线性代数证明题

1、线性代数证明题1 设1, 2, 3, 4是非零的四维列向量，A ( 1, 2, 3, 4), A*为A的伴随矩阵，已知Ax 0的基础解系为(1,0, 2,0)t，证明2, 3, 4是方程组A* x 0的基础解系.2. 设A是n阶矩阵，且An 0，贝U En A必是可逆矩阵。3. A,B,C均是n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若 ABC E ,证明：BCA E4设3级方阵A,B满足2A1B B 4E,证明：A 2E可逆，并求其逆5.设A是一个n级方阵，且R(A) r，证明：存在一个n级可逆矩阵P使PAP 1的后n r 行全为零6 设矩阵Am n, Bn m，且m n, AB E,证明：A的行向量组线

2、性无关27如果AA,称A为幕等矩阵.设A,B为n阶幕等矩阵，证明： A B是幕等矩阵的充要条件是AB BA 0.8. 如果对称矩阵 A为非奇异，试证：A 1也是对称矩阵9. 设A, B, C都是n阶方阵，且C可逆，C 1 (C 1B E) A ,1证明：A可逆且A (B C) o10. 设A 0，其中k为正整数，证明： (E A) 1 E A A2Ak 111. 设方阵A满足A2 -A-2E=O，证明A及A+2E都可逆，并求 A 1及(A 2E) 112. 试证：对任意方阵 A，均有 A At为对称矩阵，A At为反对称矩阵。13. 证明 R(A) 1的充分必要条件是存在非零列向量和非零行向量

3、T，使A T14.设A为列满秩矩阵，AB C，证明方程BX0与CX0同解15.设A为m n矩阵，证明方程AXEm有解R(A)m16.向量组A能用向量组B表示，则R(A)2),且1 +2 +| | + m ,证明向量组亠 1,2, 111,m线性无关的充分必要条件是1,2,|, m线性无关.28.设向量组a 1, 2,卅，m线性无关，向量 1可由向量组 A线性表示，而向量2不能由向量组 A线性表示证明向量组1,2J1 | , m, l 12线性无关（其中1为常数）.29.设 1,2, s线性无关，1 +2 +|+ s s ,其中i，证明1,i+1 ,| s线性无关.30.已知向量组1,2,3线性

4、相关,向量组2,3,4线性无关,证明(1)1可由2,3线性表示；4不能由1,2,3线性表示.31设Vi是由ai(1,1,0, 0)T , a2 (1,0,1,1)T所生成的向量空间，V2是由bi(2, 1,3, 3)t，(0,1, 1, 1)T所生成的向量空间，试证V1= V2.TTT332. 证明由1(0,1,1) , 2 (1,0,1) , 3 (1,1,0)所生成的向量空间就是 R3.33. 向量组 A：a1,a2, an ； B: 1, 2, m ；。玄总，an, 1, 2,m，证明：max(r(A),r(B) r(C) r(A) r(B)33设A, B是同型矩阵，证明R(A B) R

5、(A) R(B).34. 证明n维向量组a1,a2,|,an线性无关的充分必要条件是，任一n维向量都可由a1, a2, an线性表示.35. 设n阶矩阵A满足A2 A , E为n阶单位阵，证明R ( A) R ( A E ) n36. 设向量组a1,a2,ar是齐次线性方程组 AX=O的一个基础解系，向量B不是方程组AX=O的解，即A丰0,求证：，1, , r线性无关。37.对于矩阵 Am n, Bns ,有(A) r(B) r(AB)证明：构造如下矩阵 C AB00,显然有r(C)Enr(AB)n，对C作如下变换:用A乘以第二行再加到第一行得到AB0AEn用第一列减去第二列右乘B得到EA，而

6、AEnr(A) r(B)故 r(C) r(AB) n r(A) r(B)38设A , B均为n阶矩阵，且A与EAB都可逆,证明eBA可逆.39.设向量组 112； 22 213，33 3;。若已知向量组1,2, 3线性无关，问向量组1, 2,3是否线性相关，请证明之140. 如果A - B I ,证明：当且仅当 B2 I时，A A241. 若A是n阶方阵，且 AA I, A 1,证明|A 1| 0。其中I为单位矩阵。42. 设n为非齐次线性方程组Ax=b的一个解，E i ,E 2,，E r是其导出组Ax=0的一个基础解系.证明n,E i,E 2,，E r线性无关.43.设向量组1 ,2 ,3线

7、性无关，且k11 k2 2k3 3 .证明：若k工0，则向量组,2,3也线性无关.44.已知 1, 2 ,3,4线性无关，证明：12 , 23 ,34 ,41线性无关.45.设向量 1，2，.，k线性无关，1j k.证明：1 +j，2，k线性无关.46.设 1，2，3线性无关，证明1，12 2，13 3也线性无关47. 设方阵A满足A2 A 2E O 证明A及A 2E都可逆并求A 1及(A 2E) 148. 设矩阵A、B及A B都可逆 证明A 1 B 1也可逆并求其逆阵49. 证明R( A) 1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT，使A abT。50. 设A为m n矩阵，若 AX

8、AY，且R(A) n，则X Y。证：将m s矩阵X，Y按列分块为XX1 X2xs ，Yy1 y2ys ，则 X Y = X1 y1 X2 yX s y如果 AX AY，且 R(A) n ；即 A(X Y) 0，且 R(A) n ;亦即A(Xj yj) 0,且R(A) n，那么根据齐次线性方程组的理论，当R(A) n时，齐次线性方程组 AX 0只有零解，A(Xj yj) 0只有零解，即Xj yj0，亦即 Xjyj，j1,2, ,s，故 XY。51. 已知 R(a1a 2 a3)2 R(a 2 a 3a 4)3证明(1) a 1能由a2 a 3线性表示(2) a 4不能由a1 a 2 a 3线性表示52. 设向量组B：b(