高考三角函数知识点汇编

1、4.1 任意角的三角函数任意角的三角函数1.角的概念角的概念角可以看成是角可以看成是_射线的端点叫做角的射线的端点叫做角的_;旋转开始时的射线叫做角的旋转开始时的射线叫做角的_;旋转旋转终止时的射线叫做角的终止时的射线叫做角的_.(1)正角、负角和零角正角、负角和零角按按_叫做正角叫做正角;按按_叫做负角叫做负角;_叫做零角叫做零角.由一条射线绕着它的端点由一条射线绕着它的端点旋转而成的旋转而成的项点项点始边始边终边终边逆时针方向旋转而成的角逆时针方向旋转而成的角顺时针方向旋转而成的角顺时针方向旋转而成的角当一条射线没有作任何旋转时而成的角当一条射线没有作任何旋转时而成的角(2)象限角象限角在

2、平面直角坐标系下在平面直角坐标系下,使角的项点与使角的项点与_重合重合,角的始边与角的始边与_重合重合,角的终边落在第几象限角的终边落在第几象限,就把这个角就把这个角称做第几象限角称做第几象限角,若角的终边落在坐标轴若角的终边落在坐标轴上上,称为称为_,这个角不属于任何象限这个角不属于任何象限.坐标坐标原点原点x轴的正半轴轴的正半轴轴线角轴线角(3)终边相同的角终边相同的角._),(,表示表示子子可以用式可以用式而且只有这样的角而且只有这样的角在内在内角角连同连同角终边相同的角角终边相同的角所有与所有与 Zkk ,360 ._2_,| )1( 2.角的度量角的度量rl 360._;,),(,)

3、2( Slrradl的的面面积积为为扇扇形形则则半半径径为为圆圆心心角角大大小小为为设设扇扇形形的的弧弧长长为为 r | lr212|21r 3.三角函数的定义三角函数的定义).0(|),(,22 ryxrOPyxP它它与与原原点点的的距距离离坐坐标标的的的的终终边边上上任任意意一一点点为为任任意意角角 ._cos_,sin 则则._cot_,tan 则则._csc_,sec 则则.,在在终终边边上上的的位位置置无无关关与与点点有有关关终终边边的的位位置置三三角角函函数数值值只只与与角角P ryrxxyyxxryr4.三角函数符号规律及三角函数线三角函数符号规律及三角函数线象限象限符号符号函数

4、函数 csc,sin sec,cos cot,tan+-三角函数线是表示三角函数值的有向线三角函数线是表示三角函数值的有向线段段,线段的方向表示了三角函数值的正负线段的方向表示了三角函数值的正负线段的长度表示了三角函数值的绝对值线段的长度表示了三角函数值的绝对值.TPMA(1,0)Oxy 正弦线正弦线余弦线余弦线正切线正切线即即为为正正弦弦线线有有向向线线段段点点于于直直轴轴垂垂作作过过终终边边与与单单位位圆圆交交于于如如图图_,MxPMPP 即即为为余余弦弦线线有有向向线线段段点点于于轴轴垂垂直直作作过过终终边边与与单单位位圆圆交交于于如如图图_,MxPMPP 即即为为正正切切线线有有向向线

5、线段段点点反反向向延延长长线线于于终终边边的的的的终终边边或或交交轴轴的的垂垂线线作作过过如如图图_,)0 , 1(,TxA MPOMAT4.2 同角三角函数基本同角三角函数基本关系式与诱导公式关系式与诱导公式1.同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式(1)_;(2)_(3)_.其中其中(1)是平方关系是平方关系;(2)是商的关系是商的关系;(3)是倒数关系是倒数关系.1cossin22 tancossin 1cottan 利用上述基本关系式利用上述基本关系式,可以根据一个角可以根据一个角的正弦、余弦、正切中的一个值求其作的正弦、余弦、正切中的一个值求其作两个值两个值,还可以进行化简

6、与证明还可以进行化简与证明.提示提示:教材对于同角三角函数只有这三个教材对于同角三角函数只有这三个基本关系式基本关系式,而除此之外而除此之外,还有如下五个关还有如下五个关系式系式:_;tan12 _;cot12 _;cot ; 1_cos . 1_sin 2sec 2csc sincos sec csc若能掌握补充的这五个关系式若能掌握补充的这五个关系式,对做题肯对做题肯定是有帮助的定是有帮助的,这五个关系用定义容易给这五个关系用定义容易给予证明予证明,在此略在此略.2.诱导公式诱导公式:._:,)(36036027090180本步骤是本步骤是化为锐角三角函数的基化为锐角三角函数的基的三角函数

7、转的三角函数转利用诱导公式把任意角利用诱导公式把任意角忆规律是忆规律是其记其记极易混淆极易混淆其内容相似其内容相似间的关系间的关系等同角三角函数之等同角三角函数之的三角函数与诸如的三角函数与诸如诱导公式是指角诱导公式是指角Zkk， 奇变偶不变奇变偶不变,符号看象限符号看象限任意角的三角函数任意角的三角函数正角的三角函数正角的三角函数的的角角的的三三角角函函数数 3600锐角三角函数锐角三角函数口诀口诀:_负变正、大化小、诱导公式变锐角负变正、大化小、诱导公式变锐角4.3两角和与差的三角函数两角和与差的三角函数1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式_)sin()1(

8、 _)cos()2( _)tan()3( _cossin)4( xbxa2.二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式._2sin)1( sincoscossin sinsincoscos tantan1tantan )sin(22 xba cossin2_2cos)2( 22sincos 1cos22 2sin21 _2tan)3( 2tan1tan2 3.3.常用公式的变形常用公式的变形_;_cos)1(2 ._sin2 _tan1tan1)2( 22cos1 22cos1 )4tan( _tan1tan1 _)4tan(1)tan1)(3( _sincos1 )4( 公公成

9、成积积的的形形式式 _sincos1 )5( 公公成成积积的的形形式式 )4tan( )2cos2(sin2cos2 )2cos2(sin2sin2 24.4 三角函数的图象三角函数的图象1.1.正弦函数正弦函数y=sinx的图象特征的图象特征五点作图法简图五个点通常是平衡点与五点作图法简图五个点通常是平衡点与最值点，最值点，y=sinx的的最值点最值点 , ,平平衡点为衡点为_, _, 是正是正弦与弦与x x轴的交点，也是对称中心轴的交点，也是对称中心, ,过过_ _ _ 且平行且平行_ _ _ _的直线都是它的对称轴的直线都是它的对称轴. .)0 ,2(),0 ,(),0 , 0( ) 1

10、,23(),1 ,2( 平衡点平衡点最值点最值点y y轴轴54321-1-2-3-4-4-224681012yx02 23 2余弦曲线可以由余弦曲线可以由y=sinx的图象向的图象向_平移平移_个单位得到个单位得到. .左左2 2 2、余弦函数图象、余弦函数图象54321-1-2-3-4-4-2246810122 23 2) 1 ,2(),1,(),1 , 0() 0 ,23(),0 ,2(五个关键点：五个关键点：对称中心：对称中心：对称轴方程：对称轴方程：) 0 ,2(kkx 与与x x轴的交点轴的交点过最值点且与过最值点且与y y轴轴平行的直线平行的直线03、正切函数的图象、正切函数的图象

11、对称中心：对称中心：对称轴：对称轴： 无无)0 ,2( k平移、伸缩两个程序平移、伸缩两个程序y=sinxy=sinx)sin()sin( xyxy)sin()sin( xyxy)sin( xAy4.4.图象变换图象变换: :平移、伸缩变换平移、伸缩变换8642-2-4-6-8-10-55102 23 2 23 20y=sinxy=sinx)sin()sin( xyxy)sin( xAy路径路径:先将正弦曲线平移先将正弦曲线平移_个单位个单位,再将图象上各点横坐标再将图象上各点横坐标_ 或或_ 到原来的到原来的_(纵坐标不变纵坐标不变),再将图象上各点纵坐标再将图象上各点纵坐标伸长伸长(A1时

12、时)或或缩短缩短(0A1时时)到原来的到原来的_倍倍. )1(时时 )10(时时 | 缩短缩短伸长伸长 1A A路径路径:先伸缩后平移先伸缩后平移,注意平移量注意平移量为为_)( xxx| ._,0_,0即即两两路路径径中中的的平平移移均均贯贯彻彻 左移左移右移右移左加右减左加右减)sin()sin( xyxyy=sinxy=sinx)sin( xAy若按若按y y轴平移轴平移, ,按按“_”_”法法则则. .上加下减上加下减_,_,2_,21_,:), 0),0, 0)(sin(. 5叫叫做做叫叫做做叫叫做做叫叫做做叫叫做做在在物物理理中中的的应应用用 xTTfAxAxAy振幅振幅频率频率周

13、期周期相位相位初相初相.,2,23,2, 0,:,)sin(:再再描描点点作作图图值值值值及及对对应应的的来来求求相相应应的的取取设设五五点点取取法法是是的的简简图图时时五五点点法法作作提提示示yxXxXxAy 6.6.三角函数图象的对称性三角函数图象的对称性:.)0, 0)(sin(具具体体如如下下称称象象具具有有轴轴对对称称和和中中心心对对的的图图函函数数 AxAy_)1( kkxxx其其中中对对称称轴轴方方程程为为_)0 ,()2( iixx其其中中对对称称中中心心为为Zkk ,2 Zkk , 例例1 已知函数已知函数 的的一段图象如图所示一段图象如图所示求函数的解析式求函数的解析式求它

14、的振幅、周期、初相求它的振幅、周期、初相求它的对称中心、求它的对称中心、对称轴方程对称轴方程 4321-1-2-3-224682-28 83 ), 0)(sin( AxAy例例2 如何由函数如何由函数 得出函数得出函数 的图象的图象如何由函数如何由函数 得出得出 函数函数 的图象的图象 xycos 42cos3 xy 42cos xy xy2cos 4.5 三角函数的性质三角函数的性质函数函数y=sinxy=cosxy=tanx定义定义域域值域值域周期周期性性奇偶奇偶性性单单调调性性最最值值RR ZkkxRxx,2,| 且且-1,1-1,1R 2 2 奇函数奇函数偶函数偶函数奇函数奇函数上上递

15、递增增22 ,22 kk上上递递减减232 ,22 kk递递减减上上2 ,2 kk递递增增上上2 ,2 kk 上上递递增增2,2 kk最大值最大值1,最小值最小值-1最大值最大值1,最小值最小值-1无最大值和无最大值和最小值最小值1.1.三角函数定义域的求法三角函数定义域的求法求三角函数的定义域求三角函数的定义域, ,一般转化为解三角不等式一般转化为解三角不等式( (组组),),而解三角不等式可用单位圆中的三角函数线而解三角不等式可用单位圆中的三角函数线或三角函数的图象来解或三角函数的图象来解. .2.2.求三角函数值域的常用方法求三角函数值域的常用方法求三角函数的值域求三角函数的值域, ,除了前面函数一章介绍的判别除了前面函数一章介绍的判别式、重要不等式、单调性等方法外，结合三角函式、重要不等式、单调性等方法外，结合三角函数的特点，还有如下常用方法：数的特点，还有如下常用方法：(1)(1)将所给的三角函数转化为二次函数通过配方法将所给的三角函数转化为二次函数通过配方法求值域求值域. .,),sin(sincos,cos,sin)2(222222222babaybayRxxbaxbxayxx 则则如如的的有有界界性性