2018中考二次函数压轴题汇编

1、2018 年中考二次函数压轴题汇编2如图 1,已知抛物线 y=-x2+bx+c 与 x 轴交于 A (- 1, 0), B (3, 0)两点， 与 y 轴交于 C 点，点 P 是抛物线上在第一象限内的一个动点， 且点 P 的横坐标为 t.(1) 求抛物线的表达式；(2) 设抛物线的对称轴为 I, I 与 x 轴的交点为 D.在直线 I 上是否存在点 M , 使得四边形 CDPM 是平行四边形若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明 理由.(3) 如图 2,连接 BC, PB, PC,设厶 PBC 的面积为 S.1求 S 关于 t 的函数表达式；2求 P 点到直线 BC 的距离的最大值，并求

2、出此时点 P 的坐标.3.如图，抛物线 y=a (x- 1) (x-3) (a0)与 x 轴交于 A、B 两点，抛物线上 另有一点 C 在 x 轴下方，且使 OCQAOBC.(1) 求线段 OC 的长度；(2) 设直线 BC 与 y 轴交于点 M，点 C 是 BM 的中点时，求直线 BM 和抛物线的 解析式；(3)在(2)的条件下， 直线BC下方抛物线上是否存在一点 P,使得四边形ABPC 面积最大若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.4.如图， 抛物线 y=a*+bx (av0)过点 E (10, 0),矩形 ABCD 的边 AB 在线段 OE 上(点A 在点 B 的左边),点

3、 C, D 在抛物线上.设 A( t, 0),当 t=2 时，AD=4.(1) 求抛物线的函数表达式.(2) 当 t 为何值时，矩形 ABCD 的周长有最大值最大值是多少(3) 保持 t=2 时的矩形 ABCD 不动，向右平移抛物线.当平移后的抛物线与矩 形的边有两个交点 G, H,且直线 GH 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离.5.如图，点 P 为抛物线 yp 上- 动点.(1) 若抛物线 y 冷 x2是由抛物线 yd (x+2)2- 1 通过图象平移得到的，请写出 平移的过程；(2) 若直线 I 经过 y 轴上一点 N,且平行于 x 轴， 点 N 的坐标为(0,- 1),过 点 P 作

4、 PM丄 I 于 M.1问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点 F,使得 PM=PF 恒成立若存在， 求出点 F 的坐标：若不存在，请说明理由.2问题解决：如图二，若点 Q 的坐标为(1, 5),求 QP+PF 勺最小值.44O/*0ZLOZI)IN(E|-)A/16.已知直线 y=x+3 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点,抛物线 y=f+bx+c 经过 A、 B两点，点 M 在线段 0A 上，从 0 点出发，向点 A 以每秒 1 个单位的速度匀速 运动；同时点 N 在线段 AB 上，从点 A 出发，向点 B 以每秒个单位的速度匀速运 动，连接 MN，设运动时间为 t 秒(1)

5、求抛物线解析式；(2) 当 t 为何值时， AMN 为直角三角形；(3) 过 N 作 NH/ y 轴交抛物线于 H,连接 MH，是否存在点 H 使 MH/ AB，若(1) 求抛物线解析式；(2) 连接 0A,过点 A 作 AC 丄 0A 交抛物线于 C,连接 0C,求厶 AOC 的面积；(3) 点 M 是 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 0M，过点 M 作 MN 丄 0M 交 x 轴 于点N 问：是否存在点 M，使以点 O, M , N 为顶点的三角形与(2)中的A0C 相似，若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由.8.如图，已知二次函数 y=a/+1 (a0, a 为实数)的图象过点

6、 A (- 2,2), 一 次函数 y=kx+b (心 0, k, b 为实数)的图象 I 经过点 B (0, 2).(1) 求 a 值并写出二次函数表达式；(2) 求 b 值；(3) 设直线 I 与二次函数图象交于 M , N 两点，过 M 作 MC 垂直 x 轴于点 C, 试证明：MB=MC;(4) 在(3)的条件下，请判断以线段 MN 为直径的圆与 x 轴的位置关系，并说 明理由.9.如图，已知抛物线 y=aX2x+4 的对称轴是直线 x=3,且与 x 轴相交于 A, B 两点(B点在 A 点右侧)与 y 轴交于 C 点.(1) 求抛物线的解折式和 A、B 两点的坐标；(2)若点 P 是

7、抛物线上 B、C 两点之间的一个动点(不与 B、C 重合)，则是否 存在一点卩，使厶 PBC 的面积最大.若存在，请求出厶 PBC 的最大面积；若不存 在，试说明理由；(3)若 M 是抛物线上任意一点，过点 M 作 y 轴的平行线，交直线 BC 于点 N, 当MN=3 时，求 M 点的坐标.圍1S210已知：如图，抛物线 y=af+bx+c 与坐标轴分别交于点 A (0, 6), B (6, 0),C (- 2, 0),点 P 是线段 AB 上方抛物线上的一个动点.(1) 求抛物线的解析式；(2) 当点 P 运动到什么位置时， PAB 的面积有最大值(3) 过点 P 作 x 轴的垂线，交线段

8、AB 于点 D,再过点 P 做 PE/ x 轴交抛物线于 点 E,连结 DE,请问是否存在点 P 使厶 PDE 为等腰直角三角形若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由.11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线色乂-各x-4 与 x 轴交于 A, B 两点(点 A 在点 B 左侧)，与 y 轴交于点 C.(1) 求点 A, B, C 的坐标；(2) 点 P 从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 2 个单位长度的速度向 B 点运动，同时，点 Q 从 B 点出发，在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动， 当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.设运动时间为t 秒，求运

9、动时间 t 为多少秒时， PBQ 的面积 S 最大，并求出其最大面积；(3) 在(2)的条件下，当 PBQ 面积最大时，在 BC 下方的抛物线上是否存在 点M，使 BMC 的面积是厶 PBQ 面积的倍若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由.60如图，抛物线 y=x- 4 与 x 轴交于 A, B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y33轴交于点 C,连接 AC, BC点 P 是第四象限内抛物线上的一个动点，点 P 的横 坐标为m,过点 P 作 PM 丄 x 轴，垂足为点M ,PM 交 BC 于点 Q,过点 P 作 PE / AC 交 x 轴于点 E,交 BC 于点 F.(1)求 A,

10、B, C 三点的坐标；(2)试探究在点 P 运动的过程中，是否存在这样的点 Q,使得以 A, C, Q 为顶 点的三角形是等腰三角形.若存在，请直接写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)请用含 m 的代数式表示线段 QF 的长，并求出 m 为何值时 QF 有最大值.(1)若点(-,0)也在该抛物线上，求 a, b 满足的关系式;(2)若该抛物线上任意不同两点 M (xi, yi) , N (x?, y2)都满足：当 xi 0;当 0 xix?时，(xi- x?) (yi- y2)?+bx 与 x 轴分别交于原点 0 和点 F( 10，0)，与对称 轴 I 交于点 E(5，5).矩形

11、 ABCD 的边 AB 在 x 轴正半轴上，且 AB=1,边 AD， BC 与抛物线分别交于点 M，N.当矩形 ABCD 沿 x 轴正方向平移，点 M , N 位于 对称轴 I 的同侧时，连接 MN，此时，四边形 ABNM 的面积记为 S;点 M , N 位 于对称轴 I 的两侧时，连接EM，EN,此时五边形 ABNEM 的面积记为 S将点 A 与点 0 重合的位置作为矩形 ABCD平移的起点，设矩形 ABCD 平移的长度为 t (0 t 5).(1) 求出这条抛物线的表达式；(2) 当 t=0 时，求 SOBN的值；(3)当矩形 ABCD 沿着 x 轴的正方向平移时，求 S 关于 t (Ov

12、t?+bx+c 过点 A (0, 2),且抛物线上任意不同两点M(xi, yi), N(X2, y2)都满足：当 xivX2V0 时，(xi- X2)(yi- y2) 0；当 0vxivx2时，(xi- X2)(yi-y2)v0 .以原点 O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线的另 两个交点为 B, C,且 B 在 C的左侧， ABC 有一个内角为 60(1) 求抛物线的解析式；(2) 若 MN 与直线 y=- 2x 平行，且M ,N 位于直线 BC 的两侧，yiy2,解决以 下问题：1求证：BC 平分/ MBN；2求 MBC 外心的纵坐标的取值范围.24.如图，已知二次函数的图象过点 O (0

13、, 0) . A (8, 4),与 x 轴交于另一点 B,且对称轴是直线 x=3.(1) 求该二次函数的解析式；(2) 若 M 是 OB 上的一点，作 MN / AB 交 OA 于”，当厶 ANM 面积最大时，求 M的坐标；(3) P 是 x 轴上的点， 过 P 作 PQ 丄 x 轴与抛物线交于 Q过 A 作 AC 丄 x 轴于 C, 当以 O, P, Q 为顶点的三角形与以 O, A, C 为顶点的三角形相似时，求 P 点的25. 如图，抛物线 y=aW+bx+c 与两坐标轴相交于点 A (- 1, 0)、B (3, 0)、C(0, 3), D 是抛物线的顶点，E 是线段 AB 的中点.(1

14、) 求抛物线的解析式，并写出 D 点的坐标；(2) F (x, y)是抛物线上的动点：1当 x 1, y0 时，求 BDF 的面积的最大值；2当/ AEF=/ DBE 时，求点 F 的坐标.26. 如图 1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线 y=a*+bx+3 交 x 轴于B、C 两点(点 B 在左，点 C 在右),交 y 轴于点 A,且 OA=OC B (- 1 , 0).(1) 求此抛物线的解析式；(2) 如图 2，点 D 为抛物线的顶点，连接 CD,点 P 是抛物线上一动点，且在 C、 D两点之间运动，过点 P 作 PE/ y 轴交线段 CD 于点 E,设点 P 的横坐标为 t

15、，线 段 PE长为 d,写出 d 与 t 的关系式(不要求写出自变量 t 的取值范围)；(3) 如图 3,在(2)的条件下，连接 BD，在 BD 上有一动点 Q,且 DQ=CE 连 接 EQ,当/ BQE+ZDEQ=90 时，求此时点 P 的坐标.27. 已知抛物线 F: y=x2 3+bx+c 的图象经过坐标原点 O,且与 x 轴另一交点为(-，0).yjs2如图 1,直线 I: y=x+m (m0)与抛物线 F 相交于点 A (xi, yi)和点 B (x2, y2)(点A 在第二象限)，求 y2- yi的值(用含 m 的式子表示)；3在(2)中，若 m=，设点 A 是点 A 关于原点 O

16、 的对称点，如图 2 .1判断 AAB勺形状，并说明理由；2平面内是否存在点 P,使得以点 A、B、A、P 为顶点的四边形是菱形若存在， 求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.28. 已知：如图，一次函数 y=kx- 1 的图象经过点 A (3, m) (m 0),与 y 轴 交于点B点 C 在线段 AB 上,且 BC=2AC 过点 C 作 x 轴的垂线，垂足为点 D.若AC=CD- V32Xr(1)求抛物线 F 的解析式；(1) 求这个一次函数的表达式；(2) 已知一开口向下、以直线 CD 为对称轴的抛物线经过点 A,它的顶点为 P,若过点 P 且垂直于 AP 的直线与 x 轴的交点为

17、Q (-, 0),求这条抛物线的函数29如图，已知抛物线y=axr+bx(a0)过点 A (，- 3)和点 B (3, 0).过点A 作直线 AC/ x 轴，交 y 轴于点 C.(1) 求抛物线的解析式；(2) 在抛物线上取一点 P,过点 P 作直线 AC 的垂线，垂足为 D连接 OA,使得以 A, D, P 为顶点的三角形与 AOC 相似，求出对应点 P 的坐标；(3)抛物线上是否存在点 Q,使得SAOC=SAOQ若存在，求出点 Q 的坐标；若3不存在，请说明理由.-0B-2/r_ A130. 如图 1，抛物线 Ci: y=af- 2ax+c (av0)与 x 轴交于 A、B 两点，与 y

18、轴交 于点 C.已知点 A 的坐标为(-1, 0),点 O 为坐标原点，OC=3OA 抛物线 Ci的顶点为 G.(1) 求出抛物线 G 的解析式，并写出点 G 的坐标；(2) 如图 2,将抛物线 Ci向下平移 k (k0)个单位，得到抛物线 C2,设 C2与 x 轴的交点为 A、B,顶点为 G,当厶AB是等边三角形时，求 k 的值：(3)在(2)的条件下，如图 3,设点M为 x 轴正半轴上一动点，过点M作 x 轴的垂线分别交抛物线 Ci、C2于 P、Q 两点，试探究在直线 y=- 1 上是否存在点 N,使得以 P、Q、N 为顶点的三角形与 AOQ 全等，若存在，直接写出点M，N 的坐标：若不存

19、在，请说明理由.31. 在平面直角坐标系中，二次函数 y=aWx+c 的图象经过点 C (0, 2)和点 D(4,- 2).点 E 是直线 y=-2X+2与二次函数图象在第一象限内的交点.3(1)求二次函数的解析式及点 E 的坐标.(2)如图，若点 M 是二次函数图象上的点，且在直线 CE 的上方，连接 MC,OE, ME.求四边形 COEM 面积的最大值及此时点 M 的坐标.(3)如图，经过 A、B、C 三点的圆交 y 轴于点 F,求点 F 的坐标.*%7、i图32. 如图，已知顶点为 C (0,- 3)的抛物线 y=af+b (a0)与 x 轴交于 A, B 两点，直线 y=x+m 过顶点

20、 C 和点 B.(1) 求 m 的值；(2) 求函数 y=af+b (a0)的解析式；(3) 抛物线上是否存在点 M，使得/ MCB=1若存在，求出点 M 的坐标；若不 存在，请说明理由.33. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=af+2x+c 与 x 轴交于 A (- 1 , 0), B(3, 0)两点，与 y 轴交于点 C,点 D 是该抛物线的顶点.(1) 求抛物线的解析式和直线 AC 的解析式；(2) 请在 y 轴上找一点 M，使 BDM 的周长最小，求出点 M 的坐标；(3)试探究：在抛物线上是否存在点 P,使以点 A，P，C 为顶点，AC 为直角边 的三角形是直角三角形若存在，请

21、求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说34. 已知抛物线 y=a (x- 1)2过点(3，1)，D 为抛物线的顶点.(1) 求抛物线的解析式；(2) 若点 B、C 均在抛物线上，其中点 B (0,)，且/ BDC=90，求点 C 的坐4标；(3) 如图，直线 y=kx+4- k 与抛物线交于 P、Q 两点.1求证：/ PDQ=90 ；2求 PDQ 面积的最小值.交于点 C,其顶点为 D将抛物线位于直线 I: y=t (tv)上方的部分沿直线 I 向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“ M 形的新图象.(1)点 A，B，D 的坐标分别为(2)如图，抛物线翻折后，点 D 落在点

22、E 处当点 E 在厶 ABC 内(含边界)时，求 t 的取值范围;(3)如图，当 t=0 时，若 Q 是“M 形新图象上一动点，是否存在以 CQ 为直径的圆与 x 轴相切于点 P 若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.36. 如图，抛物线 y=ax2+4x+c (a 0)经过点 A (- 1, 0)，点 E (4，5)，与 y 轴交于点 B,连接 AB.(1) 求该抛物线的解析式；(2) 将厶 ABO 绕点 O 旋转，点 B 的对应点为点 F.1当点 F 落在直线 AE 上时，求点 F 的坐标和厶 ABF 的面积；A，B (点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴2当点 F 到直线

23、AE 的距离为时，过点 F 作直线 AE 的平行线与抛物线相交，请直 接写出交点的坐标.37. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y(x-a) (x-3) (Ovav3)的图 象与 x 轴交于点 A、B (点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 D,过其顶点 C 作直 线 CP 丄 x 轴，垂足为点 P,连接 AD BC.(1) 求点 A、B D 的坐标；(2) 若厶 AOD 与厶 BPC 相似，求 a 的值；(3)点 D、0、C、B 能否在同一个圆上若能，求出 a 的值；若不能，请说明理38. 如图，抛物线 y=ax2+bx+c (a0)与 x 轴交于原点及点 A，且经过点 B (4,

24、 8)，对称轴为直线 x=- 2.(1) 求抛物线的解析式；(2) 设直线 y=kx+4 与抛物线两交点的横坐标分别为 xi,x2(xivx2),当 七x 12时，求 k 的值；(3) 连接 0B,点 P 为 x 轴下方抛物线上一动点，过点 P 作 0B 的平行线交直线 AB 于点 Q,当SAPOQ:SABOCFI: 2 时，求出点 P 的坐标.(坐标平面内两点 M( X1,y1),N( x2,2)之间的距离 MN=.)ACB=90, 0C=20B tan/ ABC=2 点 B 的坐标为(1, 0).抛物线 y=- x2+bx+c 经过 A、B 两点.(1) 求抛物线的解析式；(2)点 P 是

25、直线 AB 上方抛物线上的一点，过点 P 作 PD 垂直 x 轴于点 D,交线 段 AB 于点 E,使 PE 丄 DE.2求点 P 的坐标；在直线 PD 上是否存在点 M ,使厶 ABM 为直角三角形若存在，求出符合条件的40.如图 1,经过原点 O 的抛物线 y=af+bx (a、b 为常数，a0)与 x 轴相交于 另一点 A(3, 0).直线 I: y=x 在第一象限内和此抛物线相交于点 B (5, t),与 抛物线的对称轴相交于点 C.(1) 求抛物线的解析式；(2) 在 x 轴上找一点 P,使以点 P、0、C 为顶点的三角形与以点 A、0、B 为顶 点的三角形相似，求满足条件的点 P

26、的坐标；(3)直线 l 沿着 x 轴向右平移得到直线 I ； I 与线段0A相交于点 M，与 x 轴下方的抛物线相交于点 N,过点 N 作 NE 丄 x 轴于点 E.把AMEN 沿直线 I 折叠，当 点 E恰好落在抛物线上时(图 2),求直线 I 的解析式；(4)在(3)问的条件下(图 3),直线 I 与 y 轴相交于点心把厶 M0K 绕点 0 顺时针旋转 90得到M0K 点 F 为直线 I 上的动点.当厶 MFK 为等腰三角形时， 求满足条件的点 F 的坐标.2018年07月10日139*3005的初中数学组卷参考答案与试题解析一选择题(共 1 小题)1 如图，点 A, B 在双曲线 y(x

27、0)上，点 C 在双曲线 y-(x0) 上，若AC/ y 轴，BC/ x 轴，且 AC=BC 贝 U AB 等于()O|YA. B.2 C.4 D.3【解答】解：点 C 在双曲线 y 亠上, AC/ y 轴，BC/ x 轴,x设 C （a,右），则 B （3a,右）,A （a,号）， AC=BC解得 a=1,(负值已舍去) C( 1,1), B (3, 1), A (1, 3), AC=BC=2 RtAABC 中，AB=2,故选：B.二.解答题(共 39 小题)2.如图 1,已知抛物线 y=-x3 4+bx+c 与 x 轴交于 A (- 1, 0), B (3, 0)两点， 与 y 轴3求抛物

28、线的表达式；4设抛物线的对称轴为 I, I 与 x 轴的交点为 D.在直线 I 上是否存在点 M ,交于 C 点，点 P 是抛物线上在第一象限内的一个动点， 且点 P 的横坐标为使得四边形 CDPM 是平行四边形若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明 理由.（3）如图 2,连接 BC, PB, PC,设厶 PBC 的面积为 S.1求 S 关于 t 的函数表达式；2求 P 点到直线 BC 的距离的最大值，并求出此时点 P 的坐标.B (3, 0)代入 y= -W+bx+c,抛物线的表达式为 y= -X2+2X+3.（2）在图 1 中，连接 PC,交抛物线对称轴 I 于点 E,抛物线 y=-

29、x2+bx+c 与 x 轴交于 A （- 1, 0）, B （3, 0）两点, 抛物线的对称轴为直线 x=1.当 t=2 时，点 C、P 关于直线 I 对称，此时存在点 M，使得四边形 CDPM 是平行 四边形.抛物线的表达式为 y= -X2+2X+3,点 C 的坐标为（0,3），点 P 的坐标为（2 , 3）,点 M 的坐标为（1, 6）;当 t 工 2 时，不存在，理由如下：若四边形 CDPM 是平行四边形,贝 U CE=PE点 C 的横坐标为 0,点 E 的横坐标为 0,点 P 的横坐标 t=1 X 2 - 0=2.又 t 工 2,f-l-b+c=0l-9f3b+c=0，解得：,【解解：

30、（1）将 A （- 1, 不存在.（3） 在图 2 中， 过点 P 作 PF/ y 轴， 交 BC 于点 F. 设直线 BC 的解析式为 y=mx+n （m 工 0）,将 B （3, 0）、C （0, 3）代入 y=mx+n,3iM-n-iOn-3直线 BC 的解析式为 y=- x+3.点 P 的坐标为（t，- t2+2t+3）,，解得:nP-1n=3点 F 的坐标为（t, - t+3）, PF=- t2+2t+3 -（ -t+3） =- t2+3t, S=-PFOB=-2-0)与 x 轴交于 A、B 两点，抛物线上 另有一点C 在 x 轴下方，且使 OCQAOBC.(1) 求线段 OC 的长

31、度；(2) 设直线 BC 与 y 轴交于点M，点 C 是 BM 的中点时，求直线 BM 和抛物线的 解析式；(3)在(2)的条件下，直线 BC 下方抛物线上是否存在一点 P，使得四边形 ABPC【解答】解：(1)由题可知当 y=0 时，a (x- 1) (x- 3) =0, 解得：*=1，x?=3，即 A (1，0)，B (3，0)， OA=1，OB=3/OCAAOBC, OC: OB=OA OC, 0G=0A0B=3则 0C=(2)VC 是 BM 的中点，即 OC 为斜边 BM 的中线, OC=BC点 C 的横坐标为丄，又 0C=,点 C 在 x 轴下方,设直线 BM 的解析式为 y=kx+

32、b,把点 B (3, 0), C (,-)代入得:解得：b=-, k=,y=x-,又点 c (：,-)在抛物线上，代入抛物线解析式，解得：a=,抛物线解析式为 y= - x+2；(3)点 P 存在，设点 P 坐标为(x, x2- x+2),过点 P 作 PQ 丄 x 轴交直线 BM 于点 Q,则 Q (x, x-), PQ=x ( x2- x+2) = - x2+3x- 3,当厶 BCP 面积最大时，四边形 ABPC 的面积最大,当 X=-HBCP有最大值，四边形ABPC的面积最大，此时点P的坐标为 -).亏 PQ=- x2+x -,SBCP-PQ(X-)4.如图，抛物线 y=ax2+bx (

33、av0)过点 E (10, 0),矩形 ABCD 的边 AB 在线段 OE上(点 A 在点 B 的左边),点 C, D 在抛物线上.设 A( t, 0),当 t=2 时，AD=4.(1) 求抛物线的函数表达式.(2) 当 t 为何值时，矩形 ABCD 的周长有最大值最大值是多少(3) 保持 t=2 时的矩形 ABCD 不动，向右平移抛物线.当平移后的抛物线与矩 形的边有两个交点 G, H,且直线 GH 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离.%【解答】解：(1)设抛物线解析式为 y=ax (x- 10),当 t=2 时，AD=4,点 D 的坐标为(2, 4),将点 D 坐标代入解析式得-16a=

34、4,解得：a=-十，抛物线的函数表达式为 y= - *xS-x ；(2)由抛物线的对称性得 BE=OA=t AB=10- 2t,当 x=t 时，AD=丄 t2忑 t,42矩形 ABCD 的周长=2 （AB+AD=2 （10 2t） + （-丄 t2+-t）=-丄 t2+t+202=-丄（t 1）2+,-丄v0,2当 t=1 时，矩形 ABCD 的周长有最大值，最大值为;当 t=2 时，点 A、B、C、D 的坐标分别为（2, 0）、（8, 0）、（8, 4）、（2, 4） ,矩形 ABCD 对角线的交点 P 的坐标为（5, 2）,当平移后的抛物线过点 A 时，点 H 的坐标为（4, 4）,此时

35、GH 不能将矩形面积 平分；当平移后的抛物线过点 C 时，点 G 的坐标为（6, 0）,此时 GH 也不能将矩形面 积平分；当 G、 H 中有一点落在线段 AD 或 BC 上时， 直线 GH 不可能将矩形的面积平分，当点 G、H 分别落在线段 AB DC 上时，直线 GH 过点 P,必平分矩形 ABCD 的面 积， AB/ CD,线段 OD 平移后得到的线段 GH,线段 OD 的中点 Q 平移后的对应点是 P,在厶 OBD 中，PQ 是中位线， PQJOB=4,2所以抛物线向右平移的距离是 4 个单位.5.如图，点 P 为抛物线 yJ-x2上一动点.4（1）若抛物线 yjx2是由抛物线 y=-

36、（x+2）2- 1 通过图象平移得到的，请写出44平移的过程；（2）若直线 I 经过 y 轴上一点 N,且平行于 x 轴，点 N 的坐标为（0,- 1）,过点 P 作 PM 丄 I 于 M.1问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点 F,使得 PM=PF 恒成立若存在，求出点 F 的坐标：若不存在，请说明理由.2问题解决：如图二，若点 Q 的坐标为（1, 5）,求 QP+PF 勺最小值.4V4O/0n1AXM1JVH)(匿财I【解答】解：（1）v抛物线（x+2）2- 1 的顶点为（-2,- 1）抛物线 y 十（x+2）2- 1 的图象向上平移 1 个单位，再向右 2 个单位得到抛物 线y=x

37、2的图象.4（2）存在一定点 F,使得 PM=PF 恒成立.如图一，过点 P 作 PB 丄 y 轴于点 B0XZL|(圉一)设点 P 坐标为(a,丄 a2)4PM=PF丄 a2+14/ PB=a.RtAPBF 中BF彳乔牙异二尼 nyrr w吐-i OF=1点 F 坐标为(0, 1)由，PM=PFQP+PF勺最小值为QP+PM 的最小值当 Q、P、M 三点共线时，QP+PM 有最小值，最小值为点 Q 纵坐标加 M 纵坐标 的绝对值. QP+PF 勺最小值为 6.6.已知直线 y=x+3 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点，抛物线 y=f+bx+c 经过 A、B 两点，点 M 在线段 O

38、A 上，从 O 点出发，向点 A 以每秒 1 个单位的速度匀速 运动；同时点 N 在线段 AB 上，从点 A 出发，向点 B 以每秒个单位的速度匀速运 动，连接MN，设运动时间为 t 秒(1) 求抛物线解析式；(2) 当 t 为何值时， AMN 为直角三角形；(3) 过 N 作 NH/ y 轴交抛物线于 H,连接 MH，是否存在点 H 使 MH/ AB，若 存在，求出点 H 的坐标，若不存在，请说明理由.【解答】解：（1）v直线 y=x+3 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点, 点 A 的坐标为（-3, 0），点 B 的坐标为（0,3）.将 A (-3, 0)、B (0, 3)代入 y

39、=W+bx+c,得:9-3b+c=0c-3抛物线解析式为 y=W+4x+3.（2）当运动时间为 t 秒时，点M的坐标为（-t, 0）,点 N 的坐标为（t - 3, t）, AM=3-t, AN=t.AMN 为直角三角形，/ MAN=4 , AMN 为等腰直角三角形（如图 1）.当/ANM=9 时，有 AM=AN, 即卩 3 - t=2t,解得：t=1;当/AMN=9 时，有 t - 3=- t,解得：t二-.综上所述：当 t 为 1 秒或二秒时,AMN 为直角三角形.（3）设 NH 与 x 轴交于点 E ,如图 2 所示.当运动时间为 t 秒时，点 M 的坐标为（-t , 0），点 N 的坐

40、标为（t - 3 , t）, 点 E的坐标为（t - 3 , 0）,点 H 的坐标为（t - 3 , t2- 2t）. MH / AB, / EMH=4 , EMH 为等腰直角三角形， ME=HE 即 |2t - 3|=|t2-2t| ,，解得：,解得：tl= 1 , t2=3 （舍去），t3= , t4=-（舍去）.当上=时，点 E 在点 M 的右边，点 H 在 x 轴下方，此时 MH 丄 AB, t=1.存在点 H 使 MH / AB,点 H 的坐标为（-2,1）.图2八El :JX7.如图，抛物线经过原点 0(0, 0),点 A (1 , 1),点 B 丄 0).(1) 求抛物线解析式；

41、(2) 连接 OA,过点 A 作 AC 丄 OA 交抛物线于 C,连接 OC,求厶 AOC 的面积；(3) 点 M 是 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 OM ,过点 M 作 MN 丄 OM 交 x 轴 于点N.问：是否存在点 M ,使以点 O, M , N 为顶点的三角形与(2)中的 AOC 相似，若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由.把 A (1, 1)代入得 a1 (1-厂)=1,解得 a=抛物线解析式为 y=-x （x-丄）,52即 y=-存2-%；（2）延长 CA 交 y 轴于 D,如图 1,- A （1,1）, 0A 二，/ DOA=45, AOD 为等腰直角三角形， 0A

42、 丄 AC, 0D=0A=2 - D (0, 2),易得直线 AD 的解析式为 y=-x+2,亠X2X5二X2X12=4；（3）存在.如图 2,作 MH 丄 x 轴于 H, AC=I：: -=4, OA=,vZOHM=ZOAC,当二时,OHMsAOAC,即=W2+-x=-4x 得 xi=0 （舍去），X2=,此时 M 点坐标为（，-54）;宀十 当二时,OHMsACAO,即二一V2解方程-2x2+i】X=-丄 X 得 X1=0 （舍去）,X2=-，此时M点坐标为（，-）；y=-x+2 5AO(=SCOD_SAOD解方程组得或2v=-3，则 C (5,- 3),设 M (x,如2(x0),解方程

43、-严 4x 得x1=0（舍去）,x2=-（舍去），解方程-解方程-二x2匚-xX 得 xi=0 （舍去），X2=,此时 M 点的坐标为（，）,554 MN 丄 OM,/ OMN=90 ,/ MON=Z HOM,OMHs ONM,当 M 点的坐标为（，-54）或（，）或（，-）时，以点 O, M , N 为顶点的三角形与（2）中的 AOC 相似.D1送8.如图，已知二次函数 y=a/+1 （a0, a 为实数）的图象过点 A （- 2, 2）, 一 次函数 y=kx+b （心 0, k, b 为实数）的图象 I 经过点 B （0, 2）.（1） 求 a 值并写出二次函数表达式；（2） 求 b 值

44、；（3） 设直线 I 与二次函数图象交于 M , N 两点，过 M 作 MC 垂直 x 轴于点 C, 试证明：MB=MC;（4） 在（3）的条件下，请判断以线段 MN 为直径的圆与 x 轴的位置关系，并说【解答】解：（1）v二次函数 y=af+1 （a0, a 为实数）的图象过点 A （- 2, 2）, 2=4a+1,解得：a=L,4二次函数表达式为 y 二+1.(2)v一次函数 y=kx+b (山 0, k, b 为实数)的图象 I 经过点 B (0, 2), 2=kx0+b, b=2.(3) 证明：过点M作 ME 丄 y 轴于点 E,如图 1 所示. 设点 M 的坐标为(x,丄 x2+1)

45、,则 MC 丄 W+1, ME=|x| , EB=|丁 X+12|=| 丁 x2 1| ,MB=心匸：，唸亠昇+1,=总x p+l,= -x2+1.4 MB=MC.(4) 相切,理由如下：过点 N 作 ND 丄 x 轴于 D,取 MN 的中点为 P,过点 P 作 PF 丄 x 轴于点 F,过点 N 作NH 丄 MC 于点 H ,交 PF 于点 Q ,如图 2 所示.由(3)知 NB=ND, MN=NB+MB=ND+MC点 P 为 MN 的中点,PQ/ MH , PQ 匸 MH.2 ND/ HC, NH / DC,且四个角均为直角,四边形 NDCH 为矩形, QF=ND以 MN 为直径的圆与 x

46、 轴相切.PF=PQ+QF=MH+ND弓(ND+MH+HQ丄 MN .H圉EAY2El,1/C3B0B3A/0【解答】解：(1)V抛物线 y=ax2ix+4 的对称轴是直线 x=3,9.如图，已知抛物线y=aX2+rx+4的对称轴是直线 x=3,且与 x 轴相交于 A, B两点(B 点在 A 点右侧)与 y 轴交于 C 点.(1)求抛物线的解折式和 A、B 两点的坐标;(2)若点 P 是抛物线上 B、C 两点之间的一个动点(不与 B、C 重合)，则是否存在一点卩，使厶 PBC 的面积最大.若存在，请求出厶 PBC 的最大面积；若不存在，试说明理由;(3)若 M 是抛物线上任意一点，过点 M 作

47、 y 轴的平行线，交直线 BC 于点 N，当 MN=3 时，求 M 点的坐标.3_二-空-=3,解得：a=-丄，2a4抛物线的解析式为 y=-丄 x2圧 x+4.42当 y=0 时，-x2-x+4=0,解得：xi= - 2, x2=8,点 A 的坐标为（-2, 0），点 B 的坐标为（8, 0）.（2） 当 x=0 时，y=-丄 x2+ x+4=4,42点 C 的坐标为（0, 4）.设直线 BC 的解析式为 y=kx+b (kM0). 将 B (8, 0)、C (0, 4)代入 y=kx+b,k=4.b=4直线 BC 的解析式为 y=-丄 x+4.2又 MN=3,假设存在，设点 P 的坐标为（

48、x,x2+-x+4）,过点 P 作 PD/ y 轴，交直线 BC于点 D,则点 D 的坐标为（x,-yx+4),如图所示.亠“4八i，二X2+2X)=- x2+8x=-( x- 4)2+16.4- PD 二-丄 x2叶 x+4-(-丄 x+4)二-x2+2x,hitSii SxPBPDOB丄X8(2 2当 x=4 时， PBC 的面积最大，最大面积是 16.T0Vxv8,存在点卩，使厶 PBC 的面积最大，最大面积是 16.（3）设点M的坐标为（m，-m2岭 m+4）,则点 N 的坐标为（m,二m+4), MN=|m2m+4-(-丄 m+4) |=| -寺 m2+2m|8k+b=0b-4，解得

49、: | - m2+2m|=3 .当 Ovmv8 时，有-丁 m2+2m- 3=0,解得：mi=2, m2=6,点 P 的坐标为（2, 6）或（6, 4）;当 mv0 或 m8 时，有-丄 m2+2m+3=0,4解得：m3=4- 2, m4=4+2,点 P 的坐标为（4-2,- 1）或（4+2,- 1）.综上所述：M点的坐标为（4 -2,- 1）、（2, 6）、（6, 4）或（4+2,- 1）.10已知：如图，抛物线 y=af+bx+c 与坐标轴分别交于点 A (0, 6), B (6, 0),C (- 2, 0),点 P 是线段 AB 上方抛物线上的一个动点.(1) 求抛物线的解析式；(2)

50、当点 P 运动到什么位置时， PAB 的面积有最大值(3) 过点 P 作 x 轴的垂线，交线段 AB 于点 D,再过点 P 做 PE/ x 轴交抛物线于 点 E,连结 DE,请问是否存在点 P 使厶 PDE 为等腰直角三角形若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由.A/AJ10110【解答】解：(1)v抛物线过点 B (6, 0)、C (- 2, 0),设抛物线解析式为 y=a (x- 6) (x+2),将点 A (0, 6)代入，得：-12a=6,所以抛物线解析式为 y二-寺（X-6） （x+2）=-丄X2+2X+6;（2）如图 1,过点 P 作 PM 丄 OB 与点 M，交 AB 于

51、点 N,作 AG 丄 PM 于点 G,设直线 AB 解析式为 y=kx+b, 将点 A（0，6）、B（6, 0）代入，得:爲则直线 AB 解析式为 y=- x+6,设 P (t，-当2+2t+6)其中 OvtV6,则 N (t, - t+6),5PABFSLPAIN+SPBN二LpNAG+LpNBMPN (AG+BM)PNOBAx(-亍 t2+3t)x6=-2+9t2=-丄(t - 3)2+,解得:fk=-l寺t2+2t+6+t- 6二-寺t2+3t,PN=P+2t+6-( - t+6)=-当 t=3 时， PAB 的面积有最大值;(3)如图 2,圍2 PH 丄 OB 于 H,/ DHB=Z

52、AOB=90, DH/ AO, OA=OB=6/ BDH=Z BAO=45, PE/ x 轴、PD 丄 x 轴，/ DPE=90,若厶 PDE 为等腰直角三角形，贝 U PD=PE设点 P 的横坐标为 a, PD 二寺 a2+2a+6( a+6) = *a2+3a, PE=2|2-a| ,丄 a2+3a=2|2 - a| ,解得：a=4 或 a=5-,所以 P (4 , 6)或 P (5- , 3 - 5).11. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2-!x-4 与 x 轴交于 A , B 两点(点 A 在点 B 左侧)，与 y 轴交于点 C.(1) 求点 A , B, C 的坐标；(2)

53、点 P 从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 2 个单位长度的速度向 B 点运动， 同时，点 Q 从 B 点出发，在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动， 当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.设运动时间为t 秒，求运动时 间t 为多少秒时， PBQ 的面积 S 最大，并求出其最大面积；(3) 在(2)的条件下，当 PBQ 面积最大时，在 BC 下方的抛物线上是否存在（3）当厶 PBQ 面积最大时,点 M，使 BMC 的面积是厶 PBQ 面积的倍若存在，求点 M 的坐标；若不存在, 请说明理由.点 C 的坐标为(0,- 4);当 y=0 时，有丄-x2- x 4=0

54、,33解得：xi= 2, X2=3,点 A 的坐标为（-2, 0），点 B 的坐标为（3, 0）.（2）设直线 BC 的解析式为 y=kx+b （心 0）,将 B (3, 0)、C (0, 4)代入 y=kx+b,直线 BC 的解析式为 yx- 4.过点 Q 作 QE/ y 轴，交 x 轴于点 E,如图 1 所示,当运动时间为 t 秒时，点 P 的坐标为（2t 2, 0）,点 Q 的坐标为（3 PB=3-( 2t 2) =5 2t, QE=lt,5SPBCPBQEA寺2+生寻(t-鲁)2+|V0,.当 t=时， PBQ 的面积取最大值，最大值为”4=-4,t,二t),，解得:此时点 P 的坐标

55、为（寺，0）,点 Q 的坐标为（号，-1）.-4),MF 县 m-4-(Zm2-Zm-4)=m2+2m,3333.5BMC=MFOB=- m2+3m.2BMC 的面积是厶 PBQ 面积的倍，.-m2+3m 丄x,即卩 m2-3m+2=0,4解得：mi=1, m2=2./ Ovmv3,在 BC 下方的抛物线上存在点 M，使 BMC 的面积是厶 PBQ 面积的倍，点 M 的坐标为（1,- 4）或（2,-空）.3假设存在，设点M 的坐标为（m,F 的坐标为（m,12. 综合与探究x- 4 与 x 轴交于 A, B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y轴交于点 C,连接 AC, BC点 P 是第四

56、象限内抛物线上的一个动点，点 P 的横 坐标为m,过点 P 作 PM 丄 x 轴，垂足为点M ,PM 交 BC 于点 Q,过点 P 作 PE / AC 交 x 轴于点 E,交 BC 于点 F.(1) 求 A, B, C 三点的坐标；(2)试探究在点 P 运动的过程中，是否存在这样的点 Q,使得以 A, C, Q 为顶 点的三角形是等腰三角形.若存在，请直接写出此时点Q 的坐标；若不存在， 请说明理由；(3) 请用含 m 的代数式表示线段 QF 的长，并求出 m 为何值时 QF 有最大值. A (- 3, 0), B (4, 0), 当 x=0, y 丄；一 x-4=- 4, -C( 0,- 4

57、);(2) AC=；. ; =5,易得直线 BC 的解析式为 y=x- 4,设 Q(m,m-4) (0vmv4),当 CQ=CA 时，m2+ (m - 4+4)2=52，解得 mi=, m2=-(舍去)，此时 Q 点坐标 为(，-4);当 AQ=AC 时，(m+3)2+ (m- 4)2=52，解得 mi=l, m2=0 (舍去)，此时 Q 点坐 标为(1,- 3);当 QA=QC 时，(m+3)2+ (m-4)2=52，解得 m=(舍去)，综上所述，满足条件的 Q 点坐标为(，-4)或(1,- 3);如图，抛物线 y=-X-4=0,解得 xi=- 3, X2=4,当 x=0, y=【解答】解：

58、(1)(3)解：过点 F 作 FG 丄 PQ 于点 G,如图，则 FG/ x 轴由 B (4, 0), C (0,- 4)得厶 OBC 为等腰直角三角形/OBCh QFG=45FQG 为等腰直角三角形， FG=QG=FQ PE/ AC, PG/ CO,/FPG2 ACOvZFGP=/AOC=90,FGP-AAOC.13. 已知抛物线 y=aX+bx+c 过点 A (0, 2).(1)若点(-，0)也在该抛物线上，求 a, b 满足的关系式;PG 寻 FG 寻 FQ 二 FQPQ=PG+GQ=FQ+FQ=FQ FQ=PQ 设 P (m，丄 m3 PQ=m- 4 -(m2i3 FQ= ( m234

59、) (0vmv4),则 Q(m,m4),1_3m) =(m 2)2+ 3m 4)=32m23vv0, QF 有最大值.(2)若该抛物线上任意不同两点 M (xi, yi) , N (X2,y)都满足：当 xiVX2V0 时，(xi- X2) (yi- y2) 0;当 0vxivx?时，(xi- X2)(yi- y2)v0以原点 O 为心，OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为 B,。，且厶 ABC 有一个内角为 601求抛物线的解析式;2若点 P 与点 O 关于点 A 对称，且 O, M，N 三点共线，求证：PA 平分/ MPN.【解答】解：(i)v抛物线 y=a+bx+c 过点 A (0，2

60、)，-c=2.又点(-，0)也在该抛物线上，二 a (-)2+b (-) +c=0,-2a_b+2=0(aM0).(2)当 xivX2 0，xi-x2V0，yi-y2V0，当 xv0 时，y 随 x 的增大而增大；同理：当 x 0 时，y 随 x 的增大而减小，抛物线的对称轴为 y 轴，开口向下， b=0vOA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为 B、C, ABC 为等腰三角形，又 ABC 有一个内角为 60 ABC 为等边三角形.设线段 BC 与 y 轴交于点 D,贝 U BD=CD 且/ 0CD=3, 又v0B=0C=0A=2 CD=OCcos30=， OD=OCsin30=i.不妨设点 C