第一章 正交实验设计

1、实验分析与设计朱昌明上海交通大学绪论长期以来在实验领域中，特别是对于多因素试验，传统的试验方法往往只能被动地处理试验数据，而对试验方案及试验过程的优化，常常显得无能为力。这不仅造成盲目地增加试验次数，而且往往不能提供充分可靠的信息，以致达不到预期的目的，造成人力、物力和时间的大量浪费。近代创立和发展起来的试验设计及优化技术，将优化思想和要求贯穿于试验的全过程，从此试验才真正走上了科学的轨道，使试验领域发生了深刻的变化，也有力地促进了现代优化技术地发展。1、试验设计及优化的概念实验是揭示尚未完全认识的事物，发现其规律，是具有很强的探索性活动。它也是一项目的性、计划性很强，很严密的科学活动。有严格

2、的程序：（1） 有明确的实验目的、目标和要求；（2） 应编写试验大纲、制定实验计划；（3） 有实验实施过程的具体步骤；（4） 选用合适的实验数据处理技术；（5） 最终的理性归纳和完整的实验报告。这些要求是与学生按课堂教学所完成的教学实验完全不同的。这里讲的实验实际是工程实验。实验大纲的内容包括：a).考察目标和测试参数；b).环境条件要求，仪器设备的选用；c).取样方式，测点布置，工况的组合；d).数据处理方法；e).试验报告的整理要求。由此可见，影响和制约实验过程的不仅是物质条件，还有思维方式，而对思维方式起指导作用的是实验设计方法及其相关的理论。具体地说，设计试验方案时，不仅使试验方案具有

3、一定的优良性，试验点（试验次数）大大减少，但仍能获取丰富的试验信息，得出正确的结论；实施试验方案时，能有效地控制试验干扰，保证试验精度；处理试验结果时，通过简便的计算及分析，可以获得较多的优化结果。显然，试验设计是一个全过程、多目标的优化。对于多快好省地进行多因素试验，对于构造各种线性与非线性数学模型，对于科学研究中发现规律、探寻生产实际中的新工艺、产品设计中进行优质设计、管理科学中寻求最佳决策等，试验优化都是一种非常有效的数学工具。通常，试验是指实物试验。但对于试验优化，常常进行的是广义试验。凡是能获取信息的有效的科学手段和方法，都可以作为广义试验的试验方法。目前在科研与生产的实际应用中，试

4、验设计及优化主要是进行离散优化，有时也进行序惯优化（所谓序惯优化就是遵循一定优化路径逐渐寻找最优点的方法，它是单向寻优，常用的方法有0.618法、单纯形法、梯度法、渐进分式法等。）有时则必须综合应用离散优化和序惯优化。所谓离散优化，就是在试验区域内，有目的有规律地散布一定量的试验点，多方向同时寻找优化目标，如果优化目标是最优点，则离散优化只是一种试验点优选法，优选过程不一定遵循一定的寻优路径，而只是对给定条件下一切可能的试验点进行选优。因此离散优化不能真正实现全域优化，但实际应用表明，离散优化完全能够满足一般科研和生产的需要。这种离散优化法有正交设计，SN比设计，均匀设计等。如果优化目标是最优

5、回归方程，这种离散优化法就是回归设计。2、实验在科技发展中的地位现代科技的发展离不开实验分析，现代实验不单是通过观察现象和测试数据来验证假设，更重要的是现代科技创新和发明的重要手段。所有理论分析不能解决的问题均可利用实验的手段去摸索，特别是在工程领域内。科研是很注重实际应用效果，无论是对零件、部件和整机的结构、性能研究，还是对新配方、新工艺的探索，实验都是必须的手段。几乎没有一项应用研究成果是不需要实验分析和实验论证的。试验设计及优化技术由于具有设计灵活、计算简便、试验次数少、可靠性高、适用面广等特点，因而发展迅速，应用广泛，已成为现代设计方法中的一个重要分支。试验设计技术应该是研究人员、工程

6、技术人员和管理人员的必备技术，是科技人员共同语言的一部分。据说在日本，一个工程师如果没有试验设计这方面的知识就只能算半个工程师。3、实验设计的目标最大限度地提高实验效率；最大限度地提高实验精度。4、实验工作与现代科学方法论的关系科学方法论是关于正确进行科学研究的原理、方法的理论。实验是伴随着科学技术而同步发展的必需手段，现代实验不仅拥有了丰富而尖深的实验硬技术，而且软技术的比重也在增加，系统论、信息论、控制论的慨念早已渗透到实验中，人们已经把实验条件、实验对象和实验结果的分析处理作为系统来考虑，将信息量的研究贯穿始终，研究信息的获取、变换和分析处理的方法。有些实验结果中包含了预报的内容，为进一

7、步反馈，达到实时在线控制创造条件。实验设计是研究方法的学科，也具有横向交叉的综合性。现代科学方法论必然赋予试验设计以新观点、新思路和新的理论工具，使试验设计更具有充实的内容。我们正处于信息时代，知识、信息和技术都是重要的生产力，一切设计、控制和决策都必须从信息载体中获取有用的信息。从这个意义上说，试验设计与优化技术能够满足时代的需要。因为试验优化是一门关于信息量的学科，运用试验优化技术，可以既快又省地获取既多又好的信息，并能科学地分析和利用已获取地信息。 5、广义试验设计问题通常认为试验设计是一门实物试验的软科学，事实上，试验设计是一种数学方法。它也可以有效地解决广义试验的优化问题。所谓广义试

8、验，是指为了观察某些事或物的性能而从事的某种活动。显然，这种活动不限于实物试验。从数理统计角度讲，抽样就是广义试验。一次抽样结果是一个随机事件，也就是广义试验的一个指标。可以说，凡是需要抽样，需要获取 信息的场合，都可能用到广义试验设计。在技术领域中，除专门组织的实物与非实物试验外，在实际的生产现场，在质量管理中也有许多用途。如生产线故障判断分析。往往产生故障的产品数百个才产生一个，为寻找原因，从生产线上随机抽样，来重新组装零部件，结果发现极大部分的零部件都是物无缺陷的。为寻求被蕴藏在很多零件中、故障率又非常低的缺陷的原因，利用试验设计技术是有效的。如，用正交表安排寿命试验，就可以减少试验次数

9、，提高试验结果的适用性和代表性。6、本课程的性质与任务本课程是实验的软技术课程，属基础技术课。课程的任务是使学习者建立实验设计的基本概念和主要思路，带着方法论的主动意识学会一般的试验设计方法 ，并能对一般的工程实验独立地设计方案，选择数据处理方法和分析实验误差，掌握实验设计与分析中的关键环节，对工程实验设计与分析过程有一个完整的了解。第一章 正交实验设计§1.1概述一实验设计的目标 任何一个试验都存在：如何安排试验及如何分析试验结果 这两个问题。对于科学的实验设计应能做到： 1). 试验次数尽可能少； 2). 少量试验所获数据能得出正确结论。 对单因素或双因素的实验设计，可进行全组合

10、，逐一交叉重复的实验方式，即可以进行全面实验（但水平数必须有限）。对多于两个因素的，单用全面实验方法，其工作量将随因素的个数按指数方式剧增，即不经济，又费时间。这种全面实验方法不叫优选法，而叫选优法。 对于单因素试验，可采用0.618法，对分法，平行线法，交替法，调优法等优选法进行试验，以减少试验次数。对多因素，正交实验设计是一种显著有效的方法。正交试验设计就是利用正交表来合理安排试验的一种方法。二. 基本术语试验因素：对试验结果可能会产生影响的原因，是实验过程中的一些自变量，或称条件变量，是输入参数。如炼钢中的某些特种元素的含量，机加工中的刀具形式、走刀量等。试验指标：试验研究的指标，即实验

11、得出的结果(输出的参数)。水 平：试验因素在试验中所选取的具体状态（或水平）。如考察刀具磨损。对普通碳素钢：切削角 转速 钢硬度（°）（r/min） （HB） 若温度也为实验因素，如取其三个水平分别为50、20及60。水平之间的差异也称为水平级位，模糊的说法为低温、常温和高温。三. 正交设计实验解决的问题(1). 因素对实验指标的影响，即能分清主要因素和次要因素，或甚微因素和忽略因素。(2). 找出较好方案的组合，形成最优的生产条件。必要时，对生产过程作出预报。上例中，就有这样的问题，选怎样的组合，使刀具磨损最小。选择怎样的温度，工艺性最好。§1.2正交表一.拉丁方与正交表

12、正交实验最早起源于拉丁方设计思想18世纪，普鲁士费里德里希.威廉二世，要举行一次与往常不同的六列方队阅兵式。他要求每个方队的行和列都得由六种部队得六种军官组成，不得有重复和空缺。这样，六个方队中，部队、军官、行和列全部排列均衡。群臣们冥思苦想，无一人能排出这样的方阵来。后来向当时著名的数学家 Eular请教，由此引起了数学家们的极大兴趣，提出了一个有趣的数学问题：所谓36个军官问题，当时用不同的拉丁字母A, B, C表示军官，,表示为团队，交叉排列方阵，称为希腊拉丁方阵。简称拉丁方阵。因希腊字母有限，改用脚标为自然数序列排的方阵，为n阶拉丁方阵。当，称为正交拉丁方阵。直到1901年，G.Tar

13、ry才证明“36个军官的正交问题”为无解。但借用拉丁方阵的构造解决了不少的多因素实验优化问题。数学家们如此重视一个君王独出心裁的阅兵式，并不是为了组织什么花样方阵，而是为了研究具有普遍意义的新的数学思想，即均衡分布的思想，这正是今天正交试验设计的思想基础。 例：有三个因素，每个因素有三个水平的实验，需进行种全组合搭配试验。9个区域的每个区域中，两个水平是固定的，只有一个因素是变动的，在相邻的区域的同一行上也是一个因素在变。 上述全搭配试验太多，能不能减少一些呢？能否每次保留一个因素水平而变动其余的水平进行比对试验呢？ 正交试验设计能减少试验次数，又能兼顾均匀搭配的效果！二.正交表(1). 定义

14、设A是n×k的矩阵，它的第j列元素由1，2，j构成（也可用别的符号），如果矩阵A的任意两列元素都搭配均匀，就称A是一个正交表。如8×7的矩阵： 注意到，任意两列的相邻元素所构成的都是完全有序对，都包含有四个相同的数字对（1，1），（1，2）,（2,1），（2，2），因此A是一个正交表。正交表的性质：（1） 每一列中各数字（或称水平）出现的次数相同；如上例中都是4次。（2） 任意两列的号码所构成的水平对中。每个水平对重复出现的次数相同。如上例中每个水平对重复出现2次。正交表的特点：搭配均匀性、组合代表性、综合可比性。(2). 正交表的种类:a).标准表凡是标准表，水平数都相等

15、，且水平数只能取素数或素数幂，利用标准表可考察因素之间的交互作用。根据正交表设计的思想，运用数学方法，将正交实验中多种因素和水平搭配的结果编成表格，这种规格化的表格称为正交实验设计表，简称正交表。简记为符号:.其中 L-表示正交表n-表示实验方案的个数（表的行数）m-表示试验因素的水平数k-表示最多可安排因素的数目（表的列数）常见的水平数相同的正交表有：二水平正交表：、等三水平正交表：、四水平正交表：、 五水平正交表：、最简单的，做四次试验，最多安排2个水平3个因素（而全做次）。正交表行列（1）（2）（3）1111212232124221b). 混合型正交表 如混合型正交表。表示1个因素是4个

16、水平的，4个因素是2个水平的，不等水平的混合。其中第一列与其他列的搭配是均匀的。行 列（1）（2）（3）（4）（5）111111212222321122422211531212632121741221842112还有如 正交表的构造是一个复杂问题，并非给定参数就能构造正交表，一般查用现成即可，下面仅介绍一般的构造方法。(3).正交表构造的一般方法正交表的构造是一个组合数学问题，不同类型的表构造方法差异很大。(a).正交表的正交性及其变换性 线性代数中，两个向量和，如果内积为0，即 称该两向量正交。正交性： 正交表每一列可看成一个列向量，表中数字为因素水平记号（可以数字，或其它代号表示，无本质区

17、别），如二水平的记为1，2，分别用1，1来代替也可以。任意两列构成的水平对是一个“完全有序对”，即（1，1），（1，1），（1，1），（1，1），重复出现次数相同。则：即二水平正交表任意两列是正交的。 变换性：表的列地位平等，各列可以置换；表的行地位平等，各行可以置换；同一列中的水平可以置换。上述称为正交表的三种初等变换，经初等变换后的正交表与原表是等价的（或称同构）。（b）有限域的概念由全体有理数组成的集合中，其元素是无限多，因此是无限域。因素和水平数字是有限的，所以它们的域是在有限域内。记U是一个有限域，一个有限域至少有两个元素，设是由3个元素0和1、2组成，元素之间可满足加或乘法的定义，

18、但集合的加法和乘法结果显然不属于（如1+2=3）,但如果我们新定义两个代数运算：或：乘法 q为正整数，t为U集中元素的个数。例： 加法 乘法 +01001110×010001011+1=2，22/2=1,无余数，故为零。加法 乘法012001211202201×012000010122021加法 减法+01234001234112340223401334012440123×01234000000101234202413303142404321计算结果表明，每行每列均构成独立向量，彼此无关。正交表便利用这种算法构造因素水平的顺序。一般可以设m为因素的水平数， k为因

19、素个数，则全组合的试验次数Q为（即k维向量的总数）： 其独立向量个数的计算式为：例如：，三维向量。但其独立向量： 于是可利用向量的运算法则构造27行、13列的正交表，（c）型正交表构成以表说明其构成方法，是4因素，3水平。其中取两维向量个（即试验的总次数为9），按顺序置于表的最左列，其独立向量只有4个（4个因素），依次置于正交表的最上面一行各列中，即（1，0），（0，1），（1,1）,(2,1)。行向量，独立的有序对。列向量以表示,水平表中的各水平数，即对应行、列向量交叉处的数字，则：第一行、第一列元素：第二行、第二列元素： 第九行、第四列元素：注意到，其结果是按有限域运算法则计算得出。的构造

20、 列号行1234号（1，0）（0，1）（1，1）（2，1） （0，0）10000 （0，1）20111 （0，2）30222 （1，0）41012 （1，1）51120 （1，2）61201 （2，0）72021 （2，1）82102 （2，2）92210三.正交表的正确选用为充分利用正交表的均衡性与可比性特点，力求达到实验次数少，但能得到实验精度较高的优化设计，为此，选择时尽量满足下列要求：(1).水平数相符 等水平实验设计，满足水平相符要求。不等水平试验设计，可选用混合水平正交表。如没有，可用现有规格化的正交表进行改造（后述）。(2).列数容限要求 每一个因素占一列位置。因此选表的列数必须

21、全部能容纳全部因数，当存在空列时，可以将多余空列用来计算实验误差（比重复试验更为经济）。应选择列数最少的正交表，称为列数容限要求。(3).满足行数要求 行数是各个因素的水平组合，这种组合之间有些是相关的，或者说这些组合不全是独立的，所以行数相符是一种从属条件。因此在选正交表时，只要试验因素能安排得下，就尽可能用小号的正交表§1.3正交试验设计的直观分析 根据对试验结果的分析方法不同可分为：直观分析法（极差分析法）；方差分析法（统计分析法）按指标多少，又可分为：多指标试验设计；单指标试验设计一.单指标正交试验设计例1对零件镗孔质量不稳，内径偏差大，需改进工艺操作，确定因素的主次影响程度

22、，探求好的工艺程序。(1).试验方按设计(a).确定因素与水平可能因素有四个：刀具数量与布局A 2把3把4把切削速度B30r/min38r/min56r/min走刀量C0.6mm/r0.7mm/r0.47mm/r刀具种类D常规刀I型刀II型刀列出因素水平表：水平 因素A(刀具数)B(切削速度r/min)(走刀量mm/r)D(刀具种类(型)12300.6常规23380.7I34560.47II(b).选择正交表本试验为4因素3水平，选择。(c).确定试验方案 表头行为因素，水平按水平表“对号入座”。指标为内孔偏差量。 试验方案表 因素ABCD偏差量试验号 列号1234(mm)11(2把)1(30

23、)1(0.6)1(常规)0.39212(38)2(0.7)2(I)0.145313(56)3(0.47)3(II)0.3742(3把)1230.285522310.335623120.3573(4把)1320.285832130.05933210.315K1(水平1三次偏差和)0.8450.960.791.04K2(水平2三次偏差和)0.970.530.7450.78K3(水平3三次偏差和)0.650.9750.930.645K1=k1/30.2820.320.2630.347K2=k2/30.3230.1760.2480.26K3=k3/30.2170.3250.310.215极差R0.10

24、60.149-0.0620.132试验结果分析 直观分析。差组合最好，偏差量为0.050mm，是否为最佳呢？ 计算分析每一列水平相关的结果进行累加， ， ， 同理可计算。并且分别求出其平均值，并计算平均值的极差(最大的数最小的数R)。 画出趋势图(指标因素关系)可以看出：a. 刀具数量越多，偏差量越小，4把刀为最好，可考虑刀具再多的情况。b. 切削速度以38r/min偏差最小。c. 走刀量为0.7mm/r偏差量最小。可考虑走刀量再增大情况d. 以II型刀具为最好。另外，从极差看因素的作用： 极差大说明因素对指标的影响大，常为主要因素 极差小说明因素对指标的影响小，常为次要因素因此，本例中主次次

25、序：BDAC（转速、刀型、刀数量、走刀量）注意到：寻找考察指标越大越好的条件时，选取或为最大的水平组合为最优;寻找考察指标越小越好的条件时，选取或为最小的水平组合为最优一般最终确定水平后，要做再现性的验证试验，即再做第二批、第三批的试验。 直接分析与计算分析的关系 为什么不统一？对直接分析结果：原次试验，这里由正交表只选出9个，只1/9。凭借正交表的正交性，这9个条件均衡分散在81个试验条件中，代表性很强，所以偏差最小的在9个试验中效果相当好，但毕竟只做了总试验次数的1/9，只能代表，不能全部复盖。计算分析: 是为了展望更好的条件（搅混了水，再摸鱼）。对大多数项目，计算分析得到的好条件往往不在

26、已做过的试验中，比如条件，将会得到超出直接分析的好条件，这正体现了正交试验设计的优越性。但有时也会得出的结果不如直观分析，直观分析与计算分析不一致时，应仔细分析原因，如：.试验误差大；.还有别的因素未考虑；.因素的水平选择不当等。这时往往需再做试验。二.多指标正交试验设计生产实践中考察的指标不只一个，这类试验设计称为多指标正交试验设计。往往各指标之间可能存在一定的矛盾，如何兼顾各个指标来选优，有多种方法。1 综合平衡法我们以下例来说明这种方法的应用例2.柱塞组合收口的强度稳定性试验 指标：拉脱力, 轴向油隙，转角。因素：、高度、倒角、收口压力等四个因素。水平：各因素均取三个。选用4因素3水平正

27、交表，然后对号入座。每个试验条件做7次，每次试验对三个指标测定并取其平均值。计算分析试验数据，并选取最优生产条件。按极差大小排列，得出因素主次顺序： 主 次 拉脱力 BDCA轴向游隙 BDCA转角 BDCA得出BDCA（对转角，C、D两因素极差R相差不大）。 试验方案及试验结果分析 试 验 方 案 试 验 结 果 因素ABC倒角D收口压力拉脱力(N)轴向游隙转角试验号列号123411111-302025.5212223648542123-15.5621.55223151128-1062312-12526.573132-682818.58321391520.593321

28、1956-4.5拉4-382013.3T=88.5T=390T=94.5脱11.559.313.2-11力148-3.727.161097.123.738.16轴31.61832.368向537636.633.6游45.3366128.3隙21.35828.739.7转1421.817.53.612.6-3.55.314.6角4.8213.28.713.169.1725.312.211说明：1. 、为7次试验的平均值 2. 如完全为简化计算，不影响结果的趋势分析综合平衡选优对因素B：轴向游隙小，转角为大角度，应选，但主要考虑拉脱力，故选（拉脱力最大）。对因素C：明显，拉脱力大，游隙小，转角大。

29、对因素D：应选，游隙小，转角与差不多，拉脱力最高对因素A：对三个指标来说均是次要因素，从转角大一点，游隙小些的角度，选综合平衡后：选为最优生产条件。2.综合评分法(1).排队综合评分法。 当几个指标在整个效果中间等同重要，则可按试验结果的情况，综合几个指标，按效果好坏，从优至劣排队，然后按规则进行评分（可用100分、10分、5分制均可）。这种方法中，经验、专家知识很重要！(2).加权综合评分法。 用公式 权因子系数，表示多项指标在综合加权中应（）的权重所考虑的指标第号试验第个考察指标如果考察指标趋势相同，则符号相同；趋势不同，符号相异。如果第二项指标与其它不同，则。三.混合型正交试验实际工作中

30、，试验受到设备、材料、生产条件等限制，不可能做到每个因素都是等水平的，或在各试验中，重要考察的因素，多取几个水平，因而会遇到不同水平的正交试验。解决办法有(1).直接选用现成的混合水平正交表。混合型水平正交表和普通正交表一样，具有均衡搭配和综合可比的特点，即每列之中各水平出现的次数相同，行与列之间是正交有序的。如有一实验设计，考察4个因素，其中：因素1为4水平，因素2、3、4均是2水平。此时可选用的混合水平正交表。试验号 因素(A)1(B)2（C）3(D)45试验结果111111212222321122422211531212632121741221842112极差折算极差注意：(1).由于每

31、个因素有不同的水平数，因此计算每个相应水平的平均试验结果不同。如A因素，是2次试验结果的平均。而B、C、D因素，、都是4次试验结果的平均。(2).极差R的折算，当因素水平相同时，因素的主次顺序完成由极差R决定。水平不同时，直接比较欠妥，因为，若两个因素对指标值有影响，一般水平数多的因素极差可能大些，此时可用一个系数把极差R折算后再比较。推荐式：是折算系数水平数 m2345678910折算系数 R0.710.520.450.40.370.350.340.320.31r因素中每一个水平试验的重复次数R因素的极差每个都折算，然后按前面所示的方法画出指标因素关系图，找出主次因素。四.考虑交互作用的正交

32、试验设计 在实际试验中，不仅因素对指标有作用，而且因素之间还会联合搭配起来对指标产生影响，因素对试验的总效果是每个因素对试验的单独作用再加上各因素的搭配作用决定，这种联合搭配的作用叫做交互作用。两列间交互作用表如有A、B、C三个因素（都是2水平的），并考虑A×B、A×C、B×C的交互作用。这相当于有6个因素，在试验设计中，交互作用一律当作因素看待。因此选用表。正交表安排试验因素ABA×BCA×CB×C空列试验结果试验号12345671111111121112222312211224122221152121222621221117221

33、121182212122注意： 交互作用所占的列的位置是一定的，不能任意排，它有交互作用的列位顺序，如上例，的位置只能在第3列。不像因素独立时，可任意将因素排列。交互作用的表头设计必须严格按交互列表进行配列，这是有交互作用的正交设计的一个重要特点。(1).交互作用试验设计的表头设计列号 列号12345671(1)3254672(2)167453(3)76544(4)1235(5)326(6)17(7) 二列间交互作用表还有、等表可查。从上例中，看表头设计是否符合？，、交互列为3，、交互列为5，、交互列为6 完全符合!表头排好后，按正常的因素水平表确定关系，对号入座，获得正交试验方案。由于交互作

34、用不是具体的因素，因而交互作用在试验方案中不会出现。在分析试验结果时，可以把它看成一个单独因素，同样计算极差，以便反映交互作用的大小。 必须指出：在交互试验设计中，必须遵守一个因素占据一列的原则，如果由于列数不够因素分配，宁可选用规模较大的正交表，也不允许因素共列现象，否则必然会产生“数据混杂”，比如：因素ABA×B C×DCA×C B×DA×D B×CD列1234567 表头设计在3、5、6列上的数据会两两混杂，说不清是那两列的交互作用，只有肯定了有一两两因素无交互作用时，才有价值。因此，当参与因素为m个时，二列间交互作用要列。如果

35、要考察全因素交互效应，选用的正交表的列数至少等于列。一般不考虑多级的交互作用，应有选择地合理地考察交互作用，这样才能突出正交试验设计可以大量减少试验次数的优点。(2).交互作用的试验结果分析例3. 消除用材料制的叶片的脆性，目的提高延伸率。寻找生产工艺参数。其中固定因素为浇铸速度35秒，模壳预热1080ºC,保温1小时。需要研究的因素及其相应的水平如表所示。 因素水平表A(含炭量%)B(含镍量)C(含铜量)D(出炉温度) E(冷却方式)10.122.501620不造型20.0743.51560造型考察5个因素外，还考察交互作用、。除考察上述5个因素外，还要考察交互作用。(a) 选正交

36、表，至少需九列表，四列交互，5列独立因素，选(b) 表头设计因素ABA×BCA×CD×EDB×EE列123456789101112131415要仔细查对交互表，每一列可能排列的因素，再分析其可能性。注意到表头排列不是唯一的，不妨可以试试！(c) 试验结果分析 计算值，极差值。 分析找出影响的主次顺序、。可以看出：D、E交互作用很大，而本身的影响因素较小。那么D、E各什么样的水平又为最佳组合呢？试验方案及结果123456789101112131415ABA×BCA×CD×EDB×EE延伸率1111111111119.

37、22111111122224.831112222112224111222222113.85122112211123.86122112222213.67122221111218.68122221122129.69212121212229.410212121221111211212212112118.612212212121229.813221122112219.214221122121129.61522121121212316221211221212.445.459.64461.645.269.453.859.657.46449.865.447.864.24055.649.852.4R18.69

38、.821.413.81929.41.89.85.4以两因素搭配表来计算交互因素多水平搭配下的数据和，再选优D E 9.2+8.6+8.6+9.2=35.62.0+3.8+9.4+3.0=18.23.8+3.6+12.0+2.4=21.84.8+9.6+9.8+9.6=33.8D×EA B 9.2+4.8+2.0+3.8=19.83.8+3.6+8.6+9.6=25.69.8+9.4+12.0+8.6=39.89.2+9.6+3.0+2.4=24.2 从而可以得优选组方案：，即含炭量为 0.7%，含镍量为2.5%，含铜量0，出炉温，不造型冷却为最佳。我们也可以通过应用“析因设计”的分析

39、方法研究因素的交互作用。先看两个例子： 例一： 如A、B两个因素分别有两个水平，组合的响应（即试验结果）为20304052从水平变到水平的效应为A（4052）/2（2030）/2=21从水平变到水平的效应为B（3052）/2（2040）/2=11对参与试验A水平响应的变化量为402020对参与试验A水平响应的变化量为523022说明：B因素的参与对A因素影响不大；A因素的水平变化比B因素的水平变化要显著。例二：还是两因素两水平的例子，其组合响应为20405012从水平变到水平的效应为A（5012）/2（2040）/2=1从水平变到水平的效应为B（4012）/2（2050）/2=9对参与试验A水

40、平响应的变化量为502030对参与试验A水平响应的变化量为124028说明：A因素的水平变化对响应的影响不大；B因素的水平变化比A因素的水平变化要显著。B因素的水平变化对A因素的响应影响很大，A的效应依赖于B的水平变化，即A与B因素之间有交互作用。（上两例用图示直观反映它们的交互作用）再看上面的计算结果：A B19.825.639.824.2D E 35.618.221.833.8从水平变到水平的效应为A（39.824.2）/2（19.825.6）/2=9.3从水平变到水平的效应为B（25.624.2）/2（19.839.8）/2=4.9对参与试验A水平响应的变化量为39.819.820对参与

41、试验A水平响应的变化量为24.225.61.4说明：A、B因素的水平变化对响应均有影响； 水平参与对A因素响应的影响显著，而参与试验对A因素响应的影响不大；因此可以认为，B因素中的水平参与对A因素的响应影响很大，A的效应依赖于B的水平变化，即A与B因素之间有交互作用。D、E的析因分析将有同样的结果。§1.4 正交试验的一般步骤1 明确实验目的，确定考察指标2 挑因素，选水平，制定因素水平表3 选正交表，进行表头设计，定试验方案4 试验、填数据5 计算分析试验数据，找最优方案（计算，画整体图，排主次顺序，初选方案，分析后定终选方案）6 验证试验（第二批试验）§1.5 试验设计

42、的方差分析直观分析法（极差分析法）：计算工作量少，简单易懂，可直观判断。但：不能把实验条件引起波动，与试验误差引起的波动区分开，对影响试验结果的各因素的重要程度不能作量化估计。下面介绍的方差分析方法可以弥补直观分析方法的不足，可提供一个标准来判断多因素的作用是否显著。一. 单因素试验的方差分析在一项试验中，若只有一个因素在改变，而其它因素保持不变，这就叫单因素试验。为考虑某因素对试验结果的影响，设有m个实验条件（m个水平），每个条件进行n次试验，每次试验结果都是一个随机变量，同一条件下n次重复试验的结果是同一总体的一个样本，m个条件下，就有m个样本，根据m个样本值分析实验条件的变化对所考察指标

43、有无显著影响，实际是考察m个总体的数学期望值有无显著差异，因而这是一个假设检验问题。 下面通过一个单因素试验的例子来介绍方差分析的主要过程。在前面的一个柱塞组合强度例子中得出了优选方案，因素的主次顺序BDCA, 其中柱塞头高B是主要因素，在B的三个因素中以mm为最好，试问：如再增加B尺寸，是否拉脱力F为更有利？为此取mm，mm，做单因素对比试验，若每个水平（试验条件）重复5次，其结果如下：10550，10500，10600，10450，10700，10560：10800，10650，10750，10700，10600，10700将上述数据简化列表如下： 简化的 重复试验数据条 （原始数据-1000