平面向量应用举例

1、平面向量应用举例一、教学目标1、学会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；2、会用向量的方法解决简单的与矢量相关的一些问题二、重点、难点、易错（混）点、常考点向量在平面几何问题以及与矢量相关问题中的应用三、知识梳理【创新设计P72】四、精选例题+变式训练考点一向量在平面几何中的应用【例1】（1）（2013课标全国n卷）已知正方形 ABCD的边长为2, E为CD的中点，贝U AE BD =.f f（2）（2013天津卷）在平行四边形 ABCD中，AD = 1，/ BAD = 60 ° E为CD的中点.若AC BE= 1, 贝U AB的长为.规律揭示:用平面向量解决平面几何问题时，有两

2、种方法：基向量法和坐标系法，建立平面直角坐标系时一般利用已知的垂直关系，或使较多的点落在坐标轴上，这样便于迅速解题.f f【训练1】（1）（2014杭州质检）在边长为1的菱形ABCD中，/ BAD = 60° E是BC的中点，贝U AC AE =f f f f在 ABC所在平面上有一点 P,满足PA+ PB + PC = AB，则 PAB与厶ABC的面积之比值是在边长为 3的正方形 ABCD中,E为DC的中点,AE与BD相交于点 F,则FD DE的值为【训练2】(1)如图，半圆的 半径OA = 3, O为圆心，C为半圆上不同于 A、B的任意一点，若 P为半径0C上的动点，贝U (PA

3、 + PB) PC的最小值为 .如图,，在 ABC中，AB = 3, BC 7 , AC 2，若0 ABC的外心，则 OB 0C=考点二向量在三角函数中的应用【例 2】设向量 a= (4cos a , sin a ), b= (sin 3 , 4cos 3 ), c= (cos 3，一 4sin 3 ).(1) 若a与b- 2 c垂直，求tan (a + 3 )的值；(2) 求|b+ c|的最大值；(3) 若 tan a tan 3 = 16,求证：a/ b.规律揭示:(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用

4、三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.3 二【训练 1 】已知向量 a = (3sin : ,cos ： ), b = (2sin : ,5sin-4cos ： ), ：(,2二)，且 a _ b.2(1 )求 tan 的值；(2)求 cos( ')的值.23【训练2】已知向量a=sin 手,b= cossin2,且 x(1)求 a b 及 |a + b|;若f(x)= a b- 2相+ b|的最小值是3 求入的值.3-【训练2】已知向量m = (1,1),向量n与向量m的夹角为，且m n

5、= -1.4(1) 求向量n ；片 彳TT C(2) 若向量n与向量a = (1,0)的夹角为二,向量b = (cosA,2cos2 ),其中A,C是AABC的2 2内角，且 代B, C依次成等差数列，试求n + b的取值范围考点三向量在解析几何中的应用PQ丄I，垂足为Q,且【例3】已知平面上一定点 C(2,0)和直线I: x= 8, P为该平面上一动点，作 i J 1 、' i J 1 t pc+ pq pc 2PQ = °.(1)求动点p的轨迹方程;若EF为圆N: x2+ (y 1)2= 1的任一条直径，求PE PF的最值.规律揭示:向量在解析几何中的作用(1) 载体作用

6、：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去 “向量外衣”导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.(2) 工具作用：利用 a lb? a -b= 0; a/b? a =乃(bM)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂 直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.2T T【训练1 (1)设O为坐标原点，F为抛物线y =4x的焦点，A是抛物线上一点，若OA，AF=-4，则A 点的坐标是.已知直线ax+by+c=O与圆0:x?=1相交于A, B两点，且盂 =J3 ,则OAOV于【训练2】如图,已知圆M:(x3 2 +(y3f = 4,四边形ABCD为圆M的内接正方形,E为边AB的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动,同时点F在边AD上运动时ME0F ,的最大值是 五、小结【方法规律、结论的归纳、提升】1 向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关 知识可以解决某些函数问题.2. 以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法