[工学]现代控制理论第四章

1、.第四章 稳定性与李亚普诺夫方法自动控制系统最重要的特性是稳定性问题，如何判断一个系统是否稳定以及怎样改善其稳定性乃是系统分析与设计的一个首要问题。系统的稳定性表示系统在遭受外界扰动偏离原来的平衡状态，而在扰动消失后系统自身仍有能力恢复在原来的平衡状态。早在1892年俄国数学家李亚普诺夫提出判定系统稳定性问题为两种方法，李亚普诺夫第一法和第二法。41 李亚普诺夫关于稳定性的定义线性系统的稳定性只决定于系统的结构与参数，而与系统的初始条件及外界扰动无关。非线性系统的稳定性与初始条件与外界扰动的大小有关。李亚普诺夫第二法是一种普遍适用于线性系统、非线性系统等的方法。系统状态的运动及平衡状态：设所研

2、究系统的齐次状态方程为： （41）式中：维状态矢量，与同维的状态矢量，它是状态矢量的各元素和时间的函数，为时变的非线性函数，如果不显含，则为定常的非线性函数。在给定初始条件下，有唯一解： （42），为初始状态。是从开始观察的时间变量。上式是描述系统的运动状态的轨迹。若系统式（41）存在状态矢量，对所有，都使： （43）成立，则称为系统的平衡状态。如果系统是线性定常的：（44）当为非奇异矩阵时，的解是系统唯一的平衡状态；为奇异矩阵时，系统将有无穷多个平衡状态。对于非线性系统，通常可有一个或多个平衡状态，它们是由式（43）所确定的常数解。例：（4-5）有三个平衡状态：，线性系统（定常）只有一个平衡

3、点，非线性时变系统等有多个平衡点，应分别讨论。李亚普诺夫意义下的稳定性：若用表示状态矢量与平衡状态的距离，用包含所有各点的一个球域表示以为中心，为半径的超球体。 （4-6）为欧几里德范数。（47）当很小时，则称为的邻域。若有，则意味着。若式（41）的解：， （48）则式（48）表明齐次方程式（41）由初态或短暂扰动所引起的自由响应是有界的。1. 对式（41）描述的系统对于任意选定的实数，却对应存在另一实数,使得当时，从任意初态出发的解都满足：， （49）则称平衡状态为李氏意义下的稳定，其中实数与有关，一般也与有关，如果与无关，称这种平衡为一致稳定。稳定的平衡状态及其状态根轨迹2. 渐近稳定如果

4、平衡状态是稳定的，而且当无限增长时，轨线不仅不超出，而且最终收敛于，则称这种平衡状态渐近稳定。渐近稳定是一个局部概念，确定某个平衡状态的渐近稳定并不意味着整个系统就能正常运行。渐近稳定区域越大，稳定性能就越好。3. 大范围渐近稳定如果从状态空间中所有初始状态出发的轨线都具有渐进稳定性，则称这种平衡状态大范围渐近稳定。它的必要条件是在整个状态空间只有一个平衡状态点，对线性系统最为适用。对于非线性系统，使为渐近稳定平衡状态的球域一般是不大的，常称为小范围渐近稳定。4. 不稳定对于某个实数和任意实数，不管多么小，由内出发的状态轨线，至少有一个轨线越过，则称这种平衡状态不稳定。总之，球域限制着初始状态

5、的取值，球域规定了系统自由响应的边界。若为有界，则称稳定。若不仅有界，而且有收敛于原点，则称渐近稳定。若无界，则称不稳定。42李亚普诺夫第一法通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性。对于定常系统只需解出特征方程的根即可做出稳定性判断；对于非线性系统不是很严重的系统可通过线性化处理，然后根据其特征根来判断系统的稳定性。一、 线性系统的稳定性判据线性定常系统，(4-10)的平衡状态渐近稳定的充要条件是阵所有特征值均具有负实部。系统状态的稳定性称为内部稳定性，工程中更注重系统的输出稳定性。如果系统对于有界输入所引起的输出是有界的，则称系统输出稳定。线性定常系统输出稳定的充要条件是其传递函数的极点全部

6、位于的左半平面。例：解：特征值，故系统的状态不是渐近稳定的。由系统的传递函数：其传递函数的极点，位于S平面的左半平面，故系统输出稳定。另一极点被系统的零点对消了，在系统的输入输出特性中没有被表现出来。这说明当系统的传递函数不出现零、极点对消现象，并且矩阵的特征值与系统的传递函数的极点相同，系统的状态稳定性才与其输出稳定性相一致。二、 非线性系统的稳定性(4-11)为系统的状态方程，为平衡状态。与是同维的矢量函数，对有连续的偏导函数。为讨论系统在处的稳定性，可将非线性矢量函数在的邻域展开成泰勒级数，得：(4-12) (4-13)令，取式（412）的一次近似式，得系统线性化特征方程：，式中 (4-

7、14)如果方程式（415）中系数矩阵的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统式（412）在平衡状态是渐近稳定的，而且系统的稳定性与无关。如果的特征值，至少有一个实部为零，系统处于临界情况。系统的稳定性取决于高阶导数项，而不能由矩阵的特征值符号来确定。如果的特征值至少有一个正实部，则原非线性系统的平衡状态是不稳定的。例：设系统方程：，分析系统在平衡状态的稳定性。解：系统有两个平衡状态：，。在处线性化：，不稳定。同理：在处线性化：，特征值为，实部为0，用线性方法没结论，用第二法判别。注：在处，。平衡点：。注：在处，。平衡点：。43李亚普诺夫第二法李亚普诺夫定义一个正定的标量函数，作为虚构的广义能量

8、函数，然后根据的符号特征来判别系统的稳定性。对于一个给定系统，如果找到一个正定的标量函数，是负定的，则这个系统是渐近稳定的，叫做李亚普诺夫函数。实际上任何一个标量函数只要满足李氏稳定性判据所假设的条件，均可作为李氏函数。1. 标量函数的符号性质设为由维矢量所定义的标量函数，在处，恒有。在域中的任何非零矢量，如果成立：（1），称为正定的。例：。（2），称为半正定的（或非负定）。例：。（3），称为负定的。例：。（4），称为半负定的（或非正定）。例：。（5），则称为不定的。例：。例： 设 ，标量函数为：。因为有，对于非零，比如，也使 ，所以为半正定的。 ，标量函数为：。因为有，而且当时，也使，因此为

9、半正定。2. 二次型标量函数(4-15)如果，则称为实对称矩阵。例： 对于二次型函数，若为实对称矩阵，则必定存在正定矩阵，通过变换，使之化成正交矩阵。，(4-16)设矩阵是实对称矩阵， 为由所决定的二次型函数。注：必须为正交矩阵，才有。若正定，则称正定。若负定，则称负定。若半正定（非负定），则称为半正定。记作若半负定，则称半负定。矩阵的符号性质与由其决定的二次型函数的符号性质完全一致，因此要判别的符号只需判别的符号即可。3. 希尔维斯特判据设实对称阵：，(4-17)矩阵（或）确定符号性质的充要条件是：，则（或）为正定的。若，则（或）为负定的。若，则（或）为半正定的。若，则（或）为半负定的。恒等

10、于零，运动轨迹落在特定的曲面上，相当于非线性系统的极限环或线性系统中的临界稳定。例：闭环系统的状态方程为：，；这是个等幅的正弦振荡系统，必须改变系统的结构。选，则。注：，。可保持为某一常数，系统运动状态轨迹为一系列以原点为圆心、为半径的圆（极限环或临界稳定）。不恒为零，这个运动轨迹只在某个时刻与某个特定的曲面 相切，运动轨迹通过切点后并不停留而继续向原点收敛，这种情况仍属于渐近稳定。 例：，选，当，,在时，不恒等于零；当，时，是状态轨迹与圆相切的某一时刻上。在原点处系统为大范围渐进稳定。在原点处为大范围渐进稳定不稳定例：注：， 选，(4-18)确定处不稳定。44李亚普诺夫方法在线性系统中的应用

11、 李亚普诺夫第二法不仅用于分析线性定常系统的稳定性，而且对于线性时变及线性离散系统也能给出相应的稳定性判据。一、 设线性定常系统： 的平衡点，（为状态矢量，为常系数矩阵，假设是系数矩阵）。取李氏函数为，为维正定实对称矩阵。沿轨迹的导数为：(419) 欲使系统在原点渐近稳定，则要求必须为负定：，式中为正定的。应用该判据时应注意以下几点：如果沿任意一条轨迹不恒等于零，那么可取半正定的。如果取一个正定矩阵（或者沿任意轨迹不恒等于零，可取任意一个半正定矩阵）,并解，按照希尔维斯特判据判定的正定性，进而作出系统渐近稳定的结论。为方便计算，取，的各位元素应满足。上述判据所确定的条件与矩阵的特征值具有负实部

12、的条件等价。因而判据所给出的条件是充分必要的，因为设（或通过变换），若取，,显然只有当全为负值时，才是正定的。例：，平衡状态是原点，试分析平衡点的稳定性。，令，；解方程组得： 注：，；，；根据希尔维斯特判据：,；故而矩阵是正定的。因此在原点处的平衡点是大范围内渐近稳定的。而李氏函数为：是正定的，所以。为负定的，为负定的。取，系统稳定 二、 线性定常离散时间系统渐近稳定判据设线性定常离散时间系统的状态方程为：，为常系数非奇异矩阵。平衡状态处渐近稳定的充要条件为：对于任意给定的正定实对称矩阵，必存在一个正定对称矩阵。假设一个可能的李氏函数为：我们采用与之差来代替。(4-20)由于选为正定的，为负定

13、的。因此为正定。如果沿任一解的序列不恒为零，那么亦可取半正定的。实际上，、矩阵满足上述条件与矩阵的特征值的绝对值小于1的条件完全等价，因而也是充要的。在具体应用判据时，可先给定一个正定实对称矩阵，选，然后验算由所确定的实对称矩阵是否正定，从而做出稳定性的讨论。例：系统离散状态方程为：试确定平衡点处渐近稳定的条件。，取，使为正定的实对称矩阵，和。只有当系统的极点落在单位圆内时，系统的平衡点处才是大范围渐近稳定的。45李亚普诺夫在非线性系统中的应用线性系统的稳定性具有全局的性质，稳定判据的条件时充分必要的，非线性系统的稳定性却可能是局部性质。例如大范围渐近稳定的平衡状态可能是局部渐近稳定的，而局部

14、不稳定并不能说明系统是不稳定的。李氏第二法只给出判断非线性系统的渐近稳定的充分条件，而不是必要条件。一、 雅可比(Jaccobi)矩阵法（亦称克拉索夫斯基（Krasovski）法）二者表达形式略有不同，但基本思路是一致的。 设系统为：式中为维向量。假设,对是可微的，系统的雅可比矩阵为： （4-21）系统在原点渐近稳定的充分条件是，任意给定实对称矩阵，使得下列矩阵：（4-22）为正定的。并且： （4-23）是系统的一个李氏函数。如果，则系统在是大范围渐近稳定。证明：选取二次型函数 为二次型函数，为正定实对称函数，为正定，考虑到是的显函数，不是时间的显函数，因而有以下关系：将沿状态轨迹对求全导数：

15、（4-24）或者： （4-25）要使系统渐近稳定，必须是负定的，而必须是正定的。当时，尚有，则系统在原点是大范围渐近稳定的。显然，要使为正定，必须使主对角线上的所有元素不恒为零。如果中不含，那么主对角线上相应的元素必须恒为零，则就不可能是正定的，因而也就不可能是渐近稳定的。 如果： （426）称（423）为克拉索夫斯基表达式。这时有： 其中： （427）上述两种方法是等价的。对所有，要求为正定这个条件过严。相当多的非线性系统未必能够满足这个要求。推论：对于线性定常系统，若矩阵非奇异，且矩阵为负定，则系统的平衡状态是大范围渐近稳定的。例：利用克拉索夫斯基定理来确定下式平衡状态处的稳定性。解：，取

16、，表明对于，为正定。当时，有所以，系统的平衡状态 为大范围渐近稳定。作业：4-1，4-2，4-3（1），4-6，4-8，4-9，4-11二、 变量梯度法（Shultz-Gibson）变量梯度法也叫舒茨基布逊法，变量梯度法是即找到一个特定的李氏函数，能够证明所给系统的平衡状态为渐近稳定的，那么李氏函数的梯度必定存在且唯一。gradient梯度；divergence散度；rotation旋度。1. 标量函数的梯度设为矢量的标量函数，那么沿矢量方向的变化率就是的梯度。梯度是与矢量同维数的矢量。例如：若用表示三维几何空间中的温度，则就表示温度梯度，它描述了三维空间中温度场的变化情况。2. 矢量的曲线积

17、分，表示积分路径，任意矢量沿给定曲线的积分可用曲线积分。矢量沿曲线的积分只决定于积分路径起点与终点的位置，积分与路径无关。如从原点出发，沿任意积分路径到达，其积分结果都相同。3. 矢量的旋度在三维空间中，设矢量用三个分量表示为：则矢量的旋度也是具有三个分量的矢量，定义是： 若旋度为零，即，可得旋度方程：，变量梯度法，若旋度为零，则的曲线积分与积分路径无关；反之亦然。设非线性系统在平衡状态渐近稳定的。假设是矢量的标量函数，但不是时间的显函数，有：或写成： 确定与的关系。舒茨和基布逊提出：先假定为某一形式，譬如一个待定系数的维矢量。 （4-28）然后根据为负定（或半负定）的要求确定系数，再由这个通

18、过下列线积分来导出。即： （4-29）它是对整个状态空间中任意点的线积分。这个线积分可以做到与积分路径无关。最简单的积分路径是采用以下逐点积分法： （4-30）设单位矢量：, , , （4-31）式（430）中的积分路径是从坐标原点开始，沿着到达，再由这沿着到达，最后沿着到达。为了使式（429）的线积分与积分路径无关，必须保证的梯度为零。要求满足维广义旋度方程： , （4-32）由所组成的雅可比矩阵： （4-33）必须是对称的。对维系统应该有个旋度方程。例：应该三个方程：， ， 由式（430）求得的，平衡状态是渐近稳定的。如果当时，有，则平衡状态是大范围渐近稳定的。应用变量梯度法分析系统稳定性的步骤归纳如下：1. 按式（428）设定，式中的待定系数，可能就是常数或者时间的函数，或者状态变量的函数。显然不同的系数选择法可能求出不同的。常把选成常数或时间的函数是方便的。有些可选为零，或者根据的约束条件和旋度要求来选择。2. 由按式 确定 。3. 根据是负定或至少是半负定并满足个旋度方程的条件，确定中余下的未知系数，由此得出的，可能会改变第二步算的，因此要重新校核的定号性质。4. 由式（430）确定。5. 校核是否满足当时，有的条件或确定使为正定的稳定性范围。如果用上述方法求出不合适的，那也不意味着平衡状态是不稳定的。例：试用变量梯度法确定下