线性代数考试复习提纲知识点例题

1、线性代数考试复习提纲、知识点、例题、行列式的计算（重点考四阶行列式）1、利用行列式的性质化成三角行列式行列式的性质可概括为五条性质、四条推论，即七种变形手段（转 置、交换、倍乘、提取、拆分、合并、倍加）；三个为0两行（列）相同、成比例、一行（列）全为 0】2、行列式按行（列）展开定理降阶3i1 Ai1ai2A2行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘in Ani 1,2,., n例1、计算行列式2432211043250531、解矩阵方程矩阵方程的标准形式:AX若系数矩阵可逆，则X A1B切记不能写成XA 1B 1C 或 XXA B AXB C111X BA1 X A 1CB

2、1CAB求逆矩阵的方法:1、待定系数法ABE（或 BA E）2、伴随矩阵法A11AaA其中A叫做A的伴随矩阵,它是| A的每一行的元素的代数余子式排在相同序数的列上的矩阵。3、初等变换法A E初等行变换E A 1例2、解矩阵方程;；x；; 二;60 1011例3、解矩阵方程X AX B ,其中A1 11B 201 0153三、解齐次或非齐次线性方程组设A a。，n元齐次线性方程组AX 0有非零解r(A) nm nn元齐次线性方程组AX 0只有零解 r(A) n。当mn时，n元齐次线性方程组AX0只有零解| A0。当mn时，n元齐次线性方程组AX0有非零解A0。当m n时，齐次线性方程组一定有非

3、零解。定义：设齐次线性方程组AX 0的解1,., t满足：(1) 1,., t线性无关，(2) AX 0的每一个解都可以由i,., t线性表示。则i,., t叫做AX 0的基础解系。定理1、设Amn,齐次线性方程组AX 0,若r(A) r n,则该方程组的基础解系一定存在，且每一个基础解系中所含解向量的个数都等于n r。齐次线性方程组的通解x k1 1 . kn r n r %.,(R设A a。mn, n元非齐次线性方程组AX B有解 r(A) r(A) o唯一解r(A) r(A) n o无数解r(A) r(A) n o无解 r(A) r(A)o非齐次线性方程组的通解x k1 1k1,.,kn

4、 rRx1 x2 2x3 x4 0例4、求齐次线性方程组2x1 x22x1 2x2x3 x4 0的通解x3 2x4 0例5、求非齐次线性方程组x1 x23x1 x2x1 5x23x3 x4 13x3 4x4 4的通解。9x3 8x4 0四、含参数的齐次或非齐次线性方程组的解的讨论x y z 0例6、当 为何值时，齐次线性方程组x y z 0有非零解，并求解2x y z 02x1 x2 x32例7、已知线性方程组 xi 2x2 x3，问当为何值时，它有唯一2x1 x2 2x3解，无解，无穷多解，并在有无穷多解时求解。五、向量组的线性相关性1, 2，s线性相关1, 2，s(S 2)中至少存在一个向

5、量能由其余向量线性表示。存在不全为0的数k1,k2,.,ks使得冗1 k2 2 . ks s 0。k1k21， 2，.， s0有非零解1K，k2，.,ks20 有非零解.sk1；,2,., sk20有非零解.ks1, 2,., s线性无关1, 2,., s(s 2)中任意一个向量都不能由其余向量线性表示。若k11k22 .kss 0,贝 Uk1k2.ks0。k11歹Uk行1, 2,，s 20只有零解ki,k2,.,ks20只有零解 .kss1特殊的，n个n维向量1, 2,., n线性相关| 1, 2,., n 0或2 0。 . n1n个n维向量1, 2,., n线性无关| 1, 2,., n|

6、。或2 。. n例 8、已知向量组 1t,2,1,22,t,0 ,31, 1,1 ,讨论t使该向量组（1）线性相关（2）线性无关六、求向量组的秩，极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示设向量组A: 1, 2,., s,若从A中选出r个向量构成向量组A0： i1, i2,., ir 满足：（1）人线性无关（2） A中的每一个向量都能由A。线性表示，条件（2）换一句话说A的任意r 1个向量（若有的话）都线性 相关，或者说从A中向4任意添加一个向量（若有的话），所得的向 量组都线性相关。则A0叫做A的极大线性无关向量组，简称极大无关组。向量组的极大无关组所含向量的个数叫做向量组的秩，记作 r

7、1, 2,., s r求向量组的秩的方法:(1)扩充法 (2)子式法m m n最高阶非0子式的阶数就是矩阵的秩，也就是这个向量组的秩，并且这个子式的行(列)对应的原向量组的向量就 是这个向量组的一个极大无关组。(3)初等变换法 同法二构成矩阵，对矩阵进行初等变换。例9、设向量组求(1)向量组的秩；(2)向量组的一个极大线性无关组，并把其余向量用这个极大线性无关组线性表示。七、相似矩阵的性质与矩阵可相似对角化问题相似矩阵的性质：1、相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，行列式，迹。特征值相同是两个矩阵相似的必要而非充分条件。2、相似矩阵有相同的秩。秩相等是方阵相似的必要而非充分条件。3

8、、相似矩阵有相同的可逆性，当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。4、若A与B相似，则Ak与片相似，k N,则(A)与(B)相似。1A与2 相似OnAn有n个线性无关的特征向量P1,P2,., Pn ,且以它们为列向量组的矩阵P使P 1AP1, 2,，n分别为与Pi, P2,Pn对应的A的特征值。若A有n个互不相等的特征值1, 2,., n ,则A 一定与12 相似。 OnA与 相似 对应于A的每个特征值的线性无关的特征向量的个数等于该特征值的重数。n r( E A) k 其中k为的重数124500例10、设矩阵A2x2与B0y0相似421004(1) 求x与y;(2)求可逆矩阵P ,使P 1AP B。0 0 1例11、设A 1 1 a ,问a为何值时，矩阵A能相似对角化。1 0 0例12、设三阶矩阵A的特征值为11 ,2 2 ,3 3 ,对应的特征向量依次为11,1,17 ,21,2,4 ,31,3",求矩阵A。例13、设三阶实对称矩阵A的特征向值1,1,1 ，与特征值1对应的 特征向量为11,1,1 ,求A。八、化二次型为标准型，并求所用