7.16空间向量及其运算知识总结

1、空间向量与其运算1、 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量，注：空间的一个平移就是一个向量一向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 空间的两个向量可用同一平面的两条有向线段来表示2、空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下OB OA AB a b; BA OAOBab； OP a( R)运算律：加法交换律：abba加法结合律：(a b) ca(bc)数乘分配律：(a b)ab-B'3、共线向量定理：空间任意两个向量 a、 推论：如果丨为经过点A且平行于非零向量b b丰0丨，all b的充要条件是存在实数人

2、使a = xb .a的直线，那么对于任意一点0,点P在直线丨上的充要条件是存在实数t满足等式0P0A t a .其中向量a叫做直线I的方向向量4、 向量与平面平行：平面和向量a，作0A a，如果直线0A平行于 或在 ，那么我们说向量 a平行于平面，记作：all 通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的5、共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的充要条件是存在实数 x, y使p xa yb-推论：空间一点 P位于平面MAB的充分必要条件是存在有序实数对x,y，使MP xMA yMB假设 A、B、M、P 四点共面：OP xOA yOB zOM

3、,(x y z 1)6、 空间向量根本定理： 假设三向量ab,C不共面，我们把a,b,c叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量， 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设 O, A,B,C是不共面的四点，那么对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x,y,z，使OP xOA yOB zOC.7、 空间向量的夹角与其表示：两非零向量a,b，在空间任取一点 O，作OA a,OB b，那么 AOB叫做向量a与b的夹角，记作 a,b；且规定0 a,b，显然有a,bb, a ;假设 a,b2那么称a与b互相垂直，记作：ab .8、向量的数量积：向量a,b ,那么|a|b| cos a,

4、 b 叫做a,b的数量积，记作a b ,即 a b |a| |b| cos a,b .向量AB a和轴l ,e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A，作点B在l上的射影B , 那么 AB 叫做向量 AB在轴I上或在e上的正射影 可以证明 AB 的长度 | A B | | AB|cos a,e |a e|.9、空间向量数量积的性质： r9*»!> »1a e | a |cos a, e .2a b a b 0 .3|a a a .10、空间向量数量积运算律：1( a) b (a b) a ( b) . 2a b b a交换律.3a (b c) a b a c分

5、配律.空间向量的直角坐标与其运算1、空间直角坐标系：1假设空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 1，这个基底叫单位正交基底，用?,j,k表示；2在空间选定一点 0和一个单位正交基底i, j,k，以点0为原点， 分别以i, j,k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴.我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz，点0叫原点，向量ij,k都叫坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面；2、空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系 0 xyz中，对空间任一点 A，存在唯一的有序实数组 (x, y,z)，使OA xi yj zk3、

6、空间向量的直角坐标运算律:1假设a(ai , a2，a3)，abb1,a2 d,a3bj,ab佝b|,a2 d,a3b3),abdba2b2a3b3 ,a/babab a2b2 asbs0.a ( a1 , a2， a3)(a1b1 , a2R),a3b3(R),2假设 A(X1,%,z1), B(X2,y2,Z2)，那么 AB 区 捲小乙).一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4、模长公式：假设 a (a1,a2,a3),那么| a|b(0,1324),| b | vb b =b2 b22b32 .5、夹角公式:a b|a| |b|ab 玄2匕2a

7、3 b36、两点间的距离公式：假设A(x1, y-i ,z1) , B(x2, y2, z2),那么| AB|xj2 (y2 y2 (z? z)2，或 dA,B(X2 xj2 (y2 yj2 (Z2 zj2.空间向量应用.在空间直角坐标系中，由A(xi, y1,zO与一、直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量B(X2, y2,Z2)确定直线AB的方向向量是 AB (X2为以zj .平面法向量如果a，那么向量a叫做平面 的法向量.、证明平行问题1、线线平行:证明两直线平行可用a/b qbath(R)或 a/ba1 旦b b-U1 2A2、线面平行:直线l的方向向

8、量为a，平面的法向量为n，且1.，假设an即an0那么a/3、面面平行:平面的法向量为q，平面的法向量为比，假设n1 / n2即n1n2那么/ .三、证明垂直问题1 .线线垂直:证明两直线垂直可用a balb a2b2 a3b32、线面垂直:3、面面垂直:直线平面的方向向量为的法向量为a，平面 q，平面的法向量为n,且I的法向量为n2，假设nJ，假设a/n即a n那么an,即a n20那么.四、求夹角1、线线夹角:(bdbD(0,90为一面直线所成角，那么： a b |a| |b| cos a,b ；cos a,b3i bja?b2836|a|b|，-a222a2a3；cos |cos a,b

9、 |.2、线面夹角：如图，PA为平面 的一条斜线，n为平面 的一个法向量，过 P作平面 的垂线PO，连 结OA那么 PAO为斜线PA和平面 所成的角，记为 易得sin|sin(OP,AP ) | |cos OP, AP |2 | n PA|cos n, AP | |cos n, PA |.|n |PA| 3、面面夹角：设ri|、n2分别是二面角两个半平面、 的法向量,当法向量ni、n2同时指向二面角或二面角外时，二面角 的大小为当法向量ni、n2一个指向二面角，另一外指向二面角外时，二面角的大小为 ni,n2五、距离1、点点距离：设 人(為，卫)，B(X2,y2,Z2)，dA,B ,区 xj2

10、 (y Yi)2 (Z2 乙)2 | Ab | < Ab AB, (X2 Xi)2 (Y2 Yi)2 (Z2 Z1)22、点面距离：A为平面 垂线PO，连结OA那么任一点，PA为平面 的一条斜线，n为平面 的一个法向量，过P作平面 PAO为斜线PA和平面 所成的角，记为 易得|PO| | PA| sin| PA| | cos PA,n | |PA | PA n|PA|n| PA n|n|.设两条异面直线a、b的公垂线的3、线线距离：求异面直线间的距离可以利用向量的正射影性质直接计算方向向量为n,这时分别在a、b上任取A、B两点，那么向量在n上的正射影长就是两条异面直线a、b的距离.即两异

11、面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值 与公垂线的方向向量模的比值 .直线a、b的距离d |AB| LABn|.|n|n|4、线面距离：一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平 面的距离.直线到平面的距离可转化为求点到平面的距离5、面面距离：和两个平行平面同时垂直的直线叫做两个平行平面的公垂线.公垂线夹在这两个平行平面间的局部叫做两个平行平面的公垂线段 .公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.空间向量与其运算一、选择题1、与向量a=(12,5)平行的单位向量是()12A.生,5B.125JC.12 A或竺2D.

12、空，迟1313131313 ' 1313 1313132、A(1 ,1,-2)、B(1 , 1,1，那么线段AB的长度是A.1B.2C.3D.43、向量 a= (1, 2, -2), b= (-2 , -4, 4),那么 a与 b( )A.相交B.垂直C.平行D.以上都不对4、m= 8, 3, a, n = 2b,6,5,假设 m / n ,那么 a+b 的值为()21A.0C.a D.825、假设 a= 2x,1, 3， b=1,-2y,9，如果a与b为共线向量，那么A. x=1, y=11B.x= , y=-2C.x= , y=-6 2D.x=- 1 , y=?6 26、a = 1

13、,5,-2,b = m,2,m+2,假设那么m的值为A.0B.6C.-67、假设非零向量a= x1, y1, z1, b= X2,y2 , z2，那么X1x2y1y2彳是a与b同向或反向的z2A.充分不必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.不充分不必要条件OG=3GG1,假设 OG =8、A一 1 , - 2, 6，B 1, 2 , - 6O为坐标原点，那么向量 0A,与0B的夹角A. 1 ,1, 1B. 3 ,33 C44444411、a= (2,1,3),b= ( 1,4,-2),c= (7,5,6263 6065BC.D.yxOA+y OB+zOC，那么x, y, z为)丄,11D.

14、 2 ,22333333加假设a, b, c三向量共面，那么实数 入等于D A . 0B.2C.D. 29、A 2, 5,1,B 2,2,4 ,C 1,4,1 ,那么向量AB与 AC的夹角为A. 300B.450C.600D. 90010、设OABC是四面体,G1是厶ABC的重心,G是OG1上一点，且12、a = (- 1,- 5, - 2), b = (x,2,x 2),假设 a b，那么 x=()14A. 0B.C6 D .土 6313、设 a = (m, 1,2), b = (3, 4,n),假设 a/b，那么 m, n 的值分别为()3 3, 8C., 84 414、向量a(0, 2,

15、1), b(- 1,1, - 2)，那么a与b的夹角为(15、16、A. 0°假设斜线段AB是它在平面A. 60° B. 45° C. 30° D . 120 °2, 1, 3，b=一 1 , 4, 2，45 °的射影长的C. 90 °2倍，那么AB与D.所成的角为()180 °17、a=627C.在正三角形c= 7,6475,入，假设a、b、c三向量共面，那么实数入等于D.657ABC中，AD丄BC于D，沿AD折成二面角1B AD C 后，BC AB ,2这时二面角 B-A. 60° B. 45

16、6; C. 90° D.120 °18、矩形 ABCD 中，AB= 1 , BC所成的角是()A. 30° B. 45° C. 60° D.90°AD C的大小为,FA丄平面19、()ABCD ,20、设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足 那么 BCD是A 钝角三角形B.直角三角形C.PC是从P点引出的三条射线，每两条的夹角为 )FA、PB、弦值为(AB AC 0, AB AD 0, AC AD 锐角三角形D.不确定60°,那么直线PC与平面FA = 1,那么PC与平面 ABCDAFB所成角的余33D 3 D.2填空题

17、21、向量 a =(4, 2,4), b =(6, 3, 2),那么a在b方向上的投影是22、 AB (1,0,2), AC (2,1,1)，那么平面ABC的一个法向量为 .23、 / BOC 在平面 ，OA 是平面 的一条斜线，假设/ AOB = / AOC = 60°, OA = OB= OC= a, BC =J2a，那么OA与平面所成的角是.24、空间四边形 ABCD，那么 ab CD+BC AD + CA °BD=25、点 A(1,2,1),B(-1,3,4)、D(1,1,1),假设 AP 2PB,那么 | PD 的值是 26、空间三点 A、B、C坐标分别为(0,

18、0, 2), (2, 2, 0), (-2 , -4, -2)，点P在xOy平面上且PA丄AB, PA丄AC,那么P点坐标为.827、a= (1,入2) , b = (2 , 1,2)，且a与b的夹角的余弦为9,那么 入= 三、解答题28、a 2,4, x ,b 2, y,2，假设 a6且ab，求 x y 的值.29、设向量a 3,5, 4 ,b 2,1,8，计算3a 2b,a b,并确定,的关系，使 ab与z轴垂直.30、如图，在平行六面体 ABCD AiBiCiDi 中，AB a, AD b, AA1c,2AM MC, AN 2ND，试用31、如图，底面 ABCD为矩形，侧棱 PA丄底面ABCD，AB 3，BC = 1，PA = 2，求直线AC与PB所成角的余弦值.32、一条线段夹在一个直二面角的两