高等数学 向量代数与空间解析几何题

1、第五章 向量代数与空间解析几何5.1.1 向量的概念例1 在平行四边形中，设a，b。试用a和b表示向量、和，这里是平行四边形对角线的交点（图58）解 由于平行四边形的对角线互相平行，所以 ab2即 （ab）2于是 （ab）。因为，所以（ab）.图58又因ab2，所以（ba）.由于，（ab）.例2 设液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的速度均为（常向量）v。设n为垂直于S的单位向量（图511（a），计算单位时间内经过这区域流向n所指向一侧的液体的质量P（液体得密度为）. （a）（b）图511解 该斜柱体的斜高| v |，斜高与地面垂线的夹角为v与n的夹角，所以这柱体的高为|

2、 v |cos,体积为 A| v |cos=Av·n.从而，单位时间内经过这区域流向n所指向一侧的液体的质量为P= Av·n.例3 设的三条边分别是a、b、c(图515)，试用向量运算证明正弦定理 证明 注意到CB=CA+AB,故有CBCA=(CA+AB) CA=CACA+ABCA =ABCA =AB(CB+BA) =ABCB图515于是得到 CBCA=ABCA =ABCB从而 |CBCA|=|ABCA| =|ABCB|即 absinCcbsinAcasinB所以5.2 点的坐标与向量的坐标例1 已知点A(4,1,7)、B(-3,5,0)，在y轴上求一点M，使得|MA|=|

3、MB|.解 因为点在y轴上，故设其坐标为，则由两点间的距离公式，有解得，故所求点为例2 求证以三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解 因为所以，即为等腰三角形.5.2.2 向量运算的坐标表示例3 设有点，求向量的坐标表示式。解 由于，而，于是 即例4 已知两点A（4，0，5）和B（7，1，3），求与方向相同的单位向量e.解 因为（7，1，3）（4，0，5）（3，1,2），所以，于是 e.例5 求解以向量为未知元的线性方程组 其中a（2,1,2），b=(-1,1,-2).解 解此方程组得x=2a3b , y =3a5b以a，b代入，即得x=2(2,1,2)3(1,1,2)=(7,1,10)y=3

4、(2,1,2)5(1,1,2)=(11,2,16).例6 已知两点A和B以及实数，在直线AB上求点M，使.解 如图713所示.由于，因此（），从而（）.以、的坐标（即点A、点B的坐标）代入图713本例中的点M称为定比分点，特别地当时，得线段AB的中点为.例7 已知两点和，计算向量的模、方向余弦和方向角.解 （12, 32,0） =(1, 1,);|= =;.例8 已知三点M( 1, 1, 1)、A( 2, 2, 1)和B( 2, 1, 2), 求AMB.解 作向量，则AMB为向量与的夹角. 这时=( 1, 1, 0)，=( 1, 0, 1)，从而 =11+10+01=1; |=;=.从而cos

5、AMB=,由此得AMB.例9 设立方体得一条对角线为OM，一条棱为OA，且|OA|=a，求在方向OM上的投影.解 如图521所示，记MOA，有，于是.图521例10 设a（2，1，1），b（1，1，2），计算ab.解 ab.例11 已知三角形ABC的顶点分别是A（1，2，3）、B（3，4，5）、和C（2，4，7），求三角形ABC的面积.解 由向量积对于，可知三角形ABC的面积由于（2，2，2）， （1，2，4），因此于是 例12 设刚体以等角速度绕轴旋转，计算刚体上一点M的线速度.解 刚体绕轴旋转时，我们可以用在轴上的一个向量表示角速度，它的大小等于角速度的大小，它的方向由右手规则定出：即以右

6、手握住轴，当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时，大拇指的指向就是的方向（图522）. 图522设点M到旋转轴轴上任取一点O做向量r，并以表示与r的夹角，那么a=| r |sin.设线速度为v，那么由物理学上线速度与角速度的关系可知，v的大小为| v |=| a=| r |sin;v的方向垂直于通过点M的与轴的平面，即v垂直于与r；又v的指向是使、r、v符合右手规则，因此有v=r.例13 已知不在一平面上的四点：A（）、B（）、C（）、D（）. 求四面体ABCD的体积. 解 由立体几何知道，四面体的体积等于以向量、和为棱的平行六面体的体积的六分之一. 因而=由于=,=,=所以=上式中符号

7、的选择必须和行列式的符号一致.5.3 空间的平面与直线5.3.1 平面例1 已知空间两点和，求经过点且与直线垂直的平面方程。解 显然就是平面的一个法向量由点法式方程可得所求平面的方程为即例2 求过三点（2，1，4）、（1，3，2）和（0，2，3）的平面的方程。解 先找出这平面的法线向量n. 由于向量n与向量、都垂直，而（3，4，6），（2，3，1），所以可取它们的向量积为n：n14i9jk,根据平面的点法式方程（1），得所求平面的方程为14(x2)9(y1)(z4)0，即14x9yz150.例3 设一平面与x，y，z轴的交点依次为P(a，0，0)、Q(0，b，0)、R(0，0，c)三点（图52

8、4），求这平面的方程（其中a0，b0，c0）.解 设所求的平面的方程为Ax+By+Cz+D=0.因P(a，0，0)、Q(0，b，0)、R(0，0，c)三点都在平面上，所以点P、Q、R的坐标都满足方程（2）；即有得.以此代入（2）并除以D（D0），便得所求的平面方程为图524(5)方程（5）叫做平面的截距式方程，而a、b、c依次叫做平面在x、y、z轴上的截距.例4 因平面通过z轴及点（1，2，3）的平面方程。解 因平面通过z轴，故可设其方程为 AxBy0又因（1，2，3）点在平面上，将其坐标代入方程，则有A2B0，即A2B故所求平面方程为2BxBy0，即2xy0例5 设平面的方程为3x2yz50

9、，求经过坐标原点且与平行的平面方程。解 显然所求平面与平面有相同的法向量n（3，2，1），又所求平面经过原点，故它的方程为 3x2yz05.2.3 空间直线例6 求经过两点和的直线方程。解 该直线的方向向量可取n=。由点法式方程立即得到所求直线的方程该方程称为直线的两点式方程。例7 用直线的对称式方程及参数式方程表示直线（4）解 易得（1，0，2）为直线上的一点。直线的方向向量为两平面的法线向量的向量积，从而s=4i j - 3k.因此，所给直线的对称式方程为 令=t，得所给直线的参数方程为5.3.3 点、平面、直线的位置关系1 点到平面的距离例8 求两个平行平面，之间的距离。解 在平面上任取

10、一点，则两平面间的距离d就是点M到的距离，于是d =2 点到直线的距离例9 求点到直线L：的距离解 由直线方程知点在L上，且L的方向向量s=(1,-3,5)。从而代入（11），得点M到L的距离为3. 两平面之间的夹角例10 一平面通过两点和且垂直于平面x+y+z=0，求它的方程.解 设所求平面的一个法线向量为 n（A，B，C）.因(1，0，2)在所求平面上，它必与n垂直，所以有A2C=0(7)又因所求的平面垂直于已知平面x+y+z=0，所以又有A+B+C=0.(8)由（7）、（8）得到A=2C， BC.由点法式，平面方程为A(x1)+B(y1)+C(z1)=0.将A=2C，BC代入上式，并约去

11、C(C0)，便得2(x1)+(y1)+(z1)=0或2xyz0.这就是所求的平面方程.4两直线的夹角例11 求直线:和：的夹角.解 直线的方向向量s=(1,4，1)，的方向向量s=(2,2,1).设直线和的夹角为，那么由公式（5）有cos，故.5. 直线与平面的夹角例12 求过点（1，2，4）且与平面2x3yz40垂直的直线方程。解 因为直线垂直于平面，所以平面的法线向量即为直线的方向向量，从而所求直线的方程为.6平面束例13 求直线在平面x+y+z=0上的投影直线的方程.解 过直线的平面束的方程为即，（14）其中为待定系数。这平面与平面x+y+z=0垂直的条件是，即.代入（14）式，得投影平

12、面的方程为即.所以投影直线的方程为7杂例例14 求与两平面x4z3和2xy5z1的交线平行且过点（3，2，5）得直线方程解 因为所求直线与两平面的交线平行，所以其方向向量s一定同时垂直于两平面的法向量n、n，所以可以取s=nn=(4i+3j +k)，因此所求直线方程为.例15 求直线与平面2x+y+z-6=0的交点.解 所给直线的参数方程为x=2+t，y=3+t，z=4+2t，代入平面方程中，得2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0.得t=-1,代入参数方程得交点为x=1，y=2，z=2.例16 求过点（2，1，3）且与直线垂直相交的直线的方程.过点（2，1，3）且垂直于已知直线的平面

13、方程为3(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0(9)已知直线的参数方程为x=-1+3t，y=1+2t，z=-t.(10)将（10）代入（9）求得，从而求得直线与平面的交点为.以点（2，1，3）为起点，点为终点的向量这就是所求直线的方向向量，故所求直线的方程为5.4 曲面与曲线5.4.1 曲面、曲线的方程例1 建立球心在点、半径为R的球面的方程.解 设M（x，y，z）是球面上的任一点（图5-31），那么 |=R.由于|=，所以（2）这就是球心在、半径为R的球面的方程。如果球心在原点，这时，从而球面方程为 .例2 设有点A（1，2，3）和B（2，-1，4），求线段AB的垂直平分面的方程.解 由题

14、意知，所求的平面就是与A和B等距离的点的几何轨迹。设M（x，y，z）为所求平面上的任一点，由于 |AM|=|BM|，所以 =等式两边平方，然后化简便得 2x - 6y + 2z 7=0例3 方程表示怎样的曲面？解通过配方，原方程可以改写成 ，与（2）式比较知原方程表示球心在点、半径为R=的球面.例4 方程组表示怎样的曲线？解 方程组中第一个方程表示球心在原点，半径为2的球面。而方程组中的第二个方程表示一个垂直于z轴的平面，因此他们的交线为一个园，如图5-33所示。 图532 图533 方程组 （2）当给定时，就得到C上的一个点；随着得变动便可得曲线C上的全部点。方程组（2）叫做空间曲线的参数方

15、程。例5 如果空间一点M在圆柱面上以角速度绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升（其中、v都是常数），那么点M构成的图形叫做螺旋线.试建立其参数方程.解 取时间t为参数.设当t=0时，动点位于x轴上的一点A（a，0，0）处. 经过时间t，动点由A运动到M（x，y，z）（图5-34）.记M在xOy面上的投影为M的坐标为x，y，0.由于动点在圆柱面上以角速度绕z轴旋转，所以经过时间t，AOM=t。从而x=|OM|cosAOM=acost, y=|OM|sinAOM=asint.由于动点同时以线速度v沿平行于z轴的正方向上升，所以 z=MM=vt。因此螺旋线的参数方程为 也可以用其他变

16、量作参数；例如令，则螺旋线的参数方程可写为 这里，而参数为.当OM转过一周时，螺旋线上的点M上升固定的高度.这个高度在工程技术上叫做螺距. 图5345.4.2 柱面、旋转面和锥面1.柱面例6 方程在xO y面上表示圆心在原点O、半径为R的圆，在空间中表示圆柱面（图5-35），它可以看作是平行于z轴的直线l沿xO y面上的圆移动而形成的。这曲面叫做圆柱面（图5-35），xO y面上的圆叫做它的准线，这平行于z轴的直线l叫做它的母线.例7 将xO z坐标面上的双曲线 ，分别绕z轴和x轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解 绕z轴旋转所成的旋转曲面叫做旋转单叶双曲面（图5-41），它的方程为. 图

17、541 图542绕x轴旋转所成的旋转曲面叫做旋转双叶双曲面（图5-42），它的方程为.3锥面例9 求顶点在原点，准线为的锥面方程。图543解 设为锥面上任一点，过原点与M的直线与平面z=c交于点（图5-44），则有由于OM与共线，故既有，代入，整理得（6）这就是所求锥面的方程，该锥面称为椭圆锥面图5445.4.3 二次曲面通常将三元二次方程F（x，y，z）=0所表示的曲面称为二次曲面。而把平面称为一次曲面.二次曲面有九种，它们的标准方程如下（1）椭圆锥面 （图545）（2）椭球面图545图546（3）单叶双曲面（4）双叶双曲面 （5）椭圆抛物面 （图546） （6）双曲抛物面 （图547）（7

18、）椭圆柱面 （8）双曲柱面 （9）抛物柱面 图546 图5475.4.4 空间几何图形举例例10 已知两球面的方程为 （7）和（8）求它们的交线C在xO y面上的投影方程.解 （7）-（8）得 y + z=1.将z=1 y代入（7）或（8）得所求柱面方程为于是投影方程为例11 设一个立体由上半球和锥面所围成（图5-48），求它在 xO y面上的投影.解 半球面和锥面的交线为 C：由上列方程组消去z，得到，这是xO y面上的一个圆，于是所求立体在xO y面上的投影，就是该圆在xO y面上的一个圆， 图5-48于是所求立体xO y面上的投影，就是该圆在xO y面上所围的部分：。习题课例1 已知(-

19、3，0，4)，（5，-2，-14），求BAC角平分线上的单位向量.解 由平面几何的知识知，菱形对角线平分顶角，因此，只要在AB、AC上分别取点B、C，使|AB|=|AC|,则，即为BAC的分角线向量，特别地取、为单位向量，则，（5,-2,-14）于是（5,-2,-14）(-4, -2, -2)= -(2,1,1)其单位向量为 (2,1,1)例2 设a+3b和7a-5b垂直，a-4b和7a-2b垂直，求非零向量a与b的夹角.解 由a+3b7a-5b，a-4b7a-2b得(a+3b)(7a-5b)=7|a|+16ab -16|b|=0 (1)(a-4b)(7a-2b)= 7|a|-30ab +8|

20、b|=0(2)(1)-(2) 得2ab|b| 即2|a|b|cos()=|b|,从而cos().（1）8（2）15，得161|a|322 ab，得cos().由，推得|a|b|. 所以 cos()=().例3已知|a|13，|b|19，|a+b|=24，求|ab|.解 |a+b|(a+b)(a+b)= |a|+2ab+ |b| 又|ab|(ab)(ab)= |a|2ab+ |b| 两式相加,得|ab|2( |a|+ |b|)|a+b|以|a|13，|b|19，|a+b|=24代入，得|ab|2（1319）24484.所以|ab|22.例4 设a+5b，6a+18b，=8(ab)，试证A、B、D三点共线.证 用向量证明三点共线只要证明/,其途径有两种：（1）往证=;(2)往证0.可根据具体情况选择.本例选（1）=+=(6a+18b)+8(ab)=2a+10b=2(a+5b)=2,所以/，即A、B、D三点共线.例5 已知三个向量a、b、c两两都不平行，但(a+b)与c平行，（b+c）与a平行，试证a+b+c=0.证 由于(a+b)/c，(b+c)/a, 所以 即两式想减得 ac0.因为a与c不平行，所以 0，0.即，因此a+b+c=0.例6 已知直线L：及点P(3,-1,2)，过