高三数学理科复习 圆锥曲线综合问题

1、2012届高三数学理科复习 圆锥曲线综合问题 班级 姓名 1已知是抛物线上的两个动点，为坐标原点，非零向量满足（）求证：直线经过一定点；（）当的中点到直线的距离的最小值为时，求的值解：, .设A,B两点的坐标为（），（）则 .（1）经过A，B两点的直线方程为 由，得 . 令，得, . 从而. (否则, 有一个为零向量),. 代入，得 ，始终经过定点. （6分）（2）设AB中点的坐标为()，则 . 又, ，即 .AB的中点到直线的距离.将代入，得.因为d的最小值为. （12分）（若用导数求切线的斜率为2的切点坐标，参考给分.）2已知半圆，动圆与此半圆相切且与轴相切。（1）求动圆圆心的轨迹方程。（

2、2）是否存在斜率为的直线，它与（1）中所得轨迹由左到右顺次交于A、B、C、D四个不同的点，且满足|AD|=2|BC|？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由。（1）设动圆圆心，作轴于点若两圆外切： ，则 化简得： 3分若两圆内切： ，则 5分综上，动圆圆心的轨迹方程是 及 6分其图象为两条抛物线位于轴上方的部分，如图所示。（2）假设直线存在，可设的方程为。 依题意得，它与曲线交于点，与曲线交于点。即 ， 2 =2即+=4 得11分将其代入方程得 因为曲线的横坐标范围为，所以这样的直线不存在。133.如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻

3、折后点B都落在边AD上，记为；折痕与AB交于点E，点M满足关系式。若以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系（如下图）：（）求点M的轨迹方程；ABCDOxylE（）若曲线S是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，等腰梯形的三边分别与曲线S切于点.求梯形面积的最小值.解：（1）如图，设M（x,y），又E（0，b）显然直线l的斜率存在，故不妨设直线l的方程为y=kx+b,则而的中点在直线l上，故，由于代入即得，又 点M的轨迹方程（）-6分（2）易知曲线S的方程为设梯形的面积为，点P的坐标为. 由题意得，点的坐标为，直线的方程为. 直线的方程为即： 令 得，令 得，当且仅当，即时，取“=”

4、且， 时，有最小值为.梯形的面积的最小值为-13分4点是二次函数图象上任意一点，点，线段中点为。（1） 求中点的轨迹的方程；（2） 点在直线，过点做轨迹的两切线，切点分别为。研究是否存在这样的点满足以下要求：在轨迹存在一点，点关于直线的对称点为，而且（为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由。解析：（1）中点轨迹（2）如果假设存在，直接去探究，会很困难。先作图，考虑特殊情况：当点时，是符合要求的。设，此时直线不与轴垂直，设切点坐标，则，两切点横坐标（）设点，切点坐标为，即切线斜率为，整理得到：，设、，则，。所以A，M，B三点的横坐标成等差数列；（）略（）如果，则，

5、设，那么，此时直线方程为，点，点，符合要求；如果，那么直线不与轴垂直。满足的四点、构成平行四边形。若存在点符合要求，则直线、。直线的斜率为，那么先研究直线与抛物线的交点，除去原点外的另一个交点为。而点的横坐标也为，则直线轴，即不与直线垂直，所以此时不存在点。综上，仅存在一点适合题意。5. 已知点M(k,l)、P(m,n),(klmn0)是曲线C上的两点，点M、N关于轴对称，直线MP、NP分别交轴于点E(xE,0)和点F(xF,0)，（）用k、l、m、n分别表示和; （）当曲线C的方程分别为： 、时，探究的值是否与点M、N、P的位置相关；（）类比（）的探究过程，当曲线C的方程为时，探究与经加、减

6、、乘、除的某一种运算后为定值的一个正确结论.(只要求写出你的探究结论，无须证明).解：（）依题意N(k,l)，且klmn0及MP、NP与轴有交点知：2分M、P、N为不同点，直线PM的方程为，3分则，同理可得.5分（）M,P在圆C：x2+y2=R2上,(定值).的值是与点M、N、P位置无关. 8分同理M,P在椭圆C：上,(定值).的值是与点M、N、P位置无关. 11分（）一个探究结论是： 13分证明如下：依题意, ,.M,P在抛物线C：y2=2px(p>0)上,n2=2pm,l2=2pk.为定值. 6已知椭圆和圆，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为。（1） 若圆经过椭圆的焦点，求椭圆的

7、离心率；（2） 若椭圆上存在点，使得，求椭圆离心率范围；（3） 设直线与轴分别交于点，探究是否为定值？如是，请求出，给出证明；如不是，请给出反例。7如图所示，椭圆的离心率为，且A（0，1）是椭圆C的顶点。 （1）求椭圆C的方程； （2）过点A作斜率为1的直线，在直线上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且过点M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程。解：（1）由题意可知， 1分即 3分所以椭圆C的方程为： 4分 （2）设椭圆C的焦点为F1，F2，则可知F1（-2，0），F2（2，0），直线 方程为： 6分因为M在双曲线E上，所以要使双曲线E的实轴最长，只需最大。又关于直线的对称点为则直线F

8、2F1与直线的交点即为所求的点M 9分直线F2F1的斜率为，其方程为：解得 12分又，此时故所求的双曲线方程为 14分8已知圆：与轴相交于、，与轴正半轴相交于，以、为焦点，且经过点的椭圆记为求椭圆的方程；根据椭圆的对称性，任意椭圆都有一个四边都与椭圆相切的正方形，这个正方形称为椭圆的外切正方形，试求椭圆外切正方形四边所在直线的方程。解得、2分，解得4分，所以，6分，所以椭圆的方程是7分根据椭圆的对称性，设外切正方形一边的方程为：9分，由得10分，由11分，解得12分，正方形四边所在直线为，14分9设椭圆的对称中心为坐标原点,其中一个顶点为,右焦点与点的距离为（1）求椭圆的方程；（2）是否存在经

9、过点的直线,使直线与椭圆相交于不同的两点满足？若存在,求出直线的方程；若不存在,请说明理由解:（1）依题意,设椭圆方程为,则其右焦点坐标为,由,得,即,故又,从而可得椭圆方程为-6分（2）由题意可设直线的方程为,由知点在线段的垂直平分线上,由消去得,即可得方程（*）当方程（*）的即时方程（*）有两个不相等的实数根设,线段的中点,则是方程（*）的两个不等的实根,故有从而有 ,于是,可得线段的中点的坐标为又由于,因此直线的斜率为,由,得，即，解得，综上可知存在直线：满足题意-14分10.设点在以、为左、右焦点的双曲线：上，轴，点为其右顶点，且.（）求双曲线方程；（）设过点的直线与交于双曲线不同的两

10、点、，且满足, (其中为原点)，求直线的斜率的取值范围.【答案】解：（）由题意，得且，解得，则双曲线的方程为 （4分）（）设，由，有 （6分）显然，不合题意；当轴时，也不合题意 （8分）于是，由，消去，整理得：， （10分）由故斜率的取值范围是. （12分）11.如图，已知点，点是：上任意一点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹记为曲线.（）求曲线的方程；（）已知：（）的切线总与曲线有两个交点，并且其中一条切线满足，求证：对于任意一条切线总有.【答案】（I）由题意，Q点轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且,曲线C的轨迹方程是.分（II）先考虑切线的斜率存在的情形. 设切线：，则 由与O相切得 即 7分

11、由，消去得，,设，则由韦达定理得，9分图2 10分由于其中一条切线满足，对此结合式可得12分于是，对于任意一条切线，总有，进而故总有. 14分最后考虑两种特殊情况：（1）当满足的那条切线斜率不存在时，切线方程为代入椭圆方程可得交点的纵坐标，因，故，得到，同上可得：任意一条切线均满足；（2）当满足的那条切线斜率存在时，对于斜率不存在的切线也有.综上所述，命题成立. 15分12.已知椭圆的一个焦点是，且离心率为.（）求椭圆的方程；（）设经过点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.【答案】（）解：设椭圆的半焦距是.依题意，得. 1分 因为椭圆的离心率为，所以，. 3分故椭圆的方

12、程为 . 4分（）解：当轴时，显然. 5分当与轴不垂直时，可设直线的方程为.由 消去整理得 . 7分设，线段的中点为，则 . 8分所以 ，.线段的垂直平分线方程为.在上述方程中令，得. 10分当时，；当时，.所以，或. 综上，的取值范围是. 13分13.已知椭圆的离心率为，直线过点，且与椭圆相切于点.（）求椭圆的方程；（）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点、，使得?若存在，试求出直线的方程；若不存在,请说明理由.【答案】（）由题得过两点，直线的方程为. 1分 因为，所以，. 设椭圆方程为, 由消去得，.又因为直线与椭圆相切,所以,解得. 所以椭圆方程为. 5分（）易知直线的斜率存在,设直

13、线的方程为， 6分 由消去，整理得. 7分 由题意知， 解得. 8分 设，则，. 9分又直线与椭圆相切， 由解得，所以. 10分 则. 所以. 又 所以，解得.经检验成立. 13分 所以直线的方程为. 14分圆锥曲线 (21) (安徽省“江南十校”2012年3月高三联考理科) (本小题满分13分）如图,椭圆的中心在坐标原点，长轴端点为A，B,右焦点为F,且.(I) 求椭圆的标准方程；(II) 过椭圆的右焦点F作直线，直线l1与椭圆分别交于点M,N，直线l2与椭圆分别交于点P,Q,且，求四边形MPNQ的面积S的最小值. (21) 解:（）设椭圆的方程为,则由题意知,又即,故椭圆的方程为:.2分

14、(注: 证明,用几何法同样得分)若直线中有一条斜率不存在,不妨设的斜率不存在,则可得轴, ,故四边形的面积.7分21（13分）已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为, 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且.（1）求椭圆方程；（2）求的取值范围解：（1）设C：1（a>b>0），设c>0，c2a2b2，由条件知a-c，a1，bc 故C的方程为：y21 5分（2）当直线斜率不存在时： 6分19（12分）已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为, 直线l与y轴交于点P（0，m）

15、，与椭圆C交于相异两点A、B，且.（1）求椭圆方程；（2）求的取值范围解：（1）设C：1（a>b>0），设c>0，c2a2b2，由条件知a-c，a1，bc 故C的方程为：y21 4分（2）当直线斜率不存在时： 5分当直线斜率存在时：设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）得（k22）x22kmx（m21）0 （2km）24（k22）（m21）4（k22m22）>0 （*） 6分x1x2， x1x2 7分3 x13x2 8分由消去x1，x2，3（）2409分整理得4k2m22m2k220 m2时，上式不成立；m2时，k2， k20，或 把k2代入（*）得或或1

16、1分,综上m范围为或12分20.已知直线，圆O：36（O为坐标原点），椭圆C：1（ab0）的离心率为e，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的长轴长相等。（I）求椭圆C的方程；（II）过点（3,0）作直线l，与椭圆C交于A，B两点设（O是坐标原点），是否存在这样的直线l，使四边形为ASB的对角线长相等？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由。由，即.9分 ,由得：，满足>0. 12分故存在这样的直线l,其方程为. 13分（19）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线 在y轴上的截距为m（m0），直线交椭圆于A、B两个不同点（A、

17、B与M不重合）. （）求椭圆的方程；（）当时，求m的值.由消并整理化简得：，此方程有两解 解得：10分由韦达定理得：，代入得： 解：或12分点异于，13分21、已知椭圆C：，直线与椭圆C相交于A、B两点，（其中O为坐标原点）。（1） 试探究：点O到直线AB的距离是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；（2） 求的最小值。代入得：，整理得， 5分到直线的距离.综上所述，点到直线的距离为定值. 6分法二：（均值不等式法）由（）可知，到直线的距离.在中，故有，即， 9分而（当且仅当时取等号）8.()如图，为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且ODAB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4

18、，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设=，求的取值范围.8.解：(1)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系， |PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2|AB|=4.曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆.设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,a=,c=2,b=1.曲线C的方程为+y2=1.(2)设直线l的方程为y=kx+2,代入+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0.=(20k)24

19、×15(1+5k2)0,得k2.由图可知=由韦达定理得将x1=x2代入得两式相除得M在D、N中间，1又当k不存在时，显然= (此时直线l与y轴重合).9.()若椭圆=1(ab0)与直线l：x+y=1在第一象限内有两个不同的交点，求a、b所满足的条件，并画出点P(a,b)的存在区域.解：由方程组消去y,整理得(a2+b2)x22a2x+a2(1b2)=0则椭圆与直线l在第一象限内有两个不同的交点的充要条件是方程在区间(0，1）内有两相异实根，令f(x)=(a2+b2)x22a2x+a2(1b2),则有同时满足上述四个条件的点P(a,b)的存在区域为下图所示的阴影部分：19.(本小题12分) 已知椭圆的离心率，过点和的直线与原点的距离为（1）求椭圆的方程（2）已知定点，若直线与椭圆交于两点，试判断：是否存在的值，使以为直径的圆过点？若存在，求出这个值；若不存在，说明理由20.(本小题12分) 如图，直线交双曲线及其渐近线于，四点，求证：21.(本小题12分) 椭圆的中心在原点，焦点在轴上，过点的直线交椭圆于两点，且