直线与圆知识点总结及例题

1、直线和圆知识点总结1 、直线的倾斜角 ：（ 1 ）定义 ：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把 x 轴绕着交点按 逆时针方向转 到和直线 l 重合 时所转的 最小正角 记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线l 与 x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0 ；（ 2）倾斜角的范围0,。如（ 1 ）直线 x cos3y 2 0 的倾斜角的范围是_（答：0 ， 5，)）；66倾斜角的取值范围是 0 180 .倾斜角不是 90 的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示 .倾斜角是 90 的直线没有斜率 .（2）过点 P(3,1), Q(0, m) 的直线的倾斜角的范围,

2、2, 那么 m 值的范围是33_（答： m2或 m4 ）2 、直线的斜率 ：（ 1 ）定义：倾斜角不是 90 的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率 k ，即 k tan (90)；倾斜角为90 的直线没有斜率；（2 ）斜率公式 ：经过两点 P1 ( x1 , y1) 、 P2 ( x2 , y2 ) 的直线的斜率为 ky1y2 x1x2；（ 3 ）直线的方向向量x1x2a(1,k) ，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（ 4 ）应用 ：证明三点共线：kAB kBC 。如 (1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的_ 条件（答：既不充分也不必要） ；（ 2）实数 x, y 满足 3x 2

3、y5 0 (1 x3 )，则 y 的最大值、最小值分别为 _（答：x2 , 1）33 、 直 线 的方 程 ：（ 1 ） 点 斜式 ： 已 知 直 线过 点 ( x0 , y0 ) 斜 率 为 k ， 则 直 线 方 程为yy0k ( x x0 ) ,它不包括垂直于 x 轴的直线。直线的斜率 k0 时，直线方程为 yy1 ；当直线的斜率k 不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为x x1 .（2 ）斜截式 ：已知直线在y 轴上的截距为 b 和斜率 k ，则直线方程为 y kxb ,它不包括垂直于x 轴的直线。 （ 3 ）两点式 ：已知直线经过P1 (x1, y1) 、 P2 ( x2

4、 , y2 ) 两点，则直线方程为yy1xx1 ，它不包括垂直于坐标轴的直线。若要包含倾斜角为00 或 90 0 的直线，y2y1x2x1两点式应变为( y y1 )( x2 x1 )( x x1 )( y2y1 )的形式 （）截距式 ：已知直线在 x 轴. 4和 y 轴上的截距为 a,b ,则直线方程为xy1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点ab的直线。（ 5）一般式 ：任何直线均可写成AxBy C0 (A,B 不同时为 0) 的形式。如（ 1）经过点（ 2 ， 1 ）且方向向量为v =( 1,3 )的直线的点斜式方程是_ （答：y13( x2(m 2) x(2 m 1) y(3m 4)

5、0，不管 m 怎样变化恒2) ）；（ ）直线过点 _（答： (1, 2) ）；（3 ）若曲线 ya | x |与 y x a( a0) 有两个公共点，则a 的取值范围是 _（答： a1 ）提醒 ： (1) 直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？） ；(2) 直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为 0.直线两截距相等直线的斜率为 -1 或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为 1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点。 如过点 A(1,4)，且纵横截距的绝对值相等的直线共有_条（答： 3）4.设直线方程的一些常用技巧：（ 1

6、）知直线纵截距 b ，常设其方程为y kx b ；（2 ）知直线横截距x0 ，常设其方程为 x myx0 (它不适用于斜率为 0 的直线 )；（ 3 ）知直线过点 ( x0 , y0 ) ，当斜率 k 存在时，常设其方程为y k( x x0 ) y0 ，当斜率 k 不存在时，则其方程为 xx0 ；（ 4 ）与直线 l : Ax ByC0 平行的直线可表示为Ax By C10 ；（ 5）与直线l : AxBy C 0 垂直的直线可表示为Bx Ay C10 .提醒 ：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。5 、点到直线的距离及两平行直线间的距离：（ 1 ）点 P( x

7、0 , y0 ) 到直线 AxByC0的距离 dAx0 By0 C；A2B2（ 2 ）两平行线 l1 : AxByC10, l2 : AxByC2C1C20 间的距离为 dA2B2。6 、直线 l1 : A1 xB1 yC10 与直线 l2 : A2 xB2 yC20 的位置关系 ：（1）平行A1B2A2 B10（斜率）且 B1C2B2C10 （在 y 轴上截距）；（2）相交A1B2A2 B10 ；（3）重合A1B2A2 B10且 B1C2B2C10 。提醒：（1） A1B1C1、 A1B1、A1B1C1仅是两直线平行、相交、重A2B2C2A2B2A2B2C2合的充分不必要条件！为什么？（ 2

8、 ）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（3）直线l1 : A1xB1 yC10与直线 l 2 : A2 xB2 yC20垂直A1 A2B1 B20 。如（ 1）设直线l1: x my60和l2 : (m2) x3y2m0，当 m _时；当 m l1 l 2_时 l1l2 ；当 m _时 l1 与 l2 相交；当 m _时 l1 与 l2 重合（答：13且m1；3 ）；（ 2）已知直线 l 的方程为 3x4 y120 ，则与 l 平行， 1； m2且过点（ 1，3 ）的直线方程是 _（答： 3x4y90 ）；（ 3

9、）两条直线 axy4 0与 xy 2 0 相交于第一象限，则实数a 的取值范围是_（答：1a 2）；（ 4 ）设a,b,c 分别是 ABC中A 、B 、C 所对边的边长，则直线sin A x ay c 0 与bx sin B ysin C0 的位置关系是 _ （答：垂直） ；（ 5 ）已知点 P1 ( x1, y1 ) 是直线l : f (x, y)0 上一点， P2 (x2 , y2 ) 是直线 l 外一点，则方程 f (x, y)f (x1, y1 ) f ( x2 , y2 ) 0 所表示的直线与l 的关系是 _（答：平行）；（6 ）直线 l 过点（，），且被两平行直线 3xy6 0 和

10、 3x y 3 0 所截得的线段长为 9，则直线 l的方程是 _（答：4x 3 y40和 x1）7、特殊情况下的两直线平行与垂直:当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1) 当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90，互相平行； (2) 当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90，另一条直线的倾斜角为0 ，两直线互相垂直8、对称 （中心对称和轴对称） 问题代入法 ：如（ 1 ）已知点M (a, b) 与点 N 关于 x 轴对称，点 P 与点 N 关于 y 轴对称，点 Q 与点 P 关于直线 x y0 对称，则点 Q 的坐标为 _（答： (b, a) ）；（ 3）点（，）关于直线l

11、 的对称点为 ( 2,7) ，则 l 的方程是 _（答： y=3x3 ）；（4）已知一束光线通过点（，），经直线 l :3x 4y+4=0 反射。如果反射光线通过点 （，15 ），则反射光线所在直线的方程是_（答： 18x y510 ）；（ 5）已知ABC 顶点 A(3 ， )，边上的中线所在直线的方程为 6x+10y 59=0 ，B 的平分线所在的方程为x 4y+10=0 ，求边所在的直线方程（答： 2x9 y650 ）；（6 ）直线 2xy4=0 上有一点，它与两定点（4, 1）、（ 3,4 ）的距离之差最大，则的坐标是_（答：（ 5,6 ）；（ 7 ）已知 Ax 轴，Bl : yx， C

12、（ 2 ， 1），ABC 周长的最小值为 _（答：10 ）。提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。9. （1）直线过定点。如直线（3m+4 ）x+(5-2m)y+7m-6=0,不论 m 取 何值恒过定点（-1 ，2）（ 2）直线系方程（1 ）与已知直线Ax+By+C=0平行的直线的设法:Ax+By+m=0 (mC)( 2 ) 与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线的设法: Bx-Ay+m=0（ 3）经过直线l1 A1 x+ B1 y+ C1 =0 ， l 2 A2 x+ B2 y+ C 2 =0 交点的直线设法：A1 x+ B1 y+ C1 +（A2 x+ B2 y+ C2

13、 ） =0 （为参数，不包括 l2 ）（ 3）关于对称 （ 1 ）点关于点对称（中点坐标公式）（ 2 ）线关于点对称（转化为点关于点对称，或代入法，两条直线平行）（ 3 ）点关于线对称（点和对称点的连线被线垂直平分，中点在对称轴上、kk = -1 二个方程）（ 4 ）线关于线对称（求交点，转化为点关于线对称）10 、圆的方程 ：圆的标准方程：xa2y2r 2 。b圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D 2 E24F0) ，特别提醒 ：只有当D 2E24F0 时，方程 x2y2Dx EyF0 才表示圆心为 (D ,E ) ，半径为122D 2E24F 的圆（二元二次方程Ax2BxyCy 2DxE

14、y F0表示圆的充要2且 D 2E2条件是什么？（ AC0,且 B04 AF0 ）；圆的参数方程：xar cos（为参数），其中圆心为 (a,b) ，半径为 r 。圆的ybr sin参数方程的主要应用是三角换元：x2y2r 2xr cos, yr sin； x2y2txr cos, yr sin(0rt ) 。Ax1, y1, Bx2 , y2 为直径端点的圆方程xx1xx2yy1yy20如（ 1 ）圆 C 与圆 ( x1)2y21 关于直线 yx 对称，则圆 C 的方程为 _（答： x2( y1)21）；（ 2） 圆心在直线2x y 3 上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是 _ （答： (

15、x3)2( y3) 29 或 (x1) 2( y 1)21 ）；（ 3）已知P(1,3)是圆x r cos （为参数， 02) 上的点，则圆的普通方程为_，yr sinP 点对应的值为 _，过 P 点的圆的切线方程是_（答：x222y 4 ；3x3y40 ）；（ 4）如果直线 l将圆： x2+y2 -2x-4y=0平分，且不过第四象限， 那么 l 的斜率的取值范围是_（答： 0， 2）；（ 5）方程 x2+y x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为（ 答：k1）（；6）若 M( x, y) |x3cos（为参数， 0) ，2y3sinN( x, y) | yxb ，若 MN，则 b 的

16、取值范围是 _（答： 3,32）：已知点 Mx0 , y0及圆 C：x-a220 ，11 、点与圆的位置关系y br 2 rCM rx0222；（2）点 M 在圆 C 内（1）点 M在圆 C外ay0 brCM r2y02r 2 ；（ 3）点 M 在圆 C 上CM rx02x0 aba2r 2 。如 点 P(5a+1,12a)在圆 (x ) y2=1 的内部 ,则 a 的取值范围是 _y0 b（答： | a |1）1312 、直线与圆的位置关系：直线 l : AxByC0 和圆 C：x2yb22arr0有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：（ 1 ）代数方法（判断直线与圆方程联立所得

17、方程组的解的情况）：0相交；0相离；0相切；（ 2 ）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d ，则dr相交； d r相离； dr相切。 提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。 如（ 1 ）圆 2x 22 y 21与直线 x siny10(R,2k，0 与圆 x2y2kz) 的位置关系为 _（答：相离）；（ 2）若直线 axby34x10切 于 点P( 1,2)ab的值_（答：2）；（3）直线x 2 y 0被 曲 线， 则x2y26x2 y 150 所截得的弦长等于（答： 45 ）；（4 ）一束光线从点 A( 1,1) 出发经 x 轴反射到圆C:(x-2

18、) 2+(y-3) 2 =1上的最短路程是（答： 4 ）；（ 5）已知M (a, b)( ab0) 是圆 O : x2y2r 2 内一点，现有以M 为中点的弦所在直线m 和直线l : ax byr 2 ，则 A m / l ，且 l 与圆相交B lm ，且 l 与圆相交C m / l ，且 l 与圆相离D lm ，且 l 与圆相离（答：C）；（ 6）已知圆 C： x2( y 1)25 ，直线 L： mxy 1 m0 。求证：对mR ，直线 L 与圆 C 总有两个不同的交点；设 L 与圆 C 交于 A、B 两点，若 AB17，求 L 的倾斜角；求直线L 中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程.

19、（答： 60或 120最长： y1，最短： x 1 ）13、圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为 O1， O 2 ，半径分别为r1 , r2 ，则（ 1 ）当 |O1 O2r1r 2 时，两圆外离； （ 2 ）当|O1 O2r1r 2 时，两圆外切；（ 3 ）当 r1r2|O 1 O2r1r 2时，两圆相交；（4）当|O1 O2r1r 2 |时，两圆内切； （ 5 ）当 0|O1 O2 r1r 2|时，两圆内含。如 双曲线x2y21的左焦点为 F 1，顶点为 A 1、 A 2， P 是双曲线右支上任意一点，则分别以线段a2b2PF 1 、A1 A2 为直

20、径的两圆位置关系为（答：内切）14 、圆的切线与弦长：(1) 切线： 过圆 x2y2R2 上一点 P( x0 , y0 ) 圆的切线方程 是： xx0yy0R2 ，过圆( xa)2( yb) 2R2上一点P( x0 , y0 )圆的切线方程是：( x a )( x0 a) ( y a)( y0 a ) R2 ，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径） ；从 圆外一点引圆的切线一定有两条 ，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；过两切点的直线（即“切点弦）”方程的求法： 先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共

21、 弦 就 是 过 两 切 点 的 直 线 方 程 ； 切 线 长 ： 过 圆 x2y2DxEyF0（( xa) 2( yb) 2R2）外一点P(x0 , y0 )所引圆的切线的长为x0 2y0 2Dx0Ey0F （( x0a) 2( y0b) 2R2 ）；如设 A 为圆 (x 1)2y21上动点，PA 是圆的切线， 且 |PA|=1 ，则 P 点的轨迹方程为_（答：(x1)2y22 ）；（ 2 ）弦长问题 ：圆的弦长的计算： （垂径定理）常用弦心距d ，半弦长 1 a 及圆的2半 径 r 所 构 成 的 直 角 三 角 形 来 解 ： r 2d 2( 1 a)2 ； 过 两 圆 C1 : f

22、( x, y)0、2C2 : g ( x, y)0 交 点 的 圆 ( 公 共 弦 ) 系 为 f ( x, y)g ( x, y)，0 当1 时 ， 方 程f ( x, y)g (x, y)0 为两圆公共弦所在直线方程.。15. 解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!16. 圆的切线和圆系方程1过圆上一点的切线方程：圆x 2y 2r 2，圆上一点为 ( x0 , y0 )，则过此点的切线方程为 x0 x+y0 y=r 2(课本命题 )圆 x2y 2r 2 ，圆外一点为 (x0 , y0 )，则

23、过此点的两条切线与圆相切，切点弦方程为 x0 xy0 yr 2 。2圆系方程：设圆C1 2y2D1 xE1 yF10和x圆 C2 x 2y 2D 2 x E2 y F20若两圆相交，则过交点的圆系方程为x 2y2D1 xE1 y F1 + （x2y 2D 2 xE2 y F2 ） =0( 为参数，圆系中不包括圆 C2 ，=-1 为两圆的公共弦所在直线方程)x2y2DxEyF0 与直线 l：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交设圆 C点的圆系方程为x 2y2DxEyF +(Ax+By+C)=0(为参数) 1 经过点 P(2 ， m)和 Q(2 m， 5) 的直线的斜率等于1例题，则 m 的

24、值是 ( B )2A 4B 3C1或 3D1或4变： 求经过点 A(2, sin), B(cos,1)的直线 l 的斜率 k 的取值范围2.已知直线 l 过 P( 1， 2) ，且与以A( 2， 3) 、 B(3 ， 0) 为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围1点评：要用运动的观点，研究斜率与倾斜角之间的关系！答案：，5，)23.已知坐标平面内三点A(1，1)， B(1 ，1)，C(2， 31) ，若 D 为 ABC 的边 AB 上一动CD 斜率 k 的变化范围1答案： ， 5，)21. 求 a 为何值时，直线l1：(a 2) x (1 a)y 1 0 与直线 l2：(a 1) x (2

25、 a 3) y 2 0互相垂直？答案： a=-12. 求过点P(1 ， 1) ，且与直线2 ：2x 3y1 0 垂直的直线方程答案：3x 2y5 l0.例 2.求过定点 P(2 ， 3) 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程例 3.已知ABC 的顶点 A(1 ， 1) ，线段 BC 的中点为 D(3， 3 )2(1)求 BC 边上的中线所在直线的方程；(2)若边 BC 所在直线在两坐标轴上的截距和是9 ，求 BC 所在直线的方程例 4.方程 (m 2 2m 3) x (2 m 2 m 1) y2 m 6满足下列条件，请根据条件分别确定实数 m 的值 (1) 方程能够表示一条直线； （答案： m1

26、 ）(2)方程表示一条斜率为 1 的直线（答案： m2）例5.直线 l 的方程为 (a 2) y (3 a 1) x 1( aR) 1 3(1) 求证：直线 l 必过定点；（答案： ( ， ) ）5 5(2) 若直线 l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；（答案： 5x5 y 4 0 ）(3) 若直线 l 不过第二象限，求实数 a 的取值范围（答案：分斜率存在与不存在）例 1：求点 A(-2,3) 到直线l:3x+4y+3=0的距离d=。例 2：已知点（ a,2 ）到直线l: x-y+1=0 的距离为 2，则 a=。 (a 0)例 3:求直线 y=2x+3 关于直线 l: y=x+1 对称的直线方程。类型一：圆的方程例 1 求过两点 A(1 ,4) 、B(3 , 2) 且圆心在直线 y0 上的圆的标准方程并判断点 P(2 , 4)与圆的关系变式 1 ：求过两点 A(1 , 4)、 B(3,2)且被直线 y0 平分的圆的标准方程 .变式 2 ：求过两点 A(1 , 4)、 B(3,2)且圆上所有的点均关于直线y 0 对称的圆的