线性代数---特殊行列式及行列式计算方法总结材料

1、特殊行列式及行列式计算方法总结几类特殊行列式1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材 P7例5、例6）2. 以副对角线为标准的行列式00川0a1na11a12IIIa1n川0III0a1n00a2,na2nJa21a22III0+phdqiFh0IIIa2,n0+r+fnf000+r0an,2川an _d,n Aan _J,n+ann000an1III00an1an2川an,n_1annn（n）=（-1） 2 Sn92,n JHanl3. 分块行列式（教材P14例10）一般化结果：Cn m°m n0n mBm0n>mACnABmCm坏Bm0m亦BmCm n If Bm=A.B

2、m4. 范德蒙行列式（教材P18例12）注：4种特殊行列式的结果需牢记！以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！ !！二、低阶行列式计算二阶、三阶行列式一一对角线法则（教材P2、P3）三、高阶行列式的计算【五种解题方法】1）利用行列式定义直接计算特殊行列式；2）利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式;3）利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算;4）递推法或数学归纳法;5）升阶法（又称加边法）【常见的化简行列式的方法】1. 利用行列式定义直接计算特殊行列式例1（ 2001年考研题

3、）IIIIII020000199900IIIIIIIII002001分析：该行列式的特点是每行每列只有一个元素,因此很容易联想到直接利用行列式定义进行计算。0 1 2 . 1999 0 2 001! = 2001!解法一：定义法D =(-1) z,n2. ,2,1,n)2001! =(-1)解法二：行列式性质法 利用行列式性质2把最后一行依次与第n-1,n-2,2,1行交换（这里n=2001）,即 进行2000次换行以后，变成副对角行列式。D =(-1严IIIIIIIII2001002001 (2001)=(一 1)2001(_ 1) 22001! = 2001!0200019990IIIII

4、I解法三：分块法IIIIII020000199900IIIIHIII 0 0 2001利用分块行列式的结果可以得到0000IIIIII02102000(2000-1)D=2001+RiRb+FbF=2001 (-1) 2 2000!=2001!01999III0020000III00解法四：降阶定理展开按照每一行分别逐次展开，此处不再详细计算。2. 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式例21 a11111a11111 b11111 -b分析：该行列式的特点是很多,可以通过口-2和r3-r4来将行列式中的很多1化成0.解:aa0011001100 I11 -a1111-a112-

5、A0-a11=ab=ab00bb00114 00111111 -b1111 -b0011-b|D 二11000-a000110011-b2b23a3 a23a3afa afb2 afbs a：b4b3分析：该类行列式特点是每行a2b2 蟲 a4bfb：，（盯 0）a的次数递减，b的次数增加特点与范德蒙行列式相似，因此可以利用行列式的性质将 D化成范德蒙行列式解:33 3 3二 a a?a3a4(5已2（与a1a1a1（蜀(蜀2（E）3a2a2a2隹）（与世）3a3a3a3（虫）凸2(笛3a4a4a4a b32)a2a3a41111V(2f 33 3 3u = a a? a3 a433 3 3-

6、a1 a2a3a4 T 丨1勺：卫ai练习：（11-12年IT专业期末考试题）若实数x, y, z各不相等，则矩阵M二的行列式M二3. 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算Dn 二aIH00IHIHIHIH00HIa0分析：该行列式特点是a处于主对角线,b在a后的一个位置，最后一行中b是第一个元素，a是最后一个元素 解：按第一列展开:ab0IIIIII00b0ab001十Dn =a (_1)IIIIII+ (-1)曲 ba bh000IIIIIIab44a b0000a=a 尹+(-1)n +.b宀an +(T)n +bn练习：（11-12年期中考试题）Dn4.

7、行（列）和相等的行列式Dn =IIIIIIIII分析：该行列式的特点是主对角线上元素为a，其余位置上都是b。可将第2,3,n列加到第1列上。（类似题型:教材 P12例 8, P27 8(2)120川0分析：该类行列式特点是第一行、第一列及主对角上元素不为0,其余位置都为解:1bIII b1bIIIb1a川b1a -bin0+1I-+4+4= a+( n-1)b4q1b川a10HIa bDn 可a (n-1)b二a (n -1)b(a -b)n5. 箭头形（爪行）行列式III 川 川IHIII0.解此类行列式方法，是将行列式化成上三角行列式。解：分别从第2,3，,n列提出因子2,3,，n,然后将

8、第2,3，,n列分别乘以-1, 再加到第1列上。1 1 1二111街10 -Z 7 - - III -23ni _2123n1 10 川 0010 川 0101 川 0=n!001 川 0IIIIIIIIIIII1 0 0 川 100 0 川 1D =n!=n 八(一1)i 2 I注：爪形行列式非常重要,很多看似复杂的行列式通过简单变化以后都可以化成爪形行列式进行计算!练习：1) 教材习题P28: 8(6)2）（ 11-12年期末考试题）a23An =n -1n3）（ 11-12年IT期末考试题）-2-3III(n1)_na0III000aIII00IIIIII00IIIa000III0ax

9、a1a 2a n _1anx 1000x 0992a010x 00n 10x 000na2a3|l|ana1D = q4X2a3|l(a2X3|l|III HIa2a3III分析：该类行列式特点是每一行只有主对角线上的元素与第一个元素不同 解:Xia2a3IIIanX2 - a：0III00X3 'a3III0IIIIII00IIIXn - aax1D ai Xia - xXix 一 a-1= (Xi ai) (x2 -a2)川(xn an )a2a3IIIanX2 - a2X3 - a3Xn - ai0川00fai+川i40i0+01川ia2X2 一 a：IIIanXn _ anai

10、i =4 xi - ai=(捲aj(X2 a?)川X a.)00n ai-ji.i (Xi-a)ii 4ixi _ ai该方法用于行列式结构具有一定的对称性，教材Pi5例ii就是递推法的经典例6. 递推法或数学归纳法题。利用同样的方法可以计算教材 P27 8(4)。7.升阶法通常计算行列式都采用降阶的方法， 是行列式从高阶降到低阶，但是对于某些行 列式，可以通过加上一行或一列使得行列式变成特殊行列式，再进行计算i川ii+a2 IIIii HI i+an例 8 (教材 P28 8(6)i+aii Dn =*ri分析：该题有很多解法，这里重点介绍升阶法。因为行列式中有很多i,因此可以增加一行i,使

11、得行列式变成比较特殊或者好处理的行列式。注意：行列式是 方形的，因此在增加一行以后还要增加一列， 以保持行列式的形状。为了使行列 式的值不改变，因此增加的列为i,0,0,0.111III1111III1定理301+a11III1-1a10III0.a”(1+£ 丄)Dn =011+a2III1=-10a2III0=a a2.+p+p+¥i=1 ai011III1+an-100IIIan例 9 (教材 P27 6(4)1111abcdD=2,22,2abcd4,44,4abcd分析：此行列式可以应用性质6将行列式化为上三角行列式，也可以对比范德蒙行列式的形式,通过添加一行和一

12、列把行列式变成范德蒙行列式以后再进行计算。解法4 “3 $ -ar?D 二2网bacadab(b -a)2 2 2b (b -a )c(c -a)2 z 22c (cad(d -a)2 2 2d (d -a )按第一列=开(ba)(ca)(da)bb2 (b a)cd22c (c + a) d (d +a)c £(b _a)(c _a)(d -a)c3 £b2 b (b a)d -b.2c -b2 2 2 2c (c + a) b (b+a) d (d+a) b (b+a)按第一行展开(b -a)(c-a)(d -a)c-bd -bc2(c + a)-b2(b + a) d 2(d+a)-b2(b+ a)