任意角的概念和弧度制

1、任意角的概念和弧度制一、选择题(共11小题,每小题5.0分,共55分) 1.如果时钟上的时针、分针和秒针都是匀速地转动，那么从3时整(300)开始，在1分钟的时间内，3根针中，出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况有()A 1次 B 2次 C 3次 D 4次2.若角，的终边关于y轴对称，则与的关系一定是(其中kZ) ()A B2 C22k D(2k1)3.已知为第二象限的角，则a2所在的象限是 ()A 第一或第二象限 B 第二或第三象限 C 第一或第三象限 D 第二或第四象限4.集合|k4k2，kZ中的角所表示的范围(阴影部分)是()A 答案A B 答案B C 答案C D 答案D5.设扇形的

2、周长为6，面积为2，则扇形的圆心角是(单位：弧度) ()A 1 B 4 C D 1或46.一扇形的周长为16，则当此扇形的面积取最大时其圆心角为()A 1 B 2 C 3 D127.已知扇形的周长是10 cm，面积是4 cm2，则扇形的半径是()A 1 cm B 1 cm或4 cm C 4 cm D 2 cm或4 cm8.一半径为r的圆内切于半径为3r、圆心角为(02)的扇形，则该圆的面积与该扇形的面积之比为()A 34 B 23 C 12 D 139.终边与坐标轴重合的角的集合是()A |k·360°，kZ B |k·180°90°，kZC

3、|k·180°，kZ D |k·90°，kZ10.已知是第一象限角，则角a3的终边不可能落在()A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限11.如果是第三象限的角，则下列结论中错误的是()A 为第二象限角 B 180°为第二象限角 C 180°为第一象限角 D 90°为第四象限角二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分) 12.在2时到3时之间，分针和时针成120°角的时刻是_.13.若角的终边与角85的终边相同，则在0,2上，终边与角a4的终边相同的角是_.14.在直径为10 cm的轮上有一长为

4、6 cm的弦，P为弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5 s后P转过的弧长为_cm.15.圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形(实线所示，正方形的顶点A与点P重合)沿圆周逆时针滚动，则点A第一次回到点P的位置时，点A走过的路径的长度为_.三、解答题(共15小题,每小题12.0分,共180分) 16.射线OA绕点O顺时针旋转100°到OB位置，再逆时针旋转270°到OC位置然后再顺时针方向旋转30°到OD位置，求AOD的大小17.设时钟的时针在2点和3点之间，时针和分针什么时候重合？18.如果钟表的指针都做匀速转动，钟表上分针的周

5、期和角速度各是多少？分针与秒针的角速度之比为多少？19.若角的终边与3角的终边关于直线yx对称，且(2，2)，求角的值.20.已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？21.已知一扇形的圆心角是，所在圆的半径是R.(1)若60°，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c(c>0)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？22.已知是第三象限角，则a3是第几象限角？23.已知是第二象限角，试确定2，a2的终边所在的位置.24.已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合25.已知角的终

6、边在直线3xy0上(1)写出角的集合S；(2)写出S中适合不等式360°720°的元素26.在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360°720°的角27.如图，圆周上点A依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A点1分钟转过(0°180°)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求.28.一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动，若两只蚂蚁均从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动，若红蚂蚁每秒爬过角，黑蚂蚁每秒爬过角(其中0°180°

7、;)，如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求，的值.29.如图，一长为3dm，宽为1 dm的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成角为6，试求点A走过的路程及走过的弧所在的扇形的总面积.(圆心角为正)30.若是第二象限角，试分别确定a3的终边所在位置.答案解析1.【答案】D【解析】从3时整(300)开始，在1分钟的时间内，3根针中，出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况有：当秒针转到大约45°的位置时，以及大约225°的位置时，秒针平分时针与分针当秒针转到大约180°的位置时，时针平分秒针

8、与分针当秒针转到大约270°的位置时，分针平分秒针与时针综上，共4次2.【答案】D【解析】可以取几组特殊角代入检验.3.【答案】D【解析】由2k22k，kZ.得k4a2k2，kZ.k2a2k4，kZ.k2a2k34，kZ.当k为偶数时，令k2m，mZ，则2m2a22m34，mZ.a2为第二象限角.当k为奇数时，令k2m1，mZ，则2m2a22m4，mZ.a2为第四象限角.综上所述，a2为第二或第四象限角.4.【答案】C【解析】当k2m，mZ时，2m42m2，mZ；当k2m1，mZ时，2m542m32，mZ，所以选C.5.【答案】D【解析】设扇形的半径为x，所以弧长为62x，扇形的圆心

9、角为6-2xx，因为扇形的面积为2，所以12(62x)x2，解得x1或x2，所以扇形的圆心角为4或1.6.【答案】B【解析】设圆心角为，半径为r，则l2r16，l162r.S12lrr28r(0r8)，当且仅当r4时，扇形的面积取最大，此时l162r8.圆心角为2.7.【答案】C【解析】设扇形的半径为r，弧长为l，根据题意得，2rl10，12lr4，解由组成的方程组得，r4，l2或r1，l8(舍去).即扇形的半径为4 cm.8.【答案】B【解析】设O与扇形相切于点A，B，则AOr，CO2r，ACO30°，扇形的圆心角为60°3，扇形的面积为12·3·3r

10、·3r32r2，圆的面积为r2，圆的面积与该扇形的面积之比为23.9.【答案】D【解析】终边为x轴的角的集合M|k·180°，kZ，终边为y轴的角的集合P|k·180°90°，kZ，设终边为坐标轴的角的集合为S，则SMP|k·180°，kZ|k·180°90°，kZ|2k·90°，kZ|(2k1)·90°，kZ|n·90°，nZ10.【答案】D【解析】是第一象限角，k·360°k·360°

11、;90°，kZ，k3·360°a3k3·360°30°.当k3m，mZ时，m·360°a3m·360°30°，角a3的终边落在第一象限.当k3m1，mZ时，m·360°120°a3m·360°150°，角a3的终边落在第二象限.当k3m2，mZ时，m·360°240°a3m·360°270°，角a3的终边落在第三象限，故选D.11.【答案】B【解析】若是第三象限角，则

12、360°·k180°360°·k270°；则360°·k90°360°·k180°，360°·k270°180°360°·k360°此时为第四象限角12.【答案】2点32811分或者2点54611分【解析】当分针在时针前面时，设转成120°的时间为x，则(612)x60120，x3601132811.当时针在分针前面时，设转成120°的时间为y，则(612)y60120120，解得y60

13、01154611；所以2时和3时之间时针与分针成120°的时间为2点32811分或者2点54611分.13.【答案】25，910，75，1910【解析】由题意得852k，a425k2(kZ).令k0,1,2,3,得a425,910,75,1910.14.【答案】100【解析】P到圆心O的距离OP52-324(cm)，又P点转过的角的弧度数5×525(rad)，弧长为·OP25×4100(cm).15.【答案】(2+2)2【解析】由图可知：圆O的半径r1，正方形ABCD的边长a1，以正方形的边为弦时所对的圆心角为3，正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示

14、，当点A首次回到点P的位置时，正方形滚动了3圈共12次，设第i次滚动，点A的路程为Ai，则A16×|AB|6，A26×|AC|26，A36×|DA|6，A40，点A所走过的路径的长度为3(A1A2A3A4)2+22.16.【答案】AOB100°，BOC270°，COD30°，所以AODAOBBOCCOD100°270°(30°)140°.【解析】17.【答案】设2点x分时针和分针重合，相对于0点分针成6x度，时针成2+x60·30度，则2+x60·306x，故x101011.

15、【解析】18.【答案】钟表的指针都做匀速转动，钟表上分针转动一周，需要1个小时，1小时后重复出现，即周期为1小时.分针转动一周是2弧度，所花时间是3 600 s.钟表上分针的角速度为1800(rad/s).秒针转动一周是2弧度，所花时间是60 s，钟表上秒针的角速度为30rad/s.故分针与秒针的角速度之比为160.【解析】19.【答案】如图，设3角的终边为OA，OA关于直线yx对称的射线为OB,则以OB为终边的一个角为4-3-4=6，所以以OB为终边的角的集合为|2k+6,kZ.又因为(2，2)，所以22k62，且kZ，所以k1或k0.当k1时，116；当k0时，6.所以角的值为116或6.

16、【解析】20.【答案】设扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，面积为S，则l2r40，l402r.S12lr12×(402r)r20rr2(r10)2100.当半径r10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，此时lr40-2×1010rad2 rad，当扇形的圆心角为2 rad，半径为10 cm时，扇形的面积最大为100 cm2.【解析】21.【答案】(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，60°3，R10，lR103(cm).S弓S扇S12×103×1012×10×10×sin3503+33(cm2).(2)

17、扇形周长c2Rl2RR，C-2RR，S扇12R212·C-2RR·R212(c2R)RR212cRR-c42c216.当且仅当Rc4，即2时，扇形面积最大，且最大面积是c216.【解析】22.【答案】是第三象限角，180°k·360°270°k·360°(kZ)，60°k·120°a390°k·120°(kZ).当k3n(nZ)时，60°n·360°a390°n·360°(nZ)，a3是第一象限的

18、角；当k3n1(nZ)时，180°n·360°a3210°n·360°(nZ)，a3是第三象限的角；当k3n2(nZ)时，300°n·360°a3330°n·360°(nZ)，a3是第四象限的角.a3是第一、三、四象限的角.【解析】23.【答案】因为是第二象限角，所以k·360°90°k·360°180°，kZ.所以2k·360°180°22k·360°360

19、6;，kZ，所以2的终边在第三或第四象限或终边在y轴的非正半轴上.因为k·360°90°k·360°180°，kZ，所以k·180°45°a2k·180°90°，kZ，所以当k2n，nZ时，n·360° 45°a2n·360°90°，即a2的终边在第一象限；当k2n1，nZ时，n·360°225°a2n·360°270°，即a2的终边在第三象限.所以a2的终

20、边在第一或第三象限.【解析】24.【答案】(1)x|k·360°135°xk·360°135°，kZ(2)x|k·360°30°xk·360°60°，kZx|k·360°210°xk·360°240°，kZx|2k·180°30°x2k·180°60°或(2k1)·180°30°x(2k1)·180°60&#

21、176;，kZx|k·180°30°xk·180°60°，kZ【解析】25.【答案】(1)如图，直线3xy0过原点，倾斜角为60°，在0°360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA、OB为终边的角的集合为：S1|60°k·360°，kZ，S2|240°k·360°，kZ，所以，角的集合SS1S2|60°k·360°，kZ|60°180

22、°k·360°，kZ|60°2k·180°，kZ|60°(2k1)·180°，kZ|60°n·180°，nZ(2)由于360°720°，即360°60°n·180°720°，nZ.解得73n113，nZ，所以n2，1,0,1,2,3.所以S中适合不等式360°720°的元素为：60°2×180°300°；60°1×180

23、6;120°；60°0×180°60°；60°1×180°240°；60°2×180°420°；60°3×180°600°.【解析】26.【答案】(1)与角10 030°终边相同的角的一般形式为k·360°10 030°(kZ)，由360°k·360°10 030°0°，得10 390°k·360°10 03

24、0°，解得k28，故所求的最大负角为50°.(2)由0°k·360°10 030°360°，得10 030°k·360°9 670°，解得k27，故所求的最小正角为310°.(3)由360°k·360°10 030°720°，得9 670°k·360°9 310°，解得k26，故所求的角为670°.【解析】27.【答案】A点2分钟转过2，且180°2270°

25、，又14分钟后回到原位，14k·360°(kZ)，k·180°7(kZ)，且90°135°，720°7或900°7.【解析】28.【答案】由题意可知：14，14均为360°的整数倍，故可设14m·360°，mZ,14n·360°，nZ，从而可知m7·180°，n7·180°，m，nZ.又由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，则2，2在第二象限.又0°180°，从而可得0°22360°，因此2，2均为钝角，即90°22180°.于是45°90°，45°90°.45°m7·180°90°，45°n7·180°90°，即74m