高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念课件 新人教A版选修2-2

1、第一章 导数及其应用1.1 变化率与导数1.1.1 变化率问题1.1.2 导数的概念 主题主题1 1 平均变化率平均变化率1.1.写出气球的体积写出气球的体积V(V(单位：单位：L)L)与半径与半径r(r(单位：单位：dm)dm)之间之间的关系式的关系式. .然后将球半径然后将球半径r r表示为球体积表示为球体积V V的函数的函数. .提示：提示：体积体积V V与半径与半径r r之间的关系式为之间的关系式为V(r)= .V(r)= .将将半径半径r r表示为体积表示为体积V V的函数为的函数为r(V)= .r(V)= .34r333V42.2.当空气容量当空气容量V V从从0 0增加到增加到1

2、 L1 L时，气球半径增加了多少？时，气球半径增加了多少？此时气球的平均膨胀率是多少？当空气容量此时气球的平均膨胀率是多少？当空气容量V V从从1 L 1 L 增增加到加到2 L2 L呢？呢？提示：提示：当空气容量当空气容量V V从从0 0增加到增加到1 L1 L时，气球半径增加了时，气球半径增加了r(1)- r(0)0.62(dm).r(1)- r(0)0.62(dm).气球的平均膨胀率为气球的平均膨胀率为 0.62(dm/L).0.62(dm/L).当空气容量当空气容量V V从从1 L1 L增加到增加到2 L2 L时，气球半径增加了时，气球半径增加了r(2)-r(1)0.16(dm).r(

3、2)-r(1)0.16(dm).气球的平均膨胀率为气球的平均膨胀率为 0.16(dm/L).0.16(dm/L). r 1r 01 0 r 2r 12 13.3.若运动员相对于水面的高度若运动员相对于水面的高度h(h(单位：单位：m)m)与起跳后的与起跳后的时间时间t(t(单位：单位：s)s)存在函数关系：存在函数关系：h(t)=-4.9th(t)=-4.9t2 2+6.5t+10,+6.5t+10,则运动员在则运动员在0t0.50t0.5这段时间里的平均速度是多少？这段时间里的平均速度是多少？运动员在运动员在1t21t2这段时间里的平均速度是多少？这段时间里的平均速度是多少？提示：提示：在在

4、0t0.50t0.5这段时间里的平均速度是这段时间里的平均速度是 =4.05(m/s).4.05(m/s).在在1t21t2这段时间里的平均速度是这段时间里的平均速度是-8.2(m/s).-8.2(m/s). h 0.5h 0v0.5 0 h 2h 1v2 1结论：平均变化率概念结论：平均变化率概念我们把式子我们把式子_ 称为函数称为函数y=f(x)y=f(x)从从_到到_的平均变化率的平均变化率. . 2121f xf(x )xx1x2x主题主题2 2 导数的概念导数的概念1.1.物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？提示：提示：不能，如高台跳水运动

5、员相对于水面的高度不能，如高台跳水运动员相对于水面的高度h h与与起跳时间起跳时间t t的函数关系的函数关系h(t)h(t)4.9t4.9t2 26.5t6.5t1010，易，易知知 h(0)h(0)， 0 0，而运动，而运动员依然是运动状态员依然是运动状态. .65h49 65hh 049v650492 2如何精确描述物体在某一时刻的运动状态？如何精确描述物体在某一时刻的运动状态？提示：提示：可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态运动状态. .如求如求t t2 2时的瞬时速度，可考察在时的瞬时速度，可考察在t t2 2附近附近的一个间隔的一个

6、间隔tt，当，当tt趋近于趋近于0 0时，看平均速度时，看平均速度 的变的变化趋势，用式子化趋势，用式子 表示，这就是物体表示，这就是物体在在t t2 2时的瞬时速度时的瞬时速度. . t0h 2th 2limt v3 3导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？提示：提示：函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化率，导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度变化率，导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度. .结论结论: :函数在某点处的导数函数在某点处的导数函数函数y yf(x)f(x)在在x xx x0

7、0处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是_ _ , ,我们称它为函数我们称它为函数y yf(x)f(x)在在x xx x0 0处的导数，记作处的导数，记作_或或 _ _ ，即，即f(xf(x0 0) ) _ _0 x0 x0f(xx) f(x0)ylimlimxx 0 x xy |f(xf(x0 0) )00 x 0 x 0f(xx) f(x )ylimlim.xx 【微思考微思考】1.1.观察函数观察函数y=f(x)y=f(x)的图象的图象, ,平均变化率平均变化率 的几何意义是什么的几何意义是什么? ?平均变化率绝对值的大小与曲线的平均变化率绝对值的大小与曲线的陡峭程度是否存在关系？陡峭程度是否

8、存在关系？ 2121f xf(x )yxxx提示：提示：平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢，它表示割线的斜率化的快慢，它表示割线的斜率. .函数函数f(x)f(x)在区间在区间x x1 1,x,x2 2上的平均变化率是曲线上的平均变化率是曲线y=f(x)y=f(x)在区间在区间x x1 1,x,x2 2上陡峭程度的上陡峭程度的“数量化数量化”，曲线陡峭，曲线陡峭程度是平均变化率的程度是平均变化率的“视觉化视觉化”. .2.2.如何理解导数定义中的如何理解导数定义中的xx，yy， ? ? 提示：提示：xx表示自变量的增量表示自变量的增量, ,

9、其值可正可负不能为其值可正可负不能为零，零，yy表示函数值的增量表示函数值的增量, ,其值可正可负可为零其值可正可负可为零, , 表示平均变化率表示平均变化率, ,其极限存在其极限存在, ,则函数则函数y yf(x)f(x)在某一在某一点处可导，否则不可导点处可导，否则不可导. .yxyx【预习自测预习自测】1 1当自变量从当自变量从x x0 0变到变到x x1 1时，函数值的增量与相应自变时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数量的增量之比是函数( )( )A A在在x x0 0，x x1 1上的平均变化率上的平均变化率B B在在x x0 0处的变化率处的变化率C C在在x x1 1处的

10、变化率处的变化率D D以上都不对以上都不对【解析解析】选选A.A.由平均变化率的定义知当自变量从由平均变化率的定义知当自变量从x x0 0变到变到x x1 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数在时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数在x x0 0，x x1 1上的平均变化率上的平均变化率. .2.2.质点运动规律质点运动规律s=ts=t2 2+3,+3,则在时间则在时间3,3+t3,3+t中中, ,相应相应的平均速度等于的平均速度等于( )( )A.6+tA.6+tB.6+t+B.6+t+C.3+tC.3+tD.9+tD.9+t9t 【解析解析】选选A. A. =6+t.=6+

11、t. 2226 tts(3t)3(33)vttt 3.3.设函数设函数f(x)f(x)在在x x0 0处可导，则处可导，则 ( )( )A Af(xf(x0 0) )B Bf(f(x x0 0) )C Cf(xf(x0 0) )D Df(f(x x0 0) )00 x 0f(xx) f(x )limx 【解析解析】选选C. C. - - 00 x 0f(xx) f(x )limx 000 x 0f(xx) f(x )limf (x )x 4.4.已知函数已知函数f(x)=A(Af(x)=A(A为常数为常数) )，则，则f(2)=_.f(2)=_.【解析解析】因为因为y=f(2+x)- f(2)

12、=A-A=0,y=f(2+x)- f(2)=A-A=0,所以所以 =0=0，f(2)= =0.f(2)= =0.答案：答案：0 0yxx 0 x 0ylimlim0 x 5.5.婴儿从出生到第婴儿从出生到第2424个月的体重变化如图个月的体重变化如图, ,则第二年婴则第二年婴儿体重的月平均变化率是儿体重的月平均变化率是_._.【解析解析】由题图可知由题图可知, ,第二年婴儿体重的月平均变化率第二年婴儿体重的月平均变化率为为 = =0.25(= =0.25(千克千克/ /月月).).答案：答案：0.250.25千克千克/ /月月Wt14.25 11.2524 126.6.质点质点M M按规律按规

13、律s=2ts=2t2 2+3+3做直线运动做直线运动( (位移单位位移单位:cm,:cm,时间时间单位单位:s),:s),求质点求质点M M在在t=2t=2时的瞬时速度时的瞬时速度, ,并与运用匀变速并与运用匀变速直线运动速度公式求得的结果进行比较直线运动速度公式求得的结果进行比较. .【解析解析】(1)(1)瞬时速度瞬时速度 = = (8+2t)=8 cm/s.= (8+2t)=8 cm/s.(2)(2)因为因为s=2ts=2t2 2+3=s+3=s0 0+v+v0 0t+ ,t+ ,所以所以v v0 0=0 cm/s,=0 cm/s, t0s 2ts 2vlimt 22t02 2t32 2

14、3limt t0lim21at2因为因为 a=2,a=2,所以所以a=4 cm/sa=4 cm/s2 2, ,所以瞬时速度所以瞬时速度v=4t=4v=4t=42=8 cm/s.2=8 cm/s.结论：用两种方法求得的结果相同结论：用两种方法求得的结果相同. .12类型一类型一 求平均变化率求平均变化率【典例典例1 1】试求函数试求函数f(x)=-xf(x)=-x2 2+x+x在在x=-1x=-1附近的平均变化附近的平均变化率率. .【解题指南解题指南】先计算先计算yyf(-1f(-1x)x)f(-1),f(-1),再利用再利用 = = 求解求解. .yxf( 1x) f( 1)x 【解析解析】

15、 = = = yxf( 1x) f( 1)x 21x1x23x.x 【延伸探究延伸探究】1.1.已知函数已知函数f(x)=-xf(x)=-x2 2+x+x的图象上的一点的图象上的一点A(-1,-2)A(-1,-2)及邻近一点及邻近一点B(-1+x,-2+y)B(-1+x,-2+y)，则，则 =_ .=_ .yx【解析解析】 = = =3-x.=3-x.答案：答案：3-x3-xyxf( 1x) f( 1)x 21x1x2x 2.2.设函数设函数f(x)f(x)在在x x0 0附近有定义，且有附近有定义，且有f(xf(x0 0+x)-+x)-f(xf(x0 0)=ax+b(x)=ax+b(x)2

16、2(a,bR)(a,bR)，则函数，则函数f(x)f(x)在在x x0 0附近的附近的平均变化率为平均变化率为_._.【解析解析】由由 =a+bx.=a+bx.可得可得f(x)f(x)在在x x0 0附近的平均变附近的平均变化率为化率为a+bx.a+bx.答案：答案：a+bxa+bxyx【方法总结方法总结】(1)(1)计算函数值的改变量计算函数值的改变量y=f(xy=f(x2 2)-f()-f(x x1 1).).(2)(2)计算自变量的改变量计算自变量的改变量x=xx=x2 2- -x x1 1. .(3)(3)得平均变化率得平均变化率 . . 2121f xf(x )yxxx【补偿训练补偿

17、训练】求函数求函数y=f(x)=3xy=f(x)=3x2 2+2+2在区间在区间x x0 0,x,x0 0+x+x上的平均变化率，并求当上的平均变化率，并求当x x0 0=2,x=0.1=2,x=0.1时平均时平均变化率的值变化率的值. .【解析解析】函数函数y=f(x)=3xy=f(x)=3x2 2+2+2在区间在区间x x0 0,x,x0 0+x+x上的上的平均变化率为平均变化率为= = = 6x= = 6x0 0+3x.+3x.当当x x0 0=2=2，x=0.1x=0.1时时, ,0000f(xx) f(x )(xx) x 22003(xx)23x2x206xx 3xx 函数函数y=3

18、xy=3x2 2+2+2在区间在区间2,2.12,2.1上的平均变化率为上的平均变化率为6 62+32+30.1=12.3.0.1=12.3.类型二类型二 求瞬时变化率求瞬时变化率【典例典例2 2】(2017(2017沈阳高二检测沈阳高二检测) )若一物体的运动满足若一物体的运动满足函数函数 , 0t3, 0t3, , t3, t3 , ( , (路程单位：路程单位：m m，时间单，时间单位：位：s).s).2229 3 t 3s3t2求求:(1):(1)物体在物体在t=3 st=3 s到到t=5 st=5 s这段时间内的平均速度这段时间内的平均速度. .(2)(2)物体在物体在t=1 st=

19、1 s时的瞬时速度时的瞬时速度. .【解题指南解题指南】(1)(1)先求增量，再求平均速度先求增量，再求平均速度.(2).(2)先求增先求增量，再求平均速度，再求极限，进而得出瞬时速度量，再求平均速度，再求极限，进而得出瞬时速度. .【解析解析】(1)s=s(5)-s(3)=3(1)s=s(5)-s(3)=35 52 2+2-(3+2-(33 32 2+2)=48.+2)=48. = =24(m/s). = =24(m/s).(2)(2)因为因为ss29+3(1+t-3)29+3(1+t-3)2 2- -29+3(1-3)29+3(1-3)2 2=3(t)=3(t)2 2-12t,-12t,s

20、vt485 3所以所以 = =3t-12= =3t-12，所以所以= = = = -12. -12.即物体在即物体在t=1 st=1 s时的瞬时速度为时的瞬时速度为-12 m/s.-12 m/s.st23( t)12 ttt0t0slimlim 3 t 12 t 【方法总结方法总结】(1)(1)函数的平均变化率和瞬时变化率的关系：函数的平均变化率和瞬时变化率的关系：平均变化率平均变化率 ，当，当xx趋于趋于0 0时，它所趋于的一个常数就是函数在时，它所趋于的一个常数就是函数在x x0 0处的瞬时变化率处的瞬时变化率. .00f(xx) f(x )yxx (2)(2)共同点：它们都是用来刻画函数

21、变化快慢的，它们共同点：它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快的绝对值越大，函数变化得越快. .(3)(3)逼近法求瞬时变化率：求函数的瞬时变化率是利用逼近法求瞬时变化率：求函数的瞬时变化率是利用平均变化率平均变化率“逐渐逼近逐渐逼近”的方法求解的方法求解. .【巩固训练巩固训练】一质点按规律一质点按规律s(t)=ats(t)=at2 2+1+1做直线运动做直线运动( (位位移单位：移单位：m,m,时间单位时间单位:s):s)，若该质点在，若该质点在t=2 st=2 s时的瞬时时的瞬时速度为速度为8 m/s8 m/s，求常数，求常数a a的值的值. .【解析解析】因为

22、因为s=s(2+t)-s(2)s=s(2+t)-s(2)=a(2+t)=a(2+t)2 2+1-a2+1-a22 2-1-1=4at+a(t)=4at+a(t)2 2, ,所以所以 =4a+at,=4a+at,故在故在t=2 st=2 s时，瞬时速度为时，瞬时速度为sts(2)= =4a(m/s).s(2)= =4a(m/s).由题意知由题意知,4a=8,4a=8,所以所以a=2.a=2.t0slimt【补偿训练补偿训练】一物体的运动方程为一物体的运动方程为s=7ts=7t2 2+8,+8,则其在则其在t t=_=_时的瞬时速度为时的瞬时速度为1.1.【解析解析】 = =7t+14t = =7

23、t+14t0 0, ,当当 =1=1时时,t,t0 0= .= .答案答案: :st02207(tt)8 (7t8)t 0t0lim 7 t 14t 114114类型三类型三 求函数在某点处的导数求函数在某点处的导数【典例典例3 3】根据导数的定义求下列函数的导数根据导数的定义求下列函数的导数. .(1)(1)求函数求函数y=xy=x2 2+3+3在在x=1x=1处的导数处的导数. .(2)(2)求函数求函数y= y= 在在x=a(a0)x=a(a0)处的导数处的导数. .1x【解题指南解题指南】(1)(1)利用导数定义利用导数定义 进行变形进行变形. .(2)(2)本题是根据定义求函数的导数

24、，因此可先求本题是根据定义求函数的导数，因此可先求 ，再求其极限值，即可得出导数值，再求其极限值，即可得出导数值. .00 x 0f(xx) f(x )limx yx【解析解析】(1)y=f(1+x)-f(1)=(1)y=f(1+x)-f(1)=(1+x)(1+x)2 2+3+3- -(1(12 2+3)=2x+(x)+3)=2x+(x)2 2, ,所以所以 = =2+x.= =2+x.所以所以y|y|x=1x=1= =2.= =2.yx22 xxx x 0lim(2x) (2)y=f(a+x)-f(a)(2)y=f(a+x)-f(a)= = = - .= = = - .所以所以 =- = - .=- = - .所以所以y|y|x=ax=a= = - .= = - .11ax aaaxa(ax)xa axyxx1a(ax)x1a(ax)x01lima ax 21a【方法总结方法总结】用导数定义求函数在某一点处的导数的用导数定义求函数在某一点处的导数的三个步骤三个步骤(1)(1)作差作差yyf(xf(x0 0 x)x)f(xf(x0 0).).(2)(2)作比作比 . .(3)(3)取极限取极限f(xf(x0 0) ) . .简记为一差、二比、三极限简记为一差、二比、三极限yx00f(xx) f(x )x x