[理学]伟大人物-傅里叶

1、.法国，如此美丽的国度，尽管在20世纪的战争中表现的如此懦弱不堪，甚至在16、17世纪的英法战争中饱受蹂躏。不过，这个欧洲历史上始终残留着浓厚封建集权专制的国家，仍有那么多打破传统的理念和思想在浪漫巴黎肆虐。因为这个国度不仅出现了贵族式的大仲马，也出现了低贱代表者小仲马，不仅有朴实的巴尔扎克，更有雨果洒脱似地人物，反正各方各面的矛盾在法国都能找到和谐的统一。如果说法国的地位来源于路易十四、拿破仑，那么支撑国度的科技力量则来自于惠更斯、拉普拉斯和傅里叶。当时自然科学中心逐渐由英国转移到德国的时候，出现了高斯、黎曼等人的时候，数学界傅里叶可说是法国唯一独撑局面的人物。时至今日，流体力学、光学、量子

2、力学突飞猛进的同时，傅里叶所作出的贡献逐渐闯入人的眼球。无限轮换，周期结构，这些自然世界如此普遍的东西，艺术家、科学家终日无所事事在不断的玩弄着它们，20世纪，此种兴趣好像越来越浓厚，特别是光学的发展，高分辨成像原理的出台，以及材料科学晶体原子周期性的无限重复，甚至是电影中时不时的出现无限轮回的恐怖电影，更有趣味的无外乎微观和宏观世界的分形理论。傅里叶近似、傅里叶变换这些创造性的思想无不代表着一个人物傅里叶。傅里叶、拉普拉斯代表的是数学史上的神话，傅里叶级数及傅里叶变换的出台，标志着积分学真正从微分学中分离出来。微积分自出现以来，一直有此种观点，积分不过是微分的逆运算罢了。同时，泰勒级数和傅里

3、叶级数这两种思想的出现，决定着半个世纪后数值分析和信息论的发展。这两者很和谐，一个是系数为原函数导数的级数展开，而另一个是系数为原函数积分形式的级数展开，这应该是微积分史上最普遍、最完美的表达式吧。如果拉格朗日、傅里叶、拉普拉斯代表一个国度的话，那么他们代表法国的是大气磅礴、浑重夯实、雷霆万钧的理念，而高斯、黎曼代表德国的是绝顶聪明、极具创造力大家的风范，一直延续到爱因斯坦、海森堡、泡利等人，他们更是自娱自乐、潇洒自若、冒险性十足的孩童一般，这恐怕是德国的性格罢了。此外，傅里叶级数发表受到数学界权威拉格朗日的阻挠，这更衬托出拉格朗日的伟大。关于周期性问题，数学上曾出现了许许多多这样的函数，其中

4、最经典的是正弦余弦函数，正弦函数或是余弦函数应当是解释三角形的边角问题而提出的，无怪乎马云同志对其极其的鄙视，不过想想这个丑陋的外星人仗着其三寸不烂之舌赢得了天下财富，其孔洞的科学理念在其眼中不值一文，天下人也不过觉得马阁下只是一典型的暴发户罢了。不过据说“未来的世界是互联网的世界”是出自阁下的口中，阁下也不过是典型的叶公好龙似的人物，知其然而不知其所以然，很遗憾的是，当今信息化只所以发展到互联网时代，永远都忽略不了一个函数，那便是正弦余弦函数。不知从何时起，自然哲学开始使人们认识到世界的本源无怪乎两种形式，物质还是波，或是实物还是辐射。而波的运动形式与正弦函数或余弦函数脱离不了干系，所谓声带

5、的振动、钢琴以及各种乐器的节奏、波动光学的兴起、固体物理声子这种东西的提出，以及信息的传载，都或多或少的用到了这个函数。振动和波动，自从有了这个函数作为向导，便平步青云脱胎换骨成为了一门学问。然振动和波动表达形式有些类似，它们却绝不是一回事。波动论发展到现在已经分离出好多学科，其中有波动光学论、声论、弹性力学论、电磁理论以及冲击波和超声波。关于实物来说，研究其性能是质量、动量和能量。然对波动来说，研究的主要是频率、振幅、相位和能量。反正始终脱离不了时空的概念。牛顿方程是关于力与速度对时间梯度的表达式，而振动方程等价于位移和时间的关系式，波动方程是振动位移与震源距离之间随时间变化的表达式。在后面

6、的例子里将详细的介绍到波动方程的时空性。广义来说，任意一个物理量随时间周期性的变化便为振动，例如电量及电磁场强度随时间而周期性变化被称为电磁振动或电磁振荡。琴键的运动便为机械运动。最简单最基本的振动是简谐振动，其位移与时间的表达式为：x=Acos(t+)。最简单的波为平面简谐波，其表达式为：y=Acos(t-xu).在此两式中很多重要的物理量都出现了，这些物理量不断叠加搭配，便成为波动学这门学科。A 振幅角频率，或圆频率t+相位初相位后面我们学到的波矢或波数、分振幅方法、衍射学、位相衬度、高分辨学、阿贝成像原理、频谱分析、能谱分析也不外乎这几个参数的排列组合。很可怜，曾经谈虎色变的量子力学、弹

7、性力学、透射电镜学这些基本学科都是在反复的弄明白诸如频率分布、强度分布、振幅分布、本构方程的问题。很感谢盲目如走马观花般的求索，这样才真正感悟到什么才是线索，什么才是重点。别人的指点付诸东流去，摸爬滚打的经历才使自身成长许多。不经历挫折，怎能知真理的价值所在？那么这几个参数能够延拓到什么东西呢？T=2，这是周期。=1T=2，这是频率E=h，这是能量，其中h为普朗克常量=vT，这是波长，其中v是波在介质中的速度，取决于介质k=2，这是波数p=h2k，这是动量I=A2，这是平均能流密度，又叫波强=(x2-x1)，这是光程差。基本上各路英雄都到齐了，剩下的就是争取胜利的战略部署了，道具准备好，开始我

8、们的魔术表演了。第一话 机械振动简谐振动运动学方程：x=Acos(t+)它代表的是实物，即振子位移与时间之间的关系。对于实物来说，在运动学上无怪乎包括位移、速度和加速度。在动力学上包括力、能量、动量。而它们取决于简谐振动的动力学方程。v=dxdt=-Asin(t+)=Acos(t+2)a=d2xdt2=2Acos(t+)=-2x简谐振动的动力学方程，即满足胡克定律ma=md2xdt2=-kxd2xdt2+kmx=0，令km=2则d2xdt2+2x=0则便可推出简谐振动的运动学方程x=Acos(t+)km=2，则可知角频率只决定于物体的质量和弹簧的劲度系数。是材料的内禀属性。在t=0时，物体的位

9、移为x0，速度为v0，带入解中得：x0=Acos，v0=-Asin。则A=x02+(v0)2=arctan(-v0x0)弹簧振子的机械能等于动能和弹性势能之和E=12mv2+12kx2=12m2A2sin2(t+)+ 12kA2cos2(t+)= 12kA2则振动系统的振幅决定于其初机械能，而初相与系统的物理性质无关，只决定于原点的选择。复摆的运动方程也满足简谐振动复摆：刚体绕固定水平轴自由摆动，微振动的复摆就是谐振子。刚体在重力矩作用下摆动，由刚体定轴转动定律得到：-mglsin=Jd2dt2，当很小时，=sin，则d2dt2+mglJ=0方程的解为=Acos(mglJt+)，振幅和初相位有

10、初始条件决定。单摆的运动也是简谐振动-mgsin=mgx/L=md2xdt2则2=gL，则T=2Lg第二话 电磁振动LC振荡方程电容器通过线圈放电，设电容器带电量为Q，电路中电流为I，由回路中自感电动势等于电容器的电压，得到：-LdIdt=QC，将I=dQdt带入上式可得d2Qdt2+1LC Q=0，可得此简谐振动的方程：Q=Q0cos(1LCt+)，其中角频率=1LC，而电路中的电流为：I=dQdt=Q0cos(t+2)= I0cos(t+2)LC振荡的总能量等于线圈中磁场能量和电容器中电场能量之和E=12LI2+Q22C=Q022C，即在电磁振荡过程中，电能和磁能相互转化，但总能量保持不变

11、。第三话 简谐振动合成同一直线上两频率不同简谐振动合成x1=Acos(1t+)，x2=Acos(2t+)x= x1+x2=2Acos2-12tcos(2+12t+)此式就是两振幅相等频率不同的简谐振动合成的定量结果。当两分振动频率较大而相差较小时，上式可看成振幅为2Acos2-12t，角频率为2+12的近似的简谐振动。这种振动称为拍，由于振幅周期性改变，振动出现忽强忽弱的现象，振幅变化的频率称为拍频，由于余弦函数2Acos2-12t的频率为2-14，而振幅的频率则为其的2倍，因而拍频为=2-12=1-2，等于两分振动频率之差。互相垂直简谐振动的合成若两个分振动频率相同，2=1，则得到质点运动轨

12、道方程：x2A12+y2A22-2xyA1A2cos(2-1)=sin2(2-1)当2-1=0时，质点运动轨迹为一条直线段，斜率为A2A1，其方程为：xA1-yA2=0当2-1=，即两分振动反相，质点运动轨迹仍为一条直线，斜率为-A2A1，其方程为：xA1+yA2=0当2-1=/2，则质点运动轨迹为以坐标轴为主轴的椭圆方程，质点沿椭圆顺时针运动，即为右旋。x2A12+y2A22=1当2-1=-/2，则质点运动轨迹为以坐标轴为主轴的椭圆方程，质点沿椭圆逆时针运动，即为左旋。x2A12+y2A22=1当2-1=+-/2，A1=A2=A，质点运动为一个圆，x2+y2=A2,当2-1为一般值时，此为主

13、轴不在坐标轴上的椭圆方程。如果两分振动频率相差较大，但有简单的整数比，则合成振动具有稳定闭合的轨道，此轨道称为李萨如图形。如已知一个振动的周期，根据李萨如图形，便可求出另一振动的周期。第四话 阻尼振动阻尼振动的定义：任何实际的振动系统都会受到阻力的作用，在恢复力和阻力的共同作用下的振动叫做阻尼振动。由于在振动过程中为克服阻力做功而消耗能量，因此振幅不断减小，故阻尼振动又被称为减幅振动。如物体所受阻力和物体的速度呈正比，即f=-v=-dxdt物体的动力学方程为：md2xdt2=-kx-dxdt，令02=km，2=m则简化为：d2xdt2+2dxdt+02x=0，其中02为振动系统固有频率的平方，

14、是阻尼系数。上式便是阻尼振动满足的微分方程，分三种情况求解此方程。(1) <0，即小阻尼情况，方程的解为:x=Ae-tcos(t+)，其中=02-2阻尼振动表达式中Ae-t可看成振幅，振幅随时间按指数规律衰减，阻尼越大衰减越快，阻尼振动不是严格的周期振动，但可仍把看做角频率，其阻尼振动的周期大于振动系统的固有周期。(2) >0，大阻尼情况，此时的解为：x=Ae-(-)t+Be-(+)t。在大阻尼情况下，物体以非周期的方式慢慢回到平衡位置。(3) =0，临界阻尼情况，方程的解为x=e-t(At+B)，A、B为初始条件决定的两常数，和过阻尼类似，物体位移除在一开始有可能起伏之外，以后绝

15、对值是单调减小，但此时以非周期方式很快便回到平衡位置，因此常用临界阻尼使物体在不产生振动情况下，很快回到平衡位置。第五话 受迫振动受迫振动的定义：振动系统在周期性外力作用下的振动。此种周期性外力称为策动力，人听到的声音便是耳膜在声波的周期性外力作用下做受迫振动的结果。设策动力F=F0cost，则物体做受迫振动的动力学方程为：-kx-dxdt+ F0cost= md2xdt2，令02=km，2=m，f0=F0m，上式简化为：d2xdt2+2dxdt+02x= f0 cost，这个方程对应的齐次方程为：d2xdt2+2dxdt+02x=0，因此受迫振动方程的解为阻尼振动方程的通解和受迫振动方程本身

16、一个特解的代数和。设受迫振动的特解为x=Acos(t+)，带入受迫振动方程中得：A(02-2)cos(t+)-2sin(t+)= f0 cost，利用二角和余弦公式，上式可化为：A(02-2)2+(2)2cos(t+)= f0 cost其中=arctan202-2，由于上式是恒等式，因此A=f0(02-2)2+(2)2，=-=-arctan202-2则受迫振动的解为x=Acos(t+)+x(t)，x(t)为阻尼振动方程的通解，随时间增长而衰减至0，因而x=Acos(t+)便是受迫振动的稳态解，即受迫振动的物体，经一段时间便会稳定的做简谐振动。稳态时受迫振动物体的速度为：v=dxdt=Acos(

17、t+2)速度的振幅为vm=A=f0(02-2)2+(2)2=f012(02-2)2+(2)2当=0时，速度的振幅最大，为vm=f02速度共振：当策动力的频率等于系统固有频率时，受迫振动速度的振幅达到极大值。位移共振：当策动力的频率=02-22，受迫振动的位移振幅最大。对于弱阻尼情况，<<0时，位移共振频率=0，位移共振和速度共振共同发生，此时两种共振不加区分。共振时，策动力与物体的振动同相位，策动力总对系统做正功，系统从外界得到的能量最多，因而振幅最大。收音机利用共振选台，乐器利用共振提高音响效果，桥梁发生共振有可能塌裂。第六话 二阶线性常系数微分方程的求解在讲解求解问题之前，首先

18、提到的也是萦绕着线性代数、数理方程、量子力学的一个问题，何为线性相关和线性无关。设y1(x)、y2(x)、yn(x)是n的函数，如果存在n个不全为0的常数k1、k2、kn，使得k1 y1(x)+ k2 y2(x)+ kn yn(x)=0成立，那么称这n个函数线性相关，否则称为线性无关。二阶齐次线性方程：y+P(x)y+Q(x)y=0当P(x)、Q(x)为常数时，则化为：y+py+qy=0，称为二阶常系数齐次线性微分方程。由于y=erx和它的各阶导数都相差一个常数因子，可让此函数来尝试。y=rerx，y=r2erx.将其带入二阶常系数齐次线性微分方程得:(r2+pr+q) erx=0可知r2+p

19、r+q=0，因此只要r满足上式，则y=erx便是微分方程的解。第一种情况：p2-4q>0，则r1=-p+p2-4q2；r2=-p-p2-4q2微分方程的通解为y=C1er1x+ C2er2x第二种情况：p2-4q=0，r2=r1=-p2得到一个解，y1=er1x，还要求另一解，设y2y1=u(x)，即两函数是线性无关的，即y2= u(x) er1x，y2=u(x) er1x+u(x) r1er1x=er1x(u+r1u)y2=er1x(u+2r1u+r12u)，将其带入微分方程，得到：er1x(u+2r1u+r12u)+p(u+r1u)+qu=0u+(2r1+p)u+(r12+ pr1+

20、q)u=0,由于2r1+p=0，r12+ pr1+q=0,则u=0。不妨选取u=x，可得到另一个解y2=xer1x，从而通解为y=(C1+C2x) er1x第三种情况：p2-4q<0，可得r1=+i，r1=-i。y1=e(+i)x= ex(cosx+isinx)y2=e(-i)x= ex(cosx-isinx)y1=12(y1+y2)= excosxy2=12i(y1-y2)= exsinx则y=ex(C1cosx+ C2sinx)其中r2+pr+q=0便为特征方程。第七话 常系数非齐次二阶线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式：y+P(x)y+Q(x)y=f(x)求解此类微

21、分方程的通解，归结为求对应的齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。其中f(x)=exPl(x)cosx+Pn(x)sinx形式时。f(x)=exPl(x)cosx+Pn(x)sinx= exPleix+e-ix2+Pneix-e-ix2=(Pl2+Pn2i) e(+i)x+(Pl2-Pn2i) e(-i)x=P(x) e(+i)x+P(x)e(-i)x，其中P(x)、P(x)是互为共轭的m次多项式，对于第一项P(x) e(+i)x，可求出一个m次多项式Qm(x)，使得y1*=xkQme(+i)x为方程y+py+qy= P(x) e(+i)x的特解，其中k按+i不是特征方程的跟或特征方程的单根依

22、次取0或1，同时与y1*呈共轭的函数y2*=xkQme(-i)x是y+py+qy=P(x)e(-i)x的特解。则y*= xkQme(+i)x+ xkQme(-i)x=xkexQmeix+Qme-ix= xkexQm(cosx+isinx)+ Qm(cosx-isinx)= xkexRm(1)(x)cosx+Rm(2)(x)sinx 第八话 谐振分析任何复杂的周期性振动都可以分解成一系列简谐振动之和，这就是谐振分析。由傅里叶级数展开可得：F(t)=A02+k=1Akcos(kt+k)，这便为谐振分析。k=1，分振幅的最小频率称为基频k=2、k=3、k=4称为二次、三次、四次谐频。表示实际振动的各

23、简谐振动成分的振幅和频率的图线称为频谱。周期振动的频谱是离散的线状谱，而非周期振动的频谱是连续谱。第九话 泰勒级数在提到傅里叶级数之前，无法让我不想到另一个人泰勒。如果说牛顿以雷霆万钧之势创造性发展了微积分，那么作为积极倡导者的泰勒的工作就是将典型化为普遍。说的直白一点，微积分的最终目的就是无限近似，泰勒是将函数化为幂级数的形式。这可堪称为奇迹。无数的自然学家致力于此，爱因斯坦试图将万有引力与电磁力统一起来而不可得，波姆试图将四大力统一起来也没达到，但是他们的勇气可嘉。因为现在毕竟出现了像泰勒级数、傅里叶级数、电磁学与光学还有电动力学的统一，量子力学和相对论的统一，相信不久的将来，万能理论将成

24、为现实。若函数f(x)在点x0的某一领域内具有直到(n+1)阶的导数，则在该领域内f(x)的n阶泰勒公式f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+f'x02!(x-x0)2+fnx0n!(x-x0)n+Rn(x)成立，其中Rn(x)为拉格朗日余项。Rn(x)= fn+1（n+1）!(x-x0)n+1是x与x0之间的值，则该领域内f(x)可用n次多项式表示pn(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+f'x02!(x-x0)2+fnx0n!(x-x0)n+fn+1（n+1）!(x-x0)n+1当n=0时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式f(x)=f(x0)+f(x0)( )，可

25、知泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广。当x0=0时，则得pn(x)=f(0)+f(0)x+f'02!x2+fn0n!xn+fn+1x（n+1）!xn+1(0<<1)上式便是麦克劳林公式。利用麦克劳林公式，可得cosx=1-x22!+x44!-+(-1)nx2n(2n)!sinx=x-x33!+x55!-+(-1)n-1x2n-1(2n-1)!eix=(1-x22!+x44!-+(-1)nx2n(2n)!)+i(x-x33!+x55!-+(-1)n-1x2n-1(2n-1)!)=cosx+isinx同理可得e-ix= cosx-isinxcosx=eix+e-ix2 ；si

26、nx=eix-e-ix2上面四式便是欧拉公式。欧拉公式可称作是最奇妙的杰作，其中所暗含的东西至今都无法掌握。反正量子力学中出现大量的虚数，波函数的表示也用指数形式表示，虚数的出现代表着自由度翻倍。这在数学上大大简化了运算的难度。欧拉这位500年难遇的天才，如死后有知，看到波尔等人的量子力学和爱因斯坦的广义相对论，大量篇幅都是用自己创造的这个稀奇古怪的公式，会有何感慨？第十话 傅里叶级数关于正交性问题，自从由数学工具由标量转移到矢量之时，便始终笼罩在矢量迷雾中，令矢量更增添了些许神秘感。如垂直向量点乘等于0，便可知这两向量正交，三维坐标系两两垂直便正交。然而线性代数中也出现很多正交矩阵，其形式也

27、是由坐标正交延拓下来的。此外，在傅里叶级数中也出现了正交问题。其实关于正交，可简单的理解为乘积为0的两个量罢了。所谓三角函数系在区间-,上正交，即两个函数的乘积在区间-,上的积分等于0,即-1cosnxdx=0，三角函数系如1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,cosnx,sinnx,，它们两两正交。还是谐振分析，F(t)=A0+k=1Ancos(nt+n)Ancos(nt+n)= Ancosnsinnt+Ansinncosnt并可令A0=a02，an=Ansinn，bn=Ancosn，t=x则可得：a02+ n=1(ancosnx+bnsinnx)，这就是三角级数。设f(x)是周期

28、性为2的周期函数，且展开三角级数f(x)= a02+ k=1(akcoskx+bksinkx)对上式左右端进行逐项积分-fxdx=-a02dx+k=1(-akcoskxdx+-bksinkxdx)= -a02dx=a0可得a0=1-fxdx如用cosnx乘以三角级数的两端，再对其积分-fxcosnxdx=-a02cosnxdx+k=1(-akcoskxcosnxdx+-bksinkxcosnxdx)=an-cos2nxdxan=1-fxcosnxdx同理bn=1-fxsinnxdx当周期为2l的函数，则它的傅里叶级数展开式为f(x)= a02+k=1(akcosnlx+bksinnlx)an=

29、1l-llfxcosnlxdxbn=1l-llfxsinnlxdx如f(x)为奇函数，则an=0，bn=1-fxsinnxdx=bn=20fxsinnxdxbn=1l-llfxsinnlxdx=2l0lfxsinnxdx如f(x)为偶函数，则bn=0an=1-fxcosnxdx=20fxcosnxdxan=1l-llfxcosnxdx=2l0lfxcosnxdx第十一话 傅里叶积分变换f(x)= a02+k=1(akcosnlx+bksinnlx)ak=1l-llfxcosklxdxbk=1l-llfxsinklxdx将t=x进行变换ak=1l-llftcoskltdtbk=1l-llftsi

30、nkltdt则f(x)= a02+k=1(akcosnlx+bksinnlx)=12l-llftdt+1lk=1(-llftcoskltcosnlxdt+-llftsinkltsinnlxdt)=12l-llftdt+1lk=1-llftcoskl(t-x)dt假如f(x)在(-,)上绝对可积，则|a0|2=12l|-llftdt|12l-ll|ft|dt0则f(x)= 12l-llftdt+1lk=1-llftcoskl(t-x)dt=1lk=1-llftcoskl(t-x)dt如果令k=kl，=k+1-k=l那么f(x)=limlF(k)，其中F()=1-llftcost-xdtf(x)=

31、01-ftcost-xdtd则这个积分表达式称为f(x)的傅里叶积分。这个积分公式的出台，如斗转星移般将自身来个瞬间转移，又如乾坤大挪移般将对方招数化解到九天云外。反正这样的函数如同概率密度积分函数般，可将相干的两个参数联系起来。在此式中，k与t之间便是傅里叶变换形式。再如量子力学中，动量和位置概率函数之间便存在傅里叶积分变换。能量和时间之间也存在傅里叶积分变换。第十二话 波动说波动是什么玩意，概念上的不模糊导致我们对它的误解。它是振动向周围空间传播的过程，具体可分为机械波和电磁波，机械波离不开介质，而电磁波可在真空下传播。后来发现，光波就是一典型的电磁波。再后来，量子力学发现实物和辐射其实本

32、源是相同，既是粒子又是波，或既不是粒子又不是波，只是它有了波动和实物的属性罢了。波动传播的不是介质，而是能量。质点本身只是在平衡位置振动。第十三话 波函数波函数是将介质中各质点位移随时间和空间的变化规律用数学形式表示出来的方程，它具有时空性。其简谐波表达式如下：y=Acos(t-xu)=Acos2(tT-x)= Acos(t-kx)=Aei(t-kx)其中速度u=dxdt第十四话 长杆中的纵波波动方程截面为S，密度为的均匀长杆，纵波传播时，杆发生形变，杆不同位置被拉伸和压缩，取杆中一小段质元作为研究对象，长杆方向为x，平衡位置在xx+dx的一小段杆，有波传播时，两端面的位移分别为y和y+dy，

33、dy就是质元的增量，线应变即为dy/dx，作用于端面单位面积上的拉力和压力分别为f和f+df，y和f都是时间t和坐标x的函数，据牛顿定律，aSdx=Sdf，因dx很小，a就是x面上的加速度，a=2yt2，因而2yt2=fx。据胡克定律，应力与该处的线应变呈正比，即f=Yyx，Y即为材料的杨氏模量。则2yt2= Y2yx2 2yx2=1u22yt2其中u=Y第十五话 弦上横波波动方程一根被拉紧的均匀弦，弦中张力为T，单位长度质量为，波动过程中，弦上质元在垂直于弦的y方向上振动，在弦上取一段微元x1x2，由于位移不同，这一小段略微弯曲，弦发生切变，张力沿着弦的切向，微元两端处的张力差别可忽略，据牛

34、顿定律，有：adx=T(sin2-sin1)，a=2yt2，弦振动时位移很小，可认为sin2=tan2=(yx)x2，sin1=tan1=(yx)x1。可得2yt2=T2yx2，2yx2=1u22yt2，其中u=G=T因此，波速取决于介质本身的性质，如杨氏模量，剪切模量和密度，而与机械波的振幅和频率无关，因此机械波是非色散波，波速u和波长取决于介质的性质，但是波的频率只取决于振元的性质，而与介质的性质无关。第十六话 膜振动波动方程作用于膜上垂直方向的力为Txsin-Txsin+Tysin-Tysin=Tx(sin-sin)+Ty(sin-sin)= Tx(tan-tan)+Ty(tan-tan

35、)=Autt=xyutttan=uy(x1,y)tan= uy(x2,y+y)tan= ux(x,y1)tan= ux(x+x,y)则Tuyx2,y+y-uy(x1,y)y+uxx+x,y2-uy(x,y1)x=uttutt=c2(uxx+uyy)c=T如每单位有外力F作用，方程则变为：utt=c2(uxx+uyy)+F第十七话 弹性介质中的波动方程弹性介质中一点发生一个小扰动，即介质的位移是微小的。忽略体积，在x方向上作用在这块体积元素上所有力的总和为(xx|x+x-xx|xyz+(xy|y+y-xy|yxz+(xz|z+z-xz|zxy=xyzutt可得xxx+xyy+xzz=2ut2同理

36、可知yxx+yyy+yzz=2vt2zxx+zyy+zzz=2t2线应变为xx=uxyz=y+vzyy=vyzx=uz+xzz=zyx=uy+vx令=xx+yy+zz广义胡克定律为xx=+2xxyz=yzyy=+2yyxz=xzzz=+2zzxy=xy对上几式求导xxx=x+22ux2xyy=2vxy+2uy2xzz=2xz+2uz2将三个式子带入xxx+xyy+xzz=2ut2得x+(2ux2+2vxy+2xz)+(2ux2+2uy2+2uz2)=2ut2因为2ux2+2vxy+2xz=x(ux+vy+z)=x=2x2+2y2+2z2(+) x+u=2ut2同理可得(+) y+v=2vt2(

37、+) z+=2ut2(+)graddivu+u=uttu=ui+vj+k, =divu第一种情况，如果divu=0，那么u=uttutt=c22uc=这是一种等体积波传播的形式，对这个速度运动的波来说，体积膨胀为0.这种波称为畸变波，波的传播速度取决于和，而剪切弹性模量表示体积元素畸变与旋转特性的。第二种情况，curlu=0 curlu= graddivu-u=0(+2) 2u=uttutt=c22uc=+2所以，一般说来，波动方程的形式为utt=c22u第十八话 薛定谔波动方程薛定谔提出这个方程时，没有人会想到这个方程重要性所在，薛定谔方程和海森堡矩阵是量子力学的两大基石。它就像牛顿定律在经

38、典力学中的地位一样明显。很奇怪的是，该方程提出之后，对于其中的波函数到底代表什么，四年之内还是一个谜，直到波恩提出的概率一词，各种争论才告一段落。提出的理由如下：(1) 它应当是线性的，即如果1与2是方程的解，那么=C11+C22也一定时方程的解。其中C1、C2是两复数，这是波函数叠加原理要求的。(2) 它应当与能量-动量关系一致，量子态的波方程原则应与相对论能量-动量关系E2=E02+p2c2无矛盾，在非相对论情况下有粒子的能量Ek=p22m，以及总能量Ek=p22m+U(3) 它应当与能量守恒不相矛盾，当粒子不发生能量跃迁时，能量应满足E=p22m+U=常量(4) 应当对波函数的特殊形式平

39、面波成立p(x,y,z,t)= 0expi(k·r-t)(5) 一定条件下，它应当与波动方程一般形式相一致，例如波动方程一般形式2x2=1u22t2，由经典波动学，任何机械波和电磁波都满足上述波动方程。(6) 应当与粒子数守恒一致(7) 它应当包含普朗克常数h，并且当h与系统的特征量相比可忽略不计时，它应当给出经典物理中相应的规律。根据德布罗意波，=Eh h=h2 k=php(x,y,z,t)= 0expi(k·r-t)= 0ei(k·r-t)=0eih(p·r-Et)将其带入E=p22m+U中Ep(x,y,z,t)= p22mp(x,y,z,t)+Up

40、(x,y,z,t)tp(x,y,z,t)=- ihE0eih(p·r-Et)=- ihEp(x,y,z,t)则Ep(x,y,z,t)=-1ihtp(x,y,z,t)=ihtp(x,y,z,t)rp(x,y,z,t)= ihpp(x,y,z,t)则pp(x,y,z,t)=-ihrp(x,y,z,t)= -ihp(x,y,z,t)，将它们带入E=p22m+U中ihtp(x,y,z,t)=-h222mp(x,y,z,t)+Up(x,y,z,t)上式便是大名鼎鼎的薛定谔方程。它揭示了原子世界中运动的基本规律。在随后几年内，原子结构和原子水平上的物质结构，以及究竟是什么东西决定物质的物理和化学

41、性质这一古老重大的问题，一个一个得到解决。例如物体为什么有绝缘体、半导体和导体之分，原子结构的谜在原则上搞清楚了，原子辐射和势垒传透也搞清楚了，也使化学称为系统的科学。第十九话 动量和坐标的傅里叶变换非周期函数(x)可以做傅里叶变换(x)=12-C(k)eikxdkC(k)= 12-(x)e-ikxdxp=h=hk则(x)=12h-C(p)eipx/hdpC(p)= 12h-(x)e-ipx/hdx它可以理解为(x)是由一系列简谐波eipx/h叠加而成。推广到一般和三维，则为(r,t)=1(2h)32-(p)e(ipr-Et)/hd3p，其中E=p22miht=1(2h)32-(p)Ee(ip

42、r-Et)/hd3p-h22=1(2h)32-(p)p2e(ipr-Et)/hd3p可以用经典波动图像解释，为了得到空间范围比较小的波包，就必须用很多波长不同的简谐波去进行叠加，即是说，x越小，越大，反之，对于一简谐波，才惟一确定，然而简谐波却空间中无始无终，进而得出不确定关系。第二十话 波包论薛定谔认为：波函数本身代表着一个实在的和物理的可观测量，它描述物质的分布。可将一个粒子想象为一个物质波束或波包，将电子看成在三维空间连续分布的某种物质波包，因而呈现出干涉和衍射现象，其中波包的大小便为电子的大小，而波包的群速度便为电子的运动速度。对于平面单色波k(x,t)=ei(kx-t)其等相面时一个

43、运动的平面，由下列方程给出，=kx-t=常数，等相面运动的速度，便是相速，u=/k对于波包而言，(x,t)= 12-C(k)ei(kx-t)dk对真空中电磁波，=c|k|=2c/对色散介质，=2c/n() n()为折射率对德布罗意波，=hk22m，一般情况下=(k)在真空下传播的电磁波，(x,t)= 12-C(k)eik(x-ct)dk当t=0，波包在x=0处，当不等于0时，波包中心移动到xc=ct处，这说明，波包中心的运动速度为c，等于相速度，波包中心在运动，但波包形状未改变。对于色散介质中运动的电磁波(x,t)= 12-(k)eikx-ktdk波包中心将处于相角=kx-kt取极值处，在此点

44、附近，不同波数的分波相干叠加的结果是加强最厉害，而不是相消。k=0，即x-(ddk)t=0，所以波包中心位置x=xc=(ddk)t，其运动速度为vg=(ddk)，这便是波包的群速度。一般说来，相速度和群速度不相等。例如德布罗意波中相速度u=hk2m，vg=(ddk)= hkm=2u研究波包形状随时间的改变，它与k的具体形式有关，设(k)是一个频窄的波包，波数仅集中在k0附近一个不大的范围内。在k-k0附近对k做泰勒展开。k=k0+(ddk)k0(k-k0)+12(d2dk2)k0(k-k0)2+=0+vg(k-k0)+ 12(k-k0)2将上式带入(x,t)= 12-(k)eikx-ktdk中

45、(x,t)= e-i0t2-keikx-vgk-k0t- 12k-k02tdk=ei(k0x-0t)-+k0ei(x-vgt)- 122td，其中= k-k0第二十一话 波包的扩散高斯波包(x)=e-122x2，其强度分布|(x)|2=e2x2,强度主要集中于|x|<1区域内，所以波包宽度近似估计为x=1高斯波包的傅里叶变换(k)= 12-e-122x2-ikxdx=1e-k222强度分布强度分布|(k)|2集中在|k|<范围内，因此k=(x,t)= e-i0t2-keikx-vgk-k0t- 12k-k02tdk=ei(k0x-0t)-+k0ei(x-vgt)- 122td(k)

46、= 12-e-122x2-ikxdx=1e-k222e-k222，k0=0，所以带入上式得：(x,t)= e-i0t1+i2te-(x-vg)222(1+i2t)强度分布为|(x)|2=21+24t2e-(x-vg)221+24t2波包宽度x=11+24t2,则x=x01+2t2/(x0)4当t<<(x0)2,波包扩散不厉害，但当t>(x0)2时，波包形状随之显著变化，当t, 则x(设=(d2dk2)k00)，此外波包越窄，扩散越快。所以说德布罗意波是要扩散的。这说明随时间的变化，电子可能越变越胖，这与试验是矛盾的，所以波包理论是不成立的。第二十二话 热辐射的经典统计理论-紫

47、外灾难由来从动力学观点看，一个连续振动的体系相当于一组谐振子，从连续振动体系发出的波等价于一组谐振子做简谐振动发出简谐波的叠加。热辐射是电磁波，电磁波的传播满足达朗贝尔波动方程：2-1c22t2=0，=kk，k(x,y,z,t)=qk(t)eikr，带入波动方程：kqk(t)2eikr-1c2eikrqk(t)=0，因为2eikr=-k2eikr，得到：qk(t)+ c2k2qk(t)=0qk(t)=Ae-ikt，即k(x,y,z,t)=Ae-i(kt-kr)k=2，k=ck=2k，k的取值有方程所满足的边界条件所决定，不妨设空腔的形状为一立方体，满足周期性边界条件：k(x,y,z,t)= k

48、(x+L,y,z,t)k(x,y,z,t)= k(x,y+L,z,t)k(x,y,z,t)= k(x,y,z+L,t)则：eikr=ei(kxx+kyy+kzz)=eikx(x+L)+kyy+kzz，则eikxL=1。kxL=2nx，kx=2Lnx(nx=0,±1,±2,)，同理ky=2Lny(ny=0,±1,±2,), kz=2Lnz(nz=0,±1,±2,), k=ck=2k=2Lcnx2+ny2+nz2。要找出在频率kk+k中的数目，计算kxkykz中的振动数，取笛卡尔坐标系，三个轴分别取为(nx, ny, nz)，因为只能取整

49、数，所以在空间中形成简单的立方点阵，每个基元立方点阵边长为1，体积也为1，处在空间内的振动数，等于在该间隔内的节点数，也就是对应的总体积，因此：zkkxkykz=nxnynz=(L2)3kxkykz=V(2)3kxkykz，在波数kk+dk中的振动数是zkdk=V(2)3k2dk0sind02d=4Vk2dk(2)3，zkdk=z'd=4V(2)32dc3，由于电磁波是横波，每个波矢量k对应不同的偏振方向，它们彼此独立对应于不同的振动，所以zd=8V(2)32dc3，则zd=zd=Vc382d，则d=Vc382d，按能量均分定律，谐振子的平均能量为=P22m+12m2q2=kT，则d=1c382d=82c3kTd。该公式无法给出维恩位移定律，瑞利金斯公式在低频部分与黑体辐射试验结果相符，而在高频部分，产生紫外灾难。第二十三话 函数考虑长度为l的一条细杆，质量为1，假如密度均匀，即l(x)=1l |x|l2 0 |x|l2 -l2l2lxdx=1，假如让l0，但质量