材料力学-3扭转ppt课件

1、31 改动的概念和实例改动的概念和实例 32 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图33 纯剪切纯剪切34 圆轴改动时的应力圆轴改动时的应力35 圆轴改动时的变形圆轴改动时的变形36 非圆截面杆改动的概念非圆截面杆改动的概念第三章第三章 扭扭 转转 3-1 3-1 改动的概念和实例改动的概念和实例一、工程实例工工 程程 实实 例例汽车传动轴汽车传动轴工工 程程 实实 例例汽车方向盘汽车方向盘轴：工程中以改动为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、轴：工程中以改动为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。石油钻机中的钻杆等。改动：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面

2、与直杆的轴线改动：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为改动变形。垂直，杆发生的变形为改动变形。二、改动的概念改动角改动角：恣意两截面绕轴线转动而发生的角位移。：恣意两截面绕轴线转动而发生的角位移。剪应变剪应变：直角的改动量。：直角的改动量。直接计算直接计算3-23-2、外力偶矩、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图1.1.外力偶矩外力偶矩3-23-2按输入功率和转速计算按输入功率和转速计算电机每秒输入功：电机每秒输入功：外力偶作功完成：外力偶作功完成：)N.m(1000PW602neMWPP知知轴转速轴转速n n 转转/ /分钟分钟输出功率输出功率P P 千瓦千瓦

3、求：力偶矩求：力偶矩MeMe3-23-2、外力偶矩、外力偶矩 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图3-23-2 截截 面面 法法 求求 扭扭 矩矩3 扭矩的符号规定：扭矩的符号规定： “T的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规那么为的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规那么为正，反之为负。正，反之为负。二、扭矩及扭矩图二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T。 2 截面法求扭矩截面法求扭矩mmmTmTmTmx00 x3-23-2 扭扭 矩矩 的的 符符 号号 规规 定定4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。扭矩图：表示沿杆

4、件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目目 的的扭矩变化规律；|T|max值及其截面位置 强度计算危险截面。xT例例1知：一传动轴，知：一传动轴， n =300r/min，自动轮输入，自动轮输入 P1=500kW，从动轮输出从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭，试绘制扭矩图。矩图。nA B C Dm2 m3 m1 m4解：计算外力偶矩解：计算外力偶矩m)15.9(kN 3005009.5555911nP.mm)(kN 7843001509.55559232.nP.mmm)(kN 3763002009.5555944.nP.mnA B C Dm2 m3 m1

5、 m4112233求扭矩扭矩按正方向设求扭矩扭矩按正方向设mkN784 0 , 02121.mTmTmCmkN569784784( , 0 322322.).mmTmmTmkN376 , 0 4243.mTmT绘制扭矩图绘制扭矩图mkN 569max .TBC段为危险截面。段为危险截面。xTnA B C Dm2 m3 m1 m44.789.566.373-23-2 圆圆 筒筒 变变 形形33 纯剪切纯剪切 3-23-2 圆圆 筒筒 单单 元元 体体薄壁圆筒：壁厚薄壁圆筒：壁厚0101rt r0：为平均半径一、实验：一、实验：1.实验前：实验前：绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线；施加一对外力偶

6、施加一对外力偶 m。2.实验后：实验后：圆周线不变；圆周线不变；纵向线变成斜直线。纵向线变成斜直线。3.结论：圆筒外表的各圆周线的外形、大小和间距均未改结论：圆筒外表的各圆周线的外形、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。变，只是绕轴线作了相对转动。 各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 。 一切矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。一切矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。 acddxbdy 无正应力 横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。4. 与与 的关系：的关系：LRRL 微小矩形单元体如下图：微小矩

7、形单元体如下图：二、薄壁圆筒剪应力二、薄壁圆筒剪应力 大小：大小： tATtrTTtrrArTrAAA 2 2 2d d 0 200000A0：平均半径所作圆的面积。三、剪应力互等定理：三、剪应力互等定理： 0故dxdytdxdytmz上式称为剪应力互等定理。 该定理阐明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向那么共同指向或共同背叛该交线。acddxb dy tz四、剪切虎克定律：四、剪切虎克定律： 单元体的四个侧面上只需剪应力而无正应力作用，这单元体的四个侧面上只需剪应力而无正应力作用，这种应力形状称为纯剪切应力形状。种应力形状称为纯剪

8、切应力形状。 T=m)( ) 2( 0RLtAT 剪切虎克定律：当剪应力不超越资料的剪切比例极限剪切虎克定律：当剪应力不超越资料的剪切比例极限时时 p)，剪应力与剪应变成正比关系。，剪应力与剪应变成正比关系。GGdddxdydzddVVWV221.212五、剪切变形能由纯剪切单元体：G 式中：G是资料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与 一样，不同资料的G值可经过实验确定，钢材的G值约为80GPa。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是阐明资料弹性性质的三个常数。对各向同性资料，这三个弹性常数之间存在以下关系推导详见后面章节： 可见，在三个弹性常数中，只需知道恣意两个，第三个

9、量就可以推算出来。)1 ( 2EG34 等直圆杆在改动时的应力等直圆杆在改动时的应力 强度条件强度条件 1. 横截面变形后横截面变形后 仍为平面；仍为平面； 2. 轴向无伸缩；轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后纵向线变形后仍为平行。仍为平行。一、等直圆杆改动实验察看：一、等直圆杆改动实验察看：二、等直圆杆改动时横截面上的应力：二、等直圆杆改动时横截面上的应力：1. 变形几何关系：变形几何关系：xxGGdddtg1xdd距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的与到圆心的间隔与到圆心的间隔成成正比。正比。xdd 改动角沿长度方向变化率。2. 物理关系：物理关系：虎克定律：代入上式得： GxGxGGdd

10、ddxGdd 3. 静力学关系：静力学关系：AxGAxGATAAAddd ddd d22AIApd2令xGI Tpdd pGITx dd 代入物理关系式 得：xGdd pITpIT横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。4. 公式讨论：公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性资料，在小变形时的等圆截面仅适用于各向同性、线弹性资料，在小变形时的等圆截面 直杆。直杆。 式中：式中：T横截面上的扭矩，由截面法经过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法经过外力偶矩求得。 该点到圆心的间隔。该点到圆心的间隔。 Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。单位：单位：mm4，m4。AI

11、Apd2 虽然由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，虽然由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是只是Ip值不同。值不同。4420221032 d2 dD.DAIDAp对于实心圆截面：对于空心圆截面：)1 (10)1 (32 )(32 d2 d4444442222D.DdDAIDdAp)(Dd 应力分布应力分布实心截面空心截面工程上采用空心截面构件：提高强度，节约资料，分量轻， 构造轻便，运用广泛。 确定最大剪应力：确定最大剪应力：pIT由知：当max , 2dR)2 ( 22 maxdIWWTdITIdTptpp令tWTmaxWt 抗扭截面系数抗扭截面模量， 几何量，单位：

12、mm3或m3。对于实心圆截面：332016D.DRIWpt对于空心圆截面：)-(12016)1 (4343D.DRIWpt四、圆轴改动时的强度计算四、圆轴改动时的强度计算强度条件：强度条件：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：maxmaxtWT( 称为许用剪应力。)强度计算三方面：强度计算三方面： 校核强度： 设计截面尺寸： 计算答应载荷：maxmaxtWTmaxTWtmaxtWT）（空：实：433116 16 DDWt 例例2 2 功率为功率为150kW150kW，转速为，转速为15.415.4转转/ /秒的电动机转子轴图，秒的电动机转子轴图， 许用剪应力许用剪应力 =30M Pa, =30M

13、Pa, 试校核其强度。试校核其强度。nNmTBC2103m)(kN551m)(N4151432101503.Tm解：求扭矩及扭矩图计算并校核剪应力强度此轴满足强度要求。D3 =D2=75 D1=70ABCmmxMPa23160701055133max.WTt35 圆轴改动时的变形圆轴改动时的变形一、改动时的变形一、改动时的变形由公式pGITx dd 知：长为 l一段杆两截面间相对改动角 为值不变）若 ( d d0TGITlxGITplp二、单位改动角二、单位改动角 ：(rad/m) dd pGITx /m)( 180 dd pGITx 或三、刚度条件三、刚度条件 (rad/m) maxpGIT

14、 /m)( 180 maxpGIT 或GIp反映了截面抵抗改动变形的才干，称为截面的抗扭刚度。反映了截面抵抗改动变形的才干，称为截面的抗扭刚度。 称为许用单位改动角。刚度计算的三方面：刚度计算的三方面： 校核刚度： 设计截面尺寸： 计算答应载荷： max max GT Ip max pGIT 有时，还可根据此条件进展选材。 例例33长为长为 L=2m L=2m 的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m m=20Nm/m 的作用，如图，的作用，如图，假设杆的内外径之比为假设杆的内外径之比为 =0.8 =0.8 ，G=80GPa G=80GPa ，许用剪应力，许用剪应力 =30MPa=3

15、0MPa，试设计杆的外径；假设，试设计杆的外径；假设 =2/m =2/m ，试校核此杆，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。的刚度，并求右端面转角。解：设计杆的外径maxTWt 116D 43）（tW314max 116）（TD40NmxT代入数值得：D 0.0226m。 由改动刚度条件校核刚度180maxmaxPGIT40NmxT180maxmaxPGIT 8911108018040324429.)(D右端面转角为：弧度）( 0330 4102040202200.)xx(GIdxGIxdxGITPPLP 例例4 4 某传动轴设计要求转速某传动轴设计要求转速n = 500 r / minn =

16、500 r / min，输入功率，输入功率N1 = N1 = 500 500 马力，马力， 输出功率分别输出功率分别 N2 = 200 N2 = 200马力及马力及 N3 = 300 N3 = 300马马力，知：力，知：G=80GPa G=80GPa ， =70M Pa =70M Pa， =1/m =1/m ，试确定：，试确定： AB AB 段直径段直径 d1 d1和和 BC BC 段直径段直径 d2 d2 ？ 假设全轴选同不断径，应为多少？假设全轴选同不断径，应为多少？ 自动轮与从动轮如何安排合理？自动轮与从动轮如何安排合理？解：图示形状下,扭矩如 图，由强度条件得： 500400N1N3N

17、2ACBTx7.024 4.21(kNm)m)(kN0247nN.m16 31TdWt mm4671070143421016163632.Td 32 4 GTdIp mm801070143702416163631.Td由刚度条件得：500400N1N3N2ACBTx7.0244.21(kNm) mm47411080143180421032 3249242.GTd mm8411080143180702432 3249241 .GTd mm75 mm8521 d,d综上：全轴选同不断径时 mm851 dd 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如下图,此时,

18、轴的最大直径才 为 75mm。Tx 4.21(kNm)2.814处理改动超静定问题的方法步骤：处理改动超静定问题的方法步骤：平衡方程；平衡方程；几何方程几何方程变形协调方程；变形协调方程；补充方程：由几何方程和物理方程得；补充方程：由几何方程和物理方程得；物理方程；物理方程；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。解由平衡方程和补充方程组成的方程组。四、圆轴改动超静定问题四、圆轴改动超静定问题 例例55长为长为 L=2m L=2m 的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m m=20Nm/m 的作用，如图，的作用，如图，假设杆的内外径之比为假设杆的内外径之比为 =0.8 =0.8 ，外径，

19、外径 D=0.0226m D=0.0226m ，G=80GPaG=80GPa，试求固端反力偶。试求固端反力偶。解：杆的受力图如图示，解：杆的受力图如图示， 这是一次超静定问题。这是一次超静定问题。 平衡方程为：平衡方程为：02BAmmm几何方程变形协调方程0BA 综合物理方程与几何方程，得补充方程：040220200PAPALPBAGImdxGIxmdxGITmN 20 Am 由平衡方程和补充方程得：另:此题可由对称性直接求得结果。mN 20Bm36 非圆截面等直杆在自在改动时的应力和非圆截面等直杆在自在改动时的应力和变形变形非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不坚非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不坚持平面。因此，由等直圆杆改动时推出的应力、变形公式不持平面。因此，由等直圆杆改动时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。适用，须由弹性力学方法求解。一、自在改动：杆件改动时，横截面的翘曲不受限制，恣意两相一、自在改动：杆件改动时，横截面的翘曲不受限制，恣意两相 邻截面的翘曲程度完全一样。邻截面的翘曲程度完全一样。二、约束改动：杆件改动时，横截面的翘曲遭到限制，相邻截面二、约束改动：杆件改动时，横截面的翘曲遭到限制，相邻截面 的翘曲程度不同。的翘曲程度不同。三、矩形杆横截面上的剪应力三、矩形杆横截面上