人教版高中数学必修2第三章《直线的方程》导学案(无答案)

1、必修2人教版数学高一第三章直线的方程课程目标:一、考点突破1 .理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。2 .能根据斜率判定两条直线平行或垂直。3 .通过学习直线的倾斜角、斜率等概念，探索并掌握直线方程的几种形式：点斜式，斜截式，两点式，截距式等；通过理解、欣赏、运用直线方程各具特征的丰富多彩的不同形式,感,觉数学世界的奇异美、简洁美、和谐美，增强美学意识。通过对直线方程四种特殊形式和一般形式的分析和运用，体会形式和内容、对立和统一的辩证唯物主义思想。4 .通过直线的方程，研究直线间的位置关系：平行和垂直，以及两条直线的交点坐标，点到直线

2、的距离公式等。理解事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想。二、重难点提示重点：直线的倾斜角和斜率概念，直线方程，两直线的位置关系及其应用。难点：直线方程的应用。精讲精练：微课程1：基本公式及直线的倾角和斜率【考点精讲】1 .数轴上两点间距离公式：P1x1,P2X2为数轴上两点,则1Plp2Ilx1x2l2 .平面上两点间距离：P1x1,y1,p2X2,y2为平面上两点，则pP2Vx2X12y2y123 .线段中点坐标公式：若点P1、P2的坐标分别为（X1,y1）、（X2,y2）,且线段P1P2的中点M的坐标为（X,y）,则x="产，y=y1j2-y2,此公式为线段P1P2的中点

3、坐标公式。4 .直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角a叫做直线l的倾斜角。当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0。倾斜角的范围为10°,180°)。(2)直线的斜率定义：一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示,即k=tana,倾斜角是90°的直线斜率不存在。过两点的直线的斜率公式经过两点 Pi (xi, yi) , P2 (x2, y2)(xia2 )的直线的斜率公式为y2 yix2 x12 / ii5 .点P(xo,yo)到直线l:Ax+By

4、+C=0的距离:|Ax0+ByO+C|d=JC2。VA2+ B2“2+B2°6 .两平行直线Li:Ax+By+Ci=O与l2：Ax+By+C2=0(Ci整2)间的距离为【典例精析】例题I若点A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线，则a的值为思路导航：利用直线斜率公式求解。答案：A、B、C三点共线，经过A、B两点的直线斜率等于经过B、C两点的直线a35a斜率，即kAB=kBc,5465,a=4o例题2经过P(0,I)作直线l,若直线l与连接A(I,2),B(2,I)的线段总有公共点，求直线l的倾斜角”与斜率k的范围。思路导航：先求直线的两个极限位置，再用运动变化观点求斜率的范

5、围。答案：如图所示,2(I)kpA=i,i(i)kPB=i20由图可观察出：直线l的倾斜角a的范围是i35°,I80°)U0°,45°直线l的斜率k的范围是i,I。2c例题3已知实数x，y满足yx2x2（1x1）,试求x2的最大值和最小值。y3思路导航：利用x2的几何意义：连接定点（2,3）与动点（x，y）的直线的斜率，借助数形结合，将求极值问题转化为求斜率取值范围问题，简化了运算过程。y3答案：由x2的几何意义可知，它表示经过定点P（2,3）与曲线段AB上任一点（x，y）的直线斜率k,kpAkkpB,由已知可得A（1,1）、B（1,5）4k8y_243

6、，故x2的最大值为8,最小值为3。随堂练习：斜率不存在的直线一定是（）A.过原点的直线B.垂直于x轴的直线C.垂直于y轴的直线D.平行于x轴的直线答案：过原点的直线不一定斜率不存在，垂直于y轴的直线斜率为0,平行于x轴的直线斜率也为0,垂直于x轴的直线倾斜角为90度，所以斜率不存在，故选Bo【总结提升】y2y1k c Ax2 x11 .斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变,即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等，这就是利用斜率可证三点共线的原因。2 .要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式:式与两点顺序无关，已知两点坐标（xW2）

7、时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率。当x1=x2,y1W2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90o3 .求斜率可用k=tan丰90°,其中“为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：斜率变化分两段，90。是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论4 .直线的斜率可以从负值到正值，但是倾斜角不能为负，倾斜角的范围是0,180°）。例如：一条直线的斜率范围是J3,1,我们知道k«对应的直线彳昵斜角为120°,k=1对应的直线彳斜角为45。，但是这条直线的倾斜角的范围是UZS/SO'OU0,45,而不是45°,120&#

8、176;。微课程2:直线方程的表达式【考点精讲】1.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yyo=k(xxo)不含垂直于x轴的直线斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式JqMxix2且yiy2)y2yix2xi不含直线x=x1(xi/2)和直线y=yi(yi刊2)截距式i(a0,b0)ab不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A,B不全为0)-平面直角坐标系内的直线都适用2.过Pi(xi,yi),P2(X2,y2)的直线方程(1)若Xi=X2,且yi刊2时，直线垂直于x轴，方程为x=xi;(2)若xi次2,且yi=y2时，直线垂直于y轴，方程为y=yi；(3)若xi=x2=0,

9、且yi型2时，直线即为y轴，方程为x=0;(4)若xi次2,且yi=y2=0时，直线即为x轴，方程为y=0。【典例精析】例题i求适合下列条件的直线方程：(i)经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等；i(2)过点A(i，-3),斜率是直线y=3x的斜率的<4思路导航：首先要选择直线方程的形式，注意直线方程的适用范围。答案：(i)方法一：设直线l在x,y轴上的截距均为a,若a=0,即l过点(0,0)和(3,2),，l的方程为y=|x,即2x3y=0。若awQ则设的方程为a+a=i,l过点(3,2),:+a=i,a=5,4 / iil的方程为x+y5=0,综上可知，直线l的方程为2x3y

10、=0或x+y5=0。(2)设所求直线的斜率为k,依题意有又直线经过点A (1, 3),因此所求直线方程为3y+3= 4(x+1),即 3x+4y+15=0。例题2已知直线11 :2x+y 6=0和点A (1, 1),过A点作直线l与已知直线11相交于B点，且|AB|=5 ,求直线1的方程。思路导航：注意直线斜率不存在的情况。答案：过点A (1, 1)与y轴平行的直线为x=1ox= 1解方程组，2x + y-6=0求得B点坐标为(1,4),此时|AB| = 5,即x = 1为所求。设过A (1, 1)且与y轴不平行的直线为y+1 = k (x 1),2x + y-6=0 解方程组y,y+ 1 =

11、 k(x 1)k+7 x=k+2 得两直线交点为4k 2V= k+2(k- 2,否则与已知直线平行)。则B点坐标为k+7k+24k2k+ 2由已知31)2(4L 1)2 52k 2 y+ 14(XT)，即3x+4y+1=0。综上可知，所求直线的方程为x=1或3x+4y+1=0。例题3已知直线l过点P（3,2）,且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程。思路导航：利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式：一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式。答案：设A(a,0),B(0,b)(a>

12、3,b>2),则直线i的方程为x+y=i,abl过点P(3,2),3+2=1,b=-2a；aba3a2a3'112a从而S-ABO=2ab=2aaT3故有SAABO=(a-3)2+6(a-3)+9a-3=(a3)+-97+6>2/(a3)弋+6=12,当且仅当a-3=-9-a-3.a3a-3即a=6时，(Saabo)min=12,此时b=：26=4。6 3，直线l的方程为6+4=1,即2x+3y12=0。【总结提升】在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表

13、示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况。微课程3:两直线的位置关系【考点精讲】一、两条直线平行与垂直的判定1 .对于两条直线：l1:yk1xb/Tk2xb2（1）l"/l2k1卜2%1*2均存在），且blb26 / 11l1l2k1k21(ki,k2均存在)(1 ) l1 l22 .对于两条直线：l1:A1xBiyCi0,l2:A2xB2yC20A1B2A2B1,且B1C2B2cl或A1C2A2cl(2)l1l2AA2B1B203 .与直线axbyc0(a，b不同时为0)平行的直线可设为axb

14、y0(c)4 .与直线axbyc0(a,b不同时为0)垂直的直线可设为bxay0、两直线相交交点：直线l1：A1x+B1y+C1=0和l2：A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方程组A1x+B1y+C1=04的解对应。A2x+B2y+C2=0相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解;平行方程组无解；重合方程组有无数个解。【典例精析】、2例题1(1)已知两直线l1：x+my+6=0,I2：(m2)x+3my+2m=0,若I1/I2,求实数m的值；、2(2)已知两直线I1：ax+2y+6=0和l2：x+(a1)y+(a1)=0。若I_Ll2,求实数a的值。思路导航：(1)充分掌握两直线平行与

15、垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线I1和l2,I1/I2?k1=k2,I1H2?k1k2=1。若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意。(2)若直线I1和I2有斜截式方程l1：y=k1x+b1,I2：y=k2x+b2,则11,I2?k1k2=1。设I1:A1x+B1y+C1=0,I2:A2x+B2y+C2=0o则：I1H2?A1A2+B1B2=0O注意转化与化归思想的应用。答案：(1)方法一：当m=0时，I1：x+6=0,I2：x=0,I1/I2；当mw。时，l1：y=-xl2：y=xm2m23m3,12-mn62由一一=且一，m23mm23

16、5 'm=-1o故所求实数m的值为0或1。方法二：直线1：A1x+B1y+C1=0,I2:A2x+B2y+C2=0平行的等价条件是：A1B2-A2B1=0且B1C2B2C1W0或A1C2A2C1WCL由所给直线方程可得：13mm2(m2)=0且12m6(m2)w。.m(m22m3)=0且mw3.m=0或一1。故所求实数m的值为0或1。a(2)万法一：由直线11的方程知其斜率为2,当a=1时，直线12的斜率不存在，|1与|2不垂直;1当awl时，直线l2的斜率为一a1a- 21a 1故所求实数a的值为2。3方法一:直线li:Aix+Biy+Ci=0,12:A»+Bzy+C2=0

17、垂直的等价条件是A1A2+B1B2=0。由所给直线方程可得：a1+2(a1)=0，a=|。故所求实数a的值为2。33例题2求经过直线l1：3x+2y1=0和I2：5x+2y+1=0的交点，且垂直于直线3x5y+6=0的直线l的方程。思路导航：首先解决两直线焦点问题，再用直线位置关系解题。答案：方法一：先解方程组3x+2y-1=05x+2y+1=0得I1、l2的交点坐标为(一1,2),8 / 11再由13的斜率3求出l的斜率为一5，53于是由直线的点斜式方程求出1:y2=-5(x+1),即5x+3y-1=0。3方法二：由于1,13,故1是直线系5x+3y+C=0中的一条，而1过11、12的交点坐

18、标为(1,2),故5X(1)+3X2+C=0,由此求出C=1,故1的方程为5x+3y1=0。方法三：由于1过11、12的交点，故1是直线系3x+2y1+入(5x+2y+1)=0中的一条，将其整理，得(3+5Nx+(2+22y+(1+2=0。其斜率一汽=3，解得人=5,代入直线系方程即得1的方程为5x+3y-1=0o例题3光线沿直线11：x-2y+5=0射入、遇直线1:3x2y+7=0后反射，求反射光线所在的直线方程。思路导航：(1)入射光线所在直线与反射光线所在直线关于1对称。(2)对称点的连线被对称轴垂直平分。答案：方法一：由x 2y+ 5=0, 3x-2y+7=0,y0 yx0 x23&#

19、39;9 / 11x=-1,y=2.反射点M的坐标为(一1,2)。又取直线x-2y+5=0上一点P(5,0),设P关于直线1的对称点P'(x°,y°),由PP21可知，kpp|=普。而PP'的中点Q的坐标为x0 5 y02 ' 2Q点在1上，3号5- 2"7=0。y02x0 + 53'3,八 、八八2(x0-5)-y0+7=0.17 xO = -13,y0 =3213.根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x-2y+33=0。方法二：设直线x-2y+ 5= 0上任意一点p(x0, y0)关于直线1的对称点为P'(x, y),又pp，的中点Qxx0,号0在l上，.32山+7=0,22'y0-y2=一x0-x3,由cX+x0/,c3>e-2-(y+y0)+7=0.可得P点的坐标为-5x+12y-4212x+5y+28X0=13，y°=13，代入方程x2y+5=0中，化简得29x2y+33=0,，所求反射光线所在的直线方程为29x2y+33=0。例题4在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD,AB=2,BC=1,AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合。将矩形折叠，使A点落在线段DC上。若折痕所在直线的斜率为