202X届高考数学一轮复习第十六章不等式选讲课件文VIP

1、第十六章 不等式选讲高考文数高考文数(课标专用)考点一含绝对值不等式的解法考点一含绝对值不等式的解法1.(2019课标全国,23,10分)选修45:不等式选讲已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).(1)当a=1时,求不等式f(x)0的解集;(2)若x(-,1)时, f(x)0,求a的取值范围.五年高考解析解析本题以绝对值函数为背景,主要考查绝对值不等式的解法,通过去绝对值号的过程着重考查学生的分类讨论思想,借助不等式恒成立问题考查学生的化归与转化思想,体现了数学运算的核心素养.(1)当a=1时, f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1).当x1时, f(x)=-2(x-1)20

2、;当x1时, f(x)0.所以,不等式f(x)0的解集为(-,1).(2)因为f(a)=0,所以a1.当a1,x(-,1)时, f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)0,所以,a的取值范围是1,+).方法诠释方法诠释 (1)通过分类讨论去掉绝对值号是解绝对值不等式的基本方法.(2)对f(x)1的解集;(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围.解析解析(1)当a=1时, f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=故不等式f(x)1的解集为.(2)当x(0,1)时|x+1|-|ax-1|x成立等价于当x(0,1)时|ax-1|0,则|ax-1|1

3、的解集为,所以1,故0a恒成立af(x)min,当f(x)存在最大值时, f(x)f(x)max.3.(2018课标全国,23,10分)选修45:不等式选讲设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)0的解集;(2)若f(x)1,求a的取值范围.解析解析(1)当a=1时, f(x)=可得f(x)0的解集为x|-2x3.(2)f(x)1等价于|x+a|+|x-2|4.而|x+a|+|x-2|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)1等价于|a+2|4.由|a+2|4可得a-6或a2.所以a的取值范围是(-,-62,+).24,1,2, 12,26,2.xxxx

4、x 方法总结方法总结解含有两个或两个以上绝对值的不等式,常用零点分段法或数形结合法;若函数中含有两个或两个以上的绝对值,在求函数最值时,常用绝对值三角不等式或数形结合法求解.4.(2018课标全国,23,10分)选修45:不等式选讲设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)当x0,+)时, f(x)ax+b,求a+b的最小值. 解析解析本题考查含绝对值不等式的解法、函数图象.(1)f(x)=y=f(x)的图象如图所示.(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且13 ,212,1,23 ,1.x xxx

5、x x 仅当a3且b2时, f(x)ax+b在0,+)成立,因此a+b的最小值为5.解后反思解后反思绝对值不等式的解法及综合应用的常见类型及解题策略:(1)直接求解不等式,主要利用绝对值不等式、不等式的性质,想办法去掉绝对值符号求解.(2)已知不等式求参数值,利用绝对值不等式或函数求最值,然后求参数的取值范围.5.(2017课标全国,23,10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)g(x)的解集;(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范围.解析解析(1)解法一:当a=1时,不等式f(

6、x)g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-40.当x1时,式化为x2+x-40,从而1x.所以f(x)g(x)的解集为.解法二:g(x)=当a=1时,f(x)=-x2+x+4,在同一平面直角坐标系中,画出g(x)与f(x)的图象如图,易求得A(-1,2),B,所以f(x)g(x)的解集为.1172 11712xx 2 ,1,2, 11,2 ,1,x xxx x 117, 1172 117| 12xx (2)解法一:当x-1,1时,g(x)=2.所以f(x)g(x)的解集包含-1,1等价于当x-1,1时f(x)2.又f(x)在-1,1的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)

7、2且f(1)2,得-1a1.所以a的取值范围为-1,1.解法二:当x-1,1时,g(x)=2,所以f(x)g(x)的解集包含-1,1等价于当x-1,1时f(x)2,即-x2+ax+42.当x=0时,-x2+ax+42成立.当x(0,1时,-x2+ax+42化为ax-.而y=x-在(0,1上单调递增,所以最大值为-1,所以a-1.当x-1,0)时,-x2+ax+42化为ax-.而y=x-在-1,0)上单调递增,所以最小值为1,所以a1.综上,a的取值范围为-1,1.2x2x2x2x6.(2017课标全国,23,10分)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)1的解集;(2

8、)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.解析解析(1)f(x)=当x2时,由f(x)1解得x2.所以f(x)1的解集为x|x1.(2)由f(x)x2-x+m得m|x+1|-|x-2|-x2+x.而|x+1|-|x-2|-x2+x|x|+1+|x|-2-x2+|x|=-+,且当x=时,|x+1|-|x-2|-x2+x=.故m的取值范围为.3,1,21, 12,3,2.xxxx 23|2x545432545,47.(2016课标全国,24,10分)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)求不等式|f(x)|1的解集. 解析解析(1)f(x)

9、=y=f(x)的图象如图所示.(2)解法一:由f(x)的表达式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=或x=5,故f(x)1的解集为x|1x3; f(x)1的解集为.解法二:根据y=f(x)的分段函数表达式,有:当x-1时,|f(x)|1的解集为x|x-1;当-11的解集为;当x-时,|f(x)|1的解集为x|x5.综上,|f(x)|1的解集为.1|1353x xxx或或321| 13xx 3|12xx323|32xx1|1353x xxx或或8.(2015课标,24,10分)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a0.(1)当a=1时,求不等式f(x

10、)1的解集;(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.解析解析(1)解法一:当a=1时, f(x)1化为|x+1|-2|x-1|-10.当x-1时,不等式化为x-40,无解;当-1x0,解得x0,解得1x1的解集为.(5分)解法二:当a=1时, f(x)=画出f(x)的图象(如图所示),根据图象可得不等式f(x)1的解集为.(5分)232|23xx3,1,31, 11,3,1.xxxxxx 2|23xx(2)由题设可得, f(x)=所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a+1,0),C(a,a+1),ABC的面积为(a+1)2.由题设得(a

11、+1)26,故a2.所以a的取值范围为(2,+).(10分)12 ,1,312 , 1,12 ,.xa xxaxaxa xa 21,03a2323考点二不等式的证明考点二不等式的证明1.(2019课标全国,23,10分)选修45:不等式选讲已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1)+a2+b2+c2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.1a1b1c解析解析(1)因为a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac,又abc=1,故有a2+b2+c2ab+bc+ca=+.所以+a2+b2+c2.(2)因为a,b,c为正数且abc=1,故有(a+b)3+(b+c)3+

12、(c+a)33=3(a+b)(b+c)(a+c)3(2)(2)(2)=24.所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.abbccaabc1a1b1c1a1b1c3333() () ()abbcacabbcac一题多解一题多解 (1)因为abc=1,a,b,cR+,所以+=+=bc+ac+ab+=a2+b2+c2.(2)因为a,b,cR+,abc=1,所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3=(ab+(bc+(ca3=3=1.所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.1a1b1cabcaabcbabcc222bc222ac222ab12413333222abbcca1332)

13、32)32)133333222()()()abbcca132.(2019课标全国,23,10分)选修45:不等式选讲设x,y,zR,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2成立,证明:a-3或a-1.13解析解析本题主要考查不等式的证明以及基本不等式的应用,考查学生推理论证的能力,考查了逻辑推理的核心素养.(1)由于(x-1)+(y+1)+(z+1)2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)3(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2,故由已知

14、得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2,当且仅当x=,y=-,z=-时等号成立.所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为.(2)由于(x-2)+(y-1)+(z-a)2=(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)3(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2,故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2,当且仅当x=,y=,z=时等号成立.因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值为.43531313432(2)3a43a13a223a2(2)3a由题设知,解得a-3或a-1.2(2)3a133.(

15、2017课标全国,23,10分)已知a0,b0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.证明证明(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)2+(a+b)=2+,所以(a+b)38,因此a+b2.23()4ab33()4ab4.(2016课标全国,24,10分)已知函数f(x)=+,M为不等式f(x)2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,bM时,|a+b|1+ab|.12x12x解析解析(1)

16、f(x)=(2分)当x-时,由f(x)2得-2x-1;(3分)当-x时, f(x)2;(4分)当x时,由f(x)2得2x2,解得x1,(5分)所以f(x)2的解集M=x|-1x1.(6分)(2)证明:由(1)知,当a,bM时,-1a1,-1b1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)0,因此|a+b|cd,则+;(2)+是|a-b|cd得(+)2(+)2.因此+.(2)(i)若|a-b|c-d|,则(a-b)2(c-d)2,即(a+b)2-4abcd.由(1)得+.(ii)若+,则(+)2(+)2,即a+b+2c+d+2.因为a+b=c+d,所以a

17、bcd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd=(c-d)2.ababcdcdabcdabcdabcdabcdabcdabcd因此|a-b|+是|a-b|cd矛盾,故+.(2)(充分性)假设|a-b|c-d|,则有(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd,由此得4ab4cd,22,(+)2(+)2,于是+,这与+矛盾,从而|a-b|c-d|,充分性得证.(必要性)假设+,则有(+)2(+)2,即abcd.又a+b=c+d,故(a-b)2(c-d)2,abcdabcdabcdabcdabcdabcdabcdabcdabcdabcdabcd即|a-b|c-d|,与|a-b|+,

18、必要性得证.综上,+是|a-b|2.解析解析本小题主要考查解不等式等基础知识,考查运算求解和推理论证能力.当x2,解得x2,即x时,原不等式可化为x+2x-12,解得x1.综上,原不等式的解集为.1312121|13x xx 或2.(2016课标全国,24,10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-a|+a.(1)当a=2时,求不等式f(x)6的解集;(2)设函数g(x)=|2x-1|.当xR时, f(x)+g(x)3,求a的取值范围.解析解析(1)当a=2时, f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+26得-1x3.因此f(x)6的解集为x|-1x3.(5分)(2)当x

19、R时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x=时等号成立,所以当xR时, f(x)+g(x)3等价于|1-a|+a3.(7分)当a1时,等价于1-a+a3,无解.当a1时,等价于a-1+a3,解得a2.所以a的取值范围是2,+).(10分)12方法总结方法总结 含有绝对值的不等式恒成立问题主要有两种解决方法:一是利用|ab|a|+|b|;二是利用数形结合的思想方法.评析评析本题考查了绝对值不等式的解法及绝对值不等式的性质,灵活利用不等式的性质是解题的关键.3.(2016江苏,21D,10分)设a0,|x-1|,|y-2|,求证:|2x+

20、y-4|a.3a3a证明证明因为|x-1|,|y-2|,所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|2|x-1|+|y-2|2+=a.3a3a3a3a评析评析本小题主要考查含绝对值的不等式的证明,考查推理论证能力.4.(2015陕西,24,10分)选修45:不等式选讲已知关于x的不等式|x+a|b的解集为x|2x4.(1)求实数a,b的值;(2)求+的最大值.12at bt解析解析(1)由|x+a|b,得-b-ax0).(1)证明:f(x)2;(2)若f(3)0,有f(x)=+|x-a| =+a2,所以f(x)2.(2)f(3)=+|3-a|.当a3时, f(3)=a+,由f(3)5得3

21、a.当0a3时, f(3)=6-a+,由f(3)5得a3.综上,a的取值范围是.1xa1()xxaa1a13a1a52121a15215 521,226.(2013课标,24,10分)已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)-1,且当x时, f(x)g(x),求a的取值范围.1,2 2a解析解析(1)当a=-2时,不等式f(x)g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-30.设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y=其图象如图所示.15 ,212,1,236,1.xxxxxx 从图象可知,当且仅当x(0,2)时,y0.所以

22、原不等式的解集是x|0 x2.解法二:当a=-2时,不等式f(x)g(x)化为|2x-1|+|2x-2|x+3,即|2x-1|+|2x-2|-x-30.等价于或或解得0 x或x1或1x2,所以原不等式的解集是x|0 x0).(1)当a=2时,解不等式f(x)5;(2)当xa,2a-2时,不等式f(x)|x+4|恒成立,求实数a的取值范围.解析解析(1)当a=2时, f(x)=|x+2|+|2x-5|=(2分)由f(x)5,得或 或(4分)解得x2或x,所以不等式f(x)5的解集为.(5分)33 ,2,57, 2,2533,.2x xxxxx 2,335xx 52,275xx 5,2335,xx

23、838|23x xx或解得x2或x,所以不等式f(x)5的解集为.(5分)(2)因为f(x)|x+4|,所以|x+a|+|2x-5|x+4|,因为xa,2a-2,所以2a-2a,所以a2,所以x+a0,x+40,得x+a+|2x-5|x+4,不等式恒成立,即|2x-5|4-a在xa,2a-2上恒成立,(7分)不等式恒成立必须a4,a-42x-54-a,解得a+12x9-a.(8分)838|23x xx或所以解得1a,(9分)结合2a4,得25的解集;(2)若f(x)1恒成立,求2m+n的最小值.解析解析(1)因为m=2,n=3,所以f(x)=|x+2|+|2x-3|.当x-2时,由-x-2-2

24、x+35,得x-,x-2.当-2x5,得x0,-2x5,得x2,x2.综上,不等式的解集为(-,0)(2,+).(2)|x+m|+|2x-n|=|x+m|+|x+m|+=m+,m+1,2m+n2,则2m+n的最小值为2.4332322nx2nx2nx2nm2n2n5.(2018河北邯郸一模,23)已知函数f(x)=|x-4|+|x-1|-3.(1)求不等式f(x)2的解集;(2)若直线y=kx-2与函数f(x)的图象有公共点,求k的取值范围.解析解析(1)由f(x)2,得或或解得0 x5,故不等式f(x)2的解集为0,5.(2)f(x)=|x-4|+|x-1|-3=作出函数f(x)的图象,如图

25、所示,直线y=kx-2过定点C(0,-2),1,222xx14,02x4,282,xx22 ,1,0,14,28,4,x xxxx当此直线经过点B(4,0)时,k=;当此直线与直线AD平行时,k=-2.故由图可知,k(-,-2).121,26.(2017安徽江淮十校第三次联考,23)已知函数f(x)=|x+4|-|x-1|.(1)解不等式f(x)3;(2)若不等式f(x)+14a-52a有解,求实数a的取值范围.解析解析(1)f(x)=当x-4时,无解;当-4x3,解得0 x3恒成立,故原不等式的解集为x|x0.(2)将f(x)+14a-52a,即f(x)4a-52a-1有解转化为f(x)mi

26、n4a-52a-1.易知f(x)的最小值为-5,4a-52a-1-5,即4a-52a+40,即2a4或2a1,a2或a0.故实数a的取值范围是(-,02,+).5,4,23, 41,5,1,xxxx 考点二不等式的证明考点二不等式的证明1.(2019安徽安庆二模,23)已知f(x)=2|x+1|+|2x-1|.(1)解不等式f(x)f(1);(2)若不等式f(x)+(m0,n0)对任意xR的都成立,证明:m+n.1m1n43解析解析(1)f(x)f(1)就是2|x+1|+|2x-1|5.当x时,由2(x+1)+(2x-1)5,得x1.当-1x时,由2(x+1)-(2x-1)5,得35,不成立.

27、当x5,得xf(1)的解集是(1,+).(2)证明:因为2|x+1|+|2x-1|=|2x+2|+|2x-1|(2x+2)-(2x-1)|=3,所以+3.因为m0,n0,所以+2,所以23,得.所以m+n2.1212323,2 1m1n1m1n1mn1mnmn23mn432.(2019河南名校联盟尖子生第六次联合调研,23)已知函数f(x)=|x+2|-|x-4|.(1)求不等式f(x)x的解集;(2)记f(x)的最大值为t,正数a,b满足6a+6b=t,求证:log181.28ab解析解析(1)由f(x)=|x+2|-|x-4|x,得或或(3分)解得-6x-2或-20,b0,所以+=(a+b

28、)=10+10+2=18.当且仅当=且a+b=1,即a=,b=时等号成立.(9分)所以log181.(10分)24,2xxxx 24,24,xxxx 24,4,xxxx|2| |4|,(2)(4)0 xxxx2a8b28ab2ba8ab28baab2ba8ab132328ab3.(2019河北石家庄二中二模,23)已知a,b是正实数,且a+b=2.证明:(1)+2;(2)(a+b3)(a3+b)4.ab证明证明(1)a,b是正实数,a+b2,1,(+)2=a+b+24,+2,当且仅当a=b=1时,取“=”.(2)a2+b22ab,2(a2+b2)a2+b2+2ab=(a+b)2=4,a2+b2

29、2,(a+b3)(a3+b)=a4+b4+a3b3+aba4+b4+2a2b2=(a2+b2)24,当且仅当即a=b=1时,取“=”.ababababab22,1aba b4.(2017福建福州八中第六次质检,23)已知函数f(x)=|x-1|.(1)解不等式f(x)+f(x+4)8;(2)若|a|1,|b|a|f.ba解析解析(1)f(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|=当x1时,由2x+28,解得x3.所以,不等式f(x)+f(x+4)8的解集为x|x-5或x3.(2)证明: f(ab)|a|f,即|ab-1|a-b|.因为|a|1,|b|0,所以|ab-1|a-b|,故所证不等式

30、成立.22,3,4, 31,22,1,xxxxx baB B组组 2017201920172019年高考模拟年高考模拟专题综合题组专题综合题组（时间:50分钟分值:80分）解答题(共80分)1.(2019安徽黄山第二次质量检测,12)已知f(x)=|2-x|-|4-x|.(1)关于x的不等式f(x)a2-3a恒成立,求实数a的取值范围;(2)若f(m)+f(n)=4,且mm4,故m+n8.(10分)242(4),2426(24),242(2),xxxxxxxxxx 2.(2019湖北武汉4月毕业班调研,23)已知函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)求不等式f(x)3的解集;(2)若直

31、线y=x+a与y=f(x)的图象所围成的多边形的面积为,求实数a的值.92解析解析(1)f(x)=当x1时,由3x3,得x1;当-x1时,由x+23,得x1,与-x2.3 ,1,12,1,213 ,.2x xxxx x 1212121 3,2 2易得直线y=x+a与y=f(x)的图象交于两点C,D,则|CD|=a,平行线AB与CD间的距离d=,|AB|=,梯形ABCD的面积S=(a2),即(a+2)(a-2)=12,a=4,3,22aa3,44aa224aa3 24|2|2a22a3 223 23 222422aa33(2)242aa92故所求实数a的值为4.(10分)3.(2019广东深圳第

32、二次调研,23)已知函数f(x)=|x-m|+(m1).(1)当m=2时,求不等式f(x)3的解集;(2)证明: f(x)+3.1xm1(1)m m解析解析(1)当m=2时, f(x)=|x-2|+,(1分)当x-时,原不等式等价于(2-x)-3,解得x-,(2分)当-x3,不等式无解,(3分)当x2时,原不等式等价于(x-2)+3,解得x,(4分)综上,不等式f(x)3的解集为.(5分)12x1212x34125212x943,4 9,4(2)证明: f(x)=|x-m|+,(6分)m0,=m+,f(x)m+,当且仅当x时等号成立.(7分)f(x)+m+=m+=(m-1)+1,1xm1mm1

33、mm1m1m1,mm1(1)m m1m1(1)m m11m11mm1,m-10,(m-1)+12+1=3,(9分)f(x)+3,当m=2,且x时等号成立.(10分)11m1(1)1mm1(1)m m1,224.(2019湖南百所重点名校大联考,23)已知函数f(x)=+.(1)求f(x)f(4)的解集;(2)设函数g(x)=k(x-3),kR,若f(x)g(x)对任意的xR都成立,求实数k的取值范围.269xx2816xx解析解析(1)f(x)=+=+=|x-3|+|x+4|,f(x)f(4),即|x-3|+|x+4|9,或或解,得x-5;无解,解,得x4.所以f(x)f(4)的解集为x|x-5或x4.(5分)(2)f(x)g(x),即f(x)=|x-3|+|x+