高一秋季平面向量的线性运算初稿尖子班

1、第10讲 平面向量 的线性运算满分晋级 向量3级平面向量的数量积与坐标运算向量1级向量基本概念及运算向量2级平面向量的线性运算10.1共线向量知识点睛一、向量的概念与表示1向量的概念：数学中，把既有大小，又有方向的量叫做向量2向量的表示：几何表示法：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的长度字母表示法：，注意起点在前，终点在后；也可以用，来表示线段的长度也叫做有向线段的长度，记作3零向量：长度等于零的向量，叫做零向量记作：；零向量的方向是任意的单位向量：长度等于个单位的向量，叫做单位向量4相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量5向量共线或平行：方

2、向相同或相反的向量叫做平行向量向量平行于向量，记作任一组平行的向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量规定：零向量与任意向量平行<教师备案> 因为我们研究的向量都是自由向量，也就是不考虑起点位置的向量，所以用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点同时，因为任何一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量与共线向量是等价的，在同一直线上的向量也是平行向量，要避免将向量的平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆可以通过下面的正误判断进一步说明向量的概念与表示：练习1：判断下列各命题是否正确 零向量没有方向； 若，则； 单位向量都相等； 向量就是有向

3、线段； 两相等向量若共起点，则终点也相同； 若，则； 若，则； 当且时； 若四边形是平行四边形，则，正确的命题有_【解析】 正确的命题有：分析：不正确，零向量方向任意；不正确，说明模相等，但方向可能不同；不正确，单位向量的模为，方向很多不正确，向量只与方向及模的大小有关，而与起点位置无关，但有向线段不仅与方向、长度有关，也与起点的位置有关，只是我们通常用有向线段表示一个向量；正确；正确，向量相等有传递性；不正确，因若，则不共线的向量也有，；不正确，当，且方向相反时，由得到；不正确应该是，二、向量的运算1向量的加法： 三角形法则：，和的和（或和向量） 平行四边形法则：，不共线，以，为邻边作平行四

4、边形，则 多边形法则：已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量 向量的运算性质：向量加法的交换律：；向量加法的结合律：关于：2向量的减法： 相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量，记作 差向量：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量<教师备案> 通过向量的加法与减法运算可以插入任何字母，如字母可以通过直接插入向量中，这在向量相关的证明与关系的推导中常常用到在向量问题中，以上结论类似于“换底公式”，可以将所有向量换成以同一个起点出发的向量，这个起点

5、通过根据题目要证明的结论选定，从而找到变形的方向（为了方便起见，我们在此讲中称此做法为“向量的换底公式”）向量有一讲预习讲义：向量基本概念与运算，其中本讲的基础知识与一些简单的例题，如果班上学生进度较慢，老师可以结合预习讲义多讲些简单题3数乘向量：时，与方向相同；时，与方向相反；时，；且；4向量共线的条件 平行向量基本定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使 单位向量：的单位向量记作，是指与方向相同，长度为的向量，<教师备案>向量共线的两种常见形式： 如果，则；反之，如果，且，则一定存在唯一的一个实数，使； 平面向量共线当且仅当存在不全为零的实数，使得由此知，若不共线，且，则一

6、定有同样的，若不共线，且，则一定有例：若向量不共线，且，则一定有讲完这块就可以让学生练例1了经典精讲<教师备案> 例1是对平行向量基本定理的应用，用这个定理可以推导出平面向量基本定理，是向量关系的基础我们讲的向量是自由向量，起点可以自由移动，但一旦起点选定，终点就也确定了，所以有共同点（起点或终点）的共线向量可以推导出起点或终点是否共线的关系，这也是“向量的换底公式”的基本想法，通过这种变形可以判断三点是否共线如：已知非零向量、，满足，求证：、三点共线解析：选定为起点，应用“向量的换底公式”：于是故、三点共线【例1】 已知向量不共线，且，则_，_已知向量，且，则、四点中，一定共线的

7、三点是_设，是两个不共线的向量，若，且、 三点共线，则实数的值等于 由题意知与共线，又有公共点，、三点共线由于、三点共线，故，又，故由，可解得<教师备案> 向量可以用有向线段表示，向量可以表示平面几何图形中的一些关系，向量的运算也有明确的几何意义，例2是我们熟悉的几何图形中的一些向量关系【例2】 设为平行四边形的对称中心，则等于（ ）ABCD已知正六边形，在下列表达式：；中，与相等的有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个【解析】 B；取的中点，连接，如图，则第题： 第题： D；故答案为D10.2平面向量的分解技巧知识点睛平面向量基本定理：如果和是一平面内的两个不平行的向量，那么对该

8、平面内的任一向量，存在唯一的一对实数，使基底：我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作叫做向量关于基底的分解式<教师备案> 平面向量基本定理可以将很多向量统一起来，相当于将所有的向量化到统一的形式，这样就可以找到各个向量的之间的关系或进行各种运算在很多问题中，我们都是先选定一组基底，将所有向量写成关于基底的分解式，就可以进行运算及判断关系了例3是平面向量中经常遇到的一个结论，铺垫是它的特殊情形，利用例3的结论可以很快得到很多三点共线的结论，在后面有相应的应用利用例3，也可以很快判断出共线三点的长度的比例关系经典精讲【铺垫】如图，已知，用表示，则等于（）ABCD【

9、解析】 B方法一：本题结论可以推广为，当时，方法二：过点分别作的平行向量，交于点，交于点，如图，由平面向量基本定理得：，又，同理，【例3】 已知、为平面内四点， 若、三点在一条直线上，求证：存在一对实数、，使，且 若存在一对实数、，使，且，求证：、三点在一条直线上 若，求证：【解析】 由、三点共线知，存在常数，使得由要证明的结论知，选定为起点，即从而，令，则，由平面向量的分解定理知，唯一 由要证明的结论知，可选定为起点进行变形，由，得，于是有，、三点共线 可选定为起点，由已知得，整理即得【点评】 本题充分展示了“向量的换底公式”对于整理方向的指导性对于我们目前研究的自由向量来说，有以下三点要注

10、意：向量的起点是可以自由选择的；在研究具体问题时，我们通常选择统一的起点；起点的选择与研究的具体问题有关（通常会选确定的点作为起点或者选择信息量最多的点作为起点）本题的三小问的证明并不困难，但本题的结论是很强大的，灵活运用本题的结论可以快速解决很多向量问题下面就这个结论进行一些说明供老师选用，对于班上学生程度较好的，可以进行选择讲解：结论一：若有，则由知点在直线上结论二：在线段上（不包括端点）而，即符号不同时，点不在线段上，且可以根据的正负判断出点在射线还是在射线上结论三：是有明确的意义的，事实上，当时，点在直线 上；当时，点在边的中位线所在的直线上；当时，在射线上取一点，使得，过点作的平行线

11、，所有满足条件的点就在此平行线上，如下图也即的值决定了点在与平行的哪条直线上，越大，直线与点的距离越大思考：当时，点的位置在哪？在过点与平行的直线上；当，点的位置在哪？在直线关于点的对称直线上当时，点所在的直线在直线的与点不同的一侧要进一步确定点的位置，还需要与的比值，即下面的结论四事实上，这个结论与直线的方程很类似，当是互相垂直的单位向量时，就相当于点在基底下的坐标，故此时就对应直线；同样的，为常数就表示与此直线平行的直线当只是不共线的任意向量时，也是类似的同样的，类比坐标，我们知道时，表示的点在第一象限，即由射线围成的一个区域内而当时，对应的是另一个象限，即由射线与的反向延长线对应的区域内

12、这有助于我们对这个结论的理解与应用结论四：的比值决定了点在上的位置，当时，点在线段上当时，点恰为线段的中点事实上，由例3知，这对于时，也同样成立再比如，在中，若于点，如图，则，故，为某常数再由结论三知，因为三点共线，故，从而，即利用这个比值，可以快速得到华山论剑的结论用这个结论可以快速解决一些问题，如下面的例题：如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，则的值为_点为边的中点，法一：；三点不共线，且三点共线，存在，故，整理得法二：（用到了例3的结论），三点在一条直线上，即得<教师备案> 由平面向量基本定理知，平面内任何两个不共线的向量都可以作为基底，其它任何向

13、量都可以由基底线性表示出来，且表示方法唯一，已经给出相关点的位置关系，如何通过这些几何关系确定一个向量对于这组基底的分解式系数，是下面的铺垫与例4要说的【铺垫】中，交于，边上的中线交于，设，用、表示向量、由，得又是的中线，得又【例4】 在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点若，则（ ）ABCD如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则_，_（2019北京理）向量，在正方形网格中的位置如图所示，若，则 第题 第题 第题【解析】 B法一：由为的中点可知，设，解得：，法二：由于，则，（例3的结论）将，代入即可以下同解法一作交延长线于，设，由，解得，故，记方向水平向右与竖直向上

14、的单位向量为，并取之为基底，由得，又不共线，故，解得，故学完坐标运算后，本题直接通过坐标也可以得到比值，但其实坐标就是取一组单位正交基底后得到的，本质完全相同<教师备案> 给出平面上一些向量的关系，如何确定相关的点的位置，是例5的内容其中备选的题是要通过向量关系确定交点的位置，难度较大，可供目标班选讲【例5】 已知为所在平面内一点，当成立时，点位于（ ）A的边上 B的边上C的内部 D的外部设是内部一点，且，则与的面积之比为 已知是平面上不共线的三点，是三角形的重心，动点满足，则点一定为三角形的（）A边中线的中点B边中线的三等分点（非重心）C重心D边的中点【解析】 D；要确定点的位置

15、，需要将条件中的式子化成以的某顶点为起点的向量关系式，比如取为起点，有，从而有由知，点在的外部；点评：要是利用例3后面的结论，由知，系数和为，故点必在过点与平行的直线上选定为起点，已知的式子可以整理为，于是，如图，取的中点，则，故，即为的中点，点评：利用例3后面的结论，由知，点在边的中线上；由知点在与边平行的的中位线上，即为边中线的中点 B；由选项知，本题应该选择为起点，于是得：，从而，即，取边的中点，则，从而，即点为三角形中边上的中线的一个三等分点，且点不是重心点评：由，知点在边的中线上；由知，是中线上靠近的一个三等分点，且不是重心10.3三角形的三颗心知识点睛已知，角所对的边长分别为， 三

16、角形的外心：外接圆的圆心，三边中垂线的交点，满足； 三角形的内心：内切圆的圆心，三个内角平分线的交点，满足；（证明：法一：若，则由得：，即在的角平分线上，同理在与的角平分线上，故是内心法二：因为分别为方向上的单位向量，所以向量平分，设，从而，解得，于是，化简得：（由角平分线定理+向量的定比分点公式可以较快得到的值） 三角形的重心：三边中线的交点，重心分中线比为，满足（其实，点为三角形的重心；若点是所在平面内任一点，则点 是的重心）<教师备案> 一般我们只研究三角形的四心（重心、垂心、内心、外心），其中垂心满足的向量关系与向量的数量积相关，所以这里暂时不讲，对于三角形的垂心，即三边高

17、的交点，满足经典精讲【铺垫】当非零向量满足条件_时，向量平分向量和的夹角由向量加法的平行四边形法则知，向量是向量和所构成的平行四边形的对角线，要对角线平分平行四边形的一个角此平行四边形为菱形，即【例6】 是平面内一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则的轨迹一定通过的（ ）A外心B内心 C重心 D垂心已知点是的重心，那么_若为的外心，且，则的内角等于_【解析】 B设为上的单位向量，为上的单位向量，则的方向为的角平分线的方向，又，的方向与方向相同，而，点在上移动，点的轨迹一定通过的内心设为为中点，以求角，故选为起点整理，得，于是由向量加法的平行四边形法则知，四边形为平行四边形又因为为外心，故

18、，从而四边形为菱形，且【备选】已知点是的重心，过作直线与两边分别交于两点，且设，则_法一：是的重心，即，（也可通过重心分中线的比为得到）三点共线，存在，使得于是，从而法二：特殊值法，考虑特殊情形，即此时有，故设为内一点，证明：存在正实数，使得，且【解析】 法一：如图所示，延长交于点，设，则有为正实数，又，即（*）而，所以把（*）两端同时乘以，则得令，则可知为正实数，且满足又，于是：，于是；，故，得证法二：（利用例3后面的结论直接得到）延长交于点，记，又，故又，故，从而根据题目的证明结论，需要将上式整理成以为起点的向量得，从而，将系数取成即得证【点评】特别地，如果，则能得到为重心实战演练【演练1】下列命题中正确的有_ 向量与是两平行向量； 向量与是共线向量，则，四点必在同一直线上； 与共线，与共线，则与也共线； 平行向量的方向一定相同【解析】 正确；根据平行向量的定义； 错误；向量与起点无关，故共线向量只能说明直线与平行或重合； 错误；可以为零向量，此时与不一定共线；若非零，则可得出与共线； 错误；平行向量的方向可以相同或相反【演练2】设两个非零向量与不共线， 若，求证：、三点共线； 试确定实数，使和共线、共线又它们有公