高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用 1.7.2 定积分在物理中的应用课件 新人教A版选修2-2

1、1.7.2 定积分在物理中的应用类型一类型一 求变速直线运动的路程求变速直线运动的路程【典例典例1 1】(1)(1)物体物体A A的运动速度的运动速度v v与时间与时间t t之间的关系为之间的关系为v=2t-1(vv=2t-1(v的单位是的单位是m/sm/s，t t的单位是的单位是s)s)，物体，物体B B的运动速的运动速度度v v与时间与时间t t之间的关系为之间的关系为v=1+8tv=1+8t，两个物体在相距为，两个物体在相距为405 m405 m的同一直线上同时相向运动，则它们相遇时，的同一直线上同时相向运动，则它们相遇时，A A物体的运动路程为物体的运动路程为_._.(2)(2017(

2、2)(2017漳州高二检测漳州高二检测) )有一动点有一动点P P沿沿x x轴运动，在时轴运动，在时间间t t时的速度为时的速度为v(t)=8t-2tv(t)=8t-2t2 2( (速度的正方向与速度的正方向与x x轴正方轴正方向一致向一致).).求：点求：点P P从原点出发，当从原点出发，当t=6t=6时，点时，点P P离开原点离开原点的路程和位移的路程和位移. .【解题指南解题指南】(1)(1)本题是一个相遇问题，两个物体运动本题是一个相遇问题，两个物体运动的总路程是知道的，我们只需要对时间的总路程是知道的，我们只需要对时间t t进行积分，相进行积分，相加列方程求解出时间，即可求出加列方程

3、求解出时间，即可求出A A物体的运动路程物体的运动路程. .【解析解析】(1)(1)依题意依题意 (2t-1)dt+ (1+8t)dt=405(2t-1)dt+ (1+8t)dt=405，即即(t(t2 2-t) +(t+4t-t) +(t+4t2 2) =5t) =5t2 2=405=405，解得解得t=9t=9，所以所以A A物体的运动路程为物体的运动路程为(t(t2 2-t) =72(m).-t) =72(m).答案答案: :72 m72 mt0t0t0|t0|90|(2)(2)由由v(t)=8t-2tv(t)=8t-2t2 200，得，得0t40t4，即当即当0t40t4时，时，P P

4、点向点向x x轴正方向运动，轴正方向运动，当当t4t4时，时，P P点向点向x x轴负方向运动轴负方向运动. .故故t=6t=6时，点时，点P P离开原点的路程为离开原点的路程为当当t=6t=6时，点时，点P P的位移为的位移为462210423423604s8t 2t dt8t 2t dt22128(4tt )(4tt ).333622360028t 2t dt(4tt )0.3【延伸探究延伸探究】1.1.在本例在本例(2)(2)题设条件不变的情况下，求题设条件不变的情况下，求P P从原点出发，从原点出发，经过时间经过时间t t后又返回原点时的后又返回原点时的t t值值. .【解析解析】依题

5、意依题意 (8t-2t (8t-2t2 2)dt=0)dt=0，即即4t4t2 2- t- t3 3=0=0，解得解得t=0t=0或或t=6t=6，t=0t=0对应于对应于P P点刚开始从原点出发的情况，点刚开始从原点出发的情况，t=6t=6是所求的是所求的值值. .t0232.2.若将本例若将本例(2)(2)中条件中条件“v(t)=8t-2tv(t)=8t-2t2 2”改为改为“v(t)=4-v(t)=4-t t2 2”其他条件不变其他条件不变，结果如何？，结果如何？【解析解析】由由v(t)=4-tv(t)=4-t2 20,0,得得0t2,0t2,当当0t20t2时，时，P P点向点向x x

6、轴正方向运动轴正方向运动, ,当当t2t2时时, ,点点P P向向x x轴负方向运动轴负方向运动, ,当当t=6t=6时时, ,点点P P离开原点的路程为离开原点的路程为 当当t=6t=6时时, ,点点P P的位移为的位移为 262202323602s4 t dt4 t dt11176(4tt )(4tt )333，62360014 t dt(4tt )48.3【方法总结方法总结】变速直线运动的路程或位移的求法步骤变速直线运动的路程或位移的求法步骤(1)(1)确定所求时间段上的速度函数确定所求时间段上的速度函数. .(2)(2)解不等式解不等式v(t)0, v(t)0, v(t)0确定积分区间

7、确定积分区间. .(3)(3)确定所求的是路程还是位移确定所求的是路程还是位移. .(4)(4)用定积分表示相应的路程或位移用定积分表示相应的路程或位移. .(5)(5)通过定积分的运算得出结论通过定积分的运算得出结论. .【补偿训练补偿训练】一辆做变速直线运动的汽车开始以速度一辆做变速直线运动的汽车开始以速度v=tv=t2 2-4t+3(m/s)-4t+3(m/s)运动，求：运动，求：(1)(1)在在t=4 st=4 s时的位置时的位置. .(2)(2)在在t=4 st=4 s时运动的路程时运动的路程. .【解析解析】(1)(1)在在t=4 st=4 s时该点的位移为时该点的位移为 即在即在

8、t=4 st=4 s时该点距出发点时该点距出发点 m.m. 423240014t4t 3 dtt2t3tm .33()|43(2)(2)因为因为v(t)=tv(t)=t2 2-4t+3=(t-1)(t-3),-4t+3=(t-1)(t-3),所以在区间所以在区间0,10,1及及3,43,4上，上，v(t)0v(t)0，在区间，在区间1,31,3上，上，v(t)0,v(t)0,所以在所以在t=4 st=4 s时的路程为时的路程为 134222013134222013st4t 3 dt |t4t 3 dt|t4t 3 dtt4t 3 dtt4t 3 dtt4t 3 dt4 m .类型二类型二 求变

9、力做功求变力做功【典例典例2 2】(1)(1)在底面积为在底面积为S S的圆柱形容器中盛有一定量的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞的一个活塞( (面积为面积为S)S)从点从点a a处推到点处推到点b b处，计算在移动处，计算在移动过程中，气体压力所做的功过程中，气体压力所做的功. .(2)(2)一物体以速度一物体以速度v(t)=2tv(t)=2t2 2(m/s)(m/s)做直线运动做直线运动, ,媒质的阻媒质的阻力力F(N)F(N)与速度与速度v(m/s)v(m/s)的关系为的关系为F=0.7vF=0.

10、7v2 2, ,试求在时刻试求在时刻t=0(s)t=0(s)到到t=2(s)t=2(s)这段时间内阻力做的功这段时间内阻力做的功. .【解题指南解题指南】(1)(1)力力F F对物体所做的功对物体所做的功W=FW=Fs s，求出变，求出变力表达式，再进行计算力表达式，再进行计算. .(2)(2)先计算媒质的阻力，再利用积分的物理意义求出在先计算媒质的阻力，再利用积分的物理意义求出在时刻时刻t=0(s)t=0(s)到到t=2(s)t=2(s)这段时间内阻力做的功这段时间内阻力做的功. .【解析解析】(1)(1)由物理学知识易得，压强由物理学知识易得，压强p p与体积与体积V V的乘积的乘积是常数

11、是常数k k，即，即pV=k.pV=k.因为因为V=xS(xV=xS(x指活塞与底的距离指活塞与底的距离) )，所以所以所以作用在活塞上的力所以作用在活塞上的力所以所做的功所以所做的功kkp. VxSkkF pSS.xSx bbaakbWdx k ln x|kln J .xa(2)(2)媒质的阻力为媒质的阻力为F=0.7vF=0.7v2 2=2.8t=2.8t4 4，取一小段时间取一小段时间t,t+tt,t+t，这一小段时间内阻力做的功为这一小段时间内阻力做的功为W=FvtW=Fvt，所以在时刻所以在时刻t=0(s)t=0(s)到到t=2(s)t=2(s)这段时间内阻力做的功为这段时间内阻力做

12、的功为 22600WFvdt5.6t dt 102.4 J答答: :在时刻在时刻t=0(s)t=0(s)到到t=2(s)t=2(s)这段时间内阻力做的功为这段时间内阻力做的功为102.4 J.102.4 J.【方法总结方法总结】求变力做功的方法求变力做功的方法(1)(1)求变力做功，要根据物理学的实际意义，求出变力求变力做功，要根据物理学的实际意义，求出变力F F的表达式的表达式. .(2)(2)由功的物理意义知，物体在变力由功的物理意义知，物体在变力F(x)F(x)的作用下，沿的作用下，沿力力F(x)F(x)的方向做直线运动，使物体从的方向做直线运动，使物体从x=ax=a移动到移动到x=b(

13、ab).x=b(a0k0当当x=0 x=0时，时，t=0t=0；当；当x=ax=a时，时，t=tt=t1 1= = 又又dx=vdtdx=vdt，故阻力所做的功为，故阻力所做的功为 12a( )b，1111ttt22zu000t2 323301Wkv vdtkv dtk2bt dt 444 kb tkb t k a b(J).333【补偿训练补偿训练】在原点在原点O O有一个带电量为有一个带电量为+q+q的电荷，它所的电荷，它所产生的电场对周围的电荷有作用力，现有一个单位正产生的电场对周围的电荷有作用力，现有一个单位正电荷从距电荷从距O O点点a a处沿着射线方向移至距处沿着射线方向移至距O O点为点为b(ab(ab)b)的的位置，求电场力做的功位置，求电场力做的功. .【解析解析】取电荷移动的射线方向为取电荷移动的射线方向为x x轴的正方向，那么轴的正方向，那么电场力为电场力为F=kF=k (k (k为常数为常数) )这是一个变力，在这是一个变力，在x, x, x+xx+x上，显然，上，显然，W= W= x,x,所以所以2qx2kqx bba2akq11 1Wdx kqkqJ .xabx()|()【课堂小结课堂小结】1.1.知识总结知识总结2.2.方法总结方法总结(1)(1)做变速直线运动的物体