不等式恒成立问题的大全12.7

1、不等式恒成立问题“含参不等式恒成立问题把不等式、函数、三角、几何等容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题 者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉与的“函数与方程、“化归与转化、“数形结合、“分类讨论等数学思想对锻炼学生的综合解题能力， 培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问 题的一般求解策略。一、判别式法假设所求问题可转化为二次不等式，那么可考虑应用判别式法解题。一般地,对于二次函数 f(x)ax2 bx c(a 0,x R),有1)f (x)0对x R恒成立2)f (x)0对x R恒成立例1.函数y lgx2 (a

2、 1)x a2的定义域为R,数a的取值围。解：由题设可将问题转化为不等式x2 (a 1)x a2 0对x R恒成立，即有1(a 1)2 4a2 0 解得 a 1 或 a 。3所以实数a的取值围为(，1)(丄，)。3假设二次不等式中x的取值围有限制，那么可利用根的分布解决问题例2.设f (x) x2 2mx 2，当x 1,)时，f(x) m恒成立，数m的取值 围。解：设F(x) x2 2mx 2 m，那么当x 1,)时，F(x) 0恒成立4(m 1)(m 2)0即 2m 1 时，F(x)0显然成立;0时，如图，F(x) 0恒成立的充要条件为:0F( 1)0 解得 3 m 22m12综上可得实数m

3、的取值围为3,1) 二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1) f(x) a 恒成立a f (x)min2) f(x) a 恒成立a f (x) max1 .两个函数f(x) 8x2 16x k, g(x) 2x3 5x2 4x，其中k为实数.(1)假设对任意的x3,3，都有f(x) g(x)成立，求k的取值围；假设对任意的x1 x23,3，都有f(xj g(x2)，求k的取值围.(3)假设对于任意Xi 3,3,总存在Xo3,3使得g(xo) f (Xi)成立，求k的取值围.分析与解(1)问题转化为F(x) 0在x3,3上恒成立,即F(x)min 0即可

4、令 F(x) g(x) f (x) 2x28t g( 3)21,g(3) 111 , g( 1)1, g(-) 27 -g(X)min 21. 那么 120 k 21,解得 k 141. (3)假设对于任意X13,3，总存在X0 价于f x的值域是g x的值域的子集， 3x212x k,3,3使得g(x) f(xj成立，等由可知,f(x) 8x2 16x k在 3,3的值域为k 8, k 120 ,g(x) 2x3 5x2 4x在 3,3的值域为21,111 ,于是， k 8, k 12021,111 ,即满足kk1；0 2111.解得 9k 13t F (x) 6x2 6x 126(x2 x

5、 2),由 F(x)0,得 x 2 或 x 1.t F( 3) k 45, F(3) k 9, F( 1) k 7, F(2) k 20,二 F(x)min k 45,由 k 450, 解得 k 45. 由题意可知当x 3,3时，都有f(X)maxg(X)min 由 f(x)16x 160 得 x 1.t f( 3)24 k, f( 1)8 k,f(3)120 k ,-f(X)maxk 120., 2 2由 g (x) 6x 10x 4 0 得 x1 或 x,340x，当x 3,3时，f (x) g(x)2. f (x) 7x2 28x a,g(x) 2x3 4x2恒成立，数a的取值围。解：设

6、 F(x) f(x) g(x) 2x3 3x212x c,那么由题可知F(x) 0对任意x 3,3恒成立令 F(x)6x2 6x120,得 x1 或 x 2而 F( 1)7a,F(2)20a, F( 3)45 a,F(3)9 a,-F(x)max 45 a 0 a 45即实数a的取值围为45,)3函数f(x) -a,x 1,)，假设对任意x 1,) , f(x) 0恒成立，数xa的取值围。解：假设对任意x 1,) , f(x) 0恒成立，即对x 1,)，f(x)- 红上0恒成立，x考虑到不等式的分母x 1,)，只需x2 2x a0在x 1,)时恒成立而得而抛物线g(x)x2 2x a在x 1,

7、)的最小值gmin (x)g(1) 3 a 0得a 3注：此题还可将f (x)变形为f (x) x -2，讨论其单调性从而求出f(x)最小x4.f (x)x2 ax 3 a，假设x 2,2, f (x) 2恒成立，求a的取值围.解析 此题可以化归为求函数f(x)在闭区间上的最值问题，只要对于任意x 2,2, f (x)min 22,2, f(x) 2、立2,2, f(X)mina2 f (x) minf( 2) 73a 22 -或：f(X)minf(|)旦22f (x) min，即a的取值围为f (2)7 a 25, 2 2 .2.值。三、别离变量法假设所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元别

8、离于不等式两端，从而问 题转化为求主元函数的最值，进而求出参数围。这种方法本质也还是求最值， 但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1) f (x) g(a)(a为参数)恒成立g(a) f (x) max2) f (x)g(a)(a为参数)恒成立g(a) f (x)max实际上，上题就可利用此法解决。略解：x2 2x a 0在x 1,)时恒成立，只要a x2 2x在x 1,)时恒 成立。而易求得二次函数h(x) x2 2x在1,)上的最大值为 3，所以a 3。1、函数f X lg x - 2，假设对任意x 2, 恒有f x 0 ,试确定a x的取值围。上恒成立,解：根据题意得：x - 21在x

9、 2,x即：a x2 3x在x 2,上恒成立,设 f xx2 3x，贝U f x当x 2时，f x max 2所以a 22、x ,1时，不等式1 2x a a2 4x 0恒成立，求a的取值围解：令 2x t，丁x,1 t 0,2所以原不等式可化为:要使上式在t0,2上恒成立，只须求出f tt 1卞在t 2上的最小值即可t mina21 1 2 t 23a -412323. 函数f (x) ax 4x x2, x (0,4时f(x) 0恒成立，数a的取值围。4x x2解：将问题转化为a 对x (0,4恒成立。x令 g(x) 4x X ，那么 a g(x)minxf 4x x24由g(x) .1可

10、知g(x)在(0,4上为减函数，故x V xg(x)min g(4)0 a 0即a的取值围为(,0)注：别离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。例4函数f(x) |x2 4x 5|，假设在区间1,5 上, y kx 3k的图象位于函数f(x)的上方，求k 的取值围.解析 此题等价于一个不等式恒成立问题，即对于x2 4x 5x 3x 1,5,kx 3kx2 4x 5恒成立，式子中有两个变量，可以通过变量别离化归为求函数的最值问题对于x 1,5,kx 3kx2 4x 5恒成立设 x 3 t,t 2,8,那么对于x 1,5恒成立,令y上孑,x 1,52 , k的取值围是k2.变式假设此题

11、中将y kx 3k改为yk(x3)2，其余条件不变，那么也可以用变16y (t-J-) 10,t 2,8,当 t 4 ,即 x = 1 时 ymax量别离法解.由题意得，对于 x 1,5, k(x 3)2X24x 5恒成立k(xx2害对于3)x 1,5恒成立，2 .x 4x2(x 3)5 -,x1,5,设x 3 t,t2,81- 10 “/ 5、2y p 1()t2 tt 45,即 x 1 时，ymax452,8，196, k的取值围是4.已知f(x)是定义在-1,1 上的奇函数,且f=1,1,1, m n 0时 f(m) f(n)m n恒成立，数t的取值围.m, n 0,假设 f(x) t2

12、 2at 1 对于所有的 x 1,1,a 1,1解析 此题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个 变量，容易证明f(x)是定义在-1,1上的增函数，故f(x)在-1,1上的最大值为 f (1)=1,那么 f (x) t2 2at 1 对于所有的 x 1,1, a 1,1恒成立 1 t2 2at 1 对于所有的a 1,1恒成立，即2ta t20对于所有的a 1,1恒成立，令g(a) 2ta t2，只要g( 1)0g(1)0四、变换主元法处理含参不等式恒成立的某些问题时，假设能适时的把主元变量和参数变量 进行“换位思考，往往会使问题降次、简化。2例1对于任意的a-1,1，函数f

13、 (x)= ax+(2a-4) x+3-a0恒成立， 求x的取值围.解析 此题按常规思路是分a=0时f(x)是一次函数，a0时是二次函数两 种情况讨论，不容易求x的取值围。因此，我们不能总是把 x看成是变量，把a 看成常参数，我们可以通过变量转换，把 a看成变量，x看成常参数，这就转化次函数问题，问题就变得容易求解。令g(a)=( x2+2x-1) a-4x+3在a-1,1时，g(a)0 恒成立，那么 g(D1)o0，得 3、13 x 3 -13.例2、假设不等式2x 1m x2解：设f mx22x1对满足m1x2，对满足m02x 12的所有m都成立，求x的取值围。2 的 m，f m0恒成立,

14、解得:2x 1x2 (ax的一元二次不等式，但假设把a看成主元，那么问 x2 4x 40在a 1,1上恒成立的问题。4x 4，那么原问题转化为f (a)0恒成立例3.对任意a 分析：题中的不等式是关于题可转化为一次不等式(x 2)a解：令 f (a) (x 2)a x2(a 1,1 )0当x 2时，可得f(a) 当x 2时，应有f(1)f( 1) 0故x的取值围为(，1)(3,)。注：一般地，一次函数 f(x) kx b(k 0)在,上恒有f(x) 0的充1,1，不等式4)x4 2a0恒成立，求x的取值围。0，不合题意。0解之得x 1或x 3。要条件为f( )0。f( ) 0四、数形结合法数学

15、家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，这充分说明 了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知 道，函数图象和不等式有着密切的联系：1) f (x) g(x) 函数f (x)图象恒在函数g(x)图象上方；2) f (x) g(x) 函数f (x)图象恒在函数g(x)图象下上方。例1、假设不等式3x2 logax 0在x 0,1恒成立，数a的取值围31解：由题意知：3x2 loga x在x 0,-恒成立,3在同一坐标系，分别作出函数y 3x2和 y loga x1观察两函数图象，当x 0,-时，3假设a 1函数y loga X的图象显然 在函数y 3x2图象的

16、下方，所以不 成立；当0 a 1时，由图可知，y logax的图象必须过点13综上得：1 a1或在这个点的上方，贝U，log a133127a丄1 a丄2727例2.设f (x)24x 4x , g(x) x 1 a,假设恒有g(x)成立,数a的取值围分析：在同一直角坐标系中作出 如下列图，f(x)的图象是半圆(xg(x)的图象是平行的直线系 要使f (x) g(x)恒成立， 那么圆心(2,0)到直线4x 3y8 3 3a|4x3y3a0的距离f(x)-23 3a 0。f (x)与g(x)的图象2)2y24(y0)满足 d解得a5或a53 (舍去)例3.设函数f(x)x2 4x ,g(x)ax

17、 a ,假设恒有f (x) g (x)成立,试数a的取值围.题意得 f(x) g(x)x2 4x ax 2a ,令%、 x2 4x ,Y2ax2a.可化为(x 2)22 yi4(0 x 4,yi 0),它表示以(2,0)为圆心，2为半径的上半圆；表示经过定点(-2,0)，以a为斜率的直线，要使f(x) g(x)恒成立，只需所表示的半圆在所表示的直线下方就可以了(如下列图).当直线与半圆相切时就有|2a_2a| 2，；1 a2a ，由图可知，要使f (x) g(x)恒成立，实数 3的取值围是a空.3五. 分类讨论在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边, 那么可利用分类讨

18、论的思想来解决。例1、假设x 2,2时，不等式X2 ax 3 a恒成立，求a的取值围。解：设f x x2 ax 3 a，那么问题转化为当x 2,2时，f x的最小值非负(1)当2a不存在;2即：a4时，f x minf27 3a 0 a1又a4所以(2)当2a2即:4 a 4时2aa2f x if3 aa06a 2 又 4 a 44 a2min24(3)当 a22即:a4时，fx i f 27 amin0a7又a 47a4综上所得:7 a21 解关于x的不等式 x2 4mx 4m2 m 3解：原不等式等价于|x2m | m3当m30即m3时,x 2mm3 或 x 2m(m 3)x3m3或 xm 3当m30即m3时,|x 6|0 .x 6当m30即m3时,x R2设aR ,函数f(x)2x ax2a2.假设 f(x)0的解集为A,B x|1x3 , AC1B，数a的取值围。点评：二次函数与二次不等式和集合知识有很多联系，不等式的解集、函 数的值域成为集合运算的载体，对于含参数问题要确定好分类的标准，做到不 重不漏。3. a是实数，函数f(x) 2ax2 2x 3 a ,如果函数y f (x)在区间 1, 上有零点，求