电磁场理论基础课件第二章

1、第二章第二章 静电场静电场静电场中的基本定律静电场中的标量电位存在电介质时的静电场电介质的分类静电场中的导体与电容静电场的边界条件泊松方程与拉普拉斯方程标量位的多极展开静电场的能量与力 静电场： 相对观察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场。 本章任务： 阐述静电荷与电场之间的关系，在已知电荷或电位的情况下求解 电场的各种计算方法，或者反之。 静电场是本课程的基础。由此建立的物理概念、分析方法在一 定条件下可类比推广到恒定电场,恒定磁场及时变场。2.1.1 库仑定律21202121R4qqeFN( 牛顿)1221FF适用条件 两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力; 无限大真空情况 (式

2、中可推广到无限大各向同性均匀介质中1291085. 836100F/m)(022102112R4qqeFN( 牛顿)结论：电场力符合矢量叠加原理图2.1.1 两点电荷间的作用力 库仑定律是静电现象的基本实验定律。大量试验表明: 真空中两个静止的点电荷 与 之间的相互作用力:2q1q2.1 静电场中的基本定律 当真空中引入第三个点电荷 时，试问 与 相互间的作用力改变吗? 为什么？3q1q2qq32.1.2 电场强度定义： t0qq)z,y,x()z,y,x(limtFEV/m (N/C) 电场强度（Electric Field Intensity ) E 表示单位正电荷在电场中所受到的力(F

3、), 它是空间坐标的矢量函数, 定义式给出了E 的大小、方向与单位。a) 点电荷产生的电场强度r20tpr4qq)(eFrEV/m4qq)(20tprrrrrrFrE304)(qrrrrR20R4qeV/m图2.1.2 点电荷的电场 b) n个点电荷产生的电场强度 (注意:矢量叠加)c) 连续分布电荷产生的电场强度)(dq41)(30rrrrrrdEkNkkkkkNkkkRqqerrrrrrrE1201204141)(V/m体电荷分布dV)(dqrdq41)(V30rrrrrER v20Rdv)(41er面电荷分布R s20Rds)(41)(errE) (dsdqr线电荷分布Rl20Rdl)(

4、41)(errE) (dldqr图2.1.3 体电荷的电场解: 采用直角坐标系, 令y轴经过场点p,导线与x轴重合。)yx(4dx)y,x(dE22odEyxxdE22xdEyxydE22y)yL1yL1(4dxyxx)yx(4E221222o22LL22o21x)yLLyLL(4dxyxy)yx(4E22112222o22LL22o21y,时当21LLLxxyypEE)y(eeE(直角坐标)y0y2ezzEEE)z ,(eeeE( 圆柱坐标)e02图2.1.4 带电长直导线的电场例2.1.1 真空中有长为L的均匀带电直导线 , 电荷线密度为 ,试求P 点的电场. 无限长直均匀带电导线产生的电

5、场为平行平面场。 电场强度 的矢量积分一般先转化为标量积分, 然后再合成,即)z , y, x(EzzyyxxEEEeeeE 积分是对源点 进行的,计算结果是场点 的函数。) , , (zyx),(zyx 点电荷的数学模型 点电荷是电荷体分布的极限情况,可以把它看成是一个体积很小,电荷密度很大，总电量不变的带电小球体。 当 时，电荷密度趋近于无穷大，通常用冲击函数 表示点电荷的密度分布。0a)r()z,y,x(0r 当0r 当01dV)r(dV)z,y,x(VV)0rV(点包含积分区域图1.1.5 单位点电荷的密度分布点电荷的密度)(q)(rr 2.1.3 高斯定律的积分和微分形式 对上式等号

6、两端取散度； 利用矢量恒等式及矢量积分、微分的性质，得0) r()r(E真空中高斯定律的微分形式dV)(41)(V30rrrrrrE点电荷产生的电场其物理意义表示为0E0E0E1. . 静电场的散度高斯定律的微分形式 高斯定律说明了静电场是一个有源场，电荷就是场的散度（通量源），电力线从正电荷发出，终止于负电荷。2. . 高斯定律的积分形式式中 n 是闭合面包围的点电荷总数。 VV0dV1dVEn1ii0Sq1dSE散度定理图2.1.6 闭合曲面的电通量 E的通量仅与闭合面S 所包围的净电荷有关。图2.1.7 闭合面外的电荷对场的影响 S面上的E是由系统中全部电荷产生的。利用高斯定理，求真空中

7、无限长均匀直线电荷产生的电场强度 E00202LrLEdzrdEdSErLr rdzrddSorLE采用柱坐标系，由对称性可知：线电荷密度为rErrErErr02解：取如图所示高斯面。解：取如图所示高斯面。由高斯定律，有由高斯定律，有分析：电场方向垂直表面。在分析：电场方向垂直表面。在平行电荷面的面上大小相等。平行电荷面的面上大小相等。例题一例题一求电荷密度为求电荷密度为 的无限大面电荷在空间中产生的电场。的无限大面电荷在空间中产生的电场。SSnnzyxEE0QdS 02sE00(0)2(0)2szszezEez120( )( ) ()szzSE r e SE re S a解：解：1) 1)

8、取如图所示高斯面。取如图所示高斯面。在球外区域：在球外区域：r r a a0( )SQE rdS20( ) (4)rQE rre204rQEer分析：电场方向垂直于球面。分析：电场方向垂直于球面。 电场大小只与电场大小只与r r有关。有关。例题三例题三半径为半径为a a的球形带电体，电荷总量的球形带电体，电荷总量Q Q均匀分布在球体内。均匀分布在球体内。求求：（：（1 1） （2 2） （3 3）( )E r( )E r( )E r在球内区域：在球内区域：r r a arr0( )SQE rdS32043( ) (4)rrE rre304rQrEea334QQVa2 2）解为球坐标系下的表达形

9、式。）解为球坐标系下的表达形式。2030()()4()()4rrQerarEQreraa22300()1()()4raQrrrarra300034EQa3 3）0301( )404QrEQra点电荷304q)(rrrrrE304q)(rrrrrE矢量恒等式FFFCCC)(1)(1333rrrrrrrrrrrr直接微分得0)(rr0)(3)(133rrrrrrrrrr故0)r(E电场强度E 的旋度等于零 1. 静电场旋度2.2.1 静电场的保守性2.2 静电场中的标量电位 可以证明，上述结论适用于点电荷群和连续分布电荷产生的电场。表明 静电场是一个无旋场。即任一分布形式的静电荷产生的电场的旋度恒

10、等于零，即0E2 2. 静电场的环路定律 在静电场中,电场强度沿着闭合回路的环量恒等于零。 电场力作功与路径无关,静电场是保守场。无旋场一定是保守场，保守场一定是无旋场。sld)(d0sElE由斯托克斯定理，得 ld0lE0E 二者等价。2.2.2 标量电位的定义及其物理意义 E 在静电场中可通过求解电位函数(Potential)， 再利用上式可方便地求得电场强度E 。式中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。2) 已知电荷分布，求电位：304q)(rrrrrECq41)r(N1iii0rr点电荷群Cdq41)r( v0rr连续分布电荷1) ) 电位的引出以点电荷为例推导电位：31rrrr

11、rr)r(4q)(0rrrEC4q)r(0rr, 0E 根据矢量恒等式0dl,dS,dV:dq 3) E与 的微分关系E 在静电场中，任意一点的电场强度E的方向总是沿着电位减少的最快方向，其大小等于电位的最大变化率。在直角坐标系中：zyxzyxeeeE00E？ ( )0E 0？ ( )4) E与 的积分关系llEdd00pp0ppd)p()p(dlEddzzdyydxx设P0为参考点参考点pdplE)( 根据 E 与 的微分关系，试问静电场中的某一点图2.2.1 E与 的积分关系5) ) 电位参考点的选择原则 场中任意两点的电位差与参考点无关。 同一个物理问题，只能选取一个参考点。 选择参考点

12、尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。例如：点电荷产生的电场：Cr4q000rC0rr4q00C表达式无意义0RrR4qr4q00R4qC0 电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点； 电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。6) 电力线与等位线（面） E 线：曲线上每一点切线方向应与该点电场强度E E的方向一致，若 是电力线的长度元，E E 矢量将与 方向一致，l dl d0dlE故电力线微分方程dzEdyEdxEzyx在直角坐标系中：微分方程的解即为电力线 E E 的方程。当取不同的 C 值时，可得到不同的等位线（面）。 在静电场中电位相等的点的曲面称为等位面，即C)z ,y,x(

13、等位线(面)方程:在球坐标系中：21120210prrrr4q)r1r1(4q20r20pr4r4cosqdep )sincos2(430eeErprqdErdEdrr电力线微分方程（球坐标系）：2122221221)cosrd4dr(r)cosrd4dr(r，代入上式，得sinDr 解得线方程为将 和代入上式，ErE等位线方程（球坐标系）：cosCr ，Crp204coscos2drr2用二项式展开，又有，得dr cos2drr1 表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。p例2.2.1 画出电偶极子的等位线和电力线 。)(dr 图1.2.2 电偶极子r1r2电力线与等位线（面）的性质： E线不

14、能相交; E线起始于正电荷，终止于负电荷; E线愈密处，场强愈大; E线与等位线（面）正交；图2.2.3 电偶极子的等位线和电力线图2.2.4 点电荷与接地导体的电场图2.2.5 点电荷与不接地导体的电场图2.2.8 点电荷位于一块介质上方的电场图2.2.9 点电荷位于一块导体平面上方的电场图2.2.6 均匀场中放进了介质球的电场图2.2.7 均匀场中放进了导体球的电场2.3.1 介质的极化 电介质在外电场E作用下发生极化，形成有向排列的电偶极矩； 电介质内部和表面产生极化电荷； 极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。式中 为体积元 内电偶极矩的矢量和，P的方向从负极化电荷指向正极化电荷。pV用

15、极化强度P P表示电介质的极化程度，即V0VpPlimC/m2电偶极矩体密度2.3. 存在电介质时的静电场无极性分子有极性分子图1.2.14 电介质的极化 实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中EP0e均匀：媒质参数不随空间坐标（x,y,z）而变化。各向同性：媒质的特性不随电场的方向而改变,反之称为各向异性；线性：媒质的参数不随电场的值而变化； 一个电偶极子产生的电位：202r0R4cosqdR41ep 极化强度 P 是电偶极矩体密度，根据叠加原理，体积V内电偶极子产生的电位为：dV)()(41V30rrrrrPzqdep 式中图2.3.2 电偶极子产生的电位 电介质的极化率,无量纲量。e

16、dVR)(41V2R0erPR1R1R2RedVR1)(41V0rPdVR)(41dVR)(41V0V0rPrP矢量恒等式：uu)u(FFF 图2.3.3 体积V内电偶极矩产生的电位dSR)(41dVR)(41 Sn0V0erPrP散度定理 令PpnpeP 极化电荷体密度极化电荷面密度) () ()(dSR41dVR41rSp0Vp0rr) () ()(dSR41dVR41rSp0Vp0rr 在均匀极化的电介质内，极化电荷体密度 。0p) )() )()(VS3pf3pf0dSdV41rrrrrrrrrE 根据电荷守恒原理，这两部分极化电荷的总和0dSdVVSnePP)()()(VSpfpf0

17、dSdV41rrrrr 有电介质存在的场域中，任一点的电位及电场强度表示为 这就是电介质极化后，由面极化电荷 和体极化电荷 共同作用在真空 中产生的电位。0pp2.3.2 电位移矢量 a）高斯定律的微分形式0fE0pfE（真空中）（电介质中）定义电位移矢量（ Displacement）PED0则有f D电介质中高斯定律的微分形式代入 ,得Pp)(1fPE0f0)(PE其中相对介电常数；介电常数，单位（F/m）er1 EEEEEPED0re00e001)( 在各向同性介质中 D线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷。图示平行板电容器中放入一块介质后，其D 线、E 线和P 线的分布。 D 线由正

18、的自由电荷发出，终止于负的自由电荷； P 线由负的极化电荷发出，终止于正的极化电荷。 E 线的起点与终点既可以在自由电荷上，又可以在极化电荷上；电场强度在电介质内部是增加了，还是减少了？ED线E线P线图2.3.4 D、E与 P 三者之间的关系思考：1S1dSD( )2S2dSD( )2321r4qDDD( )qq D 的通量与介质无关，但不能认为D 的分布与介质无关。 D 通量只取决于高斯面内的自由电荷，而高斯面上的 D 是由高斯面内、外的系统所有电荷共同产生的。B） 高斯定律的积分形式f DdVdVVfVDfSqdSD散度定理图2. .3. .5 点电荷的电场中置入任意一块介质图2.3.6

19、点电荷q分别置于金属球壳的内外4. 高斯定律的应用计算技巧： a）分析给定场分布的对称性，判断能否用高斯定律求解。b）选择适当的闭合面作为高斯面，使 容易积分。SDd 高斯定律适用于任何情况，但只有具有一定对称性的场才能得到解析解。图2.3.9 球壳内的电场qr4Dd2SSDr0eDE20r4qr2r4qeD图2.3.8 球壳外的电场qr4Dd2SSDr2r4qeDr200r4qeDE)Rr(试分析图2.3.8与2.3.9的电场能否直接用高斯定律来求解场的分布？图2.3.8 点电荷q置于金属球壳内任意位置的电场图2.3.9 点电荷q分别置于金属球壳内的中心处与球壳外的电场2.4.1 线性和非线

20、性电介质 依据极化强度矢量和外加电场的关系，可将介质分为线性和非线性介质。线性介质：极化强度矢量仅和外加电场的一次项有关；非线性介质：极化强度矢量不仅和外加电场的一次项有关，还和高次项有关。2.4. 电介质的分类2.4.2 各向同性和各向异性电介质 依据介质的电性质和方向的关系，可将介质分为：各向同性：介质的电性质和方向无关；各向异性：介质的电性质和方向有关。2.4.3 均匀和非均匀电介质 依据介质的电性质和空间位置的关系，可将介质分为：均匀介质：介质的电性质和空间位置无关；非均匀介质：介质的电性质和空间位置有关；电场强度垂直于导体表面；导体是等位体，导体表面为等位面；导体内电场强度E为零，静

21、电平衡；电荷分布在导体表面，且。0E任何导体，只要它们带电量不变，则其电位是不变的。 （ ）一导体的电位为零，则该导体不带电。 （ ）接地导体都不带电。（ ）2.5.1 静电场中的导体图2.5.1 静电场中的导体2.5 静电场中的导体与电容 电容只与两导体的几何形状、尺寸、相互位置及导体周围的介质有关。电容的计算思路： UQCdUQlEE设工程上的实际电容：电力电容器，电子线路用的各种小电容器。电容UQC pf,f(F法拉），定义： 单位： 例2.5.1 试求球形电容器的电容。解：设内导体的电荷为 ,则q,qdSSDr20r2r4q,r4qeEeDabab4q)b1a1(4qEdrU00ba同

22、心导体间的电压abab4UqC0球形电容器的电容aC04当b时（孤立导体球的电容）图2.5.1 球形电容器1. 已知导体的电荷，求电位和电位系数中的其余带电体，与外界无任何联系，即1n1KK.0q 静电独立系统D线从这个系统中的带电体发出，并终止于该系统 线性、多导体(三个以上导体)组成的系统； 部分电容概念21211110 qq以接地导体为电位参考点,导体的电位与各导体上的电荷的关系为22212120qq2211002022110010 qbqbqbqaqaqa)( 210qqq图1.8.2 三导体静电独立系统2.5.2 导体系与部分电容 以此类推（n+1)个多导体系统只有n个电位线性独立方

23、程，即nnnknk22n11nnnknkkk22k11kknn1kk12121111qqqqqqqqqqqq)qqqq(qnk210 q电位系数，表明各导体电荷对各导体电位的贡献；ii, 自有电位系数，表明导体i上电荷对导体i电位的贡献；j , i互有电位系数，表明导体j上的电荷对导体i电位的贡献 ；写成矩阵形式为（非独立方程）注： 的值可以通过给定各导体电荷 ,计算各导体的电位 而得。q2. 已知带电导体的电位，求电荷和感应系数 1q 1nnnknk22n11nnnknkkk22k11kknn1kk12121111qqq静电感应系数，表示导体电位对导体电荷的贡献；ii,自有感应系数，表示导体

24、 电位对导体 电荷的贡献；iiji,互有感应系数，表示导体j电位对导体i电荷的贡献。 通常， 的值可以通过给定各导体的电位 ，测量各导体的电荷 而得。q 3. 已知带电导体间的电压，求电荷和部分电容)()(q2k2k1k1kk)(nkknknkn0k0k2k2k1k1kUCUCUCUC UCq （矩阵形式）式中：C部分电容，它表明各导体间电压对各导体电荷的贡献；knkn2k2k1k1kC,C,C（互有部分电容）；)(Cknkk2k1k0k（自有部分电容）。kknkk2k1k)(部分电容性质: 所有部分电容都是正值，且仅与导体的形状、尺寸、相互位置及介质的 值有关； 互有部分电容i , jj ,

25、 iCC ，即为对称阵； C (n+1) 个导体静电独立系统中，共应有 个部分电容；2)1n(n 部分电容是否为零,取决于两导体之间有否电力线相连。 例2.5.2 试计算考虑大地影响时，二线传输线的各部分电容及二线输电线的等效电容。已知 如图示：haad ,2201221221121101)()(CCCC32) 12(22) 1(nn21122010,CCCC解: 部分电容个数, 如图 (b)。由对称性得线电荷与电位的关系为图2.5.5 两线输电线及其电容网络静电网络与等效电容 令,0, 121则利用镜像法，输电线两导体的电位ddhah2202014ln212ln21ddh4ln21Chd2d

26、h4aln21C0dh4ahd2ln21Cah2ln21C1220202202122012010为)ad ,rrln2(120)3(）得）代入式（将式（2322012122112110C)(C0)(CC1)2(图2.5.6 两线输电线对大地的镜像联立解之得addh4h2ln2CC2202010二线间的等效电容：)dh4ddh2ln(2CCCCCC2202010201012e22222202112)ddh4(ln)ah2(lnddh4ln2CC图2.5.7 两线输电线及其电容网络202021212121210101UCUCqUCUCq令00101Uq01212UC012 C0号导体接地，得202

27、0210101UCqUCq这说明了1q只与10U有关，2q只与20U有关，即1号导体与2号导体之间无静电联系，达到了静电屏蔽的要求。静电屏蔽在工程上有广泛应用。图2.5.8 静电屏蔽4.静电屏蔽 应用部分电容还可以说明静电屏蔽问题。静电场的基本方程 静电场是一个无旋、有源场，静止电荷就是静电场的源。这两个重要特性用简洁的数学形式为：0 Ef D)(E)(ED0dllEqdSSD解：根据静电场的旋度恒等于零的性质,zyxzyxAAAzyxeeeAzxyyzxxyzyAxAxAzAzAyAeee)()()(0 例2.6.1 已知 试判断它能否表示个静电场？ ，zyxz5y4x3eeeA对应静电场的

28、基本方程 ，矢量 A 可以表示一个静电场。0E 能否根据矢量场的散度来判断该矢量场是否是静电场?2.6 静电场的边界条件 以分界面上点P作为观察点，作一小扁圆柱高斯面（ ）。 0L n1n2DD2.6.2、电场强度E的衔接条件 以点P 作为观察点，作一小矩形回路（ ）。 0L 0lElE1t21t1t 1t2EE2.6.1、 电位移矢量D的衔接条件分界面两侧 E 的切向分量连续。 分界面两侧的 D 的法向分量不连续。当 时，D 的法向分量连续。0图2.6.2 在电介质分界面上应用环路定律SSDSDn2n1则有qdSD 根据 0dllE根据 则有 图2.6.1 在电介质分界面上应用高斯定律 表明

29、：（1）导体表面是一等位面，电力线与导体表面垂直，电场仅有法向分量；（2）导体表面上任一点的D 就等于该点的自由电荷密度 。 当分界面为导体与电介质的交界面时，分界面上的衔接条件为： 0EDt2n2t2t 1n1n2EEDD图2.6.3a 导体与电介质分界面在交界面上不存在 时，E、D满足折射定律。222111n2n1cosEcosEDD2211t2t 1sinEsinEEE2121tantan折射定律图2.6.3b 分界面上E线的折射0)2dE2dE(limdlimn2n10d212121lE21因此表明: 在介质分界面上，电位是连续的。2.6.3、用电位函数 表示分界面上的衔接条件 设点1

30、与点2分别位于分界面的两侧，其间距为d， ,则0d nED,nED22n22n211n11n1nn2211表明: 一般情况下 ,电位的导数是不连续的。)0(图2.6.4 电位的衔接条件解：忽略边缘效应xeE1221021ddUxeE1221012ddUx1121e EExe22110SSq2211EE02211UdEdE图（a）02211qSS2211图（b） 例2.6.1 如图(a)与图(b)所示平行板电容器,已知 和 ,图(a)已知极板间电压U0 , 图(b)已知极板上总电荷 ,试分别求其中的电场强度。12121,S,S,d,d20q（a）（b）图2.6.5 平行板电容器 2.7.1泊松方

31、程与拉普拉斯方程的导出f2泊松方程E0EED常数f时当 0f02拉普拉斯方程22222222zyx拉普拉斯算子推导微分方程的基本出发点是静电场的基本方程： 泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性的均匀媒质。EEEfD2.7 泊松方程与拉普拉斯方程已知场域边界上各点电位值边值问题框图自然自然边界条件边界条件参考点电位 有限值rrlim边值问题微分方程边界条件场域场域边界条件边界条件分界面分界面衔接条件衔接条件第一类第一类边界条件边界条件第二类第二类边界条件边界条件第三类第三类边界条件边界条件已知场域边界上各点电位的法向导数一、二类边界条件的线性组合，即022nn221121)(sf1S)(

32、sfn2S)()(sfn3S边值问题研究方法计算法实验法作图法解析法数值法实测法模拟法定性定量积分法积分法分离变量法分离变量法镜像法、电轴法镜像法、电轴法微分方程法微分方程法保角变换法保角变换法有限差分法有限差分法有限元法有限元法边界元法边界元法矩量法矩量法模拟电荷法模拟电荷法数学模拟法数学模拟法物理模拟法物理模拟法图1.4.3 边值问题研究方法框图 例2.7.1 图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为2b的正方形，铅皮半径为a，内外导体之间电介质的介电常数为 ，并且在两导体之间接有电源 U0，试写出该电缆中静电场的边值问题。 解：根据场分布对称性，确定场域。0yx22222（阴影区域

33、）场的边值问题0bx0byby0bxU),(及00y0 xayx222),(0 xayb0 x),(0yaxb0y),(图2.7.1 缆心为正方形的同轴电缆横截面012212drdrdrdr1)()0 (ar0drdrdrdr122222)()(ra边界条件积分之，得通解43221021CrC)r(Cr1C6r)r( 例2.7.2 设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。解: 采用球坐标系,分区域建立方程ar2ar1ar20ar10rr有限值0r1参考点电位0r2图2.7.2 体电荷分布的球形域电场 解得 032023413aC

34、2aC0C0C,电场强度（球坐标梯度公式）：ar03rrr0r111eerE)(rar3arr202r22eerE)(2 对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；再由 得到电场强度E的分布。E电位：rar3arar0ra36r0322201)()()(2. 唯一性定理的重要意义 可判断静电场问题的解的正确性：例2.7.3 图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？003002201UxdUCUxdUBxdUA、答案：（ C ） 唯一性定理为静电场问题的多种解法唯一性定理为静电场问题的多种解法( (试试探解、

35、数值解、解析解等）提供了思路及理论根探解、数值解、解析解等）提供了思路及理论根据。据。图2.7.3 平板电容器外加电源U0)TheoremUniquness(,定理称之为静电场的唯一性的解是唯一的拉斯方程泊松方程或拉普位微分方程满足给定边界条件的电在静电场中)(,唯一性定理 唯一性定理证明： （反证法）:)(反证法证明即必满足拉普拉斯方程则其差值均满足泊松方程与位函数设场中任一点有两个电,u,2121022122u22)u(uuuuu2)()(利用矢量恒等式并利用高斯散度定理对场域求体积分 ,dVuduudVuusV2V)()(S因此有处电位为零由于在无穷远即的边界面为体积,S

36、,SSSS,SSS,V0n210 SsS2dVuduuduuVSS)(证明唯一性定理用图图4 . 7 . 2sSV21dVuSdnuudSuu)()(即右边也为零则式即界条件若导体边界为第一类边,(1)0,-,21u0u21)(得证故又满足边界该式既满足场域积分后,CC12120,-,即已知电荷面密度界条件若导体边界为第二类边,nn210nun1)-(2即证毕必有同上分析右边也为零则式,12 , ,(1)故唯一性定理得证件的假设是不成立的满足微分方程和边界条都也就是说有两个不同解即中各点在场域由此,u21 0,V,2.8 标量位的多极展开标量位的多极展开VrVdxx04)()(考虑真空中给定电

37、荷分布激发的电势考虑真空中给定电荷分布激发的电势在区域在区域V V内取一点内取一点O O作为坐标原点，以作为坐标原点，以R R表示由原点到场点的距离。表示由原点到场点的距离。222222)()()(zzyyxxxxrzyxR为变量的函数在为变量的函数在考虑场点到坐标原点的距离远大于电荷分布区域的线度的情况，把以考虑场点到坐标原点的距离远大于电荷分布区域的线度的情况，把以)(xx0 x附近作展开有附近作展开有 RxxxxRxRrxxjijjii1!2111112,VdRxxxxRxRxxjijjiiV 1! 2111)(41)(2,0)2()1()0(,230,2016141161141)()(

38、3)()(jijiijjijiijVjiijVVRxxDRRpRQRxxDRpRQxVdxxxDVdxxpVdxQ)2()1()0(,23016141)(jijiijRxxDRRpRQx)3()2()1()0(3)2(2)1()0(1 1 1rrr1. 1. 带电体系统中的静电能量带电体系统中的静电能量 静电能量是在电场的建立过程中，由外力作功转化而来的。静电能量是在电场的建立过程中，由外力作功转化而来的。1) 1) 连续分布电荷系统的静电能量连续分布电荷系统的静电能量假设：假设： 电荷系统中的介质是线性的；电荷系统中的介质是线性的； 2.9.1 2.9.1 静电能量静电能量 电场的建立与充电

39、过程无关电场的建立与充电过程无关, ,导体上电荷与电位的最终值为导体上电荷与电位的最终值为 、 , ,在充电过在充电过程中，程中， 与与 的增长比例为的增长比例为 m， 。1m0qq 建立电场过程缓慢（忽略动能与能量辐射）。建立电场过程缓慢（忽略动能与能量辐射）。2.9 静电场的能量与力静电场的能量与力 这个功转化为静电能量储存在电场中。这个功转化为静电能量储存在电场中。VdV21 体电荷系统的静电能量体电荷系统的静电能量VedV21WdmdVdVddqmdzyxzyxmdd,),(),(dVzyxzyxmdmdqAWVe),(),(10故带电导体系统)2SdS21eWSedSW21面电荷系统

40、线电荷系统LedlW21 t 时刻，场中时刻，场中P点的电位为点的电位为 若将电荷增量若将电荷增量 从无穷远处移至该点，从无穷远处移至该点，),(zyxdqdqzyxdA),(外力作功外力作功t t时刻电荷增量为时刻电荷增量为nKKKeqW121即即, )z , y, x(m)z , y, x(电位为电位为n1KKKq21n1KSkKKdS21 式中式中 是元电荷所在处的电位，积分对源进行。是元电荷所在处的电位，积分对源进行。 点电荷的自有能为无穷大。点电荷的自有能为无穷大。)(21)(21)()(2121W221122111222111qqqqqqqnKKK自有能自有能互有能互有能22111

41、q2q 自有能是将许多元电荷自有能是将许多元电荷 “ “压紧压紧”构成构成 q q 所需作的功。互有能是由于多所需作的功。互有能是由于多个带电体之间的相互作用引起的能量。个带电体之间的相互作用引起的能量。dq互自WWWe自有能与互有能的概念自有能与互有能的概念 是所有导体（含是所有导体（含K K号导体）表面上的电荷在号导体）表面上的电荷在K K号导体产生的电位号导体产生的电位。KSnKKKqWdqW1ee21 21生变化，如图所示。位会发的电场中，两导体的电放入带电体。将带电体，和，电位、电荷分别为，单独存在时，导体的例如空间中有两带电体122211qq2. 2. 静电能量的分布及能量密度静电

42、能量的分布及能量密度VSedSdVW2121VSddVSDD2121V扩大到无限空间，扩大到无限空间，S所有带电体表面。所有带电体表面。将式将式(2)(2)代入式代入式(1),(1),得得dVSdWVSneEDeD212122VrdS,r1D,r1:dV21注EDSSnnSSVdSSdddV)2()(212121)(21eDeDSDD应用散度定理应用散度定理) 1 (2121)(21SnVVedSdVdVWeDEDD得得VVeedVwdVW2121ED（焦耳）（焦耳）静电能量静电能量J图图2.9.1 2.9.1 推导能量密度用图推导能量密度用图ED21we能量密度能量密度3mJ：凡是静电场不为

43、零的空间都储存着静电能量。：凡是静电场不为零的空间都储存着静电能量。结论结论矢量恒等式矢量恒等式DDD)(adVE21EdVD21WV20Ve)drr4r9adrr49r(212a420622a020220arr3aar3r2030Ear)3ra(2arr3a22003drr43ra221dV21W2a022V02e)(520154a520a154)(122rrrr0ar ar 021rr21ar 0r0r有限，应用高斯定理，得 解法一由微分方程法得电位函数为解法二例2.9.1 试求真空中体电荷密度为 ，半径为 的介质球产生的静电能量。1.9.2 1.9.2 静电力静电力2.2.虚位移法虚位移法 ( ( Virtual Displacement Method ) )虚位移法是基于虚功原理计算静电力的方法。虚位移法是基于虚功原理计算静电力的方法。 广义坐标：距离、面积、体积、角度。广义坐标：距离、面积、体积、角度。广义力：企图改变某一个广义坐标的力。广义力的正方向为广义广