第二章谓词逻辑-精品课程首页

1、著名的苏格拉底逻辑三段论：著名的苏格拉底逻辑三段论：所有的人总是要死的。苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。从命题逻辑的观点来看，三个命题都是原子命题，它们的前提和结论之间没有联结词，我们无法用命题逻辑的方法来说明上述推理的正确性。 一、谓词和个体变元一、谓词和个体变元定义定义 2.1.1 在原子命题中，所描述的对象称为个体，用以描述一个个体的性质或多个个体间关系的部分，称为谓词。一般用大写字母P, Q, R, 等来表示它们。另外这些大写字母还可以用来表示一个谓词所在的位置，而不表示具体的谓词，此时称之为谓词符号。如果一个谓词描述n个个体的性质或关系，那么称此谓词为n元谓词。表示一个n元谓词所

2、在位置的字母称为n元谓词符号。 例例2.1.1 小李是计算机系的大学生。“小李”就是这个命题的个体，而“是计算机系的大学生”则是描述“小李”性质的一元谓词。例例2.1.2 小王和小李是好朋友。“小王”和“小李”是这个命题的个体，而“ 和 是好朋友”则是描述“小王和“小李”间关系的两元谓词。 定义定义2.1.2 表示具体的，特指的个体词，称为个体常元，常用小写字母a,b,c, 或带下标的小写字母ai,bi,ci, 来表示。同样这些小写字母也可以用来表示一个个体常元所在的位置，而不表示具体的个体常元，此时称之为个体常元符号。表示抽象的，泛指的或在一定范围内变化的个体词，称为个体变元，常用小写字母x

3、,y,z, 或带下标的小写字母xi,yi,zi, 来表示。个体变元的取值范围称为个体域，常用大写字母D表示。个体常元符号与个体变元是两个不同的概念，例如马上我们会看到对个体变元可以加量词，但对个体常元符号却不能加。 设P为一个n元谓词符号，x1,x2, xn为n个个体变元，由它们组成的P(x1,x2, xn )称为n元谓词函数。P(x1,x2, xn) 本身不是一个命题， 但在用具体的谓词代替P，用n 个个体常元分别代替n个个体变元x1,x2, xn之后，它就是一个命题了。 例例2.1.3 在谓词逻辑中将下列命题符号化(1)黑叶猴是我国的一级保护动物。(2)小张的身高介于小王和小李之间。解解

4、(1) 令P(x)：x是我国的一级保护动物，a: 黑叶猴， 则原命题可符号化为P(a)。 (2) 令Q(x,y,z) ：x的身高介于y和z之间， a: 小张，b：小王，c：小李，则原命题可符号化为Q(a,b,c)。二、量词和全总个体域二、量词和全总个体域我们经常会遇到在个体变元前有“所有的”或“存在一些”等形式的修饰词，这类修饰词在逻辑推理中起着重要作用，所以我们有必要对它们进行研究。定义定义2.1.3 (1) 符号“”称为全称量词符，用来表达个体域中所有个体，对应于自然语言中“对所有的”，“每一个”，“对任何一个”和“一切”等词语。x称为全称量词，x称为其指导变元。(2) 符号“”称为存在量

5、词符，用来表达个体域中某些个体，对应于自然语言中“存在一些”，“至少有一个”，“对于一些”和“有的”等词语。x称为存在量词，x称为其指导变元。例例2.1.4 用谓词逻辑将下列命题符号化。(1)学生都要学习。(2)有的学生喜欢游泳。解解 (1)设P(x)：x要学习。D为学生集合。原命题可符号化为(x)P(x)。(2)设 Q(x)：x喜欢游泳。D为学生集合。原命题可符号化为(x)Q(x)。 定义定义2.1.4 由宇宙间一切事物组成的个体域称为全总个体域。一般地，命题中个体变元的个体域是被明确给出的，如果没有明确给出个体域，那么我们就认为个体域是全总个体域。对于例2.1.4，我们也可以不明确给出个体域即在全总个体域下将它们符号化。设S(x)：x为学生。那么例 2.1.4 的(1)可符号化为(x)(S(x)P(x)。而例 2.1.4 的(2)可符号化为(x)(S(x)P(x) 。我们把为了确定个体变