大值为 .2答案答案 32解析解析由于1=x2+y2+z2=+2xy+2yz=(xy+yz),xy+yz=,当且仅当时取等号,故xy+yz的最大值为.2223xy2213yz23132 332212 3

16、3322,313xyzy2321.(2019浙江高考数学仿真卷(三),8)已知x,y,z为正实数,且xy=2x+y=xyz+z,则z的最小值为( )A. B. C.1 D. 9108998考点二不等式的综合应用考点二不等式的综合应用答案答案B由xy=2x+y2可得xy8(当且仅当x=2,y=4时取等号).而由xy=xyz+z=(xy+1)z可知=1+.所以z,即z的最小值为.故选B.2xy1z1xyxy1xy9889892.(2018浙江宁波模拟(5月),10)已知x,y均为非负实数,且x+y1,则4x2+4y2+(1-x-y)2的取值范围为()A. B.1,4C.2,4 D.2,92,43答

17、案答案A解法一:令=z,则x+y+2z=1,满足x,y,z0,问题转化为求4(x2+y2+z2)的取值范围.设点A,B(1,0,0),C(0,1,0),点P(x,y,z)可视为长方体的一个三角截面ABC上的一个点,则|OP|2=x2+y2+z2,于是问题转化为求|OP|的取值范围.显然|OP|1,|OP|的最小值为O到平面ABC的距离,可以利用等积法计算.因为VO-ABC=VA-OBC,于是可以得到|OP|,所以|OP|2,即4(x2+y2+z2).1 ()2xy10,0,2161,162,43解法二:因为x,y0,所以x2+y2(x+y)2,令t=x+y,则0t1.4x2+4y2+(1-x-

18、y)24t2+(1-t)2=5t2-2t+14.当xy=0且t=1,即x=0,y=1或x=1,y=0时取等号.另一方面,4x2+4y2+(1-x-y)22t2+(1-t)2=3t2-2t+1.当且仅当x=y=时取等号.所以4x2+4y2+(1-x-y)2.2()2xy23162,433.(2017浙江金华十校联考(4月),17)已知实数x,y,z满足则xyz的最小值为 .22221,5,xyzxyz答案答案9-3211解析解析将变形为由|xy|知,|1-2z|,即-1-2z,解得2-z-2.所以xyz=(1-2z)z=-2z2+z在2-,-2上的最小值为9-32.22221,5xyzxyz22

19、212 ,5,xyzxyz 222xy252z252z252z71171111B B组组2017201920172019年高考模拟年高考模拟专题综合题组专题综合题组时间:15分钟分值:28分一、选择题(每小题4分,共8分)1.(2018浙江嘉兴高三期末,8)若f(x)=x2+bx+c在(m-1,m+1)内有两个不同的零点,则f(m-1)和f(m+1)()A.都大于1 B.都小于1C.至少有一个大于1 D.至少有一个小于1答案答案D若f(x)在(m-1,m+1)内有两个不同的零点,则设f(x)的两个零点分别为x1,x2,不妨设x1x2,则m-1x1x2m+1,且f(x)=(x-x1)(x-x2)

20、.因为f(m-1)=(m-1-x1)(m-1-x2)=(x1-m+1)(x2-m+1),f(m+1)=(m+1-x1)(m+1-x2),所以f(m-1)f(m+1)=(x1-m+1)(x2-m+1)(m+1-x1)(m+1-x2)=1,故f(m-1)和f(m+1)中至少有一个小于1,故选D.211112xmmx 222112xmmx 2.(2019浙江高考“超级全能生”联考(2月),7)已知正数x,y满足x+y=1,则+的最小值是()A. B. C. D. 11x112y33287632 2565答案答案Cx+y=1,2x+2+2y+1=5,+=(2x+2+2y+1)=,当且仅当2x2-4y2

21、+4x-4y+1=0时等号成立,故选C.11x112y15212212xxxy32 253.(2019浙江台州一中、天台一中高三上期中,17)已知实数 x, y 满足x2-y2-x+3y-2=0,则x2+y2的最小值为 .二、填空题(共20分)答案答案 12解析解析对x2-y2-x+3y-2=0配方得=,则(x+y-2)(x-y+1)=0(其几何图形为两条互相垂直的直线).由几何意义可知x2+y2的值为原点到两直线上点的距离的平方,其最小值为原点到直线x-y+1=0的距离的平方,所以=.212x232y22min()xy200 12 124.(2019浙江金华十校高三上期末,16)已知x2+2y2-xy=1(x、yR),则x2+y2的最小值为 .3答案答案 25解析解析解法一:设x2+y2=t,则x2+y2=t(x2+2y2-xy),整理可知,关于x的方程(1-t)x2+tyx+(1-2t)y2=0有解,所以=3t2y2-4(