《C概率及其运算》ppt课件

1、C1.1 随机事件随机事件C1.2 概率的计算概率的计算C1.3 条件概率条件概率 独立性独立性习题课习题课C1 C1.1 随机事件随机事件B 一、随机景象与随机实验B 二、样本空间与随机事件 B 三、事件间的关系与运算一、随机景象与随机实验一、随机景象与随机实验1 1、随机景象、随机景象带有随机性、偶尔性的景象带有随机性、偶尔性的景象特点：特点：当人们在一定的条件下对它加以察看或进展当人们在一定的条件下对它加以察看或进展实验时，察看或实验的结果是多个能够结果实验时，察看或实验的结果是多个能够结果中的某一个中的某一个. . 而且在每次实验或察看前都无而且在每次实验或察看前都无法确知其结果，即呈

2、现出偶尔性法确知其结果，即呈现出偶尔性. . 或者说，或者说，出现哪个结果出现哪个结果“凭时机而定凭时机而定. .在一定条件下对随机景象进展大量观测会发现在一定条件下对随机景象进展大量观测会发现某种规律性某种规律性. .例如例如: : 一门火炮在一定条件下进展射击，个别一门火炮在一定条件下进展射击，个别炮弹的弹着点能够偏离目的而有随机性的误差，炮弹的弹着点能够偏离目的而有随机性的误差，但大量炮弹的弹着点那么表现出一定的规律性，但大量炮弹的弹着点那么表现出一定的规律性，如一定的命中率，一定的分布规律等等如一定的命中率，一定的分布规律等等. . 随机景象的规律性随机景象的规律性又如又如: : 在一

3、个容器内有许在一个容器内有许多气体分子，每个气体分多气体分子，每个气体分子的运动存在着不定性，子的运动存在着不定性，无法预言它在指定时辰的无法预言它在指定时辰的动量和方向动量和方向. . 但大量分子的但大量分子的平均活动却呈现出某种稳平均活动却呈现出某种稳定性，如在一定的温度下，定性，如在一定的温度下，气体对器壁的压力是稳定气体对器壁的压力是稳定的，呈现的，呈现“无序中的规律无序中的规律. . 从外表上看，随机景象的每一次察看结果都是从外表上看，随机景象的每一次察看结果都是随机的，但多次察看某个随机景象，便可以发现，随机的，但多次察看某个随机景象，便可以发现，在大量的偶尔之中存在着必然的规律在

4、大量的偶尔之中存在着必然的规律. .概率论的研讨对象概率论的研讨对象 随机景象的随机景象的统计规律性统计规律性 随机景象有其偶尔性的一面，也有其必随机景象有其偶尔性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表如今大量反复实然性的一面，这种必然性表如今大量反复实验或察看中呈现出的固有规律性，称为随机验或察看中呈现出的固有规律性，称为随机景象的统计规律性景象的统计规律性. 概率论正是研讨随机景象统计规律性的概率论正是研讨随机景象统计规律性的一门学科一门学科. 这里实验的含义非常广泛，它包括各种各样的科学实验，也包括对事物的某一特征的察看。 其典型的例子有：2、随机实验、随机实验Experiment 研

5、讨随机景象，首先要对研讨对象进展察看实验研讨随机景象，首先要对研讨对象进展察看实验. . 这里的实验，指的是随机实验这里的实验，指的是随机实验. .E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。E6：在一批灯泡中恣意抽取一只，测试它的寿命。：在一批灯泡中恣意抽取一只，测试它的寿命。E7：记录某地一昼夜的最高温度和最高温度。：记录某地一昼夜的最高温度和最高温度。E1：抛一枚硬币，察看正面：抛一枚硬币，察看正面HHeads、反面、反面TTails出现的情况。出现的情况。E2 ：将一枚硬币抛掷三次，察看正面、反面出现：将一枚硬币抛掷三次，察看正面、反面出现的情况。的情况

6、。E3：将一枚硬币抛掷三次，察看出现正面的次数。：将一枚硬币抛掷三次，察看出现正面的次数。E4：抛一颗骰子，察看出现的点数。：抛一颗骰子，察看出现的点数。 从察看实验开场从察看实验开场这些实验具有以下特点：这些实验具有以下特点：可以在一样的条件下反复进展；可以在一样的条件下反复进展；每次实验的能够结果不止一个，并且能事先明确实每次实验的能够结果不止一个，并且能事先明确实验的一切能够结果；验的一切能够结果；进展一次实验之前不能确定哪一个结果会出现。进展一次实验之前不能确定哪一个结果会出现。二、样本空间与随机事件二、样本空间与随机事件定义定义将随机实验将随机实验 E 的一切能够结果组成的集合的一切

7、能够结果组成的集合称为称为 E 的样本空间，的样本空间， 记为记为 S 或或。称实验称实验 E 的样本空间的样本空间 S 的子集为的子集为 E 的随机事件；的随机事件；常用集合记号如常用集合记号如A，B等表示。等表示。根身手件根身手件 : 有一个样本点组成的单点集；有一个样本点组成的单点集；必然事件必然事件 : 样本空间样本空间 S 本身；本身；不能够事件不能够事件 : 空集空集。样本空间的元素，即样本空间的元素，即 E 的每个结果，称为样本点。的每个结果，称为样本点。S1 : H , T S2 : HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT S3 : 0,

8、1, 2, 3 S4 : 1, 2, 3, 4, 5, 6 E1：抛一枚硬币，察看正面HHeads、反面TTails出现的情况。 E2 ：将一枚硬币抛掷三次，察看正面、反面出现的情况。 E3：将一枚硬币抛掷三次，察看出现正面的次数。 E4：抛一颗骰子，察看出现的点数。S5 : 0,1,2,3S6 : t | t 0 S7 : ( x , y ) | T 0 x , y T1 E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。 E6：在一批灯泡中恣意抽取一只，测试它的寿命。 E7：记录某地一昼夜的最高温度和最高温度。例如：例如：S2 中事件中事件 A=HHH,HHT,HTH,HTT表示表示 “第一次出现的

9、是正面第一次出现的是正面 S6 中事件中事件 B1=t|t1000表示表示 “灯泡是次品灯泡是次品事件事件 B2=t|t 1000表示表示 “灯泡是合格品灯泡是合格品事件事件 B3=t|t1500表示表示“灯泡是一级品灯泡是一级品 称一个随机事件发生当且仅当它所包含称一个随机事件发生当且仅当它所包含的一个样本点在实验中出现的一个样本点在实验中出现10 包含关系包含关系 20 和事件和事件 30 积事积事件件 40 差事差事件件50 互不相容互不相容60 对立事件对立事件SABBABABABABASBABA 三三 、事件间的关系与运算、事件间的关系与运算SAB S2 中事件中事件 A=HHH,H

10、HT,HTH,HTT, B=HHH,TTT 20 和事件和事件 30 积事积事件件BABA?BA?BASABSABAS 40 差事差事件件BAABSB50 互不相容互不相容BAASA60 对立事件对立事件SBABA AB SAB随机事件的运算规律随机事件的运算规律幂等律幂等律: :AAAAAA,交换律交换律: :ABBAABBA, 结合律结合律: :CBACBACBACBA分配律分配律: :CABACBACABACBA De Morgan De Morgan定律定律: :AAAA,C1.2 概率的计算概率的计算B 一、频率与概率B 二、概率的定义与性质B 三、等能够概型古典概型B 四、几何概型

11、一一 、 频率与概率频率与概率例如例如 假设我们希望知道某射手中靶的概假设我们希望知道某射手中靶的概率，应对这个射手在同样条件下大量射率，应对这个射手在同样条件下大量射击情况进展察看记录击情况进展察看记录.假设他射击假设他射击n发，中靶发，中靶m发，当发，当n很大时，可很大时，可用频率用频率m/n作为他中靶概率的估计作为他中靶概率的估计.1. 频率的定义和性质 定义定义 在一样的条件下，进展了在一样的条件下，进展了n 次实验，次实验， 在这在这 n 次实验中，事件次实验中，事件 A 发生的次数发生的次数 nA 称为称为 事件事件 A 发生的频数。比值发生的频数。比值 n A / n 称为事件称

12、为事件 A 发生的频率，并记成发生的频率，并记成 fn(A) 。性质性质:)()()()(AfnAfnAfnAAAfkkn 2121;)(12 Sfn则则是是两两两两互互不不相相容容事事件件若若,AAAk0123;)(101 Afn 思索在一样条件下进展的思索在一样条件下进展的S 轮实验轮实验.第二轮实验实验次数实验次数n2事件事件A出现出现m2次次第S轮实验实验次数实验次数ns事件事件A出现出现ms 次次实验次数实验次数n1事件事件A出现出现m1次次第一轮实验事件事件A A在各轮实验中频率构成一个数列在各轮实验中频率构成一个数列我们来阐明频率稳定性的含义我们来阐明频率稳定性的含义.,11nm

13、,22nmssnm, 频率在一定程度上反映了事件发生的能频率在一定程度上反映了事件发生的能够性大小够性大小. 虽然每进展一连串虽然每进展一连串n次实验，次实验，所得到的频率可以各不一样，但只需所得到的频率可以各不一样，但只需 n相当相当大，频率与概率是会非常接近的大，频率与概率是会非常接近的. 因此，概率是可以经过频率来因此，概率是可以经过频率来“丈量丈量的的, 频率是概率的一个近似频率是概率的一个近似.频率频率概率概率这种确定概率的方法称为频率方法这种确定概率的方法称为频率方法.在实践中，当概率不易求出时，人们常取实验次在实践中，当概率不易求出时，人们常取实验次数很大时事件的频率作为概率的估

14、计值，数很大时事件的频率作为概率的估计值，关于频率和概率的关系，需求强调以下现实：关于频率和概率的关系，需求强调以下现实： 对于较大的对于较大的n，n次实验中事件次实验中事件A的频的频率，普通与事件率，普通与事件A的概率的概率P相差不大，实验相差不大，实验次数次数n越大，频率与概率有较大偏向的情形越大，频率与概率有较大偏向的情形就越少见就越少见. 概率是频率稳定性的根据，是随机事件规律概率是频率稳定性的根据，是随机事件规律的一个表达的一个表达 . 实践中，当概率不易求出时，人们常经过作实践中，当概率不易求出时，人们常经过作大量实验，用事件出现的频率去近似概率大量实验，用事件出现的频率去近似概率

15、.它的实际根据我们将在最后引见它的实际根据我们将在最后引见.251 249 256 253 251 246 2440.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.4880.002 -0.002 0.012 0.006 0.002 -0.008 -0.012 投硬币正反面阐明投硬币正反面阐明 频率的稳定性频率的稳定性nAfn(A)n=500时时 实实 验验 者者 德德摩根摩根 蒲蒲 丰丰K 皮尔逊皮尔逊K 皮尔逊皮尔逊 n nH fn(H) 2048 40401200024000 1061 2048 6019120210.51810.50960.50160.5005

16、频率稳定频率稳定性性高尔顿钉板实验高尔顿钉板实验 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 小球在高尔顿板中的小球在高尔顿板中的分布规律分布规律 .高尔顿板实验. . . .

17、 . . . 记左图所示正方形的面积记左图所示正方形的面积为为 ，其中的四分之一圆围成，其中的四分之一圆围成的区域为的区域为A. 现向区域现向区域 随机投点随机投点n次，次，由几何方法可计算得由几何方法可计算得利用频率和概率的关系，当利用频率和概率的关系，当 n充分大时，充分大时，441)()()(22rrAAPArnmAP)( 于是于是nm4频频 率率 稳定值稳定值 概率概率事件发生事件发生的频繁程度的频繁程度事件发生事件发生的能够性的大小的能够性的大小频率的性质频率的性质概率的公理化定义概率的公理化定义定义定义 设设 E 是随机实验，是随机实验，S 是它的样本空间，对于是它的样本空间，对于

18、 E 的每一个事件的每一个事件 A 赋予一个实数，记为赋予一个实数，记为 称为事件称为事件 A 的概率，要求集合函数的概率，要求集合函数 满足满足 以下条件：以下条件： ;)(120 SP;)(AP 010 )()()(APAPAAP2121则则是是两两两两互互不不相相容容事事件件若若,AA2013)(P,)(AP二、概率的定义与性质二、概率的定义与性质概率的性质概率的性质;)(01 P性质性质则则是是两两两两互互不不相相容容事事件件若若性性质质,AAAn212)()()()(APAPAPAAAPnn 2121)()()()()(APBPAPBPABPBA 3性质性质SAB;)()(APAP

19、15性性质质;)(14 AP性性质质。性性质质)()()()(ABPBPAPBAP 6SABSAAB 重要推行重要推行: :)()()()()()()()()ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP 1)()()()ABPBPABP 2SBA加法公式的推行加法公式的推行 nnnkjikjinjijiniiniinAAAPAAAPAAPAPAPAAAn2111111211 有有个事件个事件对任意对任意, 生活中有这样一类实验，它们的共同特点是： 样本空间的元素只需有限个； 每个根身手件发生的能够性一样。 比如：足球竞赛中扔硬币挑边，围棋竞赛中猜先。比如：足球竞赛中扔硬币挑边，围棋竞赛中猜先

20、。我们把这类实验称为等能够概型，我们把这类实验称为等能够概型，思索到它在概率论早期开展中的重要位置，又思索到它在概率论早期开展中的重要位置，又把它叫做古典概型。把它叫做古典概型。三、等能够概型古典概型三、等能够概型古典概型设设 S =e1, e2, en , 由古典概型的等能够性，得由古典概型的等能够性，得.21ne=PePeP 又由于根身手件两两互不相容；所以又由于根身手件两两互不相容；所以,nePePePSP 211.,ninePi211 假设事件假设事件 A 包含包含 k 个根身手件，即个根身手件，即 A =e1, e2, ek , 那么有那么有 ： .)(中中基基本本事事件件总总数数包

21、包含含的的基基本本事事件件数数SAnkAP 例例 1 将一枚硬币抛掷三次。设：事件将一枚硬币抛掷三次。设：事件 A1为为“恰有一次恰有一次出现正面，事件出现正面，事件 A2为为“至少有一次出现正面，求至少有一次出现正面，求 P (A1 ), P (A2 )。 解：根据前面的记号，解：根据前面的记号，E2 的样本空间的样本空间 S2=HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH,TTT, n = 8，即，即 S2 中包含有限个元素，且由对称性中包含有限个元素，且由对称性 知每个根身手件发生的能够性一样，属于古典概型。知每个根身手件发生的能够性一样，属于古典概型。 A1为为“

22、恰有一次出现正面，恰有一次出现正面，A1=HTT, THT, TTH, , = )( =8331nkAPk，.= = )( = )( 87811122 APAP, =)(= T,TT= :8112222nkAPkAAA，由由于于另另解解 事件 A2为“至少有一次出现正面，A2=HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH , = )( =877222nkAPk，例例 2 一口袋装有一口袋装有 6 只球，其中只球，其中 4 只白球、只白球、2 只红球。只红球。从袋中取球两次，每次随机的取一只。从袋中取球两次，每次随机的取一只。思索两种取球方式：思索两种取球方式： 放回抽样放

23、回抽样 第一次取一只球，察看其颜色后放回袋中，第一次取一只球，察看其颜色后放回袋中， 搅匀后再取一球。搅匀后再取一球。不放回抽样不放回抽样 第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球的球 中再取一球。中再取一球。 分别就上面两种方式求：分别就上面两种方式求： 1取到的两只都是白球的概率；取到的两只都是白球的概率； 2取到的两只球颜色一样的概率；取到的两只球颜色一样的概率； 3取到的两只球中至少有一只是白球的概率。取到的两只球中至少有一只是白球的概率。 解：从袋中取两球，每一种取法就是一个根身手件。解：从袋中取两球，每一种取法就是一个根身手件。 设设 A= “

24、取到的两只都是白球取到的两只都是白球 ，A1=“取到的都取到的都是红球是红球; B= “ 取到的两只球颜色一样取到的两只球颜色一样 C= “ 取到的两只球中至少有一只是白球。取到的两只球中至少有一只是白球。44406422.)( AP111062221.)(AP8890621221.)()(APCP 有放回抽取有放回抽取: : 无放回抽取无放回抽取:2624CCAP )(262224CCCBP )(262211CCAPCP)()(5550624222.)(BP例例 3 将将 n 只球随机的放入只球随机的放入 N (N n) 个盒子中去，求个盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率。每个盒子至多有

25、一只球的概率。 (设盒子的容量不限设盒子的容量不限,种种放放法法nNNNN 解：解： 将将 n 只球放入只球放入 N 个盒子中去个盒子中去, 共有共有而每个盒子中至多放一只球而每个盒子中至多放一只球, 共有共有,)()(种种放放法法nNAnNNN 11.)()(nnNnNANnNNNp 11故故问题改为问题改为: 求至少有一只盒子里有两个以上的球的求至少有一只盒子里有两个以上的球的概率。概率。.nnNNApP 11 此例可以作为许多问题的数学模型，比如此例可以作为许多问题的数学模型，比如用此公式可以得出：用此公式可以得出： nP20 23 30 40 50 64 1000.411 0.507

26、0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997 思索思索N=365, 经计算可得下述结果：经计算可得下述结果：“在一个有在一个有64人的班级里，至少有两人同生日人的班级里，至少有两人同生日的概率为的概率为 99.7%。例例4 设有设有 N 件产品，其中有件产品，其中有 D 件次品，今从中任件次品，今从中任取取 n 件，问其中恰有件，问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少件次品的概率是多少?种，种，nNC又在又在D件次品中取件次品中取 k 件，一切能够的取法有件，一切能够的取法有 种，种，knDNC 在在 N-D 件正品中取件正品中取 n-k 件件, 一切能够的取

27、法有一切能够的取法有种种，kDC 解：在解：在 N 件产品中抽取件产品中抽取 n 件，取法共有件，取法共有不放回抽样不放回抽样1由乘法原理知：在由乘法原理知：在 N 件产品件产品 中取中取 n 件，其件，其中恰有中恰有 k件次品的取法共有件次品的取法共有 种种，knDNkDCC 于是所求的概率为：于是所求的概率为：nNknDNkDCCCp 此式即为超几何分布的概率公式。此式即为超几何分布的概率公式。2 2 有放回抽样有放回抽样从从N件产品中有放回地抽取件产品中有放回地抽取n件产品进展陈列，件产品进展陈列，能够的陈列数为能够的陈列数为 个，将每一陈列看作根身个，将每一陈列看作根身手件，总数为手件

28、，总数为 。而在而在 N 件产品件产品 中取中取 n 件，其中恰有件，其中恰有 k件次品件次品的取法共有的取法共有 于是所求的概率为：于是所求的概率为：nNknkknDNDC )(nNknkknnknkknNDNDCNDNDCP )()()(1此式即为二项分布的概率公式。此式即为二项分布的概率公式。例例5 5 在在 12000 12000 的整数中随机的取一个数，问取的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被到的整数既不能被 6 6 整除，又不能被整除，又不能被 8 8 整除的整除的概率是多少？概率是多少？解：设解：设 A 为事件为事件“取到的整数能被取到的整数能被 6 整除，整除，B B

29、为为“取到的整数能被取到的整数能被 8 8 整除，整除，,33462000333 由由于于).()()()(),()()(ABPBPAPBAPBAPBAPBAP 其其中中1为：为：6 6，1212，181998 181998 共共 333 333 个，个，所以能被所以能被 6 6 整除的整数整除的整数那么所求的概率为：那么所求的概率为：,)(2000333 APAB 为为“既被既被 6 整除又被整除又被 8 整除或整除或“能被能被 24 整除整除.)(,)(:2000832000250 ABPBP同同理理得得.)()()(432000500120008325033311 ABPBPAPp于是所

30、求的概率为：于是所求的概率为：其中其中 B =8, 16, 2000 , AB = 24, 48 1992 ，例例 6 魔法学院假设将魔法学院假设将 15 名新生随机地平均分配到葛名新生随机地平均分配到葛来芬多、斯莱特林、拉文克劳来芬多、斯莱特林、拉文克劳3 个学院中去，这个学院中去，这 15 名新生中有名新生中有 3 人是哈利波特、榮恩与妙麗人是哈利波特、榮恩与妙麗 。问：。问：(1)他们他们3 人被分配到人被分配到3 个不同的学院的概率是多少？个不同的学院的概率是多少？(2)他们他们3 人被分配到同一个学院的概率是多少？人被分配到同一个学院的概率是多少？解：解：15名新生平均分配到名新生平

31、均分配到 3 个学院中去的分法总数为：个学院中去的分法总数为：55510515CCC ,! 512345! 5678910! 51112131415 !5!5!5!15 (1) 将哈利波特、榮恩与妙麗分配到将哈利波特、榮恩与妙麗分配到 3 个学院，个学院，使每个学院都有一人的分法共有使每个学院都有一人的分法共有 3! 种。种。种种，) !(/ !44412他们他们3 人被分配到人被分配到3 个不同的学院的分法总数为：个不同的学院的分法总数为：)! 4! 4! 4/(!12! 3于是所求的概率为：于是所求的概率为：.!/!27470912555515444123555154441231 p其他其

32、他 12 名新生平均分配到名新生平均分配到 3 个学院中的分法共有个学院中的分法共有三人分配在同三人分配在同一学院内一学院内.0659. 0916!15! 2! 5!123! 5! 5! 5!15/! 5! 5! 2!1232 p其他其他12名新生，一个学院分名新生，一个学院分2名，名，另外两学院各分另外两学院各分5名名(2)哈利波特、榮恩与妙麗分配到同一个学院的哈利波特、榮恩与妙麗分配到同一个学院的概率为：概率为：例例 7 某接待站在某一周曾接待过某接待站在某一周曾接待过 12 次来访，知一切次来访，知一切这这 12 次接待都是在周二和周四进展的。问能否可以次接待都是在周二和周四进展的。问能

33、否可以推断接待时间是有规定的？推断接待时间是有规定的？解：假设接待站的接待时间没有规定，各来访者在解：假设接待站的接待时间没有规定，各来访者在一周的任一天中去接待站是等能够的，那么，一周的任一天中去接待站是等能够的，那么，12 次接待来访者都在周二、周四的概率为次接待来访者都在周二、周四的概率为: 212/712=0.0000003，即千万分之三。，即千万分之三。人们在长期的实际中总结得到人们在长期的实际中总结得到“概率很小的事件在一次实验概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的称之为实践推断原理。中几乎是不发生的称之为实践推断原理。如今概率很小的事件在一次实验中竟然发生了，从而推断如今概率很

34、小的事件在一次实验中竟然发生了，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即以为其接待时间是有规接待站不是每天都接待来访者，即以为其接待时间是有规定的。定的。 几何概型思索的是有无穷多个、等能够结果的随机实验。几何概型思索的是有无穷多个、等能够结果的随机实验。四、几何概型四、几何概型首先看下面的例子首先看下面的例子:会面问题会面问题 例例1 甲、乙两人相约在甲、乙两人相约在 0 到到 T 这段时间内这段时间内, 在预定在预定地点会面地点会面. 先到的人等候另一个人先到的人等候另一个人, 经过时间经过时间 t ( tT ) 后离去后离去. 设每人在设每人在0 到到T 这段时间内各时辰到这段时间内各时辰

35、到 达该地是等能够的达该地是等能够的 , 且两人到达的时辰互不牵连且两人到达的时辰互不牵连. 求甲、乙两人能会面的概率求甲、乙两人能会面的概率. 解解 的的时时分分别别为为甲甲、乙乙两两人人到到达达设设yx,刻刻, 那么那么 .0,0TyTx 两人会两人会 面的充要条件面的充要条件 . tyx 假设以假设以 x, y 表示平面上点的坐标表示平面上点的坐标 , 那么那么 xoytxy tyx t T T故所求的概率为故所求的概率为 p 正正方方形形面面积积阴阴影影部部分分面面积积 222)(TtTT .)1(12Tt 普通，设某个区域 D (线段，平面区域，空间区域，具有测 度 mD(长度，面积

36、，体积)。假设随机实验 E 相当于向区域内恣意地取点，且取到每一点都是等能够的，那么称此类实验为 几何概型。 假设实验 E 是向区域内恣意取点，事件 A 对应于点落在 D 内的某区域 A，那么.)(DAmmAP C1.3 条件概率条件概率 独立性独立性B一、条件概率一、条件概率B二、乘法定理二、乘法定理B三、全概率公式和贝叶斯公式三、全概率公式和贝叶斯公式 B四、独立性四、独立性一、条件概率一、条件概率 . , 为反面为反面为正面为正面设设TH例例1 将一枚硬币抛掷两次将一枚硬币抛掷两次, 察看其出现正反面的情况察看其出现正反面的情况. ,”“HA至至少少有有一一次次为为为为设设事事件件两两为

37、为设设事事件件“B次掷出同一面次掷出同一面. .发发生生的的概概率率发发生生的的条条件件下下现现求求已已知知事事件件BA分析分析 . , , , TTTHHTHHS ，2142)( BP,TTHHBTHHTHHA ,43)( AP)(ABP,41 将事件将事件A 曾经发生的条件下事件曾经发生的条件下事件B 发生的概率发生的概率记为记为 , )(ABP31)( ABP. )(BP )()(APABP )()()(BPABPBAP 同理可得同理可得 为事件为事件 B 发生的条件下事件发生的条件下事件 A 发生的条件概率发生的条件概率. 定义定义 ,是是两两个个事事件件设设BA,0)( AP且且称称

38、 )(ABP)()(APABP .发发生生的的条条件件概概率率发发生生条条件件下下事事件件为为在在事事件件BA,)B(0P当当条件概率的性质：条件概率的性质： 01 ABPB，有有非非负负性性：对对任任意意事事件件 ；规规范范性性：12 ASP 11213nnnnnABPABPBBB则则两两互互不不相相容容，两两，事事件件可可列列可可加加性性：如如果果随随机机例例2 一个盒子装有一个盒子装有4只产品只产品, 其中有其中有3只一等品只一等品, 二等品二等品. 从中取产品两次从中取产品两次, 每次任取一只每次任取一只, 作不放作不放回抽样回抽样. ,”“第第一一次次取取到到的的是是一一等等品品为为

39、设设事事件件 A,”“第第二二次次取取到到的的是是一一等等品品为为事事件件B试求条件概试求条件概 . )(ABP率率解解 此为古典概型问题此为古典概型问题. 先将产品编号先将产品编号, 1,2,3号为号为一等品一等品; 4号为二等品号为二等品. ,),(表表示示第第一一次次以以ji,号号分分别别取取到到第第 i第二次第二次 .号产品号产品第第j1 1只只的的样样本本空空间间为为：试试验验ES ),2 , 1(),3 , 1(),4 , 1(),1 , 2(),3 , 2(),4 , 2(,),1 , 4(),2 , 4(,)3 , 4(A ),2 , 1(),3 , 1(),4 , 1(),1

40、 , 2(),3 , 2(),4 , 2(),1 , 3(),2 , 3(,)4 , 3(AB ),2 , 1(),3 , 1(),1 , 2(),3 , 2(),1 , 3(.)2 , 3(由定义由定义, 得条件概率得条件概率 )(ABP)()(APABP 129126 .32 . )(ABP接接含含义义求求也也可可按按照照条条件件概概率率的的直直.A就就是是,9个个元元素素中中有有A),1 , 2(),3 , 1(),2 , 1(其其中中只只有有,)2 , 3(),1 , 3(),3 , 2(B属属于于故可得故可得 )(ABP96 .32 ,发发生生以以后后当当事事件件A所所有有可可能能的

41、的结结果果的的集集合合试试验验E二、乘法定理二、乘法定理 乘法定理乘法定理 ,0)( AP设设那么有那么有)(ABP ).()(APABP推行推行 ,为为事事件件设设CBA,0)( ABP且且那么有那么有 )(ABCP )(ABCP)(ABP. )(AP普通普通, ,21个个事事件件为为设设nAAAn,2 n且且 ,0)(121 nAAAP那么有那么有 )(21nAAAP )(121 nnAAAAP)(2211 nnAAAAP)(12AAP).(1AP例例3 ,只只红红球球设设袋袋中中装装有有 r.只只白白球球t每次自袋中任每次自袋中任取一只球取一只球, 察看其颜色然后放回察看其颜色然后放回,

42、 只只与与所所并并再再放放入入a取出的那只球同色的球取出的那只球同色的球. 假设在袋中延续取球四假设在袋中延续取球四次次, 试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率. 解解 ,“)4 , 3 , 2 , 1(次次取取到到红红球球第第表表示示事事件件以以iiAi .,43四次取到白球四次取到白球分别表示第三分别表示第三则则AA所求概率为所求概率为 )(4321AAAAP )(3214AAAAP)(213AAAP)(12AAP)(1AP atrat3 atrt2 atrar .trr 波波利利亚亚传传染染病病数数学学模模型型例例3 袋中有一个

43、白球与一个黑球，现每次从中取出袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，假设取出白球，那么除把白球放回外再加一球，假设取出白球，那么除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止求取了进一个白球，直至取出黑球为止求取了n次都未次都未取出黑球的概率取出黑球的概率 次次都都未未取取出出黑黑球球取取了了设设nB niiAi，次次取取出出白白球球第第21 那么那么nAAAB21 由乘法公式，我们有由乘法公式，我们有解：解： nAAAPBP21 121213121 nnAAAAPAAAPAAPAP1433221 nn11 n例例 4 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时突设某光学仪器厂制造的透镜，

44、第一次落下时突破的概率为破的概率为 1/2 ，假设第一次落下未突破，第二次落，假设第一次落下未突破，第二次落下突破的概率为下突破的概率为 7/10 ,假设前两次落下未突破，第三假设前两次落下未突破，第三次落下突破的概率为次落下突破的概率为 9/10 。求透镜落下三次而未突。求透镜落下三次而未突破的概率。破的概率。 )()|()|()()(112213321APAAPAAAPAAAPBP 解：以解：以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件表示事件“透镜第透镜第 i 次落下突破，次落下突破， 以以 B 表示事件表示事件“透镜落下三次而未突破，有：透镜落下三次而未突破，有：.)()(2003211

45、10711091 1. 样本空间的划分样本空间的划分 1B2B3B1 nBnB三、全概率公式与贝叶斯公式三、全概率公式与贝叶斯公式 定义定义 ,的的样样本本空空间间为为试试验验设设ES为为nBBB,21,的的一一组组事事件件E假设假设 ;, 2 , 1,) i (njijiBBji ,)ii(21SBBBn .,21的的一一个个划划分分为为样样本本空空间间则则称称SBBBn定理定理 ,SE的的样样本本空空间间为为设设试试验验,的的事事件件为为EA,21的的一一个个划划分分为为SBBBn, 2 , 1(0)( iBPi且且),n那么那么 )(AP )()(11BPBAP)()(22BPBAP )

46、()(nnBPBAP 称为全概率公式称为全概率公式. 2.全概率公式全概率公式 ,), 2 , 1(0)(niBPi 由由假假设设,)( jiABAB且且,ji , 2 , 1,nji 得到得到 )(AP )(1ABP)(2ABP )(nABP )()(11BPBAP)()(22BPBAP ).()(nnBPBAP 证证 由于由于 A AS )(21nBBBA ,21nABABAB阐明阐明 全概率公式的主要用途在于它可以将一个全概率公式的主要用途在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题复杂事件的概率计算问题,分解为假设干个简单事分解为假设干个简单事件的概率计算问题件的概率计算问题,最后运用概率的

47、可加性求出最最后运用概率的可加性求出最终结果终结果. 图示图示 A1B2B3B1 nBnB化整为零各个击破化整为零各个击破 例例5 有一批同一型号的产品，有一批同一型号的产品，知其中由一厂生知其中由一厂生产的占产的占 30%， 二厂消费的占二厂消费的占 50%，三厂消费的占三厂消费的占 20%， 又知这三个厂的产品次品率分别为又知这三个厂的产品次品率分别为2%, 1%, 1%, 问从这批产品中任取一件是次品的概率是多问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少少? 解解 设事件设事件 A 为为“任取一件为次品任取一件为次品,. 3, 2, 1,”“ iiBi厂厂的的产产品品任任取取一一件件为为为为

48、事事件件321BBB,S jiBB . 3 , 2 , 1, ji,S30%20%50%2%1%1%由全概率公式得由全概率公式得 . )()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAP )(AP ,3 . 0)(1 BP,5 . 0)(2 BP,2 . 0)(3 BP,02. 0)(1 BAP,01. 0)(2 BAP,01. 0)(3 BAP)()()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP 故故2 . 001. 05 . 001. 03 . 002. 0 .013. 0定理定理 .SE的的样样本本空空间间为为设设试试验验,的的事事件件为为EA,21的

49、的一一个个划划分分为为SBBBn,0)( AP且且0)( iBP,), 2 , 1(ni 那那么么 )(ABPi ,)()()()(1 njjjiiBPBAPBPBAP., 2 , 1ni 此式称为贝叶斯公式此式称为贝叶斯公式. 3. 贝叶斯公式贝叶斯公式 )(ABPi )()(APABPi ,)()()()(1 njjjiiBPBAPBPBAP., 2 , 1ni ,2 n若若在在公公式式中中取取,1BB 记记为为并并将将,2BB 就就是是则则那么那么, 全概率公式和贝叶斯公式变为全概率公式和贝叶斯公式变为 )(AP )()(BPBAP, )()(BPBAP )(ABP )()(APABP

50、.)()()()()()(BPBAPBPBAPBPBAP 证证 由条件概率的定义及全概率公式得由条件概率的定义及全概率公式得 例例6 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件 制造厂提供的制造厂提供的. 根据以往的记录有以下的数据根据以往的记录有以下的数据 元件制造厂元件制造厂次品率次品率提供元件的份额提供元件的份额1230.020.010.030.150.800.05设这三家工厂的产品在仓库是均匀混合的设这三家工厂的产品在仓库是均匀混合的, 且无区且无区 别的标志别的标志. (1) 在仓库中随机地取一只元件在仓库中随机地取一只元件, 求它是求它是 次品的概

51、率次品的概率; (2) 在仓库中随机地取一只元件在仓库中随机地取一只元件, 假设已假设已 知取到的是次品知取到的是次品, 为分析此次品出自何厂为分析此次品出自何厂, 需求出需求出 此次品由三家工厂消费的概率分别是多少此次品由三家工厂消费的概率分别是多少. 试求这试求这 些概率些概率. 解解 ,“取取到到的的是是一一只只次次品品”表表示示设设 A)3 , 2 , 1( iBi.家家工工厂厂提提供供的的”“所所取取到到的的产产品品是是由由第第表表示示i,321的的一一个个划划分分是是样样本本空空间间 SBBB而且有而且有 易知易知, ,15. 0)(1 BP,80. 0)(2 BP,05. 0)(

52、3 BP,02. 0)(1 BAP,01. 0)(2 BAP.03. 0)(3 BAP(1) 由全概率公式由全概率公式 )(AP)()(11BPBAP )()(22BPBAP )()(33BPBAP .0125. 0(2) 由贝叶斯公式由贝叶斯公式 )(1ABP)()()(11APBPBAP 0125. 015. 002. 0 .24. 0)(2ABP,64. 0 )(3ABP.12. 0 以上结果阐明以上结果阐明, 这只次品来自第这只次品来自第2家工厂的能够性家工厂的能够性 最大最大. 例例7 对以往数据分析结果阐明对以往数据分析结果阐明, 当机器调整良好时当机器调整良好时, 产品的合格率为

53、产品的合格率为98%, 而当机器发生某种缺点时而当机器发生某种缺点时, 其合格率为其合格率为55%. 每天早上机器开动时每天早上机器开动时, 机器调整机器调整良好的概率为良好的概率为95%. 试求知某日早上第一件产品试求知某日早上第一件产品是合格品时是合格品时, 机器调整良好的概率是多少机器调整良好的概率是多少? 解解 ,“产品合格”“产品合格”为事件为事件设设 A“机机器器调调为为事事件件B整良好整良好. ,98. 0)( BAP,55. 0)( BAP知知 ,95. 0)( BP,05. 0)( BP. )(ABP所求的概率为所求的概率为 由贝叶斯公式由贝叶斯公式 )(ABP)()()()

54、()()(BPBAPBPBAPBPBAP 05. 055. 095. 098. 095. 098. 0 .97. 0这就是说这就是说, 当消费出的第一件产品是合格品时当消费出的第一件产品是合格品时, 此此 时机器调整良好的概率为时机器调整良好的概率为0.97. 上题中概率上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的是由以往的数据分析得到的, 叫做先验概率叫做先验概率. 而在得到信息之后再重新加以修正的概率而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97叫做后验概率叫做后验概率. 先验概率与后验概率先验概率与后验概率 例例8 根据以往的临床记录根据以往的临床记录, 某种诊断癌症的实验具某种诊断癌

55、症的实验具有如下效果有如下效果: ,”“试试验验反反应应为为阳阳性性表表示示若若以以A,”“被被诊诊断断者者患患有有癌癌症症表表示示事事件件C)(CAP则有则有,95. 0 .95. 0)( CAP如今对自然人群进展普查如今对自然人群进展普查, 设被实验的人患有癌症的概率为设被实验的人患有癌症的概率为0.005, )(CP也就是也就是,005. 0 . )(ACP试求试求解解 ,95. 0)( CAP已已知知)(CAP )(1CAP ,05. 0,005. 0)( CP,995. 0)( CP 由贝叶斯公式由贝叶斯公式 以以)(ACP )()()()()()(CPCAPCPCAPCPCAP .

56、087. 0此题结果阐明此题结果阐明, ,95. 0)( CAP虽虽然然,95. 0)( CAP这两个概率都比较高这两个概率都比较高. 但假设将此实验用于普查但假设将此实验用于普查, 那么有那么有 ,087. 0)( ACP亦即正确性只需亦即正确性只需8.7%. 假设不留意假设不留意 这一点这一点, 将会得出错误的诊断将会得出错误的诊断. 四、事件的相互独立性四、事件的相互独立性 那么有那么有, )()(BPABP .发发生生的的可可能能性性大大小小的的发发生生并并不不影影响响它它表表示示BA)()(BPABP )()()(BPAPABP 1. 引例引例 袋中有袋中有 a 只黑球，只黑球，b

57、只白球每次从中取出一球，只白球每次从中取出一球，取后放回令：取后放回令：A= 第一次取出白球第一次取出白球 ，B= 第二次第二次取出白球取出白球 ， ,babAP ,222baabBAPbabABP 由由BAABB BAPABPBP 得：得： babbaabbab 222 APABPABP bab 取后放回取后放回这阐明，事件这阐明，事件 A 能否发生对事件能否发生对事件 B 能否发生在能否发生在概率上是没有影响的，即事件概率上是没有影响的，即事件 A 与与 B 呈现出某呈现出某种独立性现实上，由于是有放回摸球，因此在种独立性现实上，由于是有放回摸球，因此在第二次取球时，袋中球的总数未变，并且

58、袋中的第二次取球时，袋中球的总数未变，并且袋中的黑球与白球的比例也未变，这样，在第二次摸出黑球与白球的比例也未变，这样，在第二次摸出白球的概率自然也未改动白球的概率自然也未改动 BPABP 袋中有袋中有 a 只黑球，只黑球，b 只白球每次从中取出一球，只白球每次从中取出一球，取后不放回令：取后不放回令：A= 第一次取出白球第一次取出白球 ， B= 第二次取出白球第二次取出白球 ，那么，那么 babAP 111 babaabBAPbababbABP BAPABPBP 得：得： 111 babaabbababbbab APABPABP 而而，11 bab BPABP这阐明，事件这阐明，事件 A 与

59、事件与事件 B 不相互独立现实上，不相互独立现实上，由于是不放回摸球，因此在第二次取球时，袋中由于是不放回摸球，因此在第二次取球时，袋中球的总数变化了，并且袋中的黑球与白球的比例球的总数变化了，并且袋中的黑球与白球的比例也发生变化了，这样，在第二次摸出白球的概率也发生变化了，这样，在第二次摸出白球的概率自然也应发生变化或者说，第一次的摸球结果自然也应发生变化或者说，第一次的摸球结果对第二次摸球一定是有影响的对第二次摸球一定是有影响的由此，我们引出事件独立性的概念由此，我们引出事件独立性的概念 事件事件 A 与与 事件事件 B 相互独立相互独立, 阐明阐明 2.定义定义 ,是是两两事事件件设设B

60、A)(ABP,相相互互独独立立则则称称事事件件BA假设满足等式假设满足等式 )()(BPAP .,独独立立简简称称BA容易知道容易知道, ,0)( AP若若,0)( BP相相互互则则BA,.,互互不不相相容容不不能能同同时时成成立立独独立立与与BA与事件与事件 B 发生的概率无关发生的概率无关. 是指事件是指事件 A 的发生的发生事件独立性的性质：事件独立性的性质：1假设事件假设事件A 与与 B 相互独立，而且相互独立，而且 0AP BPABP 则则2必然事件必然事件S与恣意随机事件与恣意随机事件A相互独立；相互独立； 不能够事件不能够事件与恣意随机事件与恣意随机事件A相互独立相互独立3)假设