第二十三届希望杯全国数学邀请赛

1、第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高一第 2 试2012 年 4 月 8日上午 9：00 至 11：00得分一、选择题（每小题4 分，共 40 分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的括号内。1.设 A,B是同一个三角形的两个内角，则不是A B 成立的充要条件的是（）( A)sin Asin B(B)sin 2A sin 2B(C )cos A cosB (D )cos 2Acos 2B2.函数 f (x)lg 2x 的单调增区间是（）( A)(,1)(3,)(B)(1, 2)( 3 ,(C)(,1)(2,3)(D)(1, 2)( 2 ,3.图 1中

2、的图形所表示的是将棱长为a 的立方体用一个平面切割后剩下的几何体，则它的体积不等于原立方体体积一半的有（）个。( A)3(B)4(C)5(D )64. an 是公比不为1 的等比数列，Sn 是 an 的前 n 项和。给出下面3 个命题：（1）若 an 中既有正数，又有负数，那么 Sn 中也既有正数，又有负数；（2） an 不可能同时具有最大值和最小值；（3） S10 , S20S10 , S30S20 , S40S30,构成等比数列。其中，真命题的个数是（）( A)0(B)1(C)2(D )35.在正数数列 an 中， a11anan1, an1，则 a2012 （）44( A)1012025

3、(B)1012036(C )1013025( D )1013036.若存在 x1,2 ，使得 a 2x120 ，则 a 的取值范围是（）( A)(1,3)(B)(,1 )( 3 ,)2222(C)( 1,3)(D )(, 1) (3,)4444.已知 O 是坐标原点， 动点M 在圆 C :( x4)2y 24上，对该坐标平面内的点 N 和 P ，若 2ONOMMC MP0，则 NP 的取值范围是（）( A)0,12(B)1,11(C )2,11( D)1,12 .已知关于 x 的方程 ax3bx2cxd0有三个不同的实根，其中一个是，则它的系数中不能是的仅有（）( A)a,c( B)b, c(

4、C )a, d( D )b,d.已知集合 A a |关于 x 的方程2 xa1有唯一实数解 ，则集合 A 的真子集的个数是4x29（）( A)0( B)3(C)7(D)8 .如图所示，已知圆锥的底面半径为，母线长为，FC 是轴截面ABC 底角ACB 的角平分线，BD 是底面的一条弦，且DBC 30 ，则直线 FC 与 BD 的距离是（）( A)14(B)2 7(C)37(D)72二、填空题（每小题4 分，共40 分）11.直角梯形 ABCD 中，ABC90 ，AD / /BC,ABAD 2, BC4, I 为 BD 的中点，直线 MN 过 I 点，且与线段AB 、 CD 分别交于点 M 、 N

5、 ，则 AN CM 的最小值是12.已知 yx2x 18 且 y10 x1 ，则 x 的取值范围是13.当a1,0x1f ( x)x2ax 8的最大值是时，函数14.若实数 a, b 满足 0ab1，则11f (x) x log a b x log a bx log b b的最小值是15.已知三角形三个内角的度数成首项、公比均是整数的等比数列，则公比的值等于16.Suppose m is integer, ifa(4, m),b( 2m, 4),OAa 2b, OB 2ab, OA OB ,Then the area of theOABis17.四面体 ABCD 的三组对棱分别相等，长度分别为

6、3，4， x ，那么 x 的取值范围是18.Suppose x, yR , andxy 2 ,then the value range for x32x2 y2y3 is19.设等比数列 an 的公比 q0,1,Sn 表示 an 的前 n 项的和， Tn 表示 an 前 n 项的乘积，T (k ) 表 示 a 的 前n项 中 除 去 第 k 项 后 所 剩 余 的 n 1 项 的 乘 积 ， 即nnTn (k )Tn (n, kN * , kn) ，则数列 Sn TnTn (n) 的前 n 项的和是akTn (1) Tn (2)（用 a1 和 q 表示）32420.在k3 的约数中，平方数有个k 1三、解答题每题都要写出推算过程21.（本题满分10 分）求数列 1，3+7 ， 13+21+31， 43+57+73+91 ，的第21 项中的第12 个数。22.（本题满分15 分）在 AB6, AD4 的矩形纸片ABCD中剪去圆M与圆M'，其中圆M与 AB、AD相切，圆M ' 与BC、 CD相切，且圆M与圆M' 外切，则剩余部分的面积是否有最大值与最小值？若有，求出最值；若没有，说明理由。23.（本题满分15 分）已知函数f : RR