第7章空间解析几何

1、第七章空间解析几何与向量代数内容概要名称主要内容（7-1，7-2，7-3）向量及线性运算向量的加减法三角形法则平行四边形法则向量与数的乘法：当时，表示和同向，的向量；当，表示和反向，的向量；主要性质：（1）单位化向量为，（2）向量的坐标的距离：向量的代数运算向量的模、方向余弦：，向量在轴上的投影：数量积向量积混合积数量积定义及运算：主要性质：（1）；（2），（3）向量积定义运算的模为，方向为指向大拇指方向性质：（1）表示以、为邻边的平行四边形面积；（2）混合积定义及运算：性质：（1） （2）共面的充要条件：习题7-11填空：（1） 要使成立，向量应满足（2） 要使成立，向量应满足，且同向2设，

2、试用表示向量知识点：向量的线性运算解：3设两点的向径分别为，点在线段上，且，证明点的向径为知识点：向量的线性运算证明：在中，根据三角形法则，又，4已知菱形的对角线，试用向量表示。知识点：向量的线性运算解：根据三角形法则， ，又为菱形，（自由向量），5把的边五等分，设分点依次为，再把各分点与点连接，试以表示向量和。知识点：向量的线性运算解：见图7-1-5，图7-1-5根据三角形法则，同理：习题7-21在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ ； ； ； 答：在第四卦限，在第五卦限，在第八卦限，在第三卦限2在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？并指出下列各点的位置：知识点：空间直角坐标答

3、：在各坐标面上点的坐标有一个分量为零，坐标轴上点的坐标有两个分量为零，点在xoy坐标面上；在yoz坐标面上；在x轴上；在y轴上。3求点关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标。答：（1）关于xoy面的对称点的坐标为；关于xoz面的对称点的坐标为； 关于yoz面的对称点的坐标为。 （2）关于x轴的对称点的坐标为；关于y轴的对称点的坐标为；关于z轴的对称点的坐标为 （3）关于原点的对称点的坐标为4过点分别作平行于z轴的直线和平行于xoy坐标面的平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？答：过点平行于z轴的直线上的点x、y坐标一定为，因此坐标为；过点平行于xoy坐标面的平面上

4、的点的竖坐标一定为，因此坐标为5求点到各坐标轴的距离。解：到x轴的距离为到x轴的距离为；同理到y轴的距离为；到z轴的距离为6在yoz面上，求与三点等距离的点。知识点：空间两点的距离解：所求点在yoz面上，设所求点的坐标为，由条件可知：，所求点为7已知两点，试用坐标表示式表示向量。知识点：空间两点的距离、向量的坐标表示及代数运算解：；8求平行于向量的单位向量知识点：向量的坐标表示及代数运算解：平行于向量的单位向量有和同向和反向两个，9已知两点，计算向量的模、方向余弦、方向角。知识点：向量的坐标表示及代数运算解：根据向量模、方向余弦、方向角的计算公式可得：10已知向量的模为3，且其方向角，求向量。

5、知识点：向量的坐标表示及相关概念解：根据向量、向量的模、方向余弦之间的关系可得：11设向量的方向余弦分别满足问这些向量和坐标轴或坐标面的关系如何？知识点：向量的方向余弦解：（1）表示向量和x轴正向夹角为，因此该向量和x轴垂直，或平行于yoz面（2）表示向量和y轴正向夹角为零，因此该向量和y轴平行且方向相同（3）表示向量和x、y轴正向夹角都为，说明该向量和x、y轴都垂直，因此平行于z轴12已知与轴的夹角是，求。知识点：向量在轴上的投影解：根据投影公式13一向量的终点为，它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为，求该向量的起点的坐标。知识点：向量在坐标轴上的投影解：向量的坐标分量即为它在x轴、y轴和z轴

6、上的投影，设起点为，则：14求与向量平行，方向相反，且长度为75的向量。 知识点：向量的坐标表示及代数运算解：由条件可得：，长度为75， 和反向，习题7-31设，且两向量的夹角，试求。知识点：向量的数量积及其运算规律解：根据数量积的运算规律：，2已知，求同时与垂直的单位向量知识点：向量的向量积解：由向量积性质：，为同时与垂直的向量所求单位向量为3设力作用在一质点上，质点由沿直线移动到，求此力所做的功（设力的单位为N，位移的单位为m）知识点：数量积的物理意义解：数量积的物理应用之一：力沿直线作功。位移为，4求向量在向量上的投影。知识点：向量在轴上的投影解：根据公式。5设，问与有怎样的关系能使与z

7、轴垂直？知识点：两向量垂直的充要条件解：根据两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为零，取z轴的单位向量，则6在杠杆上支点的一侧与点的距离为的点处，有一与成角的力作用着，在的另一侧与点的距离为的点处，有一与成角的力作用着，如图，问，符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？图7-3-6知识点：向量积的物理应用解：处作用产生的力矩，处作用产生的力矩，要使杠杆平衡，只要7设，求（1）； （2）； （3）知识点：向量运算的坐标表示解（1） （2） （3）8直线通过点和求点到直线的距离。知识点：向量积思路：在为顶点组成的三角形中，边上的高即为所求距离。解：设所求的距离值为，又根据向量积的性质：9试证向量表示向量

8、与夹角的平分角线向量的方向。思路：按题意，只要证该向量在方向上的投影和它在方向上的投影相同。解：设， 而又和、在同一平面上，表示向量与夹角的平分角线向量的方向10设，其中，且。知识点：向量的数量积、向量积及其性质（1）为何值时，？解：，由，（2）为何值时，与为邻边的平行四边形面积为6。解：与为邻边的平行四边形面积，或11设均为非零向量，其中任意两个向量不共线，但与共线，与共线，试证。证明：与共线，与共线，可设代入可推得，又其中任意两个向量不共线，则由不共线且为非零向量，可得：12试证向量在同一平面上，并沿和分解。知识点：向量的混合积及其几何意义解：根据向量混合积的几何意义：共面，又，共面设=，

9、将代入13设点的向径分别为，试证：三点在一直线上。思路：只要证：向量和平行证明：；14已知，试利用行列式的性质证明：证明：， ，而行列式 是行列式交换两次两行得到，。同理可证：，15试用向量证明不等式：。思路：可看作向量的模；是向量的模，而是的值。证明：设，则即：内容概要 主要内容（7-4，7-5，7-8）曲面及其方程旋转曲面xoy面上曲线绕x轴旋转的旋转曲面方程：yoz面上曲线绕z轴旋转的旋转曲面方程：xoz面上曲线绕z轴旋转的旋转曲面方程：常见旋转曲面（1） 圆锥面：（yoz面上曲线绕z轴旋转而成）（2） 旋转单叶双曲面：（zox面上的曲线绕z轴旋转而成）柱面表示准线为：母线平行于z轴的柱

10、面表示准线为：母线平行于x轴的柱面表示准线为：母线平行于y轴的柱面柱面方程特点：缺少某个变量常见柱面（1）抛物柱面：表示母线平行于z轴的抛物柱面（2）椭圆柱面：表示母线平行于y轴的椭圆柱面（3）双曲柱面：表示母线平行于x轴的双曲柱面二次曲面椭球面、抛物面、双曲面空间曲线及其方程的一般方程的参数方程在坐标面上的投影消去方程中的变量z得到的即为在xoy面上的投影柱面，就是在xoy面上的投影曲线（以此类推）习题7-41求以点为球心，且通过坐标原点的球面方程。知识点：空间两点的距离解：设球面上点的坐标为，则根据两点距离公式：，原点在球面上，球面方程：。2一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距

11、离，求该动点的轨迹方程。解：设动点的坐标为（），则根据等距离的条件：动点的轨迹方程为：3方程表示什么曲面？解：方程可化为：该方程表达的是以为球心、半径为4的球面。4将xoz坐标面上的抛物线绕x轴旋转一周，求所生成的旋转曲面方程。知识点：旋转曲面解：xoz坐标面上的抛物线是绕x轴旋转 旋转曲面方程为5将xoz坐标面上的抛物线绕z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面方程。解：xoz坐标面上的抛物线是绕z轴旋转 旋转曲面方程为。6指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？（1）； （2）； （3）； （4）答：（1）在平面解析几何中表示y轴，在空间解析几何中表示yoz坐标面（2）在平面

12、解析几何中表示一条直线，在空间解析几何中表示平行于z轴，在xoy坐标面上投影为的一个平面。（3）在平面解析几何中表示xoy面上，原点为心、半径为2的圆线，在空间解析几何中表示准线为xoy面上的圆线，母线平行于z轴的圆柱面。（4）在平面解析几何中表示xoy面上的双曲线，在空间解析几何中表示准线为xoy面上的双曲线，母线平行于z轴的双曲柱面。7说明下列旋转曲面是怎样形成的：（1）； （2）； （3）。知识点：旋转曲面解：方程可变化为，方程表达的是：xoy坐标面上的曲线绕x轴旋转一周所得的旋转曲面注：方程也可看作是：xoz坐标面上的曲线绕x轴旋转一周所得的旋转曲面8指出下列各方程表示哪种曲面：（1）

13、； （2）； （3）（4）； （5）； （6）（7）； （8）； （9）答：（1）方程表达开口向着z轴正向的圆抛物面（或旋转抛物面）（2）或，表达两个垂直于xoy面的平面：；（3）表示z轴（4）平行于x轴且经过yoz面上的直线的平面（5）和这两个平行于xoz坐标面的平面（6）准线为xoy坐标面上的椭圆，母线平行于z轴的椭圆柱面（7）准线为xoy坐标面上的双曲线，母线平行于z轴的双曲柱面（8）准线为xoy坐标面上的抛物线，母线平行于z轴的抛物柱面（9）yoz坐标面上的直线绕z轴旋转一周所得的圆锥面习题7-51画出下列曲线在第一象限内的图形：（1） ； （2）； （3）解（1）7-5-1-（1）（

14、2）7-5-1-（2）（3）07-5-1-（3）2方程组在平面几何与空间解析几何中各表示什么？答：方程组在平面几何中表示两条直线的交点，在空间解析几何中表示垂直于xoy坐标面的两平面的交线。3方程组在平面几何与空间解析几何中各表示什么？答：方程组在平面几何中表示一个点（2，0），在空间解析几何中表示椭圆柱面和平面的交线：。4求曲面与yoz平面的交线。解：yoz平面方程为，交线为5分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线的柱面方程。知识点：曲线在坐标面上的投影柱面及投影曲线解：要求过曲线且母线平行于x轴的柱面方程，只要方程组消去变量x所求柱面方程为要求过曲线且母线平行于y轴的柱面方程，只要方程组消

15、去变量y所求柱面方程为6求曲线 在xoy面上的投影方程。知识点：曲线在坐标面上的投影柱面及投影曲线解：要求曲线 在xoy面上的投影方程，只需方程组消去变量z所求柱面方程为：7求曲线 在xoz面上的投影方程。解：要求曲线 在xoz面上的投影方程，只需方程组消去变量y所求投影方程为：8将曲线 化为参数方程。思路：若将代入，可得，因此可通过椭圆方程的参数式求出曲线的参数式。解：将代入，可得，该方程可用参数式表达为：，曲线的参数式为9将曲线的一般方程 化为参数方程。解：将代入，可得：，该圆方程的参数式为：，曲线 的参数方程为： 。10指出下列各方程组表示什么曲线：（1） （2） （3）（4） （5）答

16、：（1）两平面的交线，该直线平行于z轴（2）表示球面与平行于xoy面的平面的交线，为一在平面上的圆线：（3）表示单叶双曲面和平面的交线，为一在平面上的椭圆线：（4）表示双曲抛物面（即马鞍面）与平面的交线，为一在平面上的抛物线：（5）表示双曲抛物面（即马鞍面）与平面的交线，为一在平面上的双曲线：11求旋转抛物面在三坐标面上的投影。知识点：曲面的投影和空间区域的投影解：见图7-5-11，图7-5-11（1）由于旋转抛物面投影到xoy面上时，它的边界线是，在xoy面上的投影为：；（2）由于旋转抛物面投影到yoz面上时，它的边界线是：在yoz面上的投影为：（3）同理，旋转抛物面在xoz面上的投影为：1

17、2假定直线在yoz平面上的投影方程为，而在zox平面上的投影方程为，求直线在xoy面上的投影方程。解：直线在yoz平面上的投影方程为，直线一定在投影柱面上，同理，直线也一定在投影柱面上，直线方程为，消去z得到直线在xoy面上的投影方程：内容概要 主要内容（7-6，7-7）空间平面及其方程平面的点法式方程过，法矢为的平面方程： 平面的一般方程平面的截距式方程点到平面的距离：两平面的夹角：（：，：）空间直线及其方程对称式方程过，方向矢为的直线方程：对称式方程和一般方程的关系：一般方程参数方程两直线的夹角： （的方向矢，的方向矢）直线和平面的夹角：（直线： ，的方向矢为；平面：），的法矢为平面束方程

18、（为一般方程式）：习题7-6 1 求通过点且与平面平行的平面方程。知识点：平面及其方程思路：已知平面上的一点和平面的法矢，可求出平面方程解：所求平面与已知平面平行，的法矢，由平面的点法式方程可得：2求过点且与连接坐标原点及点的线段垂直的平面方程。知识点：平面及其方程解：所求平面与垂直，的法矢，又过点，：3求过点三点的平面方程。思路：根据条件，平面过已知点，若能求出平面的法矢就可得平面方程。解：所求平面过三点，平面的法矢应满足：，；可选择，：注：三点组成的任意两个向量的向量积都可作为平面的法矢4平面过原点，且垂直于平面，求此平面方程。思路：根据条件，已知平面过原点，若能求出平面的法矢就可得平面方

19、程。解：设所求平面和已知平面、的法矢分别为、，可选择的法矢，：5指出下列各平面的特殊位置：（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）； （7）。答：（1）该平面平行于yoz面；（2）该平面平行于xoz面；（3）该平面平行于z轴；（4）该平面平行于z轴且过原点，即过z轴；（5）该平面平行于x轴；（6）该平面平行于y轴且过原点，即过y轴（7）该平面过原点6求平面和各坐标轴的夹角余弦知识点：平面及向量的方向余弦解：平面的法矢，和x、y、z轴的夹角余弦分别为：7已知和，求平行于所在的平面且与它的距离等于2的平面方程。思路：可先借鉴本单元的习题3，求出过的平面的法矢，也是所求平面的法矢。解：

20、设所求平面的法矢为，设的平面一般方程为：，有条件所在的平面与的距离等于2点 到平面的距离的方程为： 或 8确定的值，使平面适合下列条件之一：（1）经过点； （2）与垂直； （3）与平行；（4）与成角； （5）与原点的距离等于3； （6）在y轴上的截距为。解：（1）平面经过点，点代入平面方程可得：（2）平面与平面垂直，两平面的法矢垂直， （3）平面与平面平行，两平面的法矢平行（4）平面与平面成角，两平面的法矢夹角为（5）平面与原点的距离等于3，（6）平面在y轴上的截距为，根据平面的截距式方程：9求点到平面的距离。解：根据点到平面的距离公式：10求平行于平面且与球面相切的平面方程。思路：所求平面/

21、平面，所以可知的法矢，由与球面相切的条件又可知球心到平面的距离。解：所求平面/平面，的法矢，设的方程为： ，与球面相切，球心到平面的距离为球半径10，：11求平面与的夹角的平分面的方程。知识点：平面与平面的夹角、点到平面的距离思路：两平面的夹角平分面上的点应满足到两平面的距离相等解：设所求平面上的动点坐标，是平面与平面的夹角的平分面，到两平面的距离相等，于是：，习题7-71求过点且平行于直线的直线方程。知识点：直线的对称式方程解：所求直线/直线，的方向矢，又已知过点：2求过两点和的直线方程。知识点：直线的对称式方程解：所求直线过两点和，的方向矢可取为，：3用对称式方程及参数方程表示直线。知识点

22、：直线的各种表达式之间的转换解：直线表达为两平面交的一般方程形式：，则的方向矢和两平面的法矢都垂直，取上的一点：令，的对称式方程：，的参数方程：4证明两直线与平行。证明：根据上一题解答可知直线的方向矢直线的方向矢，/5求过点且与两直线和都平行的平面方程。思路：所求平面和两直线平行，则说明的法矢和两直线的方向矢都垂直。解：设所求平面的法矢为；两直线：和：的方向矢分别为。/，/，其中，：6求过点且与两平面和平行的直线方程。思路：所求直线与两已知平面平行，所以的方向矢和两平面的法矢都垂直。解：设所求直线的方向矢为，两平面：和：的法矢分别为，：7求过点且通过直线的平面方程。思路：易知：已知点不在直线上

23、，所以通过点和直线的平面方程和通过三点的平面方程的求法相似。解：设所求的平面的法矢为，直线：的方向矢， 在上，；取直线上的一点，和已知点组成向量，易知：，：8求直线与平面的夹角。知识点：直线与平面的夹角解：设直线：的方向矢为，平面：的法矢为，直线与平面的夹角为。则，可取9试确定下列各组中的直线和平面间的关系：（1）和； （2）和；（3）和。思路：通过直线和平面的夹角即可确定它们的关系解：在每道小题中都设直线的方向矢为，平面的法矢为，直线与平面的夹角为。则（1），又上的点不满足，不在上，（2）（3）又上的点满足，在上。10求点在平面上的投影。思路：根据点在平面上的投影的定义可知求投影点的过程：（

24、1）过点作平面的垂线；（2）垂线和平面的交点（即投影点）解：过点作平面：的垂线，设的方向矢为，平面的法矢为，则可选，：，将的参数方程代入求出和的交点（即投影点）：11设是直线外一点，是直线上任意一点，且直线的方向向量为，试证：点到直线的距离。知识点：向量积和空间直线及其方程思路：画简图可知：距离是由、以及当把的起点放在时的终点坐标三点组成的三角形底边上的高，见图7-7-11图7-7-11解：设当把的起点放在时的终点坐标为，即为底边上的高根据向量积的性质可知的面积，又12求直线在平面上的投影直线方程。方法一：可根据求投影直线的过程逐步求得：（1）求过直线垂直于的平面；（2）与的交线即为在上的投影

25、直线。解：过的平面束方程为，此平面束中和垂直的平面应满足：，过直线垂直于的平面：，在平面上的投影直线方程为：方法二：可通过求和的交点以及的方向矢写出所求投影直线的对称式方程解：和的交点满足：的方向矢，设的法矢为，则和它的投影直线组成平面的法矢满足：且投影直线的方向矢应满足：且投影直线方程：13已知直线，求： （1）直线在yoz平面上的投影方程； （2）直线在xoy平面上的投影方程；（3）直线在平面上的投影直线方程。解：（1）由曲线在坐标面上投影知识可知： 中消去x，可得在yoz面上的投影：注：也可参照习题12的方法做（2）中消去在，可得在xoy面上的投影：注：也可参照习题12的方法做（3）过的

26、平面束方程为，此平面束中和垂直的平面应满足：无解，说明这些平面都不垂直于，过且不在平面束方程中的平面只有一个：，此平面设为，确有：，即为过直线且垂直于的平面在平面上的投影直线方程为：14证明直线与直线相交，并求它们交角的平分线方程。知识点：直线及其方程证：将直线：化为参数式：，代入直线（题有问题？）习题7-81 画出下列方程所表示的曲面：（1）； （2）； （3）。图7-8-1-1图7-8-1-2图7-8-1-32指出下列方程所表示的曲线：（1）； （2）；（3）； （4）。答：（1）平面上的圆；（2）平面上的椭圆； （3）平面上的双曲线；（4）平面上的抛物线3画出下列各曲面所围成的立体的图形

27、：（1）；图7-8-3-1图7-8-3-1（2）图7-8-3-2（3），在第一卦限内。图7-8-3-3（4），在第一卦限内。0图7-8-3-4总习题七1已知为单位向量，且满足，计算。知识点：向量的数量积解：， （1）同理可得： （2） （3）（为单位向量）向量的数量积满足交换律，将（1）、（2）、（3）式相加2设三角形的三边，三边中点依次为、，试证明 知识点：向量及其线性运算证明：根据向量线性运算的三角形法则，同理可得：；，3设，求。知识点：向量的数量积及其性质解：；。4已知，问：系数为何值时，向量与垂直知识点：向量的数量积及其性质解：根据两向量垂直的充要条件，要使向量与垂直，必须，由已知条件

28、，5求与向量共线且满足方程的向量。知识点：向量的线性运算以及向量的数量积解：根据已知条件：与共线，可设，由6设，证明三向量共面，并用和表示知识点：向量的混合积解：根据向量混合积的性质：三个向量宫面的充要条件是它们的混合积为零共面若设，7证明点到一通过点、方向平行于向量的直线的距离为，其中。证明：该题类似于习题7-7的11题，把向量的起点放在，设此时的终点坐标为，即为底边（即）上的高，根据习题7-7的11题的结论：8已知向量非零，且不共线，作，是实数，证明：最小的向量垂直于，并求当，时，使最小的向量。知识点：向量的数量积及其性质、一元函数的最值解：设，则由（唯一驻点），最小的向量，当，时，使最小

29、的向量9将xoy坐标面上的双曲线分别绕x轴及y轴旋转一周，求所生成的旋转曲面方程。知识点：旋转曲面及其方程解：当xoy坐标面上的双曲线绕x轴旋转时旋转曲面方程为： 。绕y轴旋转时旋转曲面方程为：10求直线：绕z轴旋转所得旋转曲面方程。知识点：求旋转曲面方程的原理解：设所求旋转曲面上的动点坐标为，且它是由直线：上的某一点绕z轴旋转得到，所以，和 满足：（1）；（2），将代入（2）可得：11求曲线在三个坐标面上的投影曲线方程。解：（1）方程组消去z，可得在xoy面上的投影曲线方程（2）方程组消去x可得在yoz面上的投影曲线方程（3）方程组消去y可得在yoz面上的投影曲线方程12求曲线在三个坐标面上

30、的投影方程。解：（1）方程组消去z，可得在xoy面上的投影曲线方程（2）方程组消去x可得在yoz面上的投影曲线方程（3）方程组消去y可得在yoz面上的投影曲线方程13求螺旋线在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程。解：（1）螺旋线消去z，可得螺旋线在xoy面上的投影曲线方程： 总是满足：投影方程为 （2）螺旋线消去x，可得螺旋线在yoz面上的投影曲线方程： ，代入，投影方程为 （3）螺旋线消去y，可得螺旋线在xoz面上的投影曲线方程： ，代入，投影方程为14求由上半球面，柱面及平面所围成的立体在xoy面和xoz面上的投影。解：（1）上半球面含在柱面内的立体在xoy面上的投影就是：（2）当投影到

31、xoz面上，该立体投影的边界为xoz面上的：， 立体在xoz面上的投影为：15求与已知平面平行且与三坐标面构成的四面体体积为1的平面方程。知识点：平面及其方程解：所求平面和平行，所以设的方程为，化为截距式方程：， 与三坐标面构成的四面体体积为1，：16求通过点且与直线垂直的平面方程。思路：所求平面和已知直线垂直，则直线的方向矢即为平面的法矢解：设直线的方向矢，所求平面的法矢，取：17求过直线且在y轴和z轴有相同的非零截距的平面方程。思路：所求平面过直线，而又表达为一般方程，因此可用平面束方程表示解：过已知直线的平面束方程： 此方程化为：， 其中在y轴和z轴有相同的非零截距的平面应满足： 代入得

32、所求平面：18在平面和平面所确定的平面束内，求两个相互垂直的平面，其中一个平面经过。解：过的平面束方程：，将代入：经过的平面： 平面束中和垂直的应满足： ：19用对称式方程及参数方程表示直线。知识点：直线三种方程形式之间的转换解：设直线：的方向矢为，平面的法矢，平面的法矢 ，再取上的一点，得的对称式方程：，的参数方程：20求与两直线和垂直且相交的直线方程。方法一：所求直线（公垂线）应该既在过、的平面上，又在过、的平面上，所以是两平面的交线。解：的方向矢：，的方向矢：，公垂线的方向矢过的平面束方程：，其中垂直于的平面应满足：，得到过、的平面：过的平面束方程：其中垂直于的平面应满足：得到过、的平面

33、：方法二：所求直线，因此可求得的方向矢，再求、（或、）的交点就可求出的对称式方程或参数式方程解：如方法一所解，可得公垂线的方向矢设、的交点为，则有：，：，代入：方法三：设、的交点，、的交点，根据条件可知：，从而求得，得到过两点的直线方程解：设已求出，满足：，满足：，由，得：，：21求与原点关于平面对称的点。思路：过原点作平面的垂线，在上找出原点关于平面的对称点。解：过原点垂直于平面的垂线方向式就是平面的法矢：，设在上原点关于平面的对称点的坐标为：，则有：，又和原点到平面的距离相等可得：，（舍去）原点关于平面对称的点：22求点到直线的距离。方法一：可参照习题7-7第11题的方法做解：直线：的方向

34、矢可取，在上取一点，则点到直线的距离，方法二：过作直线的垂直平面，和的交点即为在上的垂足。解：设已求出直线的方向矢，则过垂直于直线的平面：，和的交点：，23求直线与平面间夹角的正弦。知识点：直线与平面的夹角解：直线：的方向矢，平面的法矢则由直线与平面的夹角公式：24设直线通过点，且和两直线，相交，求此直线方程。方法一：若设所求直线和已知直线、的交点分别为，直线（即）一定在过和的平面上，直线（即）也一定在过和的平面上。由此求得直线的一般方程。解：过的平面束方程为：，将代入可得无解，可验证包含的平面就经过，通过点和直线的平面方程：过的平面束方程为：，将代入可得：，通过点和直线的平面方程：方法二：所

35、求直线在过和直线的平面上，也在过和直线的平面上，因此的方向矢垂直于两平面的法矢。解：的方向矢：，上取一点的方向矢：，上取一点过和直线的平面的法矢过和直线的平面的法矢的方向矢：25求点在直线上的投影。思路：过点作已知直线的垂直平面，和的交点即为所求投影解：直线：的方向矢为，过点垂直于平面：将：代入平面，该点即为所求投影点。26求直线在平面上的投影直线方程。思路：过作垂直于的平面，投影直线在此平面上。解：过的平面束方程：，其中垂直于的平面应满足：则过垂直于的平面方程为：，投影直线也在上投影直线方程：27一动点与点的距离是它到平面的距离的，试求动点的轨迹方程，并求该轨迹曲面与yoz平面的交线。解：设动点坐标，根据条件可列式：轨迹方程：该轨迹曲面与yoz平面的交线：28设有直线及平面，光线沿直线投射到平面上，求反射线所在的直线方程图7-28方法一：可求出过垂直于平面的平面，反射线一定在上；又可求出过和平面的交点且垂直于的直线，再求过该直线与平面的法矢成入射角的平面，反射线也在上。解：直线的方向矢，设的法矢为求出（1）、直线和平面的交点：取和成锐角的直线的方向矢，（此时）（2）、直线的方向矢和平面的法矢的夹角（入射角）成立：则和方向一致长度为的矢量，根据向量的三角形法则（见图7-28）可知反射线的方向矢，反射线方程：注：取和成锐角的直线的方向矢，是为保