第四章微分中值定理与导数的应用

1、第 四 章微分中值定理和导数的应用一、考核要求 知道罗尔定理成立的条件和结论，知道拉格朗日中值定理成立的条件和结论。 能识别各种类型的未定式，并会用洛必达法则求它们的极限。 会判别函数的单调性，会用单调性求函数的单调区间，并会利用函数的单调性证明简单的不等式。 会求函数的极值。 会求出数在闭区间上的最值，并会求简单应用问题的最值。 会判断曲线的凹凸性，会求曲线的凹凸区间和拐点。 会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线。二、基本概念、主要定理和公式、典型例题 微分中值定理今后，如果函数f(x)在某一点x0处的导数值=0，就说这一点是驻点，因此罗尔中值定理的结论也可以说f(x)在（a，b）至少有一个驻点

2、。从y=f(x)的几何图形（见下图）可以看出，若y=f(x)满足罗尔中值的条件，则它在（a，b）至少有一点，其切线是水平的，根据导数的几何意义知道，该点的斜率=k=0。从函数y= f(x)的图形看（见下图），连接y= f(x)在a，b上的图形的端点A与B，则线段AB的斜率为：将AB平行移动至某处，当AB的平行线与曲线y=f(x)相切时，若切点为x=c，则根据导数的几何意义知：或写作故从几何图形看，拉格朗日定理是成立的。典型例题例一：（单选）下列函数在相应区间上满足罗尔中值定理的条件的函数是（） ，-1，1； ，-1，1； ，1， 2； ，-1，1。解：在-1，1上处处有意义，没有无意义的点，因

3、为他没有分母，所以在b区间-1，1上处处连续满足第一个条件。又f(-1)=1，f(1)=1，所以在端点上函数值相等，满足第三个条件因此这函数在开间不是处处可导，只少在0这一点不可导的，因此不满足第二个条件。 在x=o处不可导，也不满足第二个条件。 f(1)=1，f(2)=4，在1，2上满足第三个条件。 ，处处可导且处处连续，f(-1)=1， f(1)=1。在-1，1上满足三个条件。例二：证明方程在（0，1）至少有一个根。证：用罗尔中值定理解：由于令在0，1上满足罗尔定理的三个条件。所以在（0，1）至少存在一个数c (0c1) 使。 x=c 是方程的根。即 x=c是方程的根。例三：证明不等式：a

4、rctanbarctanab-a ，(ab)解： 令f(x)= arctan x 处处存在。 f(x)= arctan x处处可导，处处连续，所以f(x)=arctanx 在a， b上满足拉格朗日定理的二个条件，因此存在acb，使。即：arctanbarctanab-a在第三章我们曾知常数的导数为零，即反过来会问：导数为零的函数是否一定是常数，下面我们证明证：在（a，b）任取两数x1，x2，假定x2x1，证明这两个函数值相等的。由于函数在a，b处处可导，因此根据拉格朗中值定理知道在区间部处处连续。因此函数在开区间x1，x2部只少存在一点c使，使在端点的函数值f( x1)-f(x2)=(x2-x

5、1)由于函数在区间部的导数值永远等于0，所以0f(x2)-f(x1)=0f(x2)f(x1)证毕。证：令(x)=f(x)-g(x) 在（a，b）=-=0 在（a，b）(x)=c，即 在（a，b）f(x)-g(x)=c 在（a，b）f(x)=g(x)+c洛必达法则当limf(x)=0 且limg(x)=0时，或limf(x)= 且limg(x)=时，分式的极限不能用除法公式计算，上面的分式的极限可能存在，也可能是，还可能没有极限，因此叫未定式，对于未定式的极限有下面的计算方法，叫洛必达法则，我们不加证明地介绍给学员使用在洛必达法则的条件和结论中，我们没有写明x的变化状态，意思是xa 或x 这两情

6、形洛必达法则都正确洛必达法则的优点在于，在大多情形下，极限的计算较困难，而极限的计算较易，便可将一个较难的计算变为较易的极限计算洛必达法则在使用时可以简写为即两个无限小相除或两个无究大相除都可用洛必达法则计算，需要法注意的前提是它们的导数必须存在且比值的极限必需是常数或。典型例题洛必达法则可以多次使用，需要注意的是使用它的前提必须是未定式或在使用洛必达法则求极限时不要忘记四则运算法则和等价替换原则，综合使用时计算会显得简单。例如在例二中，下面的计算因为x0时，1-cosx，进行等价替换会更简单。解：x0时，sin xx从例八同学们可以看出，无论a为何值，均有：由例七，例八同学们可以看出， x+

7、时，虽然lnx，(a0),都是无穷大量，但远大于，远大于lnx。或者说是比高阶的无穷大，（a0）是比lnx高阶的无穷大。从上边可以看到，求不定式型或型的极限时，洛必达法则是一种很有效的方法，但同学们必需注意两条：第一，只有不定式型或型才能使用洛必达法则，否则会犯错误。第二，有或时，等式才成立，也就是说，若不存在时，并不能说，也就是说，不能说也不存在，这时，只好用其它方法求极限，请看下面两个例题。若不注意，错误地用洛必达法则，便得出错误的结果错误在于第一个等式，由于本题不是不定型，所以不能用洛必达法则。因为x时,sinx的值在（-1）与1之间波动， 不存在， 不存在，若由此得出结论，不存在那就错

8、了，原因在于不存在时，不能说。正确的解法是：下面介绍三种可以化为不定式型或型的极限。（1）(-)型由于()结果不定，可以是无穷小，也可以是无穷大，还可以是接近于常数A的量，如果希望用洛必达法则求它的极限，必须合并为一个分式化为型或型。（2）（0·）型，无穷小乘无穷大其结果也是不能直接确定的，为了用洛必达法则，要将被求极限写成分式变为型或型。（3）型，型和型，它们常见于幂指函数求极限。由于例十九若f(x)有二阶连续导数，求。 函数的增减性与其判别定理证：用拉格朗日中值定理（1）在（a， b）任取，只需证明即可。 在（a， b），当然在（a， b）可导， 在（a， b）连续。 在上连续，

9、在()上可导， 在上满足拉格朗日中值定理的两个条件。根据拉格朗日中值定理知：在()至少存在一点，使同法可证（2）与（3）例一证明 在上是增加的。证：() 在上，0， 在上处处增加；（）在上，0，在上处处增加；（）在上可导， 在上连续，在上处处增加。注由本例可知，若函数 在(a， b)除个别点导数为0外，其余各点导数都大于0（或都小于0），并不影响增加性（或减少性），所以今后我们发现函数 在某个区间(a， b)上除个别点导数为零外，其余点导数都大于零（或都小于零），则对导数为零的点不再加说明。例三 证明不等式 f(0)=0 0x 时 f(x)f(0)=0即 0x 时 x-ln(1+x)0即 0x

10、 时 xln(1+x)再证 0x 时， 0x 时， 分子是正的，分母也是正的，0 0x 时，增加 f(0)=0， 0x时。即 0x 时，即 0x 时，例四证明1x 时 函数的极值与极值的求法。例如，在下图中，都是的极大值，点x1和点x3都是极大值点；，都是极小值，点x2和点x4都是极小值点。今后，我们把极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。为了求函数的极值，我们分两步进行，首先求出可能取极值的点，这种点一般是很少的，那些不能取极值的点就可以不再分析判断；第二步才对这些可能取极值的点进行判断，下面用定理的形式进行介绍：定理一说明，在一切可导点中，只有驻点（即导数值为零的点）才

11、可能是极值点，不是驻点绝不可能是极值点。请大家务必注意，定理一只是说在可导点中只有驻点才可能是极值点，没有说不可导点不是极值点，其实，不可导点也可能是极值点，例如在点x=0处的函数值f(0)=0，而0， 所以x=0是的极小值点，然而在x=0处不可导，所以不可导点也可能是极值点。综合上述，有下面结论：只有驻点和不可导点才可能是极值点。本定理的正确性是明显的，在（）成立的条件下，它的图形见下图这时，在点的左侧增加，在点的右侧函数减少，是极大值在（）成立的条件下，它的图形见下图：这时，在点的左侧减少，右点的右侧函数增加，所以是极小值。在（iii）成立的条件下，它们的图形见下图由于在点左右两侧同号，所

12、以f(x)在号的左右两侧要么都增加，要么都减少，所以不是极值。例一求的增减区间，极值。解：第一步，求驻点和不可导点第二步，用驻点，不可导点将定义区间（，）分成三部分（，0），（0，2）（2，），在每个区间不再有驻点，不可导点，所以在上述每个区间导数不会变号。（i） 当x0时，0，所以在区间（，0）增加；（ii）当0x2时，函数导数没变，还是 0，所以在区间（0，2）减少；（iii）当2x时，0，所以在区间(2，+)增加；因此的增加区间为（，0）， （2，），减少区间为(0，2)。由于在点x=0的左侧0，在x=0点的右邻侧0，x=0是最大值点，极大值为f(0)=0；由于在点x=2的左邻侧0，点x

13、=2的右邻侧0，所以点x=2是极小值点，极小值为f(2)=4。上面的结果我们经常用下面的表格表示，表示的第一行写出自变量x的取值，第二行为导数的正负性，第三行写出函数的状态和函数值是否是极值例二求的增减区间和极值。解：第一步，写出函数的定义域，Df：0x+第二步，求函数在它的定义域的可能取极值的点，即驻点和不可导点不可导点x=0与驻点x=1都不在定义域，所以不予讨论，只有唯一驻点x=1在定义域，所以在定义域的驻点为x=1，此驻点x=1将定义区间（0，）分为两部分（0，1）和（1，），下面列表分析当x比1小的导数是负的，比1大的导数是正的极小值f(1)=1-2ln1因此极小值等于1例三，求 的增

14、减区间和极值解：第一步，写出f(x)的定义域， 第二步，求f(x)在定义域的驻点和不可导点第三步用不可导点，驻点将定义域分为 分别列表分析。 x（-，0）0 （0，2） 2（2，）+x -0+ 极大值0 极小值 判断驻点是否是极值点还可用下面的定理判别 同法可证明（ii）请学员练习当函数,f(x)的二阶导数易求；且f(x)只有驻点，没有不可导点时，用此种方法判断驻点是否是极值点非常方便。 函数的最值（1）函数f(x)的最值的概念就说f(x1)是函数f(x)在区间a，b上的最小值，f(x2)是函数f(x)在这间a，b上的最大值（2）函数f(x)在闭区间a，b上的最大值和最小值的求法。由于若f(x

15、0)是最值，且x0（a，b）一点，则x0必是极值点，自然x0是驻点或不可导点，除此，边界点也可能是最值点，例如 f(x)=x2在0，2上的最小值为f(0)=0，最大值f(2)=4,它们都是边界点，因此函数的最值点只能在驻点，不可导点，边界点上产生，所以求函数f(x)在闭区间a，b上的最值的方法为：第一步，求导数，写出函数f(x)在闭区间所有的驻点和不可导点x1,x2,xn第二步，计算出函数f(x)在驻点，不可导点与边界点处的函数值f(a),f(x1),f(x2),f(xn),f(b)第三步，选出f(a),f(x1),f(x2)f(xn),f(b)中最大者是f(x)在a，b上的最大值，最小者是f

16、(x)在a，b上的最小值。例一，求f(x)=x4-2 x2+5在闭间-2，2上的最大值和最小值解：第一步，求f(x),在（-2，2）的驻点和为可导点：第二步，计算边界和驻点处的函数法f(-2)=f(2)=13，f(-1)=f(1)=4，f(0)=5最大值为f(±2)=13，最小值为f(±1)=4例二，求 第二步，计算边界点，驻点，不可导点的函数值进行的比较，特别情形一 上面的结论的正确性是明显的，它们的图形见下图解：例二，求f(x)=arctanxx在0,+)上的最大值解： 在0，+上 <0,且f(x)在点x=0处连续f(x)在0,+上的最大值为f(0)=0例三，证明

17、不等式 解：（1）先证x>ln(1+x) x>0时，f(x)>0即：x>0时，xln(1+x)>0即：x>0时,x>ln(1+x)特别情形二上面的结论的正确性也是明显的，它们的图形下图：例四，解： 例五，证明不等式证： 例六，欲在旧墙边围一块面积为512平方料的矩形料场，问新建的墙两边分别为多少米时所用材料长度最少？解：图形见下图设矩形料场一边长为x米，则另一边长为 米 在定义域（0,+）只有一个驻点x0=16（x=-16,x=0舍去）这时一边长 材料的最小总长为例七，在一块边长为a的铁皮的四个角上分别剪去一个边长为 的小正方形，然后折叠起来加工成一个

18、无盖的长方体容器，问剪去的小正方形边长x为何值时，加工成的长方体容器容积v最大。解：图形见下图 例八，欲加工一个容积为V0(米3)的无盖圆柱形容器，它的底面每平方米的加工费是侧面每平方米加工费的两倍，问它的高h和底半径r分别为多少米时，总加工费最省。解：图形见下图 设侧面每米2加工费为a（元）,则底面每平方米加工费为2a（元）设总费用为y因为底面积为，所以底面加工费为；因为侧面积为 ，所以侧面加工费为 例九，工厂A位于铁路北100公里处，它在铁路的垂足为B（见下图），城市C位于铁路线上且与B相距200公里，工厂的产品需运送到城市C，现欲在铁路上建一转运站D，已知公路运费为每吨货物每公里5元，铁

19、路运费每吨货物每公里3元问转运站D应位于何处？才能使1吨货物由工厂A运送城市C的点运费最少。解： 设转运站D与B相距BD=x（公里） 1吨货物总运费为y铁路1吨货运费=3（200- x）公路1吨货运费 得驻点由于在本例中运费有最小值，驻点只有一个，因为只有驻点才能取最小值，所以x=75是最小值点，故例十，在抛物线上求一点，使过该点的切线与x轴，y轴围在第一象限的图形的面积最小。解：图形见下图 设该求点为在（0，1）只有一个驻点,因为本例中有最小面积，且只有一个驻点所以此驻点 是最小值点即在点处的切线与x轴，y轴所围图形面积最小，最小面积为 例十一，某商店年进货某商品5000台，分批进货，每批进

20、货费40元，每件商品进货价200元，年保管费率20%，若年库存量刚好为每批进货量的一半，求最优订货批量解：设每批进货量x件由于年进货量=每批进货量×进货批次设年总费用为y则y=年进货费年保管费=每批进货费×年进货批数每件年保管费×年库存量即每批进货量100件时，总费用最少。最少总费用为例十二，某产品每件售价P与产量Q的关系为P=200-3Q,它的平均成本 ，求产品Q多大时,利润最多。解：收入=每件售价·产量 最大利润为：L(25)=5000-2500=2500例十三，用一周长为20的等腰ABC绕它的底边ABC旋转一周而生成一旋转体，问AB为多少时，该旋转

21、体体积最大。 解：设底边长AB=2x，则腰长BC=10-x，它的高为 曲线的凹凸性与拐点定义：（1）当x在区间 上取值时，曲线上任意两点连线都在曲线上方，就说在区间上曲线凹的，并且说区间是区间的凹区间；（图形见下图）（2）当x在区间上取值时，区间上任意两点连线都在曲线下方，就说在区上曲线是凸的，并且说区间是曲线的凸区间。（图形见下图）例如 曲线的图形是开口向上的抛物线；曲线的图形是开口向下的抛物线（见下图）可见抛物线的图形在上是凹的；抛物线的图形在上是凸的对于抛物线，它的二阶导数；对于抛物线，它的二阶导数这个结果具有一般性，下面我们不加证明的介绍下面的曲线的凹凸性的判别定理。典型例题例一，验证

22、曲线在它的定义域上的图形是凸的。例二，验证曲线，在上是凹的证： 例三，求曲线的凹向区间和拐点名词：连续曲线的凹凸分界点叫拐点解： （1）当；（2）当 ； （3） 例四，设点M(1,3)是 若拐点是可导点，则在拐点处应有 曲线的渐近线定义：如果曲线上的点P趋向于无穷远时，P与直线l的距离趋向于零。就说直线l是曲线的渐近线。下面我们给出两种比较简单的渐近线的求法它们的图形见下图：（1）（2）典型例题：求下列曲线的水平渐近线和垂直渐近线。 解：（i）（ii） （3）解： （i） （ii） 解：（i）（ii） 三、同步练习题（1）判断下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的三个条件，若满足，求出相应的中

23、值c（2）设 （3）判断函数在给定的闭区间0，2上是否满足拉格朗日中值定理的两个条件，如果满足，求出中值c（4）证明： （5）用洛必达法则求下列极限 （7）极限是否可用洛必达法则计算？为什么？如不能，则应如何求它的值（8）极限是否可用洛必达法则计算？为什么？如不能，则应如何求它的值（9）求下列函数的增减区间以与极值 （10）的极小值为y(1)=-1，且点（0,1）是它的拐点，求a,b,c（11）求下列函数的区间上的最大值和最小值 （12）证明不等式 （14）求曲线的凹向区间，拐点（15）用截面的直径为d的圆形木材加工成截面为矩形的梁，如果它的宽为b，高为h,则梁的强度W=kbh2(k是常数)，

24、问b和h分别为何值时？梁的强度W最大（16）对某零件的长度测定n次，其值测得的结果分别为x ,x2 ，xn用x表示该零件的长度，令 问x为何值时？可使 最小（17）在一块长为8寸，宽为5寸的矩形铁杖的四个角上分别剪去一样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体容器，问剪去的小正方形边长为多少寸时可使加工成的长方体容器的容积最大。（18）某产品的固定成本为60000元，每生产一件产品需增加20元成本，设产销平衡，该产品的单位售价为：其中Q表示产量问产量Q为多少时？该产品利润最多，并求最大利润（19）某商店每周购进一批商品，进价为6元/件，若售量Q与每件售价P的尺度为p=a-bQ,且每件售价为10元

25、时可售出120 件，每件售价降低0.5元时，售量增加20件，向价格p定为多少时？每周利润最多，求最大利润（20）假设在航行中的燃料费与速度的立方成正比，已知=10公里/小时的燃料费为6元/小时，其他费用为96元/小时问为何值时？该船航行每公里的费用总和最小（21）求下列曲线的水平渐近线和垂直渐近线： 第 四 章微分中值定理和导数的应用打印本页（三）同步练习题（1），在x=1处不可导，在（0，2）不处处可导。在0，6上有意义，在0，6上连续，且，在（0,6）可导，f（0）=f（6）=0，在0,6上满足罗尔定理三个条件，中值c=4，在x=-1不可导， f（x）在（-2，0）不满足罗尔定理的三个条件

26、，所以不处处可导。（2）f（x）在0,1上连续，在（0,1）可导，且f（0）=f（1）=0,根据罗尔定理，在（0，1）所以至少存在一点0c1，使，二至少存在一点0c1，使x=c是方程的根。同理可得方程至少有一根。由于是一元二次方程，只有二个根，故方程在（0,1）和（1,2）中各恰有一根。（3），f（x）在（0，2）在连续，在（0,2）可导，故f（x）在0,2上满足拉格朗日定理的条件，故在（0,2）至少存在0c2。使：（5）用洛必达法则求下列极限（6）所以当x趋于0时，原式就等于e0=1 （7）极限是否可用洛必达法则计算？为什么？如不能，则应如何求它的值？，此极限不存在。不能用洛必达法则计算正确

27、的解法是：（8），此极限不存在， 不能用洛必达法则计算正确的解法是：（9）求下列函数的增减区间以与极值列表得：列表得：列表得：列表得：列表得：列表得：（10）的极小值为y（1）= 1，且点（0,1）是它的拐点，求a,b,c解：极小值为y（1）=-1得，-1=a+b+c在x=1处取极值，得0=3a+b点（0，1）是拐点，（0，1）在曲线上。得1=ca=1，b=-3，c=1（ 12）证明不等式f（x）=x-arctanx，在 0，+上的最小值为f（0）=0x0 时f（x）0，即x0时x-arctanx0在 （0 +）上，在 0 +上f（x）的最小值为f（0）=0 x0 时f（x）0 ；即 x0 时

28、， f（x）在 0 +上的最小值为f（0）=0 x0 时f（x） 0即 x0 时xsinx（13） 若在（a,b）在（a,b）的增减性。 0，（axb） 在（a ,b）上F（x）增加。（14）求曲线的凹凸区间与拐点。列表得凸区间为（-，2）；凹区间为（2，+）（15）用截面的直径为d的圆形木材加工成截面为矩形的梁，如果它的宽为b，高为h,则梁的强度W=kbh2 （k是常数），问b和h分别为何值时？梁的强度W最大。因为只有一个驻点， 时，强度w最大。（16） 对某零件的长度测定n次，其值测得的结果分别为x1,x2，xn用x表示该零件的长度，令问x为何值时？可使最小?唯一驻点是极小值点 此极小点是

29、最小值点。（17）在一块长为8寸，宽为5寸的矩形铁杖的四个角上分别剪去一样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体容器，问剪去的小正方形边长为多少寸时可使加工成的长方体容器的容积最大。设剪去小正方形边长为x，容器体积为y，则y=x（5-2x）（8-2x）（x5/2） 驻点为x=1, 唯一驻点是极大点， 也是最大值点，即x=1时容器体积最大，最大体积为y（1）=18寸3（三）同步练习题（1），在x=1处不可导，在（0，2）不处处可导。在0，6上有意义，在0，6上连续，且，在（0,6）可导，f（0）=f（6）=0，在0,6上满足罗尔定理三个条件，中值c=4，在x=-1不可导， f（x）在（-2，0）

30、不满足罗尔定理的三个条件，所以不处处可导。（2）f（x）在0,1上连续，在（0,1）可导，且f（0）=f（1）=0,根据罗尔定理，在（0，1）所以至少存在一点0c1，使，二至少存在一点0c1，使x=c是方程的根。同理可得方程至少有一根。由于是一元二次方程，只有二个根，故方程在（0,1）和（1,2）中各恰有一根。（3），f（x）在（0，2）在连续，在（0,2）可导，故f（x）在0,2上满足拉格朗日定理的条件，故在（0,2）至少存在0c2。使：（5）用洛必达法则求下列极限（6）所以当x趋于0时，原式就等于e0=1 （7）极限是否可用洛必达法则计算？为什么？如不能，则应如何求它的值？，此极限不存在。

31、不能用洛必达法则计算正确的解法是：（8），此极限不存在， 不能用洛必达法则计算正确的解法是：（9）求下列函数的增减区间以与极值列表得：列表得：列表得：列表得：列表得：列表得：（10）的极小值为y（1）= 1，且点（0,1）是它的拐点，求a,b,c解：极小值为y（1）=-1得，-1=a+b+c在x=1处取极值，得0=3a+b点（0，1）是拐点，（0，1）在曲线上。得1=ca=1，b=-3，c=1（ 12）证明不等式f（x）=x-arctanx，在 0，+上的最小值为f（0）=0x0 时f（x）0，即x0时x-arctanx0在 （0 +）上，在 0 +上f（x）的最小值为f（0）=0 x0 时f

32、（x）0 ；即 x0 时， f（x）在 0 +上的最小值为f（0）=0 x0 时f（x） 0即 x0 时xsinx（13） 若在（a,b）在（a,b）的增减性。 0，（axb） 在（a ,b）上F（x）增加。（14）求曲线的凹凸区间与拐点。列表得凸区间为（-，2）；凹区间为（2，+）（15）用截面的直径为d的圆形木材加工成截面为矩形的梁，如果它的宽为b，高为h,则梁的强度W=kbh2 （k是常数），问b和h分别为何值时？梁的强度W最大。因为只有一个驻点， 时，强度w最大。（16） 对某零件的长度测定n次，其值测得的结果分别为x1,x2，xn用x表示该零件的长度，令问x为何值时？可使最小?唯一驻点是极小值点 此极小点是最小值点。（17）在一块长为8寸，宽为5寸的矩形铁杖的四个角上分别剪去一样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体容器，问剪去的小正方形边长为多少寸时可使加工成的长方体容器的容积最大。设剪去小正方形边长为x，容器体积为y，则y=x（5-2x）（8-2x）（x5/2） 驻点为x=1, 唯一驻点是极大点, 也是最大值点，即x=1时容器体积最大，最大体积为