计算机图形学及cad技术讲义——曲线曲面基本理论

1、第三讲 曲线曲面基本理论1概述 (a) 飞机 (b) 船舶 (c) 汽车图 1-1 曲线曲面造型应用曲线曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design, CAGD)和计算机图形学的一项重要内容，主要研究在计算机系统中如何用曲线曲面表示、设计、显示和分析物体模型。它在航空航天、船舶、飞机、汽车等行业得到广泛应用(如图1-1所示)。由Coons、Bezier等大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础,经过三十多年的发展，曲线曲面造型现在已形成了以有理B样条曲线曲面(Rational B-spline Surface)参数

2、化特征设计和隐式代数曲线曲面(Implicit Algebraic Surface)表示为主体的两类方法，且以插值(Interpolation)、逼近(Approximation)手段为几何理论体系。1.1曲线曲面表示曲线曲面可以用三种形式进行表示，即显式、隐式和参数表示，三种形式表示如下。显式表示：形如的表达式。对于一个平面曲线而言，显式表达式可写为。在平面曲线方程中，一个值与一个值对应，所以显式方程不能表示封闭或多值曲线，例如，不能用显式方程表示一个圆。隐式表示：形如的表达式。如一个平面曲线方程，隐式表达式可写为。隐式表示的优点是易于判断函数是否大于、小于或等于零，也就易于判断点是落在所表

3、示曲线上或在曲线的哪一侧。参数表示：形如，的表达式，其中t为参数。即曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。如平面曲线上任一点可表示为，如图1-2(a)所示；空间曲线上任一三维点可表示为，如图1-2(b)所示。 (a) 平面曲线 (b)空间曲线图1-2曲线参数表示最简单的参数曲线是直线段，端点为、的直线段参数方程可表示为； (1-1)圆在计算机图形学中应用十分广泛，其在第一象限内的单位圆弧的非参数显式表示为 (1-2)其参数形式可表示为 (1-3)计算机图形学中通常用参数形式描述曲线曲面，因为参数表示的曲线曲面具有几何不变性等优点，其优势主要表现在：(1) 可以满足几何不变性的要求，坐标变换

4、后仍保持几何形状不变；(2) 有更大的自由度来控制曲线曲面的形状。如一条二维三次曲线的显式表示为： (1-4)由上式可知只有四个系数控制曲线的形状。而二维三次曲线的参数表达式为： (1-5)与二维三次曲线的显式表达式比较，参数表达式由8个系数来控制此曲线的形状。(3) 对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换，必须对其每个型值点进行几何变换，不能对其方程变换(因不满足几何变换不变性)；而对参数表示的曲线、曲面来说，可对其参数方程直接进行几何变换实现曲线曲面的变换。(4) 便于处理斜率为无穷大的情形，即当斜率为无穷大的时候，计算也不会中断。(5) 参数方程中，代数或几何相关和无关的变量是完全分离的，

5、而且对变量个数没有限制，从而便于用户将低维空间的曲线、曲面扩展到高维空间。这种变量分离的特点有助于实现用数学公式处理几何分量。(6) 规格化的参数变量使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义边界。(7) 易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。1.2曲线曲面基本性质位置矢量： 曲线上任一点的位置矢量可表示为；其一阶、二阶和阶导数矢量(如果存在的话)可分别表示为 (1-9) 切矢量： 若曲线上、两点的参数分别是和，矢量，其大小以连接的弦长表示。如果在处有确定的切线，则当趋向于，即时，导数矢量趋向于该点的切线方向。如果选择弧长作为参数，则是单位矢量。法矢量： 对于空间参数曲线上任意一

6、点，所有垂直切矢量的矢量有一束，且位于同一平面上，该平面称为法平面。若对曲线上任意一点的单位切矢为，因为，两边对求导矢得：，可见是一个与垂直的矢量。与平行的法矢称为曲线在该点的主法矢。主法矢的单位矢量称为单位主法矢量。矢量积是第三个单位矢量，垂直于和。平行于矢量的法矢称为曲线在该点的副法矢，则称为单位副法矢量。对于一般参数，切矢、法矢关系如下 (1-10)图1-3 曲线矢量曲率和挠率： 因为与平行，令，则，即称为曲率，其几何意义是曲线的单位切矢对弧长的转动率，与主法矢同向。曲率的倒数，称为曲率半径。又，两边对求导矢得：，将代入上式，并注意到，得到，因为，所以两边对求导得到。可见既垂直于，又垂直

7、于，故有，再令，称为挠率。挠率的绝对值等于副法线方向对于弧长的转动率。挠率大于0、等于0和小于0分别表示曲线为右旋空间曲线、平面曲线和左旋空间曲线。对于一般参数，可知曲率和挠率的计算公式如下： (1-11)光顺：通俗含义指曲线的拐点不能太多，因为曲线拐来拐去，就会不顺滑。对平面曲线而言，相对光顺的条件是：a) 具有二阶几何连续性()；b) 不存在多余拐点和奇异点；c) 曲率变化较小。连续性：一条复杂曲线时通常由多段曲线组合而成，曲线段之间的光滑连接问题即为连续性问题。曲线间连接的光滑度的度量有两种：一种是函数的可微性，把组合参数曲线构造成在连接处具有直到阶连续导矢，即阶连续可微，这类光滑度称之

8、为或阶参数连续性。另一种称为几何连续性，组合曲线在连接处满足不同于的某一组约束条件，称为具有阶几何连续性，简记为。曲线光滑度的两种度量方法并不矛盾，连续包含在连续之中。 图1-4 曲线连续性 图1-5 一阶连续 图1-6二阶连续对于如图1-4所示二条曲线和，参数，若要求在结合处达到连续或连续，即两曲线在结合处位置连续，则需。若要求在结合处达到连续(如图1-5所示)，就是说两条曲线在结合处满足连续的条件下，并有公共切矢： () (1-12)当时，连续就成为连续。若要求在结合处达到连续(如图1-6所示)，即两条曲线在结合处满足连续的条件下，并有公共曲率矢： (1-13)代入(1-12)得： (1-

9、14)此式可进一步表示为： (1-15)即在和确定的平面内。为任意常数。当，时，连续就成为C2连续。在弧长作参数的情况下，连续保证连续，连续能保证连续，但反过来不行。也就是说连续的条件比连续的条件要苛刻。1.3曲线曲面生成插值：给定一组有序的数据点，构造一条曲线顺序地通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。常用插值方法有线性插值、抛物线插值等。逼近：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，称为对这些数据点进行逼近，所构造的曲线为逼近曲线。拟合：插值和逼近统称为拟合(fitting)。2 Bezier曲线曲面2.1 Bezier曲线2.1.1 Bezier曲线

10、定义给定空间个点的位置矢量，则Bezier参数曲线上各点坐标的插值公式为： (2-1)    将其写成矩阵表达形式为： (2-2)其中，构成该Bezier曲线的特征多边形，是次Bernstein基函数： (2-3)约定：，；，；，；，；，； 如图2-1所示为一条的三次Bezier曲线实例。图2-1 三次Bezier曲线三次Bezier曲线可以表达式为 (2-4)其中，因此其矩阵表达式为 (2-5)如果用上式求的值，则取的坐标进行计算，同理可求，具体如下： 由上式可以看到Betnstain基函数仅需计算一次。2.1.2 Betnstein基函数本节主要介绍Betns

11、tein基函数的性质，其性质如图2-2所示。(1) 正性 (2-6)(2) 端点性质 (2-7)(3) 权性 (2-8)由二项式定理可知： 图2-2 Betnstein基函数的性质(4) 对称性 (2-9)因为(5) 递推性,其计算过程表示为： 递推性即高一次的Bernstein基函数可由两个低一次的Bernstein调和函数线性组合而成。(6) 导函数 (2-10)(7) 最大值 在处达到最大值。2.1.3 Bezier曲线性质 图2-3 Bezier曲线的性质Bezier曲线的性质如图2-3所示。(1) 端点性质a. 曲线端点位置矢量 由Bernstein基函数的端点性质可以推得，因此，B

12、ezier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。b. 端点切矢量因为，即，上式说明Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。c. 端点二阶导矢 (2-11)即：， 上式表明：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实上，r阶导矢只与（r+1）个相邻点有关，与更远点无关。(2) 对称性颠倒控制点顺序，即控制顶点， 构造出的新Bezier曲线，则与原Bezier曲线形状相同，仅走向相反。因为： (2-12)这个性质说明Bezier曲线在起点处有什么几何性质，在终点处也有相同的性质。(3) 凸包性由于，且，这一结果说明当在0，1区间变化时，对某一个

13、值，是特征多边形各顶点的加权平均，权因子依次是。在几何图形上，意味着Bezier曲线在中各点是控制点的凸线性组合，即曲线落在构成的凸包之中，如图2-4所示。图2-4 Bezier曲线的凸包性(4) 几何变换不变性即某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。Bezier曲线的位置和形状与其特征多边形顶点的位置有关，它不依赖坐标系的选择，即有：，(参变量是的置换)。(5) 变差缩减性若Bezier曲线的特征多边形是一个平面图形，则平面内任意直线与的交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数，这一性质叫变差缩减性质。此性质反映了Bezier曲线比其特征多边形的波动还小，也就是说Bezier曲线比其特征

14、多边形的折线更光顺(如图2-5所示)。2-5 Bezier曲线与其特征多边形(6) 仿射不变性对于任意的仿射变换，有： (2-13)即在仿射变换下，的形式不变。2.1.4 Bezier曲线几何作图    计算Bezier曲线上的点，可用Bezier曲线方程，但使用de Casteljau提出的递推算法则要简单的多。如图1-19所示的抛物线，设、是一条抛物线上顺序三个不同的点。过和点的两切线交于点，在点的切线交和于和，则如下比例成立： (2-14)这就是抛物线的三切线定理，其几何意义如图2-6所示。图2-6 抛物线的三切线定理当，固定，引入参数，令上述比值为，即有：

15、 (2-15)从0变到1，第一、二式就分别表示控制二边形的第一、二条边，它们正好是两条一次Bezier曲线。将一、二式代入第三式得： (2-16)当从0变到1时，表示由三顶点，定义的一条二次Bezier曲线。并且表明：这二次Bezier曲线可以定义为分别由前两个顶点和后两个顶点决定的一次Bezier曲线的线性组合。依次类推，由四个控制点定义的三次Bezier曲线可被定义为分别由和确定的二条二次Bezier曲线的线性组合；进一步由个控制点定义的次Bezier曲线可被定义为分别由前、后个控制点定义的两条次Bezier曲线与的线性组合： (2-17)由此得到Bezier曲线的递推公式如下： (2-1

16、8)    这便是著名的de Casteljau算法。用此递推公式，在给定参数下，求Bezier曲线上一点非常有效。且上式中是定义Bezier曲线的控制点，即为曲线上具有参数的点。de Casteljau算法稳定可靠，直观简便，可以编出十分简捷的程序，是计算Bezier曲线的基本算法和标准算法。function deCasteljau(i,j) begin if i = 0 then return P0,j else return (1-u)* deCasteljau(i-1,j) + u* deCasteljau(i-1,j+1) end 上述算法也可用简单的几

17、何作图来实现。给定参数，将定义域分成长度为的两段。依次对原始控制多边形每一边执行同样的定比分割，所得分点就是第一级递推生成的中间顶点，对这些中间顶点构成的控制多边形再执行同样的定比分割，得第二级中间顶点。重复进行下去，直到级递推得到一个中间顶点即为所求曲线上的点。如图2-7所示为几何作图求三次Bezier曲线（给定参数域）上的点。把定义域分成长度为1/3 : (1-1/3)的两段。依次对原始控制多边形每一边执行同样的定比分割，所得分点就是第一级递推生成的中间顶点、，对这些中间顶点构成的控制多边形再执行同样的定比分割，得第二级中间顶点、。重复进行下去，直到第3级递推得到一个中间顶点即为所求曲线上

18、的点。图2-7 几何作图法求Bezier曲线上一点(，)上述过程的de casteljau算法递推出的呈三角形，对应结果如图2-8所示。递归算法是上述过程的逆过程，首先从上向下递归，直到最底层后开始返回，最顶层点即为曲线上的点。图2-8 时，的递推关系另外，这一算法隐含说明任一Bezier曲线均可被分割为两段Bezier曲线。第一段由、确定，参数空间为0,1/3；第二段、确定，参数空间为1/3,1,分割后的曲线形状保持不变。如图2-9所示。 图2-9 Bezier曲线的分割(，)2.2 Bezier曲面根据上一节的Bezier曲线的定义以及性质，可以方便地给出Bezier曲面的定义和性质，Be

19、zier曲线的一些算法也很容易扩展到Bezier曲面的情况。2.2.1 Bezier曲面定义设为个空间点列，则次张量积形式的Bezier曲面定义为： (2-19)其中，是Bernstein基函数。依次用线段连接点列中相邻两点所形成的空间网格，称之为特征网格。Bezier曲面的矩阵表示式是： (2-20)在一般实际应用中，不大于4。以双三次Bezier曲面为例，将其写为矩阵表达式则为：其具体计算方法为：其中，上式中各基函数的值只需计算一次。 先按等参数方向均匀离散成网格点，再按一定规则绘制网格线绘制其线框图，绘制的线框图如图2-10所示。图2-10 线框图2.2.2 Bezier曲面性质除变差减

20、小性质外，Bezier曲线的其它性质可推广到Bezier曲面。(1) Bezier曲面特征网格的四个角点正好是Bezier曲面的四个角点，即：，(2) Bezier曲面特征网格最外一圈顶点定义Bezier曲面的四条边界，且每条边界曲线仍为一Bezier曲线，该边界Bezier曲线由对应的一条边界特征网格顶点确定，即：推广之：沿Bezier曲面任何等参数的截线均为一Bezier曲线（读者证明）。（3）Bezier曲面边界的跨界一阶切矢只与定义该边界的顶点及相邻一排顶点（共二排顶点）有关，且、和（如图1-26所示打上斜线的三角形）组成的平面与曲面在对应的角点相切；其跨界二阶导矢只与定义该边界的及相

21、邻两排顶点（共三排顶点）有关。（4）几何不变性。（5）对称性。（6）凸包性。如图2-11所示，以双三次Bezier曲面为例，可以清楚看出它的上述几何特性。vu图2-11 双三次Bezier曲面及边界信息2.2.3 Bezier曲线拼接几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。这是由于增加由于特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难，实际使用中，一般不超过10次。所以有时采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。下面讨论两段Bezier曲线达到不同阶几何连续的条件。给定两条Bezier曲线和，相应控制点

22、为和，且令，如图2-12所示，现在把两条曲线连接起来。(1) 连续的充要条件是：；(2) 连续的充要条件是：、三点共线，即；(3) 连续的充要条件是：在连续的条件下，并满足方程。图2-12 Bezier曲线的拼接我们将、和，、代入，并整理，可以得到： (2-21)选择和的值，可以利用该式确定曲线段的特征多边形顶点，而顶点、已被连续条件所确定。要达到连续的话，只需自由选取顶点。如果上式的两边都减去，则等式右边可以表示为和的线性组合： (2-22)这表明、和五点共面，事实上，在接合点两条曲线段的曲率相等，主法线方向一致，还可以断定，和位于直线的同一侧。2.2.4 Bezier曲面拼接如图2-13所

23、示，设两张次Bezier曲面片 (2-23)分别由控制顶点和定义。图2-13 Bezier曲面片的拼接如果要求两曲面片达到连续，则它们有公共的边界，即： (2-24)于是有。如果又要求沿该公共边界达到连续，则两曲面片在该边界上有公共的切平面。因此曲面的法向矢量应当是跨界连续的，而曲面的偏导切向矢量不必跨界连续，如图2-14所示，仅需、共线，、共面即可。Pv（1，v）Pu（1，v）Qv（0，v）Qu（0，v）PQPQ图2-14 跨界连续由此可知： (2-25)    下面来研究满足这个方程的两种方法。（1）鉴于公式(3-4)，公式(3-5)最简单的取解（但更苛刻）是

24、： (2-26)这相当于要求合成曲面上为常数的所有曲线，在跨界时有切向的连续性。为了保证式(3-6)两边关于的多项式次数相同，必须取（一个正常数）。于是有： (2-27)即。如图2-15所示为两张三次Bezier曲面的拼接示意图图2-15 三次Bezier曲面的拼接（2）公式(3-6)使得两张曲面片在边界达到连续时，只涉及面和的两列控制顶点，比较容易控制。用这种方法匹配合成的曲面的边界，向和向是光滑连续的。实际上，该式的限制是苛刻的。为了构造合成曲面时有更大的灵活性，Bezier在1972年放弃把(3-6)式作为连续的条件，而以 (2-28)要满足(2-28)式，仅仅要求位于和所在的同一个平面

25、内，也就是要求位于曲面片边界上相应点处的切平面，这样就有了大得多的余地，但跨界切矢在跨越曲面片的边界时就不再连续了。其几何意义可以用图2-16解释，如图2-16所示的两张三次Bezier曲面的拼接条件仅需相应顶点满足共面即可，显然这一条件更为宽松。图2-16 顶点满足共面的三次Bezier曲面的拼接同样，为了保证等式两边关于的多项式次数相同，须为任意正常数，是的任意线性函数。如果要实现多张曲面拼接，需要更多的自由度和更为宽松的条件才可能。为实现这一目标往往需要更高阶的曲面，常用的方法是对低阶曲面升阶来提高阶次。3 B样条曲线与曲面Bezier曲线具有很多优越性，但有二点不足：1) 特征多边形顶

26、点数决定了它的阶次数，当较大时，不仅计算量增大，稳定性降低，且控制顶点对曲线的形状控制减弱；2) 不具有局部性，即修改一控制点对曲线产生全局性影响的性质。因此，1972年Gordon等用B样条基函数代替Bernstein基函数，从而改进上述缺点。3.1 B样条曲线3.1.1 均匀双三次B样条曲线定义1 一次均匀B样条曲线的矩阵表示空间个顶点定义段一次(，二阶)均匀B样条曲线，即每相邻两个点可构造一曲线段，其定义表达为： (3-1) PiP1P0Pn1Pn图3-1 一次B样条曲线由图3-1所示可知，第i段曲线端点位置矢量：，且一次均匀B样条曲线就是控制多边形。2 二次均匀B样条曲线空间个顶点的位

27、置矢量定义段二次（，三阶）均匀B样条曲线，每相邻三个点可构造一曲线段，其定义表达为： (3-2)图3-2 二次B样条曲线由图3-2可知，二次B样条曲线有如下矢量。a) 端点位置矢量：，即曲线的起点和终点分别位于控制多边形和的中点。若、三个顶点位于同一条直线上，蜕化成直线边上的一段直线。b) 端点一阶导数矢量：，即曲线的起点切矢和终点切矢分别和二边重合，且相邻两曲线段在节点处具有一阶导数连续。c) 二阶导数矢量：，即曲线段内任何点处二阶导数相等，且相邻两曲线段在节点处二阶导数不连续。3 三次均匀B样条曲线空间个顶点的位置矢量构造段三次（，四阶）均匀B样条曲线段，每相邻四个点可定义一曲线段，其定义

28、表达为： (3-3)Pi-1PiPi+1Pi+2图3-3 三次B样条曲线由图3-2可知，二次B样条曲线有如下矢量。a) 端点位置矢量：，即起点位于三角形中线的1/3处，终点位于三角形中线的1/3处。可见B样条曲线的端点并不通过控制点。b) 端点一阶导数矢量：，即曲线起点的切矢平行于的底边，其模长为底边长的1/2，同样曲线终点的切矢平行于的底边，其模长也为底边长的1/2。且相邻两曲线段具有一阶导数连续（因）。c) 二阶导数矢量：，即曲线段在端点处的二阶导数矢量等于相邻两直线边所形成的平行四边形的对角线，且两曲线段在节点处具有二阶导数连续（因）。若、三个顶点位于同一条直线上，三次均匀B样条曲线将产

29、生拐点；若、四点共线，则变成一段直线；若、三点重合，则过点。图3-4 三次B样条曲线的一些特例3.1.2 均匀双三次B样条曲线性质(1) 局部性空间个控制顶点构造段次(阶)B样条曲线段，且每一曲线段由、等个控制顶点确定，与其它控制点无关。(2) 整体性和连续性一般情况下（即无重节点、重顶点），个控制顶点所构造的段次(阶)B样条曲线段组成一完整的B样条曲线，曲线段与段之间具有阶函数连续性（或阶几何连续性），当有K重顶点时，将可能产生尖点（前面已介绍），虽然仍满足函数连续，但不满足几何连续。(3) 几何不变性 改变坐标系不改变曲线形状。(4) 变差缩减性 与Bezier曲线性质相同。(5) 造型的

30、灵活性由于其良好的局部特性，可以方便构造低次的复杂曲线，且编辑顶点对曲线形状的改变是局部的；(6) 整体光滑性由于其整体性和连续性，曲线具有整体的光滑性。但是B样条首末两端点不通过控制顶点，不过此缺点与其优点比较微不足道。正由于上述优点，B样条曲线比Bezier应用更为广泛，为商用系统普遍采用。3.1.3 均匀三次B样条曲线几何作图思考：用作图法绘制如图3-5所示均匀三次B样条曲线。P0P3P1 ,P2P4P5, P6 ,P7P8图3-5 绘制实例由本章节的图和上一章节的图比较可知，B样条曲线段与段之间具有天然的连续性，具有整体的光滑特性，而Bezier曲线段与段之间必须光滑拼接。因此在商用系

31、统中B样条方法应用更为广泛。3.2 均匀双三次B样条曲面3.2.1 均匀双三次B样条曲面定义已知曲面的控制点，参数，且，构造双三次B样条曲面的步骤同上述。1) 沿向构造均匀三次B样条曲线，有： (3-4)2) 再沿向构造均匀三次B样条曲线，此时可认为顶点沿滑动，每组顶点对应相同的，当值由0到1连续变化，即形成均匀双三次B样条曲面(如图3-6所示)。此时表达式为： (3-5)w=1v=0u=1wu 其中 ， 。u=0图3-6 双三次B样条曲面片上式(3-5)也可表达为：Pi, j3Pi+1, j3Pi+2, j3Pi+3, j3Pi, j2Pi+1, j2Pi+2, j2Pi+3, j2Pi,

32、j1Pi+1, j1Pi+2, j1Pi+3, j1Pi+2, jPi+3, jPi+1, jPi, j对于由控制点组成的均匀双三次B样条曲面(如图3-7所示)，其定义如下：图3-7 由控制点组成的均匀双三次B样条曲面即任意单张均匀双三次B样条曲面片是由等16个控制点定义而成。图3-8为一均匀双三次B样条曲面的示意图。图3-8 均匀双三次B样条曲面示意图3.2.2 均匀双三次B样条曲面性质B样条曲面具有B样条曲线的多种性质，曲面的片与片之间具有天然的连续性。下面仍以均匀双三次曲面为例说明B样条曲面的性质。1）均匀双三次B样条曲面的顶点不经过任何特征网格顶点，且仅与各角点对应的9个特征网格顶点有

33、关，如：，同理可得、。2）均匀双三次B样条曲面的边界曲线仍为B样条曲线，该边界B样条曲线由对应的三条边界特征网格顶点确定，由B样条曲面得定义可得：同理可得、。推广之：沿B样条曲面任何等参数的截线均为一B样条曲线（读者证明）。3）均匀双三次B样条曲面边界的跨界一阶切矢只与定义该边界的顶点及相邻二排顶点（共三排顶点）有关， 依次可得。可见均匀三次B样条曲面具有一阶函数连续性。同理可得，其跨界二阶导矢只与定义该边界的及相邻两排顶点（共三排顶点）有关，且均匀三次B样条曲面具有二阶函数连续性。4）几何不变性。5）对称性。6）凸包性。B样条曲面的线框图的绘制需先沿等参数方向离散成网格点，然后依次连线绘制，

34、如图3-9为一B样条曲面的线框图。图3-9 B样条曲面线框图由上图3-9可知，B样条方法能够很方便绘制复杂曲面，显然比Bezier方法更灵活，因此应用更广泛。3.3 一般B样条曲线曲面3.3.1 一般B样条曲线及性质1. 定义：由前面的内容得知，三次均匀B样条曲线的基函数为： 上述基函数图形如图3-40所示。N1，3（u）N0，3（u）N2，3（u）N3，3（u）N0，3（u）N3，3（u）N1，3（u）N2，3（u）N3，3（u）N0，3（u）N1，3（u）N2，3（u）01u图3-10 B样条曲线基函数已知个控制点，也称为特征多边形的顶点，次(阶) B样条曲线的表达式是： (3-6)其中是

35、调和函数，也称为基函数，按照递归公式可定义为： (3-7)式中是节点值，且为非减序列，构成了次(阶)B样条基函数的节点矢量，每一基函数由对应的个节点决定；公式(3-7)也表明，高次B样条函数可用低次的B样条函数来表示，且可得其递推计算方法。由图3-10所示基函数的示意图可知B样条基函数具有局部支撑特性，即 (3-8)节点矢量所含节点数目由控制顶点和曲线次数所确定（节点数控制点数），显然，基函数个数 控制点数。以 (3次4阶)B样条曲线的基函数为例，说明其基函数的计算方法，其中数据输入点（也称型值点）数目为（即曲线线段为2），则控制点数目3315，其节点数4329，不妨假设节点参数： ，即节点值

36、为0，1，2，且，节点向量为 0 0 0 0 1 2 2 2 2 用来决定B样条曲线的基函数；这种节点向量相邻节点跨距并不相等，则此曲线称为非均匀B样条曲线。由于基函数迭代的递推特性，必需从较低阶数的基函数算起。根据前面的基函数的定义，则第一阶基函数的计算如下： 第二阶基函数的计算如下：第三阶基函数的计算如下：第四阶基函数的计算如下：其中，为基函数，如图3-11所示。图3-11 非均匀B样条基函数因此定义B样条曲线方程为： (3-9)对于B样条基函数，当节点矢量沿参数轴是均匀等距分布时，则称为均匀B样条函数，其节点值；例如：当，则上述基函数可表示为均匀三次B样条函数，并通过变换可得如下表达：

37、u10101010101010Ni+3，3（u）Ni，3（u）Ni+1，3（u）Ni+2，3（u）titi3ti1ti2ti4ti5ti6ti7图3-12 三次B样条函数当节点沿参数轴的分布是不等距的，则表示非均匀B样条函数，即节点值。均匀B样条和非均匀B样条曲线一般不通过控制多边形首末两点。若需B样条曲线具有较好的端点性质（即通过端点），实际应用中常引入准均匀B样条，即在节点矢量中两端节点具有个重复度：这样构造的准均匀B样条曲线将通过控制多边形首末两点。以图3-13为例：当控制点数，次数的准均匀三次B样条曲线的节点矢量可定义为。图3-13 准均匀三次B样条曲线若准均匀B样条曲线控制点数，次数

38、，且节点矢量，此时三次B样条曲线转化为三次Bezier曲线。推而广之，若次B样条曲线的控制点数，且节点矢量为，此时次B样条曲线即为次Bezier曲线。2. 性质：) 局部性：次B样条曲线仅在个区间内非0。换句话说，每段次B样条曲线只涉及个基函数，并由个顶点所定义。第段次B样条曲线仅由共个顶点所控制，与其它点无关；反之，修改一个控制顶点，其影响范围为与该顶点有关的段。) 凸组合性质（凸包性）即，B样条的凸组合性和B样条基函数的数值均大于或等于0保证了B样条曲线的凸包性，即B样条曲线必处在控制多边形所形成的凸包之内。) 连续性：在无重节点的情况下，次B样条在节点处具有次连续性，如三次B样条具有二阶

39、连续；若在某节点处具有重节点，则次B样条在该节点处连续性阶。利用重节点技巧，可获得一些特殊的几何特性。) 递推特性3.3.2 一般B样条曲面及性质1. 定义基于B样条曲线的定义和性质，可以得到B样条曲面的定义。给定个空间点列，则 (3-10)定义了次（k1）x（l1）阶）B样条曲面，和是次（阶）和次（阶）的B样条基函数，和为B样条基函数和的节点参数，由组成的空间网格称为B样条曲面的特征网格。上式也可以写成如下的矩阵形式： (3-11)上式中和分别表示在和参数方向上曲面片的个数。 (3-12)式中是某一个B样条曲面片的控制点编号。2. 性质1）次B样条曲面片的四个角点不经过任何特征网格顶点，且仅

40、与该角点对应的个特征网格顶点有关，如均匀双三次B样条曲面与对应的9个顶点有关。2）B样条曲面的边界曲线仍为B样条曲线，该边界B样条曲线由对应的条（或条）边界特征网格顶点确定。如均匀双三次B样条曲面边界曲线仅与三排顶点有关。推广：沿B样条曲面任何等参数的截线均为一B样条曲线。3）B样条曲面边界的跨界导数只与定义该边界的顶点及相邻排（或排）顶点有关，具有阶函数连续性。4）几何不变性。5）对称性。6）凸包性。4 NURBS曲线与曲面4.1 NURBS曲线一条次NURBS曲线定义为： (4-1)其中称为权,与控制顶点相联，其作用类似基函数，但比基函数更直接。令,，可防止分母为零、保留凸包性及曲线不退化

41、性。为控制顶点。是由节点决定的次(阶) B样条基函数。对于非周期NURBS曲线，两端点的重复度可取为，即，,且在大多数实际应用里，节点值分别取为0与1，因此，其曲线定义域为。由于NURBS曲线与B样条曲线采用相同的基函数，因此NURBS曲线具有和B样条曲线相同的性质。除此之外，由于权因子的作用，使NURBS曲线具有更大的灵活性，且表达能力大大增强，NURBS曲线能统一表达圆锥曲线，B样条曲线和Bezier曲线。 若固定所有控制顶点及除外的所有其它权因子不变，当变化时，点随之移动，它在空间扫描出一条过控制顶点的一条直线。当时，趋近与控制顶点重合。 若增加，则曲线被拉向控制顶点；若减小，则曲线被推

42、离控制顶点。 若增加，则一般地曲线在受影响的范围内被推离除顶点外的其它相应控制顶点；若减小，则相反。图5-1给出了权因子对NURBS曲线的影响示意图。 图5-1 权因子对曲线的影响 图5-2 二次NURBS曲线定义圆图5-2给出了二次NURBS曲线表达圆的一种方法，图5-2中各顶点的权因子的取值分别为（1，0.7071，1，0.7071，1，0.7071，1，0.7071，1），其节点矢量。4.2 NURBS曲面由双参数变量分段有理多项式定义的NURBS曲面是： (4-2)公式(4-2)中控制顶点呈拓扑矩形阵列，形成一个控制网格。是与顶点联系的权因子，规定四角顶点处用正权因子即,其余；和分别为向次和向l次的规范B样条基。它们分别由向与向的节点矢量决定。由于NURBS曲面与B样条曲面采用相同的基函数，因此NURBS曲面具有和B样条曲面相同的性质。除此之外，由于权因子的作用，使NURBS曲面具有更大的灵活性，且表达能力大大增强，NURBS曲面能统一表达二次曲面(如球面，柱面，圆环面等)、B样条曲面和Bezier曲面等。5 曲线曲面造型方法5.1 CAD系统中常见曲线生成手段CAD系统中常见曲线生成手段主要有：a、 直接公式定义：直线、圆弧，ACIS 中的law等；b、 输入控制点(如图5-1