立体几何大题各个类型的典型题目

1、立体几何大题训练(1)1如图，已知ABC是正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且EAAB2a，DCa，F是BE的中点（1）FD平面ABC；（2）AF平面EDB 2已知线段PA矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点。（1）求证：MN/平面PAD； （2）当PDA45°时，求证：MN平面PCD；立体几何大题训练(2)3如图，在四面体ABCD中，CB=CD,，点E，F分别是AB,BD的中点求证：（1）直线EF/ 面ACD； （2）平面面BCDABCDEF4在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C底面ABC （1）若D是BC的中点，求证

2、ADCC1；（2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证 截面MBC1侧面BB1C1C；（3）AM=MA1是截面MBC1平面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由立体几何大题训练(3)5. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、G分别是A1A，D1C，AD的中点_G_M_D_1_C_1_B_1_A_1_N_D_C_B_A求证：（1）MN/平面ABCD； （2）MN平面B1BG6. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点（1）求证：EF平面CB1D1；ABCDA1B1C1D1EF（2）求证：平面CAA1C1平面CB1D

3、1立体几何大题训练(4)E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 7、如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E、E1分别是棱AD、AA1的中点(1)设F是棱AB的中点，证明：直线EE1面FCC1；(2)证明：平面D1AC面BB1C1C。8如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=，点E，F分别在PD，BC上，且PE：ED=BF：FC。 （1）求证：PA平面ABCD； （2）求证：EF/平面PAB。立体几何大题训练(5)9如图，在三棱锥P-ABC

4、中， PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分别是BC、AC的中点，F为PC上的一点，且PF:FC=3:1APBCDEF（1）求证：PABC；（2）试在PC上确定一点G，使平面ABG平面DEF；（3）求三棱锥P-ABC的体积10、直三棱柱中，ABCC1A1B1（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的体积立体几何大题训练(6)11、如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都是2，D、E分别为CC1、A1B1的中点 （1）求证C1E平面A1BD； （2）求证AB1平面A1BD；E DCB1C 1A1A B12.如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=2，AA1=1，D是BC的

5、中点，点P在平面BCC1B1内，PB1=PC1= （I）求证：PA1BC；（II）求证：PB1/平面AC1D； 立体几何大题训练(7)13.如图，平行四边形中，将沿折起到的位置，使平面平面 （I）求证： （）求三棱锥的侧面积。第14题14. 如图,在四棱锥中,侧面底面,侧棱,底面是直角梯形,其中,是上一点.()若,试指出点的位置； ()求证:. 立体几何大题训练(8)15 、如图所示：四棱锥P-ABCD底面一直角梯形，BAAD，CDAD，CD=2AB，PA底面ABCD，ABCDEQPE为PC的中点.（1）证明：EB平面PAD； （2）若PA=AD，证明：BE平面PDC； 16如图，在直三棱柱A

6、BCA1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点。 （I）求证：CD平面A1ABB1； （II）求证：AC1/平面CDB1。立体几何大题训练(9)17如图，四边形ABCD为矩形，平面ABCD平面ABE，BEBC，F为CE上的一点，且BF平面ACE BADCFE（第17题） （1）求证：AEBE； （2）求证：AE平面BFD18如图所示，在直三棱柱中，平面为的中点（1）求证：平面； （2）求证：平面；（3）设是上一点，试确定的位置使平面平面，并说明理由A1B1C1ABCD立体几何大题训练(10)19如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点，（1）求证：；（2）求证：20如图，、分别为直角三角形的直角

7、边和斜边的中点，沿将折起到的位置，连结、，为的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；立体几何大题训练(11)21如图，四棱锥PABCD中，四边形ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，且E、O分别为PC、BD的中点求证：（1）EO平面PAD；PECBADO （2）平面PDC平面PAD 22在四棱锥PABCD中，ABCACD90°，BACCAD60°，PA平面ABCD，E为PD的中点，PA2AB2（）求四棱锥PABCD的体积V；（）若F为PC的中点，求证PC平面AEF；（）求证CE平面PAB立体几何大题训练(12)23.在四棱锥中，底面为菱形，,E为OA的中点，F为BC

8、的中点，连接EF，求证：（1） (2) ABEDC24、已知：等边的边长为，分别是的中点，沿将折起，使，连,得如图所示的四棱锥()求证：平面()求四棱锥的体积ABCED立体几何大题训练(13)25、如图，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PAAD，E是PD的中点（1）求证：PB平面AEC（2）求证：平面PDC平面AEC26如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，点在上，。 求证：（1）EF平面ABC；w.（2）平面平面.立体几何大题训练(14)27、如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点（1）求证：/平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积28.正三棱柱的底面边长与侧

9、棱长都是2，分别是的中点.C1B1A1EDCBA（）求三棱柱的全面积；（）求证：平面;（）求证：平面平面.立体几何大题训练(15)29. 已知直三棱柱中，为等腰直角三角形，且，分别为的中点，（1）求证：/平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥E-ABF的体积。30已知矩形ABCD中，AB2AD4，E为 CD的中点，沿AE将AED折起，使DB2，O、H分别为AE、AB的中点ABCDEABCDEOH（1）求证：直线OH/面BDE；（2）求证：面ADE面ABCE.立体几何大题训练(16)31（本小题满分14分）已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD为直角梯形，ABCD，ABAD，CD=

10、DD1 =4，AD=AB=2，E、F分别为BC、CD1中点(I)求证：EF平面BB1D1D；ABCDEA1B1C1FD1第31题图()求证：BC平面BB1D1D；()求四棱锥F-BB1D1D的体积.32、如图，已知平面是正三角形，且是的中点。（I）求证：平面；（II）求证：平面平面； 立体几何大题训练(17)33.如图已知平面，且是垂足（）求证：平面；（）若，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论34如图，四棱柱的底面边长和侧棱长均为1，为中点A1D1C1B1BACDO1（I）求证：；（II）求证：；（III）求四棱柱的体积立体几何大题训练(18)35. 如图，正三棱柱中，已知，为的中点A

11、BCA11C1B1M（）求证：；（）试在棱上确定一点，使得平面 36 正三棱柱中，点是的中点，设（）求证:平面;（）求证:平面答案与评分标准1.证明（1）取AB的中点M，连FM，MC， F、M分别是BE、BA的中点， FMEA，FM=EA EA、CD都垂直于平面ABC， CDEA， CDFM 3分又 DC=a，FM=DC四边形FMCD是平行四边形， FDMC即FD平面ABC7分（2）M是AB的中点，ABC是正三角形，CMAB，又CMAE，CM面EAB，CMAF，FDAF， 11分又F是BE的中点，EA=AB，AFEB即由AFFD，AFEB，FDEBF，可得AF平面EDB 14分2. （1）取P

12、D的中点E，连接AE、ENEN平行且等于DC，而DC平行且等于AM AMNE为平行四边形MNAE MN平面PAD （2）PA平面ABCDCDPA又ABCD为矩形 CDAD, CDAE，AEMN，MNCD ADDC，PDDC ADP=45°, 又E是斜边的PD的中点AEPD，MNPDMNCD，MH平面PCD.3、证明：（1）E,F分别是的中点EF是ABD的中位线，EFAD，EF面ACD，AD面ACD，直线EF面ACD；（2）ADBD，EFAD，EFBD，CB=CD，F是的中点，CFBD又EFCF=F, BD面EFC，BD面BCD，面面4、(1)证明 AB=AC，D是BC的中点，ADBC

13、底面ABC平面BB1C1C，AD侧面BB1C1CADCC1 (2)证明 延长B1A1与BM交于N，连结C1NAM=MA1，NA1=A1B1A1B1=A1C1，A1C1=A1N=A1B1C1NC1B1底面NB1C1侧面BB1C1C，C1N侧面BB1C1C截面C1NB侧面BB1C1C截面MBC1侧面BB1C1C (3)解 结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性 过M作MEBC1于E，截面MBC1侧面BB1C1CME侧面BB1C1C，又AD侧面BB1C1C MEAD，M、E、D、A共面AM侧面BB1C1C，AMDECC1AM，DECC1D是BC的中点，E是BC1的中点AM=DE=AA1，A

14、M=MA1 5. 证明：（1）取CD的中点记为E，连NE，AE由N，E分别为CD1与CD的中点可得NED1D且NE=D1D， 2分又AMD1D且AM=D1D4分所以AMEN且AM=EN，即四边形AMNE为平行四边形所以MNAE， 6分又AE面ABCD,所以MN面ABCD 8分（）由AGDE，DAAB可得与全等 10分所以， 11分又，所以所以， 12分又,所以， 13分又MNAE，所以MN平面B1BG 15分6.（1）证明:连结BD.在长方体中，对角线.又 E、F为棱AD、AB的中点， . . 又B1D1平面，平面， EF平面CB1D1. （2） 在长方体中，AA1平面A1B1C1D1，而B1

15、D1平面A1B1C1D1， AA1B1D1.又在正方形A1B1C1D1中，A1C1B1D1， B1D1平面CAA1C1. 又 B1D1平面CB1D1，平面CAA1C1平面CB1D17、证明:（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1，E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4, CD=2,且AB/CD，所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1/A1D，又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1/A1D，所以CF1/EE1，又因为平面FCC，平面FCC，所以直线EE/平面FCC.E A B C F E1

16、 A1 B1 C1 D1 D （2）连接AC,在直棱柱中，CC1平面ABCD,AC平面ABCD,所以CC1AC,因为底面ABCD为等腰梯形，AB=4, BC=2, F是棱AB的中点,所以CF=CB=BF，BCF为正三角形，,ACF为等腰三角形，且所以ACBC, 又因为BC与CC1都在平面BB1C1C内且交于点C,所以AC平面BB1C1C,而平面D1AC,所以平面D1AC平面BB1C1C.8（1）证明：底面ABCD是菱形，ABC=60°，AB=AD=AC=a.在PAB中，PA2+AB2=2a2=PB2,PAAB，同时PAAD，又ABAD=A，PA平面ABCD.4分（2）作EG/PA交A

17、D于G，连接GF.6分则GF/AB.8分又PAAB=A，EGGF=G，平面EFG/平面PAB，9分又EF平面EFG，EF/平面PAB.10分9(1) 在PAC中，PA=3，AC=4，PC=5， ，；又AB=4，PB=5，在PAB中， 同理可得 ， 平面ABC，PABC. (2) 如图所示取PC的中点G，连结AG，BG，PF:FC=3:1,F为GC的中点 又D、E分别为BC、AC的中点，AGEF，BGFD，又AGGB=G，EFFD=F 面ABG面DEF 即PC上的中点G为所求的点。 （3）10、（1）直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC，则BB1AB，BB1BC， 又由于AC=BC=B

18、B1=1，AB1=，则AB=， 则由AC2+BC2=AB2可知，ACBC， 又由上BB1底面ABC可知BB1AC，则AC平面B1CB， 所以有平面AB1C平面B1CB； - 8分（2）三棱锥A1AB1C的体积-14分11、（1）设AB1与A1B相交于F，连EF，DF则EF为AA1B1的中位线，EFA1A2分C1DA1A，EFC1D，则四边形EFDC1为平行四边形，DFC1E 4分C1E平面A1BD，DF平面A1BD，C1E平面A1BD 6分（2）取BC的中点H，连结AH，B1H，由正三棱柱ABCA1B1C1，知AHBC， 8分B1B平面ABC，B1BAHB1BBCB，AH平面B1BCC1AHB

19、D 10分在正方形B1BCC1中，tanBB1HtanCBD，BB1HCBD则B1H BD12分AHB1HH，BD平面AHB1BDAB1在正方形A1ABB1中，A1BAB1而A1BBDB，AB1平面A1BD 14分12.解：（I）证明：取B1C1的中点Q，连结A1Q，PQ，PB1C1和A1B1C1是等腰三角形，B1C1A1Q，B1C1PQ，2分B1C1平面AP1Q， 4分B1C1PA1， 6分BCB1C1，BCPA1.7分 （II）连结BQ，在PB1C1中，PB1=PC1=，B1C1=2，Q为中点，PQ=1，BB1=PQ，9分BB1PQ，四边形BB1PQ为平行四边形，PB1BQ. 11分BQD

20、C1，PB1DC1，12分又PB1面AC1D，PB1平面AC1D. 14分13.证：（I）证明：在中， 又平面平面 平面平面平面 平面 平面（）解：由（I）知从而 在中， 又平面平面 平面平面，平面 而平面 综上，三棱锥的侧面积，14. ()解:因为,且,所以(4分) 又,所以四边形为平行四边形,则(6分) 而,故点的位置满足(8分)()证: 因为侧面底面,且,所以,则(10分) 又,且,所以 (14分) 而,所以(16分)15、（1）取PD中点Q，连EQ、AQ，则QECD，CDAB，QEAB，又AQ 又平面PAD（2）PA底面ABCD CDPA，又CDADCD平面PAD AQCD若PA=AD

21、，Q为PD中点，AQPD AQ平面PCDBEAQ，BE平面PCD16证明：（I）证明：ABCA1B1C1是三直棱柱，平面ABC平面A1ABB1，AC=BC，点D是AB的中点，CDAB，平面ABC平面A1ABB1=AB，CD平面A1ABB1。 （II）证明：连结BC1，设BC1与B1C的交点为E，连结DE。D是AB的中点，E是BC1的中点，DE/AC1。DE平面CDB1，AC平面CDB1，AC1/平面CDB1。17（1）证明：平面ABCD平面ABE，平面ABCD平面ABE=AB，ADAB，GBADCFEAD平面ABE，ADAEADBC，则BCAE 又BF平面ACE，则BFAEBCBF=B，AE平

22、面BCE，AEBE （2）设ACBD=G，连接FG，易知G是AC的中点，BF平面ACE，则BFCE而BC=BE，F是EC中点 10分在ACE中，FGAE，AE平面BFD，FG平面BFD， AE平面BFD 14分18、解：（1）证明：连接与相交于，则为的中点，连结，又为的中点，又平面，平面4分（2），四边形为正方形，又面，面，又在直棱柱中，平面8分（3）当点为的中点时，平面平面，、分别为、的中点，平面，平面，又平面，平面平面14分19、证明：（1）在中，、分别为、的中点， 4分又 7分（2）三棱柱是直三棱柱，平面， 9分在中，为的中点， 11分、平面平面 又平面 14分20(1)证明：E、P分别

23、为AC、AC的中点， EPAA，又AA平面AAB，EP平面AAB 即EP平面AFB 7分(2) 证明：BCAC，EFAE，EFBC BCAE，BC平面AEC BC平面ABC 平面ABC平面AEC 14分21（1）证法一：连接AC因为四边形ABCD为矩形，所以AC过点O，且O为AC的中点又因为点E为PC的中点，所以EO/PA4分因为PAÌ平面PAD，EO平面PAD，所以EO面PAD7分证法二：取DC中点F，连接EF、OF因为点E、O分别为PC和BD的中点，所以EF/PD，OF/BC在矩形ABCD中，AD/BC，所以OF/AD因为OF平面PAD，ADÌ平面PAD，所以OF/平面

24、PAD同理，EF/平面PAD因为OFEFF，OF、EFÌ平面EOF，所以平面EOF/平面PAD 4分因为EOÌ平面OEF，所以EO平面PAD7分证法三：分别取PD、AD中点M、N，连接EM、ON、MN因为点E、O分别为PC和BD的中点，所以EMCD，ONAB在矩形ABCD中，ABCD，所以EMON所以四边形EMNO是平行四边形所以EO/MN4分因为MNÌ平面PAD，EO平面PAD，所以EO面PAD 7分（2）证法一：因为四边形ABCD为矩形，所以CDAD9分因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，CDÌ平面ABCD， 所以CD平面PAD1

25、2分又因为CDÌ平面PDC，所以平面PDC平面PAD 14分证法二：在平面PAD内作PFAD，垂足为F因为平面PAD平面ABCD，所以PF平面ABCD因为CDÌ平面ABCD，所以PFCD 9分因为四边形ABCD为矩形，所以CDAD11分因为PFADF，所以CD平面PAD12分又因为CDÌ平面PDC，所以平面PDC平面PAD14分22. 解：（）在RtABC中，AB1，BAC60°，BC，AC2在RtACD中，AC2，CAD60°，CD2，AD4SABCD则V（）PACA，F为PC的中点，AFPC 7分PA平面ABCD，PACDACCD，PAAC

26、A，CD平面PACCDPC E为PD中点，F为PC中点，EFCD则EFPC 9分AFEFF，PC平面AEF 10分（）证法一：取AD中点M，连EM，CM则EMPAEM 平面PAB，PA平面PAB，EM平面PAB 12分在RtACD中，CAD60°，ACAM2，ACM60°而BAC60°，MCABMC 平面PAB，AB平面PAB，MC平面PAB 14分EMMCM，平面EMC平面PABEC平面EMC，EC平面PAB 15分23. 24、证明 ：()连，在等边中有，而， -3分ABCED在中，则，由对称性知，在中，则又，-7分()在梯形中，易知-10又-14分25（1）

27、连结交于点，连结，因为为中点，为中点，所以， 2分，所以，6分（2）因为，所以，又因为，且，所以 8分因为，所以 10分因为，所以因为，所以12分又因为，所以14分2627、证明：（1）连结，在中，、分别为，的中点，则（2）（3） 且 ， 即=28解:（1）解由三棱柱是正三棱柱，且棱长均为2，可知底面是正三角形，侧面均为正方形，C1B1A1EDCBA故三棱柱的全面积.(2) 在正三棱柱中，因为分别是的中点，可知,又,所以四边形是平行四边形，故,又平面,平面,所以平面.(3) 连,设与相交于，则由侧面为正方形，可知与互相平分.在中，,同理可得,故,连,可得.连,同理可证,又与相交于，故平面.因为平面, 故平面平面.29. 解