2016年四川省高考数学试卷-理科-解析

1、2021年省高考数学试卷理科一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1. 5分设集合A=x|- 2< x< 2, Z为整数集，那么AQZ中元素的个数是A.3 B. 4C. 5 D. 62. 5分设i为虚数单位，那么x+i6的展开式中含x4的项为4444A. - 15xB. 15x C.- 20ixD. 20ix3. 5分2021?校级模拟为了得到函数 y=sin 2x-的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动个单位长度D.向右平行移动个单位长度4.

2、5分用数字1, 2, 3, 4, 5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为A. 24 B. 48C. 60D. 725. 5分2021?丨某公司为鼓励创新，方案逐年加大研发资金投入.假设该公司2021年全年投入研发资金 130万元，在此根底上，每年投入的研发资金比上一年增长12%那么该公司全年投入的研发资金开始超过 200万元的年份是参考数据：Ig1.12=0.05, Ig1.3=0.11, Ig2=0.30A. 2021 年 B. 2021 年C. 2021 年D. 2021 年6. 5分九韶是我国南宋时期的数学家，普州现省安岳县人，他在所著的?数书九章?中提出的多项式求值的九韶算法，至

3、今仍是比较先进的算法.如下列图的程序框图给出了利用九韶算法求某多项式值的一个实例，假设输入n,x的值分别为3,2,那么输出v的值为A. 9B. 18C. 20D. 352 27. 5分设p：实数x, y满足x - 1+y - 1< 2, q：实数x, y满足，那么p是q 的 A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件8 5分设0为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 y2=2px p> 0上任意一点，M是线 段PF上的点，且|PM|=2|MF|，那么直线 OM的斜率的最大值为A. B . C. D. 19. 5分2021?设直线l i, 12分别是函数f

4、 X=图象上点Pi, P2处的切线，li与12 垂直相交于点P,且丨1,丨2分别与y轴相交于点A, B,那么 PAB的面积的取值围是 A. 0, 1 B. 0, 2C. 0, +8D. 1, +810. 5分在平面，定点 A, B, C, D满足=,?=?=?= - 2，动点P, M满足=1,=，那么2II的最大值是A. B . C. D.二、填空题：本大题共 5小题，每题5分，共25分.11. 5分2021秋？南开区期末-=.12. 5分同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验 成功，那么在2次试验中成功次数 X的均值是.13. 5分三棱锥的四个面都是腰长为2的等

5、腰三角形，该三棱锥的正视图如下列图，那么 该三棱锥的体积是.14. 5分函数f x是定义在R上的周期为2的奇函数，当0VXV 1时，f x=4x,那 么 f-+f 1=15. 5分在平面直角坐标系中， 当Px, y不是原点时，定义P的“伴随点'为 P'，; 当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身， 平面曲线C上所有点的“伴随点"所构成的 曲线C'定义为曲线 C的“伴随曲线".现有以下命题： 假设点A的“伴随点"是点 A',那么点A'的“伴随点"是点 A; 单位圆的“伴随曲线"是它自身； 假设曲线C关于x

6、轴对称，那么其“伴随曲线"C关于 y轴对称； 一条直线的“伴随曲线"是一条直线.其中的真命题是写出所有真命题的序列 三、解答题：本大题共 6小题，共75分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. 12分我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，方案调整居 民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x吨，一位居民的月用水量不超过x的局部按平价收费， 超出x的局部按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获 得了某年100位居民每人的月均用水量单位：吨，将数据按照0 , 0.5，0.5 ,1，, 4 , 4.5丨分成9组，制成了如下列图的频率分布

7、直方图.组距628-4 H.O.O oooo月均用水虽吨I求直方图中 a的值；设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；川假设该市政府希望使 85%勺居民每月的用水量不超过标准x吨，估计x的值，并说明理由.17. 12分2021?在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别是 a, b, c,且+=.I证明：sinAsinB=sinC ;2 2 2假设 b +c - a =bc,求 tanB .18. 12 分如图，在四棱锥 P- ABCD中, AD/ BC / ADCM PAB=90 , BC=CD=AD E为棱 AD的中点，异面直线 PA与CD所成的角为90&

8、#176;.I在平面 PAB找一点M使得直线CM/平面PBE并说明理由；假设二面角 P- CD- A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.19. 12分数列an的首项为1, S为数列an的前n项和，S+1=qS+1，其中q > 0, n N*. I假设2a2, as, a2+2成等差数列，求 an的通项公式；2设双曲线 x - =1的离心率为en,且e2=,证明：e什e2+? ? ? +en >.20. 13分椭圆E： +=1 a> b> 0的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶 点，直线I : y= - x+3与椭圆E有且只有一个公共

9、点 T.I求椭圆E的方程与点T的坐标；设O是坐标原点，直线I '平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B,且与直线I交于点P.证明：存在常数 入，使得|PT| 2=入|PA| ? |PB|，并求入的值. 221. 14 分设函数 fx=ax - a Tnx，其中 a R.I讨论f x的单调性；确定a的所有可能取值，使得 fx>- e1 %在区间1, +8恒成立e=2.718 为自然对数的底数.2021年省高考数学试卷理科参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1. 5分设集合 A=x| - 2<

10、x< 2, Z为整数集，那么 AAZ中元素的个数是A. 3B. 4C. 5D. 6【考点】交集与其运算.【专题】集合思想；定义法；集合.【分析】由A与Z,求出两集合的交集，即可作出判断.【解答】 解： A=x| - 2W xw 2, Z为整数集， An Z= - 2, - 1 , 0, 1 , 2,那么An Z中元素的个数是 5,应选：C.【点评】此题考查了交集与其运算，熟练掌握交集的定义是解此题的关键.2. 5分设i为虚数单位，那么x+i6的展开式中含X4的项为4444A. - 15x B. 15x C.- 20ixD. 20ix【考点】二项式系数的性质.【专题】 对应思想；转化法；二

11、项式定理.【分析】利用二项展开式的通项公式即可得到答案.【解答】 解：x+i6的展开式中含x4的项为X4? i2=- 15x4, 应选：A.属于中【点评】此题考查二项式定理，深刻理解二项展开式的通项公式是迅速作答的关键, 档题.3. 5分2021?校级模拟为了得到函数y=sin 2x-的图象，只需把函数 y=sin2x的图象上所有的点A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动个单位长度D.向右平行移动个单位长度【考点】函数y=Asin3 x+ 的图象变换.【专题】 三角函数的图像与性质.【分析】由条件根据函数y=Asin3 x+0的图象变换规律，可得结论.【解答】解：

12、把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2x-=sin 2x-的图象，应选：D.【点评】此题主要考查函数 y=Asin3 x+0丨的图象变换规律，属于根底题.4. 5分用数字1, 2, 3, 4, 5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为A. 24 B. 48 C. 60D. 72【考点】排列、组合的实际应用.【专题】应用题；方程思想；综合法；排列组合.【分析】用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位奇数，可以看作是填 5个空，要求个位是 奇数，其它位置无条件限制， 因此先从3个奇数中任选1个填入，其它4个数在4个位置上 全排列即可.【解答】解：要组成无重复数字的五

13、位奇数，那么个位只能排1 , 3, 5中的一个数，共有 3种排法，然后还剩4个数，剩余的4个数可以在十位到万位 4个位置上全排列，共有 =24种排法.由分步乘法计数原理得，由 1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有3X 24=72个.应选：D.【点评】此题考查了排列、组合与简单的计数问题，此题是有条件限制排列，解答的关键是 做到合理的分布，是根底题.5. 5分2021?丨某公司为鼓励创新，方案逐年加大研发资金投入.假设该公司2021年全年投入研发资金 130万元，在此根底上，每年投入的研发资金比上一年增长12%那么该公司全年投入的研发资金开始超过 200万元的年份是参考数据：Ig1

14、.12=0.05, Ig1.3=0.11, Ig2=0.30A. 2021 年 B. 2021 年C. 2021 年D. 2021 年【考点】 等比数列的通项公式.【专题】转化思想；等差数列与等比数列；不等式的解法与应用.【分析】设第n年开始超过200万元，可得130X 1 + 12% n2021>200,两边取对数即可得 出.【解答】 解：设第n年开始超过200万元，那么 130X 1+12%2021> 200,化为：n-2021Ig1.12 >Ig2 - Ig1.3 ,n 2021 > =3.8 .取 n=2021.因此开始超过200万元的年份是2021年.应选：B

15、.【点评】此题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属 于中档题.6. 5分九韶是我国南宋时期的数学家，普州现省安岳县人，他在所著的?数书九章?中提出的多项式求值的九韶算法， 九韶算法求某多项式值的一个实例,至今仍是比较先进的算法.假设输入n,x的值分别为如下列图的程序框图给出了利用3,2,那么输出v的值为A. 9B. 18 C. 20D. 35【考点】程序框图.【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图.【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i , v的值，当i= - 1时，不满足条件i >0,跳出循环，输出 v的值为18.【解答】 解：

16、初始值n=3, x=2,程序运行过程如下表所示：v=1i=2 v=1 X 2+2=4i=1 v=4 X 2+仁9i=0 v=9 X 2+0=18i= - 1跳出循环，输出v的值为18.应选：B.【点评】此题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的i , v的值是解题的关键，属于根底题.7. 5分设p：实数x, y满足x- 12+y - 12<2, q：实数x, y满足，那么p是q 的 A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件【考点】简单线性规划的应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断.【专题】转化思想；转化法；简易逻辑.【分析】画

17、出p, q表示的平面区域，进而根据充要条件的定义，可得答案.【解答】 解：x- 12+y - 1冬2表示以1, 1为圆心，以为半径的圆区域包括边 界； 满足的可行域如图有阴影局部所示，7Xo/ 宀故p是q的必要不充分条件,应选：A【点评】此题考查的知识是线性规划的应用，圆的标准方程，充要条件，难度中档.& 5分设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 y2=2pxp> 0上任意一点，M是线 段PF上的点，且|PM|=2|MF|，那么直线 OM勺斜率的最大值为A. B . C. D. 1【考点】抛物线的简单性质.【专题】方程思想；分析法；不等式的解法与应用；圆锥曲线的定义、性质与方程

18、.【分析】由题意可得F，0，设P，yo，要求koM的最大值，设yo>0，运用向量的加减 运算可得=+= +,，再由直线的斜率公式，结合根本不等式，可得最大值.【解答】 解：由题意可得F，0，设P，yo，显然当 y°v 0, koM< 0 ;当 yo> 0, ko> 0.要求koM的最大值，设y0> 0,那么=+=+=+ =+= +,，可得 koM=< =,当且仅当y°2=2p2，取得等号.应选：C.【点评】此题考查抛物线的方程与运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用根本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题.9. 5分2021?

19、设直线l i, I2分别是函数f X=图象上点Pi, P2处的切线，li与l 2 垂直相交于点P,且Ii,l2分别与y轴相交于点A, B,那么 PAB的面积的取值围是 A. 0,1 B. 0,2C. 0,+8D. 1,+8【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】 综合题；函数思想；综合法；导数的综合应用.【分析】设出点P1, P2的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线丨1与l 2的斜率，由两直线垂直求得P1, P2的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A, B两点的纵坐标，得到|AB|，联立两直线方程求得 P的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用根本不等式求得厶PAB

20、的面积的取值围.【解答】 解：设 P1X1, yj, P2X2, y2 0v X1< 1v X2，当 0< x < 1 时，f' x=，当 x > 1 时，f' x=,11的斜率，I 2的斜率，T1 1 与 l 2 垂直，且 X2 > X1 > 0 ,即卩 X1X2 = 1 .直线 l 1： , l 2：.取 x=0 分别得到 A0, 1 - lnX1，B 0, - 1+lnX2，|AB|=|1 - lnx 1 1+lnx 2|=|2 lnx 1+Inx 2|=|2 - lnx 1X2|=2 .联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=, |AB

21、| ? |x p|=.函数y=x+在0, 1上为减函数，且 0<X1< 1,那么， PAB的面积的取值围是0, 1.应选：A.【点评】此题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用根本不等式求函数的最值，考查了数学转化思想方法，属中档题.10. 5分在平面，定点 A, B, C, D满足=,?=?=?= - 2，动点P, M满足=1,=，那么2II的最大值是A. B . C. D.【考点】平面向量数量积的运算.【专题】转化思想；分析法；平面向量与应用.【分析】 由=，可得D为厶ABC的外心，又？ =? =?，可得可得 D为厶ABC的垂心，那么 D 为厶ABC的中心，即 A

22、BC为正三角形运用向量的数量积定义可得厶 ABC的边长，以A为 坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy,求得B, C的坐标，再设P cos 0, sin 0,OW0V 2n，由中点坐标公式可得 M的坐标，运用两点的距离公式可得 BM的长，运用三 角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值.【解答】 解：由=,可得DABC的外心，又？ =? =?，可得? -=0, ? -=0,即？ =? =0,即有丄，丄，可得 DABC的垂心，那么DABC的中心，即 ABC为正三角形.由？ =- 2,即有 | ? |cos120 ° =- 2,解得 |=2 , ABC的边长为

23、4cos30° =2,以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系 xOy, 可得 B 3,-，C 3,，D 2, 0，由=1，可设 P cos 0, sin 0, OW0v 2 n,由=，可得M为PC的中点，即有 M，那么 | 2=3-2+ +2=+=一 ?当 sin 0-应选：B.=1, 即卩0 =时，取得最大值，且为.【点评】此题考查向量的定义和性质，以与模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题.二、填空题：本大题共 5小题，每题5分，共25分.11. 5分2021秋？南开区期末-=.【考点】二倍角的余弦.【专题】计算题

24、.【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值，即可得到所求式子的值.2 2【解答】解：cos - sin=cos2X=cos=.故答案为：【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以与特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解此题的关键.12. 5分同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验 成功，那么在2次试验中成功次数 X的均值是.【考点】离散型随机变量的期望与方差.【专题】 计算题；转化思想；综合法；概率与统计.【分析】由对立事件概率计算公式求出这次试验成功的概率，从而得到在2次试验中成功次数XB 2,，由此能求出在 2次试验中成功次数

25、X的均值EX.【解答】解：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，这次试验成功的概率 p=1 -2=，在2次试验中成功次数 XB 2,，在2次试验中成功次数 X的均值EX=.故答案为：.【点评】此题考查离散型随机变量的分布列的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意对 立事件概率计算公式的合理运用.13. 5分三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如下列图，那么该三棱锥的体积是.【考点】由三视图求面积、体积.【专题】 计算题；空间位置关系与距离；立体几何.【分析】由结合给定的三棱锥的正视图，可得：三棱锥的底面是底为2，高为1,棱锥的高为1,进而

26、得到答案.【解答】 解：三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，结合给定的三棱锥的正视图，可得：三棱锥的底面是底为 2，高为1，棱锥的高为1，故棱锥的体积 V=XX 2X 1X仁，故答案为：【点评】此题考查的知识点是由三视图，求体积和外表积，根据的三视图，判断几何体的形状是解答的关键.14. 5分函数f x是定义在R上的周期为2的奇函数，当OVXV 1时，f x=4x，那 么 f+f 1=- 2.【考点】函数奇偶性的性质.【专题】 计算题；函数思想；综合法；函数的性质与应用.【分析】根据fX是周期为2的奇函数即可得到f-=f- 2-=f-=-f， 利用当0VXV 1时，fx=4X，求出f-，再

27、求出f 1，即可求得答案.【解答】 解：T f X是定义在R上周期为2的奇函数， f-=f- 2 -=f-= - f丨Tx 0，1时，fX=4X， f-=- 2，/f x是定义在R上周期为2的奇函数， f- 1=f 1，f- 1=- f 1， f 1=0， f-+f 1=- 2.故答案为：-2【点评】考查周期函数的定义，奇函数的定义，学会这种将自变量的值转化到函数解析式fx所在区间上的方法.15. 5分在平面直角坐标系中， 当Px, y不是原点时，定义P的“伴随点'为 P'，丨; 当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身， 平面曲线C上所有点的“伴随点"所构成的 曲线

28、C'定义为曲线 C的“伴随曲线"现有以下命题： 假设点A的“伴随点"是点 A',那么点A'的“伴随点"是点 A; 单位圆的“伴随曲线"是它自身； 假设曲线C关于x轴对称，那么其“伴随曲线"C'关于 y轴对称； 一条直线的“伴随曲线"是一条直线.其中的真命题是写出所有真命题的序列.【考点】命题的真假判断与应用.【专题】 综合题；转化思想；综合法；简易逻辑.【分析】利用新定义，对4个命题分别进展判断，即可得出结论.【解答】解:假设点Ax, y的“伴随点"是点 A ，那么点A ，的“伴随点"

29、; 是点-x,- y，故不正确； 由可知，单位圆的“伴随曲线"是它自身，故正确； 假设曲线C关于x轴对称，点Ax, y关于x轴的对称点为x, - y，“伴随点"是点A'-,，那么其“伴随曲线"C'关于 y轴对称，故正确； 设直线方程为y=kx+bbz0，点Ax, y的“伴随点"是点 A' m n，那么点 A x, y的“伴随点"是点 A'， x=-, y=t m= 代入整理可得 n- 1=0表示圆，故不正确.故答案为：.【点评】此题考查点的坐标规律，读懂题目信息，理解“伴随点"的定义是解题的关键.三、解

30、答题：本大题共 6小题，共75分解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. 12分我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，方案调整居 民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x吨，一位居民的月用水量不超过x的局部按平价收费， 超出x的局部按议价收费为了了解居民用水情况，通过抽样，获 得了某年100位居民每人的月均用水量单位：吨，将数据按照0 , 0.5，0.5 ,1，, 4 , 4.5丨分成9组，制成了如下列图的频率分布直方图.40a62 84 .11.OQ OOOO_-5 4 4.5月均用水里U屯I求直方图中 a的值；设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量

31、不低于3吨的人数，并说明理由；川假设该市政府希望使 85%勺居民每月的用水量不超过标准 x吨，估计x的值，并说 明理由.【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征；频率分布直方图.【专题】 计算题；图表型；概率与统计.【分析】I根据各组的累积频率为1，构造方程，可得 a值；由图可得月均用水量不低于3吨的频率，进而可估算出月均用水量不低于3吨的人数；由图可得月均用水量低于2.5吨的频率与月均用水量低于3吨的频率，进而可得 x值.【解答】 解：I： 0.5 X 0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a=1,a=0.3 ；口由图可得月均用水量不低于3吨的频率为：0.5

32、 X 0.12+0.08+0.04 =0.12 ,由30X 0.12=3.6得：全市居民中月均用水量不低于3吨的人数约为3.6万；由图可得月均用水量低于2.5吨的频率为：0.5 X 0.08+0.16+0.3+0.4+0.52=0.73V 85%月均用水量低于 3 吨的频率为：0.5 X 0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3=0.88 > 85%那么 x=2.5+0.5 X =2.9 吨【点评】此题考查的知识点是频率分布直方图，用样本估计总体，难度不大，属于根底题.17. 12分2021?丨在AA BC中，角A, B, C所对的边分别是 a, b, c,且+=.I证明：s

33、inAsinB=sinC ；2 2 2假设 b +c - a =bc,求 tanB .【考点】 余弦定理的应用；正弦定理；余弦定理.【专题】 计算题；规律型；转化思想；解三角形.【分析】I将等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，禾U用正弦定理，即可证明.由余弦定理求出 A的余弦函数值，利用I的条件，求解B的正切函数值即可.【解答】I证明：在厶ABC中，T +=,由正弦定理得：，=,/ sin A+B=sinC .整理可得：sinAsinB=sinC ,229解：b +c - a =bc,由余弦定理可得 cosA=.sinA=,=+=1,=,tanB=4 .【点评】 此题主要考查了正弦定理，余

34、弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形角和定理， 三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于中档题.18. 12 分如图，在四棱锥 P- ABCD中, AD/ BC / ADCM PAB=90 , BC=CD=AD E为棱 AD的中点，异面直线 PA与CD所成的角为90°.I在平面 PAB找一点M使得直线CM/平面PBE并说明理由；假设二面角 P- CD- A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定.【专题】数形结合；转化思想；空间位置关系与距离；空间角.【分析】I延长AB交直线CD于点M由点E为AD的中点，可得A

35、E=ED=AD由BC=CD=AP 可得ED=BC ED/ BC可得四边形 BCDE为平行四边形，即 EB/CD利用线面平行的判定定 理证明得直线CM/平面PBE即可.II如下列图，由/ ADCM PAB=90，异面直线PA与CD所成的角为90° ABA CD=M可得AP丄平面 ABCD由CDL PD PAL AD因此/ PDA是二面角 P- CD- A的平面角，大小为 45°. PA=AD 不妨设 AD=2 那么 BC=CD=AD=1 可得 P 0, 0, 2，E 0, 1, 0，C- 1, 2, 0，利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出.【解答】 解：I

36、延长AB交直线CD于点M, 点E为AD的中点， AE=ED=AD/ BC=CD=AD. ED=BC AD/ BC即ED/ BC 四边形 BCDE为平行四边形，即 EB/ CD/ ABA CD=M M CD - CM/ BE/ BE?平面 PBE - CM/ 平面 PBE/ M AB, AB?平面 PAB M平面PAB故在平面 PAB可以找到一点 M M=AA CD ,使得直线 CM/平面PBEII如下列图，/ ADCM PAB=90，异面直线PA与 CD所成的角为 90°, ABA CD=M AP丄平面ABCD CDLPD PALAD因此/ PDA是二面角P- CD- A的平面角，大

37、小为 45°. PA=AD不妨设 AD=2 那么 BC=CD=AD=1 P 0, 0, 2，E 0, 1, 0，C- 1 , 2 , 0， =- 1, 1, 0，= 0 , 1, - 2，= 0 , 0 , 2，设平面PCE的法向量为=x , y , z,那么，可得：.令 y=2 ,那么 x=2 , z=1, = 2 , 2 , 1.设直线PA与平面PCE所成角为0 ,那么 sin 0 =.【点评】此题考查了空间位置关系、 空间角计算公式、法向量的性质，考查了空间想象能力、 推理能力与计算能力，属于中档题.19. 12分数列an的首项为1 , S为数列an的前n项和，S+1=qS+1

38、 ,其中q > 0 , n N*. I假设2a2 , a3 , a2+2成等差数列，求 an的通项公式；n设双曲线 x2- =1的离心率为en ,且e2=,证明：e1+e2+? ? ? +en>.【考点】数列与解析几何的综合；数列的求和.【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列.【分析】I由条件利用等比数列的定义和性质，求得数列an为首项等于1、公比为q的等比数列，再根据 2a2 , a3 , a2+2成等差数列求得公比 q的值，可得a n的通项公式.n利用双曲线的定义和简单性质求得en=,根据e2=,求得q的值，可得an的解析式,再利用放缩法可得.e n=> ,从而证得

39、不等式成立.【解答】解:ITS n+1=q0+1，当n?2时，0=q0-1+1，两式相加你可得an+1=q? an , 即从第二项开始，数列an为等比数列，公比为 q .当 n=1 时,数列a n的首项为 1,.a 1+a2=S2=q? a1+1,.a 2=q=a1? q ,数列a n为等比数列，公比为 q.t 2a2 , a3 , a2+2成等差数列, 2q+q+2=2q ,求得 q=2 ,或 q=-.n- 1*根据 q> 0 ,故取 q=2 , a n=2 , n N .n证明：设双曲线 x2- =1的离心率为en ,e n=.由于数列an为首项等于1、公比为q的等比数列，e2=,

40、q=,'a n=,e n= = > =. ei+e2+? ? ? +en> 1+=,原不等式得证.【点评】此题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，用放缩法进展数列求和，数曲线 的简单性质，属于难题.20. 13分椭圆E： +=1 a> b> 0的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线I : y= - x+3与椭圆E有且只有一个公共点 T.I求椭圆E的方程与点T的坐标；设O是坐标原点，直线I '平行于OT,与椭圆E交于不同的两点 A、B,且与直线I2交于点P.证明：存在常数 入，使得|PT| =入|PA| ? |PB|，并求入的值.【考点

41、】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程.【专题】数形结合；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】I根据椭圆的短轴端点C与左右焦点Fi、F2构成等腰直角三角形，结合直线I与椭圆E只有一个交点， 利用判别式 =0,即可求出椭圆 E的方程和点T的坐标；设出点P的坐标，根据I '/ OT写出I '的参数方程，代人椭圆E的方程中，整理得出方程，再根据参数的几何意义求出|PT| 2、|PA|和|PB|，由|PT| 2=入|PA| ? |PB|求出入的值.【解答】 解：I设短轴一端点为C0,b，左右焦点分别为F1-c,0，F2c,0,其中c> 0,那么 c2+b2=

42、a2；由题意，AF 1F2C为直角三角形， =+，解得 b=c=a，椭圆E的方程为+=1；2 2代人直线 I : y= - x+3，可得 3x - 12X+18 - 2b =0，2 2 2又直线I与椭圆E只有一个交点，那么 =12 - 4X 3 18- 2b=0,解得b =3，椭圆E的方程为+=1；由b2=3,解得x=2,那么y= - x+3=1，所以点T的坐标为2, 1；设 P X0, 3 - X。在 I 上，由 kOT=, I '平行 OT,得I '的参数方程为，代人椭圆E中，得+2=6,整理得 2t +4t+ - 4x°+4=0;设两根为tA, tB,那么有t A? tB=；2而