线性非平稳模型

1、线性非平稳模型一、非平稳时间序列与单位根过程定义：如果一个时间序列的均值或方差随时间而变化，那么，这个时间序列数据就是非平稳的时间序列数据；如果一个序列是非平稳的序列，常常称这一序列具有非平稳性。如果时间序列xt不满足如下平稳性定义中的一条或几条，则Xt是非平稳的序列。平稳性定义有如下几条：(1) Xt的均值不随时间变化，E(Xt)i;(2) Xt的方差不随时间变化，var(XJ = E(Xt -N)2 =仃2 ；(3)任何两期的Xt与Xt4之间的协方差仅依赖于这两期间隔的距离或滞后长度(k),而不依赖于其他变量(对所有的 k),即Xt与Xt的协方差表述为”=E(Xt均(X均。所谓时间序列的随

2、机游走(random walk)即指下一期的值等于当期的值加上随机误差 项。我们把随机游走划分为带漂移的随机游走和不带漂移的随机游走。非平稳性和随机游走的关系：假设丫由一阶自回归过程所生成：丫 = ?丫+驾，将¥ = 1代入上述方程：Y = 丫+驾， 这样定义的Y被称为随机游走，假定时间序列从第0期开始，我们就有：t丫1二丫011 t E(Y)=E(Y0 i 12var(Y) =t。若在方程中分别加入漂移项和时间趋势项，可得到另外两种随机游走方程： 丫 =6+Yt+驾(带漂移的单位根过程)，Y=9PYt+二4(带漂移和时间趋势的单位根过程)。二、单位根检验数据的非平稳性可能归因于一个

3、确定性时间趋势，也可能是源自于数据生成过程中的随机游走，也许两者兼而有之，区分非平稳数据的这两种特征非常重要。Nelson,Plosser(1982)等认为很多经济时间序列都是由单位根而不是由确定性时间趋势 来更好地近似描述。因此，近期广受欢迎的一种非平稳性检验就是所谓的单位根检验。在原假设H0下，估计的Yt-的回归系数的t统计值即使在大样本下也不服从t分布，因此，使用通常的t检验无法检验原假设是否成立。迪基-富勒的解决办法：在原假设< <0下，使用模型中系数 6的通常t型统计量，但极限分布不同于t分布，将这时的t统计量称之为e统计量。迪基-富勒使用蒙特卡罗仿真 实验计算了 t统计

4、量极限分布的临界值，麦金农 (MacKinnon)计算了更为全面的极限分布临 界值表，常用的计量软件都带有。考虑误差项存在序列相关，对迪基-富勒检验方程的设定形式进行相应修正：将AYt若干阶差分的滞后项作为迪基-富勒检验方程中的解释变量，这种情形的DF检验被称为增广的迪基富勒(ADF)检验。对应三种不同形式的DF检验，ADF检验为：p，Y 、.¥；Yt_i , ut i 1PYt = ：。.、.Yt二 i'. Uti 1_P:Yt j?0，力-。丫1 1 i %，；：Y_l，Uti=1三、ARIMA模型如何使用ARMA模型来考察非平稳单位根过程数据的动态性呢？ 一种简单的方法

5、就是： 首先对单位根变量(比如)进行差分，使之变为平稳数据，然后对差分后的平稳数据使用上一 章的ARMA 模型进行分析。这种情形下的 ARMA 模型就成为 ARIMA 模型。如： ARIMA(2,1,3),其中2表示自回归的阶数，3表示移动平均的阶数，1则表示差分的数次。 四、谬误回归考虑两个不相关的随机游走过程：Y =丫4 tXt =Xt 4 dt这里的随机误差项 Ut和露都是独立同正态分布的随机变量，且Ut和8t互不相关。将由上述两个式子所生成的Xt和丫做回归，即：Y = ° ：凶 vt由前面的假设， Xt与Y不相关，对模型回归的 R2应趋于0,且P0和P1不应该显著不 为0。但

6、Granger (1974)的仿真实验表明：回归所得到的R2很高，P0和P1的t统计值绝大多数是统计显著的，且DW值很低。于是，这一回归产生了虚的 R2和DW值，以及虚的t统计值， 类似这种回归称为虚回归或谬误回归(spurious regression) o一般而言，如果回归方程中的被解释变量或至少一个解释变量是非平稳的，或者回归的残差是非平稳的，OLS回归的结果就可能是谬误回归。 五、协整与误差校正模型 1、理解经济学中的均衡经济学中的均衡是指对于由n个变量X1,Xn组成的系统，若对于反映这些变量之间关系的函数f (.),有f (Xi，,Xn) =0成立，则称这个系统处于均衡状态。2、协整

7、的概念及含义(1)货币需求函数的例子经济理论认为，个人持有的名义货币数量， 取决于实际收入、物价水平与利息率，因此， 用计量经济模型所表述的货币需求方程可写为：mt = P。. ：iR . ：2亚飞。. ；t其中，用为货币需求，pt为物价水平，yt为实际收入，rt为利息率。在货币市场均衡的假定下，货币需求等于货币供给，因此，货币需求理论的一个关键的假定就是序列驾是平稳过程。将模型重新表述为：；t一 0 - 1Pt - ：2见 一 ：3t(2)协整的定义Engel和Granger(1987)提出了如下的协整定义：对于随机向量Xt = (X1t, Xq., Xnt)',如果：Xt是I(1)

8、单位根向量，即 Xt中每一个分量都是单位根过程；存在一个n1阶列向量P(P 00),使0Xt ： I(0)也就是说，存在一组不全为零的常数P ,使得线性组合BXt是平稳的；则称非平稳变量X1t,X2t,，Xnt存在协整关系，向量 P称为协整向量。在货币需求模型中，如果货币供给、物彳水平、实际收入和利率都是I(1),并且线性组合气=6 - 3 - BPt - 3yt - B3rt是平稳的，则变量间存在协整关系。在这个例子中，向量Xt为(如1, PnytJt)',协整向量P为(IA,_瓦“2,P3)。因此有BXt = a I (0),所以货币需求函数中的货币供给、物价水平、实际收入和利率是

9、协整的，其中5称为协整误差。基于上述对协整的定义，实践中检验协整是否存在的方法就是：首先检验模型中的变量是否是 I (1),然后再检验残差是否是 1(0)。3、协整检验(恩格尔一格兰杰两步法)(一)应用研究中的典型问题假设有两个变量 Xt和Y,它们都是1(1)的单位根过程，要确定它们之间是否存在协整关系，可分三步进行：(1)确认变量是否为单位根过程。(2)估计协整关系。如果变量 Xt和Y都是1(1),则用如下模型： y =0 + 3X1 +，。(3)检验协整关系。如果g是平稳的，则单位根变量 Xt和Y具有协整关系，判断g是否平稳的简单方法就是使用 ADF检验。(二)EG检验和AEG检验判断4是

10、否平稳所使用的 ADF检验形式如下： p? =6舟二十%Z A?t+uti W如果残差W没有自相关，则上述ADF检验中不应含有 ?的滞后项，此时通常的ADF检验称为EG检验；当残差 ?表现出自相关时，就应该加入?的滞后项，此时的 ADF检验称为增广的EG检验或AEG检验。Mackinnon(1991)给出了不同情形下 EG或AEG统计量的临界值。麦金农的临界值计算 方法为：Cp(K)=：二(K) (K)T' '- 2(K)T”上式被称为响应面函数，其中 甲0c为渐进临界值的估计。中1，中2为系数，p为检验显著性水平，T为时间序列样本容量，K为回归模型中变量的个数 (指解释变量和

11、因变量的总数 )。如果K=1,检验的对象只有一个变量，协整检验就退化为单整检验，所以 K=1所对应的是ADF检验；K>1对应的是协整检验。4、误差校正模型如果使用EG或AEG检验证实了若干个单位根变量存在协整关系，则意味着这些变量存在长期均衡，但在短期中，各变量不可能永久停留在长期均衡上，而是可能会偏离长期均衡，围绕均衡波动。由于协整关系的存在， 变量一旦偏离均衡又将会逐步回复到长期均衡。这种向长期均衡的动态调节过程就是误差校正模型（Error Correct Model,简称ECM）所要阐述的内容。假定长期利率（r1t）和短期利率（%）都是1（1）,它们的协整关系为：rit - 

12、9; 0 ' _ 1r2t ；t 则用于利率期限结构的简单误差校正模型为：L rlt - ：10 - 11111'uit-r2t = ：' 20 '' "：21 ；t 1 ' U2t 由格兰杰表述定理，一个完备的误差校正模型可写为：PP飞=10 一二 11 ；t1入“宜.'、口2个3U1t1 1i 1PP二2t =、20 人工21 ；t。：；"11:11 + '”12i：r2t_i ' U2ti 1i 1将上述内容扩展至协整方程中包括k个变量的情形。如果向量xt =（x1t,x2t，xkt）'为1（1）,且存在协整关系 0又 I （0）,则向量为有一个误差校正模型表达式：x =10 , L（： 'xt）二 1；：为二二 2：为二, . 二 p；：xtf - Ut因为上式的误差校正模型是使用向量形式表述，因而被称为向量误差校正模型（VectorError Correct Model, 简称 VECM）。 六、总结1 .实践中，许多时间序列数据都是单位根过程，因此，单位根检验与协整分析是实证 分析极为常见的方法。2 .由于单位根过程累积了随机趋势，因此，某一时期的随机冲击对单位根变量有持久 影响。也正是因为单位根变量累积了随机趋势，通常的大样本正态渐进性不再有效。