第二章逻辑函数

1、1重大通信重大通信学院学院何伟何伟第二章第二章 逻辑函数逻辑函数 主要内容主要内容2.1 逻辑函数逻辑函数2.2 逻辑函数的简化逻辑函数的简化2重大通信重大通信学院学院何伟何伟2.1 逻辑函数逻辑函数 逻辑代数（逻辑代数（Logic Algebra）是由英国数）是由英国数学家乔治学家乔治布尔布尔(George Boole)于于1849年首年首先提出的，因此也称为布尔代数（先提出的，因此也称为布尔代数（Boolean Algebra）。逻辑代数研究逻辑变量间的相互）。逻辑代数研究逻辑变量间的相互关系，是分析和设计逻辑电路不可缺少的数学关系，是分析和设计逻辑电路不可缺少的数学工具。所谓逻辑变量，是

2、指只有两种取值的变工具。所谓逻辑变量，是指只有两种取值的变量量:真或真或假、高或低、假、高或低、1或或0。 3重大通信重大通信学院学院何伟何伟 2.1.1 基本逻辑基本逻辑 逻辑变量之间的关系多种多样，有简单的也有复逻辑变量之间的关系多种多样，有简单的也有复杂的，最基本的逻辑关系有杂的，最基本的逻辑关系有:逻辑与、逻辑或和逻辑非逻辑与、逻辑或和逻辑非三种。三种。 1.逻辑与逻辑与 只有当决定某事件的全部条件同时具备时，该事只有当决定某事件的全部条件同时具备时，该事件才发生，这样的逻辑关系称为逻辑与，或称逻辑相件才发生，这样的逻辑关系称为逻辑与，或称逻辑相乘。乘。2.1 逻辑函数逻辑函数 4重大

3、通信重大通信学院学院何伟何伟 在如图电路中，只有当开关在如图电路中，只有当开关S1和和S2同时接通时，电灯同时接通时，电灯F才会亮。若以才会亮。若以S1、S2表示两个开关的状态，以表示两个开关的状态，以F表表示电灯的状态，用示电灯的状态，用1表示开关接通和表示开关接通和电灯亮，用电灯亮，用0表示开关断开和电灯灭，表示开关断开和电灯灭，则只有当则只有当S1和和S2同时为同时为1时，时，F才为才为1，F与与S1和和S2之间是一种与的逻辑关系。之间是一种与的逻辑关系。逻辑与运算的运算符为逻辑与运算的运算符为“”，写成，写成F=S12或或F=S1S2。 逻辑变量之间取值的对应关系可逻辑变量之间取值的对

4、应关系可用一张表来表示，这种表叫做逻辑真用一张表来表示，这种表叫做逻辑真值表值表,简称真值表。简称真值表。与逻辑关系的真与逻辑关系的真值表如表所示。值表如表所示。 S1S2F 与逻辑电路与逻辑电路 S1 S2F0 00 11 01 10001与逻辑的真值表与逻辑的真值表 2.1 逻辑函数逻辑函数 5重大通信重大通信学院学院何伟何伟2.逻辑或逻辑或 在决定某事件的诸多条件中，在决定某事件的诸多条件中，当有一个或一个以上具备时，该当有一个或一个以上具备时，该事件都会发生，这样的逻辑关系事件都会发生，这样的逻辑关系称为逻辑或，或称逻辑相加。称为逻辑或，或称逻辑相加。 在如图电路中，当开关在如图电路中

5、，当开关S1和和S2中有一个接通（中有一个接通（S1=1或或S2=1）或一个以上接通（或一个以上接通（S1=1且且S2=1）时，电灯时，电灯F都会亮（都会亮（F=1），因），因此此F与与S1和和S2之间是一种或的逻之间是一种或的逻辑关系。逻辑或运算的运算符为辑关系。逻辑或运算的运算符为“+”，写成，写成F=S1+S2。或逻辑。或逻辑关系的真值表如表所示。关系的真值表如表所示。或逻辑电路或逻辑电路 FS1S2 或逻辑的真值表或逻辑的真值表 S1 S2F0 00 11 01 101112.1 逻辑函数逻辑函数 6重大通信重大通信学院学院何伟何伟3.逻辑非逻辑非 在只有一个条件决定某事件在只有一个条

6、件决定某事件的情况下，如果当条件具备时，的情况下，如果当条件具备时，该事件不发生；而当条件不具备该事件不发生；而当条件不具备时，该事件反而发生，这样的逻时，该事件反而发生，这样的逻辑关系称为逻辑非，也称为逻辑辑关系称为逻辑非，也称为逻辑反。反。 在如图电路中，当开关在如图电路中，当开关S接接通（通（S=1）时，电灯）时，电灯F不 亮不 亮（F=0），而当开关），而当开关S断 开断 开（S=0）时，电灯）时，电灯F亮（亮（F=1）。）。因此，因此，F与之间是逻辑反的关与之间是逻辑反的关系，写成系，写成F= 。非逻辑关系的。非逻辑关系的真值表如表所示。真值表如表所示。 S非逻辑的真值表非逻辑的真值

7、表 SF0110非逻辑电路非逻辑电路 SF2.1 逻辑函数逻辑函数 7重大通信重大通信学院学院何伟何伟4.其他常见逻辑运算其他常见逻辑运算 除了与、或、非三种最基本的逻辑运算外，常除了与、或、非三种最基本的逻辑运算外，常见的复合逻辑运算有见的复合逻辑运算有:与非、或非、异与非、或非、异或、同或、与或、同或、与非与非、或非或非等，这些运算的表达式如下非与非、或非或非等，这些运算的表达式如下: 与非表达式与非表达式:或非表达式或非表达式:异或表达式异或表达式:同或表达式同或表达式: 与非与非表达式与非与非表达式: 或非或非表达式或非或非表达式: FABFABFABABABFABABABFABCDF

8、ABCD 以上这些复合逻辑运算的真值表分别如下表所示。以上这些复合逻辑运算的真值表分别如下表所示。 2.1 逻辑函数逻辑函数 8重大通信重大通信学院学院何伟何伟与非逻辑的真值表与非逻辑的真值表A BF0 00 11 01 111102.1 逻辑函数逻辑函数 9重大通信重大通信学院学院何伟何伟或非逻辑的真值表或非逻辑的真值表 A BF0 00 11 01 110002.1 逻辑函数逻辑函数 10重大通信重大通信学院学院何伟何伟A BF0 00 11 01 10110异或逻辑的真值表异或逻辑的真值表 2.1 逻辑函数逻辑函数 11重大通信重大通信学院学院何伟何伟A BF0 00 11 01 110

9、01同或逻辑的真值表同或逻辑的真值表 2.1 逻辑函数逻辑函数 12重大通信重大通信学院学院何伟何伟与非与非逻辑的真值表与非与非逻辑的真值表 2.1 逻辑函数逻辑函数 13重大通信重大通信学院学院何伟何伟或非或非逻辑的真值表或非或非逻辑的真值表 2.1 逻辑函数逻辑函数 14重大通信重大通信学院学院何伟何伟5 门电路门电路 输出和输入之间具有一定逻辑关系的电路称为逻辑门电路，简输出和输入之间具有一定逻辑关系的电路称为逻辑门电路，简称门电路。常用的门电路有与门、或门、非门、与非门、或非门、称门电路。常用的门电路有与门、或门、非门、与非门、或非门、与或非门、异或门、同或门等，它们的逻辑符号如图所示

10、。与或非门、异或门、同或门等，它们的逻辑符号如图所示。&FAB与门 FAB1FAB或门 FABFA非门 F1A&FAB与非门 FAB1FAB或非门 FBA 1FAB与或非门 FCD AB &CD1FAB异或门 FBAFAB同或门 FAB常用门电路的逻辑符号常用门电路的逻辑符号 2.1 逻辑函数逻辑函数 15重大通信重大通信学院学院何伟何伟1.逻辑函数逻辑函数定理：任何逻辑关系都可表示为逻辑函数。定理：任何逻辑关系都可表示为逻辑函数。 输入逻辑变量输入逻辑变量A、B、C输出运算结果输出运算结果Y YA、B、C，记为，记为Y=F(A,B,C） 如果如果A、B、C和和Y只取只取0、1两个值，则叫二值

11、逻辑函数。两个值，则叫二值逻辑函数。 例：楼道开关控制逻辑问题就是一个逻辑函数。例：楼道开关控制逻辑问题就是一个逻辑函数。A和和B分别是分别是楼下、楼上的两个单刀双掷开关，楼下、楼上的两个单刀双掷开关，P为楼道灯，任何时候均可在为楼道灯，任何时候均可在楼下或楼上开关楼道灯。楼下或楼上开关楼道灯。 若用若用1表示开关掷上，用表示开关掷上，用0表示开关掷下，用表示开关掷下，用1表示灯亮，用表示灯亮，用0表示灯灭，则灯表示灯灭，则灯P是开关是开关A，B，C的二值逻辑函数，即：的二值逻辑函数，即：P=F（A、B）2.1.3 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 2.1 逻辑函数逻辑函数 16重大通

12、信重大通信学院学院何伟何伟2. 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法 逻辑函数常用的描述方法有函数式、真值表、卡逻辑函数常用的描述方法有函数式、真值表、卡诺图和逻辑图等。诺图和逻辑图等。1). 函数式函数式 由逻辑变量和逻辑运算符号组成，用于表示变量由逻辑变量和逻辑运算符号组成，用于表示变量之间逻辑关系的式子，称为逻辑函数式。常用的逻辑之间逻辑关系的式子，称为逻辑函数式。常用的逻辑函数式有与或表达式、标准与或表达式、或与表达式、函数式有与或表达式、标准与或表达式、或与表达式、标准或与表达式、与非与非表达式、或非或非表达式、标准或与表达式、与非与非表达式、或非或非表达式、与或非表达式等。与或非表

13、达式等。2.1 逻辑函数逻辑函数 17重大通信重大通信学院学院何伟何伟与或表达式与或表达式: 标准与或表达式标准与或表达式:或与表达式或与表达式: 标准或与表达式标准或与表达式: 与非与非表达式与非与非表达式:或非或非表达式或非或非表达式:与或非表达式与或非表达式: FABACDFABCDABCDABCDF(AB)(ACD)F(ABCD)(ABCD)(ABCD)FABCDFABCDFABCD 2.1 逻辑函数逻辑函数 18重大通信重大通信学院学院何伟何伟2). 真值表真值表 用来反映变量所有取值组合及对应函数值的表格，用来反映变量所有取值组合及对应函数值的表格，称为真值表。例如，在一个判奇电路

14、中，当称为真值表。例如，在一个判奇电路中，当A、B、C三个变量中有奇数个三个变量中有奇数个1时，输出时，输出F为为1；否则，输出；否则，输出F为为0。可列出下表所示的真值表。可列出下表所示的真值表。2.1 逻辑函数逻辑函数 19重大通信重大通信学院学院何伟何伟判奇电路的真值表判奇电路的真值表A B CF0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1011010012.1 逻辑函数逻辑函数 20重大通信重大通信学院学院何伟何伟3). 卡诺图卡诺图 将逻辑变量分成两组，分别在横竖两个方向用循将逻辑变量分成两组，分别在横竖两个方向用循环码形式排列出各组变量的所有取值

15、组合，构成一个环码形式排列出各组变量的所有取值组合，构成一个有有2n个方格的图形，其中，每一个方格对应变量的一个方格的图形，其中，每一个方格对应变量的一个取值组合，这种图形叫做卡诺图。卡诺图分变量卡个取值组合，这种图形叫做卡诺图。卡诺图分变量卡诺图和函数卡诺图两种。在变量卡诺图的所有方格中，诺图和函数卡诺图两种。在变量卡诺图的所有方格中，没有相应的函数值，而在函数的卡诺图中，每个方格没有相应的函数值，而在函数的卡诺图中，每个方格上都有相应的函数值。上都有相应的函数值。2.1 逻辑函数逻辑函数 21重大通信重大通信学院学院何伟何伟 如图为二五个变量的卡诺图，方格中的数字为该方格如图为二五个变量的

16、卡诺图，方格中的数字为该方格对应变量取值组合的十进制数，亦称该方格的编号。对应变量取值组合的十进制数，亦称该方格的编号。0123AB0101(a)0123ABC000101(b)457611100123ABCD00010001(c)457611101112131514108911100123ABCDE0000010001(d)4576011 01011121315141089111024252627282931302021232216171918110 111 101100 卡诺图卡诺图 (a)两变量两变量;(b)三变量三变量;(c)四变量四变量;(d)五变量五变量2.1 逻辑函数逻辑函数 2

17、2重大通信重大通信学院学院何伟何伟一个四变量函数的卡诺图一个四变量函数的卡诺图0110ABCD0001000111101110110001100110 如图为一个四如图为一个四变量函数的卡诺图，变量函数的卡诺图，方格中的方格中的0和和1表示表示在对应变量取值组在对应变量取值组合下该函数的取值。合下该函数的取值。 2.1 逻辑函数逻辑函数 23重大通信重大通信学院学院何伟何伟4). 逻辑图逻辑图 由逻辑门电路符号构成的，用来表示逻辑变量之由逻辑门电路符号构成的，用来表示逻辑变量之间关系的图形称为逻辑电路图，简称逻辑间关系的图形称为逻辑电路图，简称逻辑图。如图为图。如图为函数函数 FABA(BC)

18、(CD)的逻辑图。的逻辑图。 1&F&1111DCAB 函数函数F的逻辑图的逻辑图 2.1 逻辑函数逻辑函数 24重大通信重大通信学院学院何伟何伟2.1.4 逻辑函数相等和逻辑函数的基本公式逻辑函数相等和逻辑函数的基本公式 1. 逻辑函数相等逻辑函数相等 定义：如果对应于输入变量的任一状态组合，输出变量定义：如果对应于输入变量的任一状态组合，输出变量F和和G的值都相同，则称的值都相同，则称F和和G是等值的，即是等值的，即F=G。 由定义可知：由定义可知： F和和G的真值表相同的真值表相同F=G 例例2-2(P20) 2.1 逻辑函数逻辑函数 2逻辑函数基本公式逻辑函数基本公式25重大通信重大通

19、信学院学院何伟何伟(1) 0 00(2) 0 10(3) 1 11(4) 00(5) 0(6) 1(7)0(8)(9)(10)()()(11)()(12)(13) AAAAA AA AAA BB AAB CA BCABCA BA CABA BAA(1 ) 000(2 ) 010(3 ) 111(4 ) 10(5 ) 0(6 ) 1(7 )0(8 )(9 )(10 )()()(11 )() ()(12 ) AAAAAAAAAABBAABCABCAB CABACA BAB2.1 逻辑函数逻辑函数 26重大通信重大通信学院学院何伟何伟式式(8)、(8)称为同一律；称为同一律；式式(9)、(9)称为交

20、换律；称为交换律；式式(10)、(10)称为结合律；称为结合律；式式(11)、(11)称为分配律；称为分配律；式式(12)、(12)称为德称为德摩根摩根(DeMorgan)定定律；律；式式(13)称为还原律。称为还原律。 2.1 逻辑函数逻辑函数 27重大通信重大通信学院学院何伟何伟2.1.5 三个定理三个定理 1.代入规则代入规则 在一个逻辑等式两边出现某个变量（或表示式）在一个逻辑等式两边出现某个变量（或表示式）的所有位置都代入另一个变量（或表达式），则等式的所有位置都代入另一个变量（或表达式），则等式仍然成立。仍然成立。 例如例如:已知已知 ，在等式两边出现，在等式两边出现B的所的所有位

21、置都代入有位置都代入BC，则等式仍然成立，即，则等式仍然成立，即A B =A+B A (BC)=A+(BC)=A+B+C2.1 逻辑函数逻辑函数 28重大通信重大通信学院学院何伟何伟2.反演规则反演规则 对一个逻辑函数对一个逻辑函数F进行如下变换进行如下变换:将所有的将所有的“”换成换成“”，“”换成换成“”，“0”换成换成“1”，“1”换成换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到函数函数F的反函数的反函数 。 使用反演规则时，要注意以下两点使用反演规则时，要注意以下两点:保持原函数中逻保持原函数中逻辑运算的优先顺序；不是单个变量上的反

22、号保持不变。辑运算的优先顺序；不是单个变量上的反号保持不变。F例如例如:则则 ZA BA CDZ(AB) AC D2.1 逻辑函数逻辑函数 29重大通信重大通信学院学院何伟何伟3.对偶规则对偶规则 对一个逻辑函数对一个逻辑函数F进行如下变换进行如下变换:将所有的将所有的“”换换成成“”，“”换成换成“”，“0”换成换成“1”，“1”换换成成“0”，则得到函数，则得到函数F的对偶函数的对偶函数F。例如。例如: F1=A(B+C)， F1=A+BC F2=AB+AC， F2=(A+B)(A+C) 如果两个函数相等，则它们的对偶函数亦相等。如果两个函数相等，则它们的对偶函数亦相等。这就是对偶规则。这

23、就是对偶规则。例如例如:已知已知 A(B+C)=AB+AC 则则 A+BC=(A+B)(A+C)2.1 逻辑函数逻辑函数 30重大通信重大通信学院学院何伟何伟2.1.6 常用公式常用公式 下面列出一些常用的逻辑函数公式，利用前面介下面列出一些常用的逻辑函数公式，利用前面介绍的基本公式可以对它们加以证明。绍的基本公式可以对它们加以证明。 （1） A+AB=A 证明证明:A+AB=A1+AB =A(1+B) =A1 =A 公式的含义是公式的含义是:在一个与或表达式中，如果一个与在一个与或表达式中，如果一个与项是另一个与项的一个因子，则另一个与项可以不要。项是另一个与项的一个因子，则另一个与项可以不

24、要。这一公式称为吸收律。例如这一公式称为吸收律。例如:2.1 逻辑函数逻辑函数 31重大通信重大通信学院学院何伟何伟(AB)(AB) C DAB（2） AA BABAA B(AA) (AB)1 (AB)AB 证明证明: 2.1 逻辑函数逻辑函数 32重大通信重大通信学院学院何伟何伟 公式的含义是公式的含义是:在一个与或表达式中，如在一个与或表达式中，如果一个与项的反是另一个与项的一个因子，则果一个与项的反是另一个与项的一个因子，则这个因子可以不要。例如这个因子可以不要。例如:A+B+(A B) C=A+B+A+B C=A+B+C2.1 逻辑函数逻辑函数 33重大通信重大通信学院学院何伟何伟（3

25、） 证明证明: A B+A C=A B+A C+B CA B+A C+B C=A B+A C+B C (A+A)=A B+A C+A B C+A B C=(A B+A B C)+(A C+A C B)=A B+A C 公式的含义是公式的含义是:在一个与或表达式中，如果一个与项在一个与或表达式中，如果一个与项中的一个因子的反是另一个与项的一中的一个因子的反是另一个与项的一个因子，则由这两个因子，则由这两个与项其余的因子组成的与项是可要可不要的。个与项其余的因子组成的与项是可要可不要的。例如例如: 2.1 逻辑函数逻辑函数 34重大通信重大通信学院学院何伟何伟 A B C+(A+B) D+C D=

26、(A B) C+(A B) D+C D=(A B) C+(A B) D=A B C+(A+B) D2.1 逻辑函数逻辑函数 35重大通信重大通信学院学院何伟何伟（4） 证明证明: A B+A C=A B+A C+B C DA B+A C+B C D=(A B+A C)+B C D=A B+A C+B C+B C D=A B+A C+(B C+B C D)=A B+A C+B C=A B+A C2.1 逻辑函数逻辑函数 36重大通信重大通信学院学院何伟何伟 公式的含义是公式的含义是:在一个与或表达式中，如在一个与或表达式中，如果一个与项中的一个因子的反是另一个与项的果一个与项中的一个因子的反是另

27、一个与项的一个因子，则包含这两个与项其余因子作为因一个因子，则包含这两个与项其余因子作为因子的与项是可要可不要的。例如子的与项是可要可不要的。例如:A B C+(A+B) D+C D E+F G=A B C+(A+B) D2.1 逻辑函数逻辑函数 37重大通信重大通信学院学院何伟何伟2.1.7 逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式 逻辑函数的标准形式主要有两种，即与一或式和或一与式。逻辑函数的标准形式主要有两种，即与一或式和或一与式。 1. 最小项最小项mi（i取取02n-1）定义：包括全部输入变量的乘积项，并且所有变量均以原变量或反变量的形定义：包括全部输入变量的乘积项，并且所有变量均以原变

28、量或反变量的形式在乘积项中必须且只能出现一次。式在乘积项中必须且只能出现一次。mi的重要特性：的重要特性： 在输入变量的任何取值下必须有一个最小项且仅有一个最小项的知为在输入变量的任何取值下必须有一个最小项且仅有一个最小项的知为1； 全体全体mi之和为之和为1； 任意两个任意两个mi的乘积为的乘积为0； 相邻两个相邻两个mi之和可以合并成一项，并消去一对因子。之和可以合并成一项，并消去一对因子。相邻：两个相邻：两个mi只有因子不同，其余均相同，这两个只有因子不同，其余均相同，这两个mi叫相邻叫相邻mi。如。如ABC、 。为什么为什么mi叫最小项：因为包含了全部输入变量的乘积项等于叫最小项：因为

29、包含了全部输入变量的乘积项等于1的机会最小。的机会最小。 ABC2.1 逻辑函数逻辑函数 38重大通信重大通信学院学院何伟何伟 求最小项对应的变量取值组合时，如果变量为原求最小项对应的变量取值组合时，如果变量为原变量，则对应组合中变量取值为变量，则对应组合中变量取值为1；如果变量为反变量，；如果变量为反变量，则对应组合中变量取值为则对应组合中变量取值为0。例如，。例如，A、B、C的最小项的最小项ABC对应的变量取值组合为对应的变量取值组合为101，其大小为，其大小为5，所，所以以,ABC的编号为的编号为5，记为，记为m5。2.1 逻辑函数逻辑函数 39重大通信重大通信学院学院何伟何伟 【例】写

30、出函数【例】写出函数 的标准与或表达式。的标准与或表达式。 解解:F=A+BC+ABC F=A+BC+ABC =A(B+B)(C+C)+(A+A)BC+ABC =ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC =ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC 也可以写成 124567(A,B,C)=m +m +m +m +m +m F(A,B,C)=m(1,2,4,5,6,7) F(A,B,C)=(1,2,4,5,6,7)或 或 2.1 逻辑函数逻辑函数 40重大通信重大通信学院学院何伟何伟 从上面例子可以看出，一个与项如果缺少一个变从上面例子可以看出，一个与项如果缺少一个变量，则生成

31、两个最小项；一个与项如果缺少两个变量，量，则生成两个最小项；一个与项如果缺少两个变量，则生成四个最小项；如此类推，一个与项如果缺少则生成四个最小项；如此类推，一个与项如果缺少n个个变量，则生成变量，则生成2n个最小项。个最小项。 由真值表求函数的标准与或表达式时，找出真值由真值表求函数的标准与或表达式时，找出真值表中函数值为表中函数值为1的对应组合，将这些组合对应的最小项的对应组合，将这些组合对应的最小项相或即可。相或即可。2.1 逻辑函数逻辑函数 41重大通信重大通信学院学院何伟何伟2. 最大项最大项Mi（i取取02n-1）定义：包括全部输入变量的和项，并且所有变量均以原变量或反变量的形式定

32、义：包括全部输入变量的和项，并且所有变量均以原变量或反变量的形式在和项中必须且只能出现一次。在和项中必须且只能出现一次。Mi的重要特性：的重要特性： 在输入变量的任何取值下必须有一个最大项且仅有一个最大项的知为在输入变量的任何取值下必须有一个最大项且仅有一个最大项的知为0； 全体全体Mi之积为之积为1； 任意两个任意两个Mi之和为之和为1； 只有一个变量不同的两个只有一个变量不同的两个Mi的乘积等于各相同变量之和。的乘积等于各相同变量之和。 2.1 逻辑函数逻辑函数 42重大通信重大通信学院学院何伟何伟n【例】【例】 写出函数写出函数 的标准或与表达式。的标准或与表达式。n 解解:F=A(B+

33、C)F=A(B+C) =(A+BB+CC)(AA+B+C) =(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C) =(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)2.1 逻辑函数逻辑函数 43重大通信重大通信学院学院何伟何伟也可以写成也可以写成 01236F(A,B,C)=M +M +M +M +M F(A,B,C)=M(0,1,2,3,6) F(A,B,C)=(0,1,2,3,6)或或 或或 2.1 逻辑函数逻辑函数 44重大通信重大通信学院学院何伟何伟 我们知道，同一个逻辑函数可以写成不同的表达我们知道，同一个逻辑函数可以写成不同的

34、表达式。用基本逻辑门电路去实现某函数时，表达式越简式。用基本逻辑门电路去实现某函数时，表达式越简单，需用门电路的个数就越少，因而也就越经济可靠。单，需用门电路的个数就越少，因而也就越经济可靠。因此，实现逻辑函数之前，往往要对它进行化简，先因此，实现逻辑函数之前，往往要对它进行化简，先求出其最简表达式，再根据最简表达式去实现逻辑函求出其最简表达式，再根据最简表达式去实现逻辑函数。最简表达式有很多种，最常用的有最简与或表达数。最简表达式有很多种，最常用的有最简与或表达式和最简或与表达式。不同类型的逻辑函数表达式，式和最简或与表达式。不同类型的逻辑函数表达式，最简的定义也不同。最简的定义也不同。2.

35、2 逻辑函数的化简逻辑函数的化简 45重大通信重大通信学院学院何伟何伟函数的最简与或表达式必须满足的条件有函数的最简与或表达式必须满足的条件有:(1)与项个数最少。与项个数最少。(2)与项中变量的个数最少。与项中变量的个数最少。函数的最简或与表达式必须满足的条件有函数的最简或与表达式必须满足的条件有:(1)或项个数最少。或项个数最少。(2)或项中变量的个数最少。或项中变量的个数最少。常见的化简方法有公式法和卡诺图法两种。常见的化简方法有公式法和卡诺图法两种。2.2 逻辑函数的化简逻辑函数的化简 46重大通信重大通信学院学院何伟何伟2.2.1 公式化简法（代数法）公式化简法（代数法） 公式法化简

36、逻辑函数，就是通过利用逻辑函数的公式法化简逻辑函数，就是通过利用逻辑函数的基本公式，对函数进行消项、消因子等，以求得函数基本公式，对函数进行消项、消因子等，以求得函数的最简表达式。常用方法有以下四种。的最简表达式。常用方法有以下四种。 1. 并项法并项法 利用公式利用公式 ，将两个与项合并为一，将两个与项合并为一个，消去其中的一个变量。个，消去其中的一个变量。AB+AB=B2.2 逻辑函数的化简逻辑函数的化简 47重大通信重大通信学院学院何伟何伟【例】【例】 求函数求函数 的最简与或表达式。的最简与或表达式。 解解: F=AB+AB+AB+ABF=AB+AB+AB+AB=(AB+AB)+(AB

37、+AB)=A+A=12.2 逻辑函数的化简逻辑函数的化简 48重大通信重大通信学院学院何伟何伟2. 吸收法吸收法 利用公式利用公式 ，吸收多余的与项。，吸收多余的与项。【例】【例】 求函数求函数 的最简与或表达式。的最简与或表达式。 解解: F=(A+AB+ABC)(A+B+C) =A(A+B+C) =AA+AB+AC =A+AB+AC =AA+AB=AF=(A+AB+ABC)(A+B+C)2.2 逻辑函数的化简逻辑函数的化简 49重大通信重大通信学院学院何伟何伟3. 消去法消去法 利用公式利用公式 ，消去与项多余的因子。，消去与项多余的因子。【例】【例】 求函数求函数 的最简与的最简与 或表

38、达式。或表达式。 解解: A+AB=A+BF=AB+AC+BC+CD+DF=AB+AC+BC+CD+D=AB+AC+BC+C+D=AB+A+B+C+D=B+A+B+C+D=12.2 逻辑函数的化简逻辑函数的化简 50重大通信重大通信学院学院何伟何伟4. 配项消项法配项消项法 利用公式利用公式 ，进行配项，以消去更多，进行配项，以消去更多的与项。的与项。 【例】【例】 求函数求函数 的最简与或表达式。的最简与或表达式。 解解: AB+AC=AB+AC+BCF=AB+BD+DA+DCE F=AB+BD+DA+DCE =AB+BD+AD+DA+DCE =AB+BD+D+DCE =AB+D2.2 逻辑

39、函数的化简逻辑函数的化简 51重大通信重大通信学院学院何伟何伟【例】【例】 求函数求函数 的最简与或表达式。的最简与或表达式。 解解: F=AB+BC+BC+ABF=AB+BC+BC+AB =AB+BC+(BC+AB) =AB+BC+BC+AB+AC =AB+BC+(BC+AC+AB) =AB+BC+BC+AC =(AB+AC+BC)+BC =AB+AC+BC2.2 逻辑函数的化简逻辑函数的化简 52重大通信重大通信学院学院何伟何伟2.2.2 图解图解化简化简法（卡诺图法（卡诺图化简化简法）法） 1.用卡诺图化简法求函数的最简与或表达式用卡诺图化简法求函数的最简与或表达式 卡诺图卡诺图：将：将

40、n变量的全部最小项各用一个方块表示，并使具有逻辑变量的全部最小项各用一个方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得到的叫做相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得到的叫做n变量最小项的卡诺图。（由美国工程师卡诺提出）变量最小项的卡诺图。（由美国工程师卡诺提出） 循环码：相邻两组之间只有一个变量值不同的编码，如循环码：相邻两组之间只有一个变量值不同的编码，如00011110。 1)卡诺图的相邻性卡诺图的相邻性 最小项的相邻性定义最小项的相邻性定义: 两个最小项，如果只有一个变量的形式不同（在一个最小项两个最小项，如果只有一个变量的形式不同（在一个最小项中以原变

41、量出现，在另一个最小项中以反变量出现），其余变量中以原变量出现，在另一个最小项中以反变量出现），其余变量的形式都不变，则称这两个最小项是逻辑相邻的。卡诺图的相邻的形式都不变，则称这两个最小项是逻辑相邻的。卡诺图的相邻性判别性判别:2.2 逻辑函数的化简逻辑函数的化简 53重大通信重大通信学院学院何伟何伟 在卡诺图的两个方格中，如果只有一个变量的取在卡诺图的两个方格中，如果只有一个变量的取值不同（在一个方格中取值不同（在一个方格中取1，在另一个方格中取，在另一个方格中取0），），其余变量的取值都不变，则这两个方格对应的最小项其余变量的取值都不变，则这两个方格对应的最小项是逻辑相邻的。在卡诺图中，

42、由于变量取值按循环码是逻辑相邻的。在卡诺图中，由于变量取值按循环码排列，使得几何相邻的方格对应的最小项是逻辑相邻排列，使得几何相邻的方格对应的最小项是逻辑相邻的。具体而言，每一方格和上下左右四边紧靠它的方的。具体而言，每一方格和上下左右四边紧靠它的方格相邻；最上一行和最下一行对应的方格相邻；最左格相邻；最上一行和最下一行对应的方格相邻；最左一列和最右一列对应的方格相邻；对折相重的方格相一列和最右一列对应的方格相邻；对折相重的方格相邻。图邻。图1-13画出了卡诺图中最小项相邻的几种情况。画出了卡诺图中最小项相邻的几种情况。2.2 逻辑函数的化简逻辑函数的化简 54重大通信重大通信学院学院何伟何伟

43、卡诺图中最小项相邻的几种情况卡诺图中最小项相邻的几种情况AB0001000111101110紧靠相邻AB0001000111101110上下相对相邻AB0001000111101110左右相对相邻ABCDE000 0010001011 0101110110111 101 100对折相重相邻2.2 逻辑函数的化简逻辑函数的化简 55重大通信重大通信学院学院何伟何伟2) 卡诺图化简法的一般规律卡诺图化简法的一般规律（1）两个相邻的）两个相邻的1方格圈在一起，消去一个变量，如图所方格圈在一起，消去一个变量，如图所示。示。 两个相邻的两个相邻的1方格对应的两个最小项中只有一个变方格对应的两个最小项中只

44、有一个变量的形式不同，将它们相或时可以消去该变量，只剩下量的形式不同，将它们相或时可以消去该变量，只剩下不变的因子。例如，在图（不变的因子。例如，在图（a）中，两个相邻的）中，两个相邻的1方格对方格对应的两个最小项为应的两个最小项为 和和 ，在这两个最小项中只有，在这两个最小项中只有变量变量C的形式不同。因为的形式不同。因为 ，结果将变量结果将变量C消去了，剩下两个不变的因子消去了，剩下两个不变的因子 和和 。将这两个方格圈在一起得到一个简化的与项将这两个方格圈在一起得到一个简化的与项 。ABCABCABC+ABC=AB(C+C)=ABABAB2.2 逻辑函数的化简逻辑函数的化简 56重大通信

45、重大通信学院学院何伟何伟 两个相邻最小项的合并两个相邻最小项的合并 11ABC0001011110B ACB AC B A(a)11ABC0001011110CABCACB A(b)11ABC0001011110CBCB ACBA(c)11ABC0001011110CACABC BA(d)11ABCD00011110DCBDCABDCBA(e)11ABCD00011110CDBCDBACDB A(f)00011110000111102.2 逻辑函数的化简逻辑函数的化简 57重大通信重大通信学院学院何伟何伟（2）四个相邻的）四个相邻的1方格圈在一起，消去两个变量，如图所方格圈在一起，消去两个变量

46、，如图所示。示。 四个相邻的四个相邻的1方格对应的四个最小项中有两个变量的方格对应的四个最小项中有两个变量的形式变化过，将它们相或时可以消去这两个变量，只剩下形式变化过，将它们相或时可以消去这两个变量，只剩下不变的因子。不变的因子。 例如，在图（例如，在图（e）中，四个相邻的）中，四个相邻的1方格对应的四个方格对应的四个最小项分别为最小项分别为 ，在这四个，在这四个最小项中，最小项中，A和和C两个变量的形式变化过。两个变量的形式变化过。 ABCD ABCDABCDABCD、2.2 逻辑函数的化简逻辑函数的化简 58重大通信重大通信学院学院何伟何伟 ABCD+ABCD+ABCD+ABCD =AB

47、CD+ABCD +ABCD+ABCD =ABD(C+C)+ABD(C+C) =ABD+ABD =(A+A)BD =BD（）（）2.2 逻辑函数的化简逻辑函数的化简 59重大通信重大通信学院学院何伟何伟（3）八个相邻的）八个相邻的1方格圈在一起，消去三个变量，如图方格圈在一起，消去三个变量，如图所示。所示。 八个相邻的八个相邻的1方格对应的八个最小项中，有三个变量方格对应的八个最小项中，有三个变量的形式变化过，将它们相或时可以消去这三个变量，的形式变化过，将它们相或时可以消去这三个变量，只剩下不变的因子。只剩下不变的因子。2.2 逻辑函数的化简逻辑函数的化简 60重大通信重大通信学院学院何伟何伟

48、四个相邻最小项的合并四个相邻最小项的合并 11ABC0001011110CCABC BACBAC B A(b)11ABCD00011110BADBCABCDADCBAD CBA(d)0001111011ABC0001011110BCBAC BACB AC B A(a)111111ABCD00011110DBCDBADC BACDB ADC B A(c)000111101111ABCD00011110D BDCBAD C BADCB AD C B A(e)0001111011ABCD00011110CBDCABD CABDCBAD CBA(f)000111101111112.2 逻辑函数的化简逻辑函数的化简 61重大通信重大通信学院学院何伟何伟八个相邻最小项的合并八个相邻最小项的合并 11ABCD00011110BDABCABCDDCABD CABDBCABCDADCBAD CBA(a)0001111011ABC