高中数学231圆的标准方程教案新人教B版必修2

1、2019年高中数学 2.3.1圆的标准方程教案 新人教B版必修2教学目标（1）认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法；（2）掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径；（3）能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程教学重点圆的标准方程及其运用教学难点圆的标准方程的推导和运用教学过程一、问题情境1情境： 河北赵州桥是世界上历史最悠久的石拱桥，其圆拱所在的曲线是圆，我们能否表示出该圆弧所在圆的方程呢？2问题：在表示方程以前我们应该先考察有没有坐标系？如果没有坐标系，我们应该怎样建立坐标系？如何找到表示方程的等式？二、学生活动回忆初中有关圆的定义，怎样用方程将圆表示出来

2、？三、建构数学1由引例赵州桥圆弧所在圆的方程的求解过程推导一般圆的标准方程：一般地，设点是以为圆心，为半径的圆上的任意一点，则，由两点间距离公式，得到：即（）；反过来，若点的坐标是方程的解，则，即，这说明点到点的距离为即点在以为圆心，为半径的圆上；2方程叫做以为圆心，为半径的圆的标准方程；3当圆心在原点时，圆的方程则为；特别地，圆心在原点且半径为的圆通常称为单位圆；其方程为四、数学运用1例题：例1分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径：； 解：（如下表）方程圆心半径例2（）写出圆心为，半径长为的圆的方程，并判断点，是否在这个圆上；（）求圆心是，且经过原点的圆的方程。解：（）圆心为，半径长为该圆

3、的标准方程为把点代入方程的左边右边即点的坐标适合方程，点是这个圆上的点；把点的坐标代入方程的左边即点坐标不适合圆的方程，点不在这个圆上；（）法一：圆的经过坐标原点，圆的半径为因此所求的圆的方程为即；法二：圆心为设圆的方程为原点在圆上即原点的坐标满足圆方程即即所求圆的标准方程为：例3（）求以点为圆心，并且和轴相切的的圆的标准方程；（）已知两点，求以线段为直径的圆的方程解：（）圆与轴相切该圆的半径即为圆心到轴的距离；因此圆的标准方程为；（）为直径的中点为该圆的圆心即又圆的标准方程为例4已知隧道的截面是半径为的圆的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，车辆宽度为，高为的货车能不能驶入这个隧道？解：以

4、某一截面半圆的圆心为原点，半圆的直径所在的直线为轴，建立直角坐标系，如图所示，那么半圆的方程为：将代入得即离中心线处，隧道的高度低于货车的高度因此，该货车不能驶入这个隧道；思考：假设货车的最大的宽度为，那么货车要驶入高隧道，限高为多少？略解：将代入得即限高为五、回顾小结：1圆的标准方程及其表示的圆心和半径；2建系思想和方程思想；2019年高中数学 2.3.2 等比数列的通项公式教案 苏教版必修5三维目标1.知识与技能(1)类比等差数列的通项公式，探索发现等比数列的通项公式，掌握求等比数列通项公式的方法，并能用公式解决一些简单的实际问题；(2)掌握等比数列的常用简单性质，并能应用于解题；(3)正

5、确认识使用等比数列的多种表达形式，能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数、指定的项，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系并能用有关知识解决相应的问题；(4)能通过通项公式与图象认识等比数列的性质，体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，体会等比数列与指数函数的关系，能用图象与通项公式的关系解决某些问题2.过程与方法(1)进行等比数列通项公式应用的实践操作，并在操作过程中通过类比等差数列得到对等比数列相应问题的研究；(2)探索并掌握等比数列的性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力，体会等比数列与指数函数的关系；(3)通过等比数列的图象的应用，进一步

6、渗透数形结合思想、函数思想；通过等比数列通项公式的运用，渗透方程思想3情感、态度与价值观(1)通过对等比数列的研究，使学生明确等比数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点；(2)培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识；(3)体会数学源于现实生活，并应用于现实生活的道理，提高学习的兴趣重点、难点重点：类比等差数列探索等比数列的通项公式，并且会用公式解决一些简单的问题，体会等比数列与指数函数之间的联系难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法，体会等比数列与指数函数的关系在探索发现等比数列的通项公式时，可以让学生类比等差数列通项公式的探索过程，先经历对几个特殊的等

7、比数列通项公式的观察、归纳、猜想过程，然后逐步迁移过渡到一般等比数列通项公式的探究发现，关键是体会等比数列定义及其递推公式的作用(教师用书独具)教学建议 1在回顾上节所学等比数列概念的基础上，首先引导学生自己去探寻上节所提出的三个实例(元素半衰期问题、汽车折旧问题、投资复利问题)的通项公式，为接下来求一般等差数列通项公式作铺垫，从而完成从研究具体的等比数列通项公式到一般等比数列通项公式的过渡；然后引导学生用“叠乘法”探求一般的等比数列的通项公式；最后从函数的角度，思考等比数列通项公式与指数函数的关系2在完成等比数列通项公式的教学后，结合具体数列，引导学生思考等比数列满足的性质，提高学生探究兴趣

8、；最后通过例题和练习巩固学生对知识的掌握3等比数列与等差数列之间存在着很多类似的地方，但也有本质的不同，学生容易把二者混淆因此，一方面，建议在本节的教学中始终强调等比数列的定义和体现等比数列本质的公比q；另一方面，本节有利于培养学生的类比推理能力，如等比数列的定义、通项公式等都可以让学生类比等差数列自己给出，还可以让学生自己列表从定义、通项公式、与函数的关系等角度类比两类数列的有关知识教学流程(对应学生用书第31页)课标解读1.掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决一些简单问题(重点)2.掌握等比数列的性质及简单应用(难点)3.了解等比数列与指数函数的关系.等比数列的通项公式【问题导思】若数列

9、an为等比数列，公比为q，则：a2a1q，a3a2qa1q2，a4a3qa1q3，由此你可以归纳出an的表达式吗？(用a1和q表示)【提示】ana1qn1.如果数列an是等比数列，首项为a1，公比为q，那么它的通项公式为ana1qn1(a10，q0)等比数列项的性质【问题导思】1在等比数列an中，如果mn2k(m，n，kN*)那么am·ana是否成立？反之呢？【提示】若mn2k，则am·ana一定成立，但反过来，若am·ana不一定有mn2k.例如，数列an是一个非零常数列时2an是等比数列，等式a10a3·a7成立吗？【提示】不一定设an的公比为q，a

10、10a1q9，而a3·a7a·q8.只有当a1q时才成立，当a1q时，不成立这说明了在等比数列的性质“若mnpq2k，则am·anap·aqa”中，左、右两边一定是两项积的形式当m、n、p、qN*时，若mnpq，对于等比数列an，则有amanapaq.特别地，若mn2p，则amana.(对应学生用书第32页)等比数列通项公式的应用在等比数列an中，(1)若a427，q3，求a7；(2)若a218，a48，求a1与q；(3)若a5a115，a4a26，求a3.【思路探究】本题可根据通项公式，列方程或方程组，求出基本量a1和q，再求其他量【自主解答】(1)由

11、a4a1·q3得a1·(3)327，a11.a7a1·q6(1)·(3)6729.(2)由已知得解得或(3)由已知得由得，q或q2.当q时，a116，a3a1q24；当q2时，a11，a3a1q24.a1，q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解求a1，q除上述方法外，也可以充分利用各项之间的关系，先求各项，然后再求q与a1.在等比数列an中，已知a3a636，a4a718，am，求m.【解】法一因为a3a636，a4a718，所以有方程组：解得而ana1qn1(nN*)，所以128×()m1，所以m9.法二因为a4a7a

12、3qa6q(a3a6)q，所以q，而a3a6a3(1q3)，所以a332.又因为ana3qn3(nN*)，所以32×()m3，所以m9.等比数列性质的应用已知数列an为等比数列，且a1a964，a3a720，求a11.【思路探究】利用等比数列的性质a1a9a3a7，先求a3，a7的值，再求a1和q即可【自主解答】an为等比数列，a1·a9a3·a764，又a3a720，a3，a7是方程t220t640的两个根解方程得t14，t216，a34，a716或a316，a74.当a34时，a3a7a3a3q420，1q45，q44，a11a1q10a3q864；当a316

13、时，a3a7a3(1q4)20，1q4，q4，a11a1q10a3q81.a1164或a111.1本题利用了等比数列的性质，若mnpq，m，n，p，qN*，则am·anap·aq，从而有a1a9a3a764，再由一元二次方程根与系数的关系构造方程求a3与a7.2等比数列中的项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列有关等比数列的计算问题，应充分发挥项的“下标”的“指引”作用，以使运算简便若在本例中去掉“a3a720”的条件，其它条件不变，如何求a3·a4·a5·a6·a7的值呢？【解】a3·a7a4·a6aa1

14、·a964，a5±8，a3·a4·a5·a6·a7a±32768等比数列的实际应用在利用电子邮件传播病毒的例子中，如果第一轮感染的计算机数是80台，并且从第一轮起，以后各轮的每一台计算机都可以感染下一轮的20台计算机，那么第5轮可以感染多少台计算机？【思路探究】由题意，显然每一轮被感染的计算机台数成等比数列，其中首项为80，公比为20.【自主解答】由题意可知，每一轮被感染的计算机台数构成一个首项为a180，公比为q20的等比数列，则第5轮被感染的计算机台数为a5a1q480×2041.28×107，所以第

15、5轮可以感染1.28×107台计算机1本题是等比数列模型的实际应用题，其解题的关键是看透问题的实质，转化为等比数列问题2实际生活中常会涉及一些增长问题，如果增长量是个常量，则与等差数列有关；如果增长率是个常量，则与等比数列有关，利用等比数列可以解决有关增长率问题某工厂xx年生产某种机器零件100万件，计划到xx年把产量提高到每年生产121万件如果每一年比上一年增长的百分率相同，这个百分率是多少？xx年生产这种零件多少万件？【解】设每一年比上一年增长的百分率为x，则从xx年起，连续3年的产量依次为：a1100，a2a1(1x)，a3a2(1x)a1(1x)2，即a1100，a2100(

16、1x)，a3100(1x)2成等比数列由100(1x)2121得(1x)21.21.x0.1或x2.1(舍)a2100(1x)110，即每年增长的百分率为10%,xx年生产这种零件110万件.(对应学生用书第33页)等比数列中照搬等差数列设法致错已知四个数成等比数列，且这四个数的积为，第二、三个数的和为，求由这四个数组成的等比数列的公比【错解】依题意，设这四个数分别为，aq，aq3，a0，q0，则解得q±，代入aq并整理，得q22q10，解得q±1或q±1，因此由这四个数组成的等比数列的公比为q223或q232.【错因分析】表面上看，错解正确无误，但认真审查整个解

17、题过程，由于设这四个数为，aq，aq3，a0，q0，公比为q2，就等于规定了这个等比数列各项同为正或同为负，从而出现错误【防范措施】当四个数成等差数列时，可将这四个数对称设为a3d，ad，ad，a3d，而当四个数成等比数列时，只能由通项公式将这四个数设为a，aq，aq2，aq3.【正解】依题意，设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，a0，q0，则解得q3±2或q5±2.1基础知识：(1)等比数列的通项公式；(2)等比数列与函数的关系；(3)等比数列项的性质2基本技能：(1)等比数列通项公式的应用；(2)等比数列性质的应用；(3)等比数列在解决实际问题中的应用3思想方法：

18、(1)方程思想；(2)分类讨论思想；(3)转化思想(对应学生用书第34页)1在等比数列an中，若a53，则a2·a8_.【解析】由等比数列的性质a2·a8a9.【答案】92在等比数列an中，若a1a534，a5a130，则a3_.【解析】由解得a5a1q42·q432，q24，a3a1q22×48.【答案】83在等比数列an中，a11，a103，则a2a3a4a5a6a7a8a9_.【解析】由等比数列的性质知：a1·a10a2·a9a3·a8a4·a7a5·a6.又a1·a101×33

19、，a2·a3·a4·a5·a6·a7·a8·a93481.【答案】814在等比数列an中，a11，|q|1，如果ama1a2a10，求m的值【解】因a1a2a10a1·a1q·a1q2··a1q9aq129q45，ama1qm1qm1，qm1q45.又|q|1，m46.(对应学生用书第89页)一、填空题1(xx·如皋检测)在等比数列an中，a54，a76，则a9_.【解析】由等比数列的性质a5·a9a，a99.【答案】92(xx·无锡检测)等比数列an中，

20、a13，a481，则an的通项公式为_【解析】q327，q3，ana1qn13×3n13n.【答案】3n3已知a，b，c，d成等比数列，且抛物线yx22x3的顶点为(b，c)，则ad_.【解析】易知抛物线yx22x3的顶点为(1,2)，b1，c2，由等比数列的性质adbc2.【答案】24(xx·泗阳检测)已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值为_【解析】由1，a1，a2，4成等差数列，设公差为d，则3d4(1)3，d1，a2a1d1.又1，b1，b2，b3，4成等比数列，b(1)×(4)4.又易知b20，b22，.【答案】

21、5(xx·无锡检测)等比数列an中，a1a2a31，a3a4a564，则a2a4a6_.【解析】由等比数列的性质a1·a3a，a3·a5a，a1，a64，a21，a44.又a2·a6a，a616，a2a4a6141621.【答案】216若等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为_【解析】由等比数列的通项公式可知ana1qn1(nN*)，·()n1，即()n1()3，n13.n4.【答案】47公差不为0的等差数列第二、三、五项构成等比数列，则公比为_【解析】设等差数列公差为d，则其第二、三、五项分别为a3d，a3，a32d.a(a3d

22、)(a32d)，a3d2d2.又d0，a32d，公比q2.【答案】28在各项均为正数的等比数列中，若b7·b83，则log3b1log3b2log3b14等于_【解析】log3b1log3b2log3b14log3(b1b2b14)log3(b7b8)77log337.【答案】7二、解答题9在等比数列an中，a3a831，a4a732，公比q是整数，求an的通项公式【解】由等比数列的性质可知a3a8a4a732，又a3a831，公比q是整数，可以解得a31，a832，所以a1，q2，故an·(2)n1.10(xx·烟台高二检测)在数列an中，已知a11，an1an

23、1.(1)求证an3是等比数列；(2)求数列an的通项【解】(1)证明：an1an1，an13an13(an3)a11，a132，an30，(nN*)an3是以2为首项，以为公比的等比数列(2)由(1)知an3(2)×()n1，an32()n1.11(xx·杭州高二检测)设an是公差大于0的等差数列，bn()an，已知b1b2b3，b1b2b3，(1)求证：数列bn是等比数列；(2)求等差数列an的通项an.【解】(1)证明：设an的公差为d(d0)，()an1an()d为常数，且b1()a10，bn为以()a1为首项，公比为()d的等比数列(2)b1b2b3，b，b2，或

24、q()d(0,1)，b1b3，bn()2n3，an2n3，(nN*).(教师用书独具)已知a0，a1，数列an是首项为a，公比也为a的等比数列令bnanlg an(nN*)，问是否存在a，对任意nN*，数列bn中每一项总小于它后面的一项？若存在，求出a的范围【思路探究】本题可以从bnbn1对一切nN*恒成立入手若对任意的a上式不恒成立，则这样的a不存在；若上式对某些a恒成立，则这些a的范围就是所求【自主解答】设存在实数a使bnbn1对一切nN*成立，由题意，得ana·an1an，bnanlgananlg annanlg a.有nanlg a(n1)an1lg a对一切nN*成立当a1时，由lg a0，得n(n1)a对一切nN*成立，即a.nN*，恒有1a成立，即a1时，恒有bnbn1(nN*)成立当0a1时，由lg a0，得n(n1)a对一切nN*成立，即a.1随n增大而增大，n1时，的最小值为，即恒有(nN*)成立故当0a时，恒有a(nN*)成立，即bnbn1(nN*)恒成立由可得这样的a存在，其范围为a|0a或a1本题是开放探究性命题，应从假设开始入手，按a1,0a1分类讨论，转化为不等式恒成立问题来解决已知xn为各项不为1的