一不等式的概念

1、(一) 不等式的概念作为表达同类量之间的大小关系的一种数学形式，不等式必须在定义了大小关系的有 序集合上研究由于复数域没有定义大小，所以不等式中的数或字母表示的数都是实数.1. 不等式用符号或联结两个解析式所成的式子，称为不等式不等号或叫做严格不等号，?或W叫做非严格不等号(相应的不等式分别叫做严格不等式和非严格不等式)例如a _b表示“ a b或a = b有一个成立，因此1?0或1 wi都是真的另外，日常还使用一种只肯定不等关系但不区分孰大孰小的不等号，即“工 下面主要讨论严格不等式的性质.常如下定义不等式：形如f(x,y, ,z) g(x,y, ,z)(2-1)的式子，称为关于变数x, y

2、,，z的不等式(符号“ 表示不等号“ ，“ 中的任一个)在(2-1)式中，f(x,y,z)与g(x,y, ,z)定义域的交集，叫做不等式(2-1)的定义域.在不等式(2-1)的定义域中，能使不等式成立的数值组，叫做不等式(2-1)的解，不等式(2-1)解的全体组成的集合，叫做不等式(2-1)的解集求出不等式解集的过程，叫做解不等式.如果不等式(2-1)的定义域中一切值组都使不等式(2-1)成立，那么不等式(2-1)叫做绝对不等式.如果不等式(2-1)的定义域中一切值组都使不等式(2-1)不成立，那么不等式(2-1)叫做矛盾不等式.如果不等式(2-1)的定义域中一些值组使不等式(2-1)成立，而

3、另一些值组使不等式(2-1)不成立，那么不等式(2-1)叫做条件不等式在不等式(2-1)中，如果f(x, y, , z)和g(x, y,z)都是代数式，那么就叫它 代数不等式；如果f (x, y, , z)和g(x, y, ,z)中至少有一个为超越式，那么就叫它超越不等式.在代数不等式(2-1)中，如果f (x, y, , z)和g(x, y, ,z)都是有理式，那么就叫它有理不等式；如果f (x, y, , z)和g(x, y, ,z)至少有一个为无理式，那么就叫它无理不等式.在有理不等式(2-1)中，如果f(x,y,z)和g(x,y,z)都是整式不等式，那么就叫它整式不等式；如果f(x,

4、y,，z)和g(x,y,z)至少有一个是分式，那么就叫它 分式不等式2. 不等式组含有未知数x,y,，z的几个不等式所组成的一组不等式'fi(x, y,，z)gi(x, y,，z)f2(x, y,z) g2(x,y,z): : (2-2)<fk(x, y,z) gk(x, y,z)称为不等式组.不等式组(2-2)中，fi(x, y,z)gi(x,y,z)(i =1,2; ,k)定义域的交集，叫做不等式组(2-2)的定义域.不等式组(2-2)中，各个不等式的解集的交，叫 做不等式组(2-2)的解集求出不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.(二) 不等式的性质实数的三条运算比拟性质：

5、 a b二 a-b 0 a ： b：= a -b ： 0 a=b：= a-b=O为不等式性质的证明提供了依据.不等式有如下10条性质.(1)对逆性如 a - b，贝U b : a ；反之如 b ： a，贝U a - b .传递性假设 a b, b c,那么 a c .(3) 加法单调性假设 a b，贝U a c b c.(4) 乘法单调性假设 a b, c 0，贝U ac bc ；假设 a b, c ： 0 贝U ac ： be .相加法那么假设 a b, c d,贝U a c b d .(6)相减法那么假设 a_b, c d，贝U ac bd .相乘法那么假设 a b 0, c d 0 ,那

6、么 ac bd .(8) 相除法那么a b假设 a _ b 0,0 c : d ,那么一c d(9) 乘方法那么a,b R，假设 a b，整数 n 1，那么 an bn .(10) 开方法那么a,b R:假设 a>b，整数 n ：>1，贝y 'a >b .注意 性质1,3,4,9和10是可逆的，因此这些性质可以用于证明不等式，也可用作解不等式其余各条作为解不等式的依据，可以用于证明不等式当不需可逆推理时三不等式的证明方法1.比拟法比拟法是直接求出所证不等式两边的差或商，然后推演结论的方法欲证A . B或A ： B ，可以直接将差式 A - B与0比拟大小；或者 A,

7、B R 时，直接将商式 A与1比B较大小.在什么情况下用比拟法较好呢？ 一般地，当移项后容易分解成因式或配成完全平方时， 可考虑用比拟法；或当不等式两边都是乘积结构或可化成乘积结构，成虽为商式结构，但分子、分母都可化为乘积结构时，可考虑比拟法；另外，能化成便于放大或缩小的商式， 也可考虑用比拟法.例1设a, b为不等的实数，求证a4 6a2b2 b4 4ab(a2 b2)证明因为a46a2b2b44ab(a2b2)= (a2b2)24ab(a2b2)(2ab)2二(a2 b2 -2ab)2 二(a-b)40(a=b)所以422422a 6a b b 4ab(a b )例2 假设a b c 0，

8、求证a 2b 2c b -c c a ba b c a b c证明考虑用商式因为2a. 2b 2cccaab “c. c-a a “ba b c2甘丿lbccb 人caac .a b c2a 2b 2c b c c a a b a b c a b c所以2.综合法综合法是“由因导果，即从条件出发，依据不等式的性质、函数性质或熟知的基 本不等式，逐步推导出要证明的不等式.常利用不等式的性质或借助于现成的不等式.因此,掌握的不等式越多，应用这种方法就越方便.例3 试证：假设一 a, b, c 0 ,那么有2 2 2 2 2 2a(b c ) b(c a ) c(a b ) - 6abc证明方法1

9、因为(a-b)2 _ 0,所以(a2 b2)_2ab 又c . 0，所以2 2c(a b ) _ 2abc同理有 a(b2 c2) _2abGb(c2 a2) _2abc由相同加法那么，三式相加即得结论.方法2 欲证不等式等价于bccaab6cbacba因为b c _2,c a _2,- - _2，三式相加，即得结论.c b a c b a说明 将所要证不等式分成几个同向不等式，然后将各式相加或相乘，这是证明不等式的常用手法.3.分析法分析法是“执因索果，即从所要证明的结论出发，步步推求使不等式能成立的充分条件(或充分必要条件)，直至归结到条件或成立的结论为止.例4 n三N, n _1，求证&

10、#39;J 121 - 14 2n(1)证明欲证不等式(1)，只需证1 .丄2n.丿(2)式左边即f11<35丄2 n1(2)式右边即丄丄.丄n 11 24 2n .24丄二2n'J1由<24 2n 丿1 +<42n.1.丄6 2n比拟与式，显然1 1 1 13 52n -1 4可知要证式成立，只需证12n当n = 1时，(5)式成立；假设n = k时，(5)式成立.那么n = k亠1时口芒丄丄22224 2k 2k 211 11_ _x 4- _x 斗"24 2k 2(k1)即(5)式成立，结论得证.应用分析法的根本思路是“要C成立，只要E成立即可；要E成

11、立，只要A成立,一直追溯到条件或的不等式为止.用形式符号表示出来，就是 “ A B- C-.如果分析的每一步都是充分必要的，即“A= B 那么更好.应该强调的是，分析的思想和分析的方法是研究一切问题的一个根本方法无论是数 学，自然科学，还是经济学或社会科学，多半是以分析为先导.没有中肯的分析，就不会有 正确的综合所以在数学教育中培养学生分析问题的能力是有意义的.4.数学归纳法它对于等式或不等式的证明同样是有效的主要用于与自然数n有关的不等式命题.数学归纳法是由皮亚诺公理派生出来的一个重要数学方法.例5求证对于任意的自然数n,有1 3 5 2n -11 -2 4 62n2n 1证明方法1 当n=

12、1时，有丄：1 ，不等式成立.2 V3假设n=k时，不等式为真，那么当n=k+1时，有6 2k2k 12k 21,2k + 1 j2k+12k 1 2k 2 2k 2、2k 12k 2 2k 3 一.(2k 1)(2k 3)2：2k 2 = (2k 1)(2k 3) ： (2k 2)末式成立，故原不等式对n = k 1成立结论得证.方法2构造数列an1 35 2n -1,2462n,bn :2 46 2n3572 n 1显然 an : bn( n =1,2,):anbn12n 1所以即得结论1 3 5 2 n -11 « h2 46 2n . 2n 1说明这个不等式的左边有明显的特点

13、，不等式右式成平方根的形式.5.反证法前面几种方法都是直接证法，而反证法是一种间接证法，其中包括归谬法和穷举法.反证法从否认所要证的结论入手，假设结论的否认为真， 那么由此所引出的结论与条件或公理、定理、定义域性质之一相矛盾，或自相矛盾，因而结论的否认不成立，故 原结论是真实的.当给定不等式不便于用直接法证明时，或其自身是一种否认式命题时，考虑用反证法.例 6 设 x, y, z R ，且 sin2 x - sin2 y - sin2 z = 1，求证x y z -2证明假设x y z(1)2"亠兀Ji贝U有0：x y - -z_ 2 2f 兀、因为正弦函数在区间 0- i上是增函数

14、，所以I 2丿sin(x y) _ sin( z)二 cosz2(2)式两边均为正数，两边平方，有sin2 xcos2 y sin2 ycos x 2sinxcosysin ycosx十2A.2.2丄.2二cosz=1-sin z=sin x sin y整理得sin xsin y cos(x y)虫0但是，由(1)式可知*兀) xW丿,说明(3)式不可能成立.因此Jix y z26.换元法换元法是根据不等式的结构特征，选择适当的变量代换，从而化繁为简，化难为易,化未知为，或实现某种转化，到达证明的目的.换元法有时称为变换法.例7 设x y 1,试证2 2 2 1x y z 一31证明 当x =

15、 y = z 时，不等式中的等号成立于是引进参数u,v，作变换:31x =+ u31* y = _ + V31z = _ _u _V.3实际上这是平面 x y 1的一个参数表示形式代入不等式的右端，得到x2y2z27.放缩法放缩法又称传递法，它是根据不等式的传递性，将所求证的不等式的一边适当地放大 或缩小，使不等关系变得明朗化，从而证得不等式成立.这是不等思维的一个显著特征，其 依据是实数集R的阿基米德性质.放缩法的具体做法要依据原不等式的结构来确定.例如，对于和式，采用将某些项代之以较大或较小的数，以得到一个较大或较小的和；或者用舍去一个或几个正项的方法， 以得到较小的和.对于分式，那么采取

16、缩小或放大分母或者放大或缩小分子的方法来 增值或减值.总之，放缩法使用的是不等量代换，这与换元法使用等量代换有着明显的 区别.例 8 设 ai0(i =1,2 , n)，求证a?(a1 ' a2)2a3+(a1 ' a2 a3)2(a1 a2 ' a3' an)21< a1证明左边电色一a,a1 +a2) (a1 + a2)(a1 +a2 +a3) *2a3an4)(a1 *2 *3an)1 1 1< a1 a1 - a?川"-：(rana1说明用放缩法证明不等式时，以下式子很有用：1111111“八(1)?(n 1)n n 1 n(n 1

17、) n n(n -1)n -1 n2n 12(n -1)不等式的证明方法还有构造法、判别式法、排序法、调整法、凸函数法以及微积分法 等，这里不再一一列举.(四)解不等式1.同解不等式假设两个不等式的解集相等，那么称这两个不等式为同解不等式对于同解不等式，有以下重要结论：(1)不等式f(x) g(x)与不等式f(x)：g(x)同解.如果对于不等式f(x)g(x)定义域中的一切值h(x)都有意义，那么不等式f(x) - h(x) g(x) h(x)与 f(x) g(x)同解.如果对于不等式f (x)g(x)定义域中的一切值都有 h(x) 0,那么不等式f(x)h(x) g(x)h(x)与 f (x

18、) g(x)同解；f (x)h(x) < g(x)h(x)与 f (x) g(x)同解.不等式f(x) .g(x)在其定义域中的某个子集上恒有f(x) .g(x) 0 ,那么原不等式f(x) g(x)与 fn(x) . gn(x)在这个子集上同解，其中 n- N,n_1.不等式f(x) g(x)在其定义域中的某个子集上恒有f (x) g(x) 0，那么不等式n f(x) n g(x)在这个子集上与原不等式f (x) . g(x)同解，其中nN ,n_1.不等式f(x)g(x) 0与下面两个不等式组同解:f (x) > o4(X)>0f (x) <0,g(x) <0

19、不等式f (x)g(x) ： 0与下面两个不等式组同解:：f (X) A 0.g(x) v07 (x) <0,g(x) >0(8)不等式0与下面两个不等式组同解:g(x)f (x)0g(x) 0?(x) <0g(x) <0(9)不等式: 0与下面两个不等式组同解:g(x)'f (x) a04(x) v07 (x) <0,g(x) >0(10)不等式f(x) <g(x)与不等式组f(x)r(x)* (x) a -g(x)同解;不等式f(x) g(x)与不等式组:f(x)>g(x) 、f(x) £g(x)同解.2.不等式的解法(1)

20、 一元一次不等式任何一元一次不等式都可以经过恒等变形整理成ax . b的形式.不等式(2-3)的解集，视a而定.假设a > 0解集为xx>b；假设acO，解集为xxcb；假设a=0 aa成为Ox . b，它不是一元一次不等式此时如果b . 0，那么Ox . b无解;是绝对不等式，解集为 (-：).(2) 一元一次不等式组解不等式组，首先要分别求出组内每个不等式的解集，然后求它们的交集. 可先在数轴上画出每个不等式的解集，然后根据重合局部找出它们的交集.设一元一次不等式组ax A bc> d(2-3)，不等式ax b变如果 b ：. 0,0x . b求交集时，(2-4)中每个不

21、等式都有解，那么归纳为以下四种情形之一;x <«x < P假设:：那么以上四组的解集依次是:X :X ： < X ：空解(无解)(3) 一元二次不等式任何一个一元二次不等式都可经过恒等变形整理成2ax bx c 0(a = 0)的形式，两边同除以非o实数a，即可归纳成下面两种情形之一:第一种情形:x2 px q 0(2-5)如果厶二p2 -4q ： 0 ,不等式的解集为(yj ：)； 如果厶=p2 -40，不等式的解集为xx =子；如果厶=p2 _4q 0，那么x2 px q = 0有两个实根花必,设Xi c X2，那么不等式的解集为x x £ Xi或x

22、> X?.第二种情形:x2 px q ： 02如果抡.=p 4q空0，不等式无解;如果厶=p2 - 4q . 0，不等式的解集为x为：x ： x2,其中x1,x2是2x px0的两个根.(4) 一元二次不等式组一元二次不等式组可经过恒等变形整理成 2a1x +dxx/02a2x +b2x+c2w0(2-6)的形式.其中和a2至少有一个不为0.这时可分别求出不等式(2-6)和(2-6)的解集.然后求出这两个解集的交集，即为原不等式的解.(5) 元高次不等式 一元高次不等式的标准形式是f (x)二anxn anxn丄亠 亠ex a00(an = 0)(2-7)其中q R(i =0,1,，n)

23、 当n _ 3时，不等式(2-7)称为一元高次不等式.由高等代数知道，在实数域上多项式f(x)总可以分解成一次因式或既约二次因式的乘积，所以f(x)总可以表成f (x)二an f|(x) f2(x).其中f1(x)是f(x)中所有首项系数为1的一次因式的乘积，f2(x)是所有首项系数为1的二次既约因式的乘积.由于首项系数为1的二次既约因式恒为正值，所以当an 0时，不等式f(x)>0或f1(x) 0同解；当an ： 0时,不等式f(x) V与fi(x) ：0同解.f1 (x)0的解法有以下两种情形：第一种情形当f/x)中没有重因式时，按以下步骤求解：第一步，将fi(x)表示成第二步，将f

24、i(x)的各个零点Xi,X2,Xk在数轴上标出，从而将数轴划分为k+1个子区间从最右一个子区间 (Xk,：J开始，向左在各个子区间上依次相间地标出“ + , “一标志.第三步，所有“ + 的子区间(开区间)的并集，就是f1(x) . 0的解集；所有“一的子区间(开区间)的并集，就是f1 (x) :：: 0的解集.第二种情形当fi(x)中有重因式时，可将奇次重因式改为一次单因式，并将偶次重因式弃去，这样就可以按照没有重因式的情形处理.但是应将所得解集去掉偶次重因式的零点.这种解法叫做“零点分区法.当用此法求解 t(x) _0或t(x)乞0时，要将开区间改 为闭区间；同时，在弃去偶次重因式后，不必

25、去掉偶次重因式的零点.(6) 一元分式不等式一元分式不等式的一般形式为f (x)0 (2-8) g(x)由同解不等式的重要结论(7)可知，解不等式(2-8)只需解不等式f (x)g(x)0 .(7) 无理不等式一元无理不等式的一般形式为f (x)0(2-9)其中f(x)是x的无理函数.解无理不等式的根本方法是：利用同解不等式的重要结论(4)，将所给无理不等式转化为与它同解的有理不等式组.解无理不等式常按如下步骤进行：第一步，求出f(x)的定义域.第二步，解无理方程 f(x)= 0,即求出f(x)的零点或判断f(x)没有零点.零点由小到大依次为Xi,X2,，Xk，将它们在数轴上标出，从而将定义域

26、划分为k+1个子区间.第三步，在各个子区间内各任取一值，使得f C ) 0 或f C ) - 0 的所在的区间就是不等式f(x) 0 或f(x) ：0 解的区间.在解无理不等式的过程中，经常会因为在不等式的两边实施乘方运算而出现增根，所 以必须检查所得解是否超出原不等式的定义域.另外，有些不等式的一边允许取负值，忽略这一点可能导致失解.(8) 绝对值不等式绝对值号内含有未知元(或变元)的不等式称为含绝对值的不等式，简称绝对值不等 式.解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，使其转化为普通不等式.其主要依据是绝对值的定义和同解不等式的重要结论(10).(9) 初等超越不等式指数不等式af(x) b

27、 (a .0,a=1)假设b乞0,那么不等式af(x) .b为绝对不等式；不等式 af(x) :：: b无解.假设 b 0，那么当 a 1 时，f (x) loga b ； 当 0 ： a ： 1 时 f(x) ： loga b.指数不等式的常用解法：先将不等式两边化为同底的幕，然后区分a 1和0 ： a ： 1两种情形，据此比拟它们的指数.对数不等式loga x b (a 0,a = 1)对数不等式的常用解法：先将不等式两边化为同底的对数，然后区分a . 1和0 ： a :：: 1两种情形，据此比拟它们的真数.解题时应注意不等式的定义域.三角不等式含有变元(未知元)的三角函数不等式称为三角不

28、等式.解三角不等式一般都要归结到最简单三角不等式，形如sin x a, cosx a, tanx a(a R)的不等式，叫做最简三角不等式.解最简三角不等式，可先在所给三角函数的一个周期内求出其特解，然后加上该函数 的最小周期的整数倍，即为它的一般解.对于可以用初等方法求解的三角不等式，通常使用变量代换、因式分解等方法化繁为 简，归结为最简三角不等式。(五) 不等式的应用1. 用平方法和判别式法求最值这是中学数学最常用的求最值的方法之一 做法见本章【典型例题】例18和19 .2. 用均值不等式求最值均值不等式，特别是“几何平均值小于等于算术平均值，是求解最值有效的工具.利用它求最值时有以下结论

29、：设aa2,an是任意n个正数，如果它们的和(记作s)是一个定值，n那么当a =a2 an时，积a1a1 an取最大值 一i ；如果它们的积(记作 P)是一个定5丿值，那么当耳=a? = an时，和 a2an取最小值nn P .例题见本章【典型例题】例 20,21.3. 用柯西不等式求最值具体做法见【典型例题】例 22.4. 用琴森不等式求最值Xi,X2, ,Xn D，如果用琴森不等式求最值有以下结论：设函数 f(x)在区间D上是下凸(上凸)的函数，对任意X X2'亠焉是定值，那么当 =X2二二Xn时，P 二 f (Xi) f(X2)f (Xn)到达最大(最小)值.例题见本章【典型例题

30、】例 23.(六) 著名不等式1. 柯西不等式设abj R(i =1,2,n)，那么有不等式nnnc aibi)2 乞(' ai2)(' bi2)ii Ai 吕当且仅当q二kbj(i =1,2，n)时等号成立.设向量(耳忌,，a.),(bib，,bn)，于是柯西不等式即为：向量a,卩的数量积不大于向量a与B的长度之积，即(a, B)兰彳32. 赫勒德尔不等式设訂，,，*0(i =1,2，n); ，丄亏0且1，那么不等式nnnn、a bi" rr<c aX br ri)Ji二成立.、ii 4i =1i di di =1其中等号当且仅当宀二"i "

31、;i =1i £3. 明可夫斯基不等式设:i, -i(i =1,2,n),0 ：k =1,那么有不等式1r n(1)送(Z)k<i =14.均值不等式设a,a2, an是任意n个正数，它们的算术平均数是ai- an它们的几何平均数是n a&an它们的调和平均数是ain11+a2an那么有不等式n111+ +aia2an珅2an '占当且仅当 印=a2二二an时等号成立即n个任意正数的调和平均数不大于几何平均数几何平均数不大于算术平均值.5. 琴森不等式设aa,，an0,0 ：r : s，那么有不等式n1n1瓦卅兰任ri斗i斗6.三角不等式设 ad R (i =1

32、,2,n)，那么有111n2卩圧G +b)2兰fn 2电 送 a f +f n屯Z bi2 fI2丿2丿当且仅当a二kb(i =1,2/ ,n)时等号成立.三角不等式的向量形式：设X =(X1,X2, ,Xn),Y =(%, y2,yn),Z =(Z1,Z2, ,Zn),定义X -Y =、(X1 -yj2 (X2 - y2)2 (Xn - yn)2那么有X Z 乞 X Y Y Z其中等号当且仅当 Y与Z或X之一重合时成立.(七) 凸函数1.凸函数设函数f(x)在某区间上定义，对于区间上的任意两点X- , x2都有f(qxi 72X2)乞(_)qf(Xi) q2f(X2)其中qq 0,qi q2 =1，那么称函数f(x)在该区间上是 下(上)凸函数2.凸函数的判别法(1)在某区间上假设函数f(x)满足对任意xx2都有f(Xi) f(X2)那么函数f(x)是下(上)凸函数；(2)设函数f(x)在某区间上有二阶导数，假设f (x) - 0(f (x) ： 0)那么函数f(x)在该区间上是下(上)凸函数；设函数f(x)在某区间内可导，那么函数f(x)在该区间上是下(上)凸函数充分必要条件是f(X)在该区间内递增(递