1.4环量和旋度

1、第一章 矢量分析1.4 矢量场的环量和旋度主要内容v环量v旋度v斯托克斯定理学习目的v掌握环量、旋度的物理意义v了解环量、旋度的关系v灵活运用斯托克斯定理求解矢量场PA A （a）lM1.4.1 矢量场的环量（环流）矢量场的环量（环流）定义： 矢量场A沿空间有向闭合曲线l的积分称为矢量场A的环量。 dcos dllAlAl 表达式：由图(a)可见，环量取决于曲线l的绕行方向。（2）若 ，表示该矢量场为无旋场或保守场； 若 ，表示该矢量场为涡旋场。0 0 物理意义：（1）环量用来描述产生该矢量场的旋涡源。PA A （a）l旋涡源位于闭合曲线l包围形成的曲面内。M1.4.2 矢量场的旋度矢量场的旋

2、度 如图(b)过点P 作一微小曲面S，它的边界曲线记为l。0dlimlSAlS 则此极限称为矢量场 A 在P 点沿n方向的环量（面）密度或环量强度。该极限值与S的形状无关，但与S的方向n有关。Sn S AlP(b)1. 环量密度 若当S 收缩至P 点附近时存在极限2. 旋度定义： 矢量场A在某给定点的旋度用rotA表示为max0drotlimlSAlAAnS 大小：最大的环量密度；方向：取得最大环量密度时的面元方向。旋度的物理意义： 矢量的旋度是描述矢量场A在各点处的旋涡源强度。rotxyzxyzyyxxzzxyzeeeAAxyzAAAAAAAAAeeeyzxzxy 在直角坐标系下表达式：旋度

3、与环量密度的关系为0dlimrot()coscoscoslSyyxxzzAlAnSAAAAAAyzxzxy 计算环量面密度的方法 旋度和散度的区别：（1）矢量场的旋度是矢量，散度是标量。（2）旋度描述场中各点的旋涡源强度； 散度描述场中各点的通量源强度。（3）旋度描述的是场分量沿着与它相垂直的各方向上的变化 规律；散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律。旋度的运算规则：()0()0A 1.4.3 斯托克斯定理斯托克斯定理表达式：d() dlSAlAS 式中S为闭合曲线l所包围的曲面。物理含义： 矢量A沿任意闭合曲线l的环量等于以l为边界的曲面S上旋度的面积分。 (c)d() dllAAS

4、0dlimro tlSlAnS 斯托克斯定理的证明： 对于有限大面积S，可将其按如图(c)方式进行分割，对每一小面积元有)11d() dllAAS 22d() dllAAS d() dlSAlAS 【例1-11】求矢量 （c是常量）沿曲线 的环量。xyzAyexece 222(2),0 xyRz【解】：曲线l是以（2，0）为圆心，R为 半径的圆，故线元dddxylxeye 环量202202d() (dd)(dd )sin d(2cos )(2cos )d( sin )(2 cos )d2lxyzxyllAlyexecexeyey xx yRRRRRRR 方法二： rot2xyzzAAeeexy

5、zyxce 2d() d2d2zlssAlASeSR 由斯托克斯定理得 【例】用以下两种方法求矢量场 在点 处沿方向 的环量面密度。 直接应用环量面密度的计算公式； 作为旋度在该方向的投影。 【解】：()()()xyzAx zy ey xz ez yx e (1,2,3)M22xyzleee 矢量 的方向余弦为 矢量场为 由环量面密度公式 将点 代入上式： 22xyzleee 122cos,cos,cos333()()()xyzAx zy ey xz ez yx e ()coscoscos122()()()333yyxxzzAAAAAAyzzxxyzyxzxy(1,2,3)M(1,2,3)12219()()()3333zyxzxy 在点 处旋度为 方向的单位矢量 在点 处沿 方向的环量面密度为：rot()()()()()()xyzxyzeeeAAxyzx zyy xzz yxzy ezx eyx e (1,2,3)rot543xyzAeee o586193333MAl (1,2,3)M(1,2,3)Mo1(22)3xyzlleeel ll内容小结 主要概念：v v 主要定理：v斯托克斯定理旋涡源旋涡源环量旋度若环量（旋度）等于零，该矢量场为无旋场或保守场 主要公式v 环量v 旋度v环量面密度v斯托克斯定理 dcos dccAlAl rotxyzxyzyy