勾股定理知识点及典型例题

1、实用标准文案八下第18卓勾股定理勾股定理知识点导航一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a, b,斜边长为c,那么a2+b2= c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方文档勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a, b,角形。c有下面关系：a2+b2 = c：那么这个三角形是直角三2 .勾股数：满足 a2+b2 = c2的三个正整数叫做勾股数(注意：若a, b, c、为勾股数，那么 ka, kb, kc同样也是勾股数组。)* 附：常见勾股数：3,4,5 ; 6,8,10 ; 9,12,15 ; 5,12

2、,133 .判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ,那么这个三角形是直角三角形。(经典直角三角形：勾三、股四、弦五)其他方法：(1)有一个角为90的三角形是直角三角形。(2)有两个角互余的三角形是直角三角形。用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：(1)确定最大边(不妨设为 c);(2)若c2 = a2+b：则4 ABC是以/ C为直角的三角形;若a2+b2c2,则此三角形为锐角三角形(其中c为最大边)4 .注意：(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于(3)在直角三角形中，如果一条直角边等于 斜边的一半，那么这条直角边所

3、对的角 等于30。5.勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两边求第三边。(2)已知直角三角形的一边，求另两边的关系。(3)用于证明线段平方关系的问题。(4)利用勾股定理，作出长为 4n的线段6、2、勾股定理的证明30 ,那么它所对的直角边等于斜边的一半。bC勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法7、错误的描述方法：“当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形勾股定理：(一)结合三角形：1 .已知 abc的三边a、b、c满足(a _b)2+(b c)2 =0 ,则Aabc为 三角形2 .在 AABC 中，若 a2= (b+c) (b- c),则 Aabc是 三角形，且 /

4、90才3 .在 AABC中，AB=13 AC=15,高 AD=12 贝U BC的长为 .，2 2 一 ，. 2 /C .CL4、已知x12+x+y25与z 10z+ 25互为相反数，试判断以x、y、z为三边的三角形的 形状。5 、.已知：在 abc 中，三条边长分别为 a、b、c, a = n2_1, b=2n, c = n2+1 (n1)试说明：/c=90,6 .若 Aabc 的三边 a、b、c 满足条件 a2 +b2+c2+338 = 102+24b + 26c ,试判断 Aabc 的形状。7.已知 JO=6+2b8 +(c10)2 =0,则以 a、b、 c为边的三角形是(二)、实际应用:

5、1.梯子滑动问题：(D 一架长2.5 m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7 m (如图)，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4 m ,那么梯子底端将向左滑动 米第1题图（2）如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离1 米，（填“大于”，“等于，或“小于”）（3）如图，梯子 AB斜靠在墙面上，Ad BC, AC=BC当梯子的顶端 A沿AC方向下滑x米时，梯足B沿CB方向滑动y米，则x与y的大小关系是（）A. X+y B. xy C. x y D.不能确定（4）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹

6、到地面上还多1 m,当他把绳子的下端拉开 5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为 米2 .直角边与斜边和斜边上的高的关系:直角三角形两直角边长为a, b,斜边上的高为h,则下列式子总能成立的是（-11a2b2,2222111a. ab =b b. a b =2h c. 一 一 = _ d.a b h变：如图，在 RtABC中，/ ACB=90 ,求证：（1）（2）（3）1 11十= 222a b h a b ： c h以 a , b, h, c h为三边的三角形是直角三角形2 11、，试一试：（1）只帝证明h （2十2） =1,从左边推到到右边 a b（a +b 2 （c+ h 2

7、（3）（a + h 2 + h2 = （c + h f ,注意面积关系ab = ch的应用3 .爬行距离最短问题：1 .如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为10cm,得到C1处有一只昆虫甲，在盒子的内部有一只昆虫乙（盒壁的忽略不计）（1）假设昆虫甲在顶点C1处静止不动，如图a,在盒子的内部我们先取棱 BB1的中点E,再连结AE、EC1,昆虫乙如果沿途径 At Et C1爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲，仔细体会其中的道理,并在图b中画一条路径，使昆虫乙从顶点a沿这条路爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。（2）如图b,假设昆虫甲从点 C1以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿 c1c向下爬

8、行，同时昆虫乙从顶点 a以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉到昆虫甲？试一试：对于（2）,当昆虫甲从顶点沿才受C1c向顶点C爬行的同时，昆虫乙可以沿不同的路径爬行,利用勾股定理建立时间方程，通过比较得出昆虫乙捕捉到昆虫甲的最短时间2 .如图，一块砖宽 AN=5cm,长ND=10cm, CD上的点F距地面的高 FD=8cm,地面上 A处的一只蚂蚁到 B处 吃食，要爬行的最短路线是cm3 .如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm, a和b是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到 B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到 B点的最短路

9、程是 分 米？4 .如图，一只蚂蚁沿边长为 a的正方体表面从点 A爬到点B,则它走过的路程最短为（）a. . 3a b. 1.2a C. 3a d. . 5a5、如图，壁虎在一座底面半径为 2米，高为4米的油罐的下底边沿 A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿 一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击.结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐.请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫？（无取3）1cm,假设一只蚂蚁每秒爬6、如图为一棱长为 3cm的正方体，把所有面都分为 9个小正方形，其边长都是行2cm,则它

10、从下地面 A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟?7葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常饶着树干盘旋而上，它还有一手绝招,就是它绕树盘升的路线，总是沿着短路线一盘旋前进的。难道植物也懂得数学吗？如果阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？如果树的周长为 3 cm,绕一圈升高4cm,则它爬行路程是多少厘米？如果树的周长为8 cm,绕一圈爬行10cm,则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？8、如图，A、B是笔直公路l同侧的两个村庄，且两个村庄到直路的距离分别是300m和500m,两村庄之间的距离为 d（已知d2=400000m）,现要

11、在公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最 小。I可最小是多少?4、实际问题1 .小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了 500米，看到了一棵红叶树， 这棵红叶树离地面的高度是 米。2 .如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4寸分米，则这两株树之间的垂直距离是 米，水平距离是 米。3 .如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。4 .如图，欲测量松花江的宽度， 沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点 A,使AC垂直江岸，测彳| BC= 50米, /B= 60 ,则江面的宽度为 。AP=160米，点A到公路MN勺距离为80米,5、如图，公路MNB

12、公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学,假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为 多少?5、求边长：1.如图所示，在四边形 ABC计，/ BAD=900 , / DBC=9(0 , AD=3 AB=4, BC=12,求 CD6、方向问题：1 .有一次，小明坐着轮船由 A点出发沿正东方向 AN航行，在A点望湖中小岛 M测彳导/ MAN= 30 ,当他 到B点时，测得/ MBN= 45 , AB= 100米，你能算出 AM的长吗？2 .一轮船在

13、大海中航行，它先向正北方向航行8 km,接着，它又掉头向正东方向航行15千米.(1)此时轮船离开出发点多少km?若轮船每航行1km,需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升？7、折叠问题:1 .如图，矩形纸片 ABCD勺长AD=9cm,宽AB=3cm,将其折叠，使点 D与点B重合，那么折叠后 DE的长是 多少？2 .如图，在长方形 ABC计，将 ABC沿AC对折至 AEC位置，CE与AD交于点F。(1)试说明：AF=FC (2)如果AB=3, BC=4,求AF的长3 .如图，在长方形 ABC由,DC=5在DC边上存在一点 E,沿直线AE把4ABC折叠，使点D恰好在BC边上, 设此点为F,

14、若4ABF的面积为30,求折叠的 AED的面积4 .如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm, BC=8cm, 现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边 AB上，且与AE重合, 你能求出CD的长吗？5 .如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6 BC=&将 ABC折叠，使点 B与点A重合，折痕为DE,则CD等于（）A. 25 B. 22c. 7d. 543436、如图，矩形纸片 ABCD勺边AB=10cm BC=6cm E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.8、利用勾股定理测量长度如图，水池中离岸边 D点1.5米的C处，直立长 着一根芦苇，出水部分 BC的长是0.5米，把芦苇 拉到岸边，它的顶端 B恰好落到D点，并求水池 的深度AC.9、旋转问题1、如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=2 J3 ,PC=4,求 ABC的边长。2、如图1-3-11 ,有一块塑料矩形模板 ABCD长为8cm,宽为4cm,将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（