概率论与数理统计统计课后习题答案总主编邹庭荣主编程述汉舒兴明

1、第一章习题解答1解：（1） =0，1，10；（2） =0，1，100，其中为小班人数； （3） =,×, ××, ×××,其中表示击中，×表示未击中； （4） =（）|<1。2解：（1）事件表示该生是三年级男生，但不是运动员； （2）当全学院运动员都是三年级学生时，关系式CB是正确的；（3）全学院运动员都是三年级的男生，ABC=C成立；（4）当全学院女生都在三年级并且三年级学生都是女生时，=B成立。3解：（1）ABC；（2）AB；（3）；（4）；（5）；（6）;(7);(8)4解：因ABCAB，则P（ABC）P（AB）

2、可知P（ABC）=0所以A、B、C至少有一个发生的概率为P（ABC）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）=3×1/4-1/8+0=5/85解：（1）P（AB）= P（A）+P（B）-P（AB）=0.3+0.8-0.2=0.9=P（A）-P（AB）=0.3-0.2=0.1（2）因为P（AB）= P（A）+P（B）-P（AB）P（A）+P（B）=+,所以最大值maxP（AB）=min(+,1)；又P（A）P（AB），P（B）P（AB）,故最小值min P（AB）=max(,)6解：设A表示事件“最小号码为5”，B表示事件“最大号码为5”。由题设

3、可知样本点总数，。所以； 7解：设A表示事件“甲、乙两人相邻”， 若个人随机排成一列，则样本点总数为， 若个人随机排成一圈.可将甲任意固定在某个位置，再考虑乙的位置。表示按逆时针方向乙在甲的第个位置， 。则样本空间= ，事件A= 所以 8解：设A表示事件“偶遇一辆小汽车，其牌照号码中有数8”，则其对立事件表示“偶遇一辆小汽车，其牌照号码中没有数8”，即号码中每一位都可从除8以外的其他9个数中取，因此包含的基本事件数为，样本点总数为。故 9解：设A、B、C分别表示事件“恰有2件次品”、“全部为正品”、“至少有1件次品”。由题设知样本点总数，, 而，所以10解：设A、B、C、D分别表示事件“5张牌

4、为同一花色”、“3张同点数且另2张牌也同点数”、“5张牌中有2个不同的对（没有3张同点）”、“4张牌同点数”。样本点总数，各事件包含的基本事件数为 故所求各事件的概率为：11解： （1） （2） （3） 12解：令A=两件产品中有一件是废品，B=两件产品均为废品，C=两件产品中有一件为合格品，D=两件产品中一件是合格品，另一件是废品。则 所求概率为：（1） （2） 13解：设A、B、C分别表示事件甲、乙、丙得病，由已知有：P（A）=0.05 P（B|A）=0.4 P（C|AB）=0.8 则甲、乙、丙均得病的概率为：P（ABC）=P（A）P（B|A）P（C|AB）=0.01614解：令 B=从乙

5、团中随机选一人是中国人，则：由全概率公式有：15解：令A=天下雨，B=外出购物 则：P（A）=0.3 ， P（B|A）=0.2 ，P（B|）=0.9（1） P（B）=P（A）P（B|A）+P（）P（B|）=0.69（2） P（A|B）=16解：令A=学生知道答案，B=学生不知道答案，C=学生答对P（A）=0.5 PB=0.5 P（C|A）=1 P（C|B）=0.25由全概率公式：P（C）=P（A）P（C|A）+P（B）P（C|B） =0.5+0.5×0.25=0.625所求概率为：P（A|C）=17解：令事件 则（1）（2）18证明：因 则经整理得：即事件A与B 相互独立。19解：由

6、已知有 ，又A、B相互独立，所以A与相互独立；与B相互独立。则可从上式解得：P（A）=P（B）=1/220解：设“密码被译出”，“第i个人能译出密码”，i =1,2,3则又相互独立，因此21解：设“第次试验中A出现”， 则此4个事件相互独立。由题设有： 解得P（A）=0.222解：设A、B、C分别表示事件：甲、乙、丙三门大炮命中敌机，D表示敌机被击落。于是有 D= 故敌机被击落的概率为：=0.90223解：设A、B、C分别表示事件：甲、乙、丙三人钓到鱼，则P（A）=0.4，P（B）=0.6，P（C）=0.9（1） 三人中恰有一人钓到鱼的概率为：=0.4×0.4×0.1+0.

7、6×0.6×0.1+0.6×0.4×0.9=0.268（2） 三人中至少有一人钓到鱼的概率为： =1-0.6×0.4×0.1 =0.97624解：设D=“甲最终获胜”，A=“第一、二回合甲取胜”；B=“第一、二回合乙取胜”；C=“第一、二回合甲、乙各取胜一次”。则： 由全概率公式得： 所以 P（D）=25解：由题设500个错字出现在每一页上的机会均为1/50，对给定的一页，500个错字是否出现在上面，相当于做500次独立重复试验。因此出现在给定的一页上的错字个数服从二项概率公式，所以所求概率为： P=26解：设A=“厂长作出正确决策”

8、。每个顾问向厂长贡献意见是相互独立的，因此5个顾问向厂长贡献正确意见相当于做5 次重复试验，则所求概率为： P（A）=0.3174附综合练习题解答一、 填空题10.3;3/7;0.620.829;0.98830.2;0.24052/367/1271/482/39103/64二、 选择题1. C; 2.D; 3.D; 4.D; 5.B; 6.B; 7.B; 8.C; 9.C; 10.D三、1.（1）假；（2）假；（3）假；（4）真；（5）真2. 解：设A=所取两球颜色相同样本点总数为，若A发生，意味着都取到黑球或白球，故A包含的基本事件数为，所以P（A）=2/93. 解：设A=“第三次才取得合格

9、品” 则=4. 解：从0，1，9中不放回地依次选取3个数，组成一个数码。若0在首位，该数码为两位数，否则为三位数，于是可组成的数有10×9×8=720个。（1） 设A=“此数个位为5”， ，P（A）=1/10（2） 设B=“此数能被5整除”，P（B）=1/55. 解：设A=“系统可靠”，由全概率公式有：当第3号元件工作不正常时，系统变为如下： 1 2 4 5 图1当第3号元件工作正常时，系统变为如下： 1 2 4 5 图2 从而 6. 解：设A=“某人买到此书”，=“能从第个新华书店买到此书”，由题设故所求概率为： 第二章习题解答1.设与分别是随机变量X与Y的分布函数,为使

10、是某个随机变量的分布函数, 则的值可取为( A ). A. B. C. D. 2. 一批产品20个, 其中有5个次品, 从这批产品中随意抽取4个, 求这4个产品中的次品数的分布律.解：因为随机变量这4个产品中的次品数的所有可能的取值为：0，1，2，3，4.且；.因此所求的分布律为：X01234P0.28170.46960.21670.03100.00103 如果服从0-1分布, 又知取1的概率为它取0的概率的两倍, 写出的分布律和分布函数.解：设，则.由已知，所以的分布律为：X01P1/32/3当时，；当时，；当时，.的分布函数为： .4. 一批零件中有7个合格品，3个不合格品，安装配件时，从

11、这批零件中任取一个，若取出不合格品不再放回，而再取一个零件，直到取得合格品为止，求在取出合格品以前，已取出不合格品数的概率分布. 解：设X=在取出合格品以前，已取出不合格品数.则X的所有可能的取值为0，1，2，3.；.所以X的概率分布为：X01 2 3P7/107/30 7/120 1/1205. 从一副扑克牌（52张）中发出5张，求其中黑桃张数的概率分布. 解：设X其中黑桃张数.则X的所有可能的取值为0，1，2，3，4，5.；.所以X的概率分布为：X01 2 3 4 5P0.22150.4114 0.2743 0.0815 0.0107 0.00056. 自动生产线在调整之后出现废品的概率为

12、p, 当在生产过程中出现废品时立即重新进行调整, 求在两次调整之间生产的合格品数的概率函数.解：由已知，所以.7. 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿是相互独立的，且红、绿两种信号显示时间相同. 以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数. 求X的概率分布.解：的所有可能的取值为0，1，2，3.且；所以X的概率分布为X0123P1/21/41/81/88. 一家大型工厂聘用了100名新员工进行上岗培训，据以前的培训情况，估计大约有4%的培训者不能完成培训任务. 求：（1） 恰有6个人不能完成培训的概率；（2） 不多于4个的概率. 解：设X不能完成培训的人

13、数.则，（1）;（2）.9. 一批产品的接收者称为使用方，使用方风险是指以高于使用方能容许的次品率p接受一批产品的概率. 假设你是使用方，允许次品率不超过，你方的验收标准为从这批产品中任取100个进行检验，若次品不超过3个则接受该批产品. 试求使用方风险是多少？（假设这批产品实际次品率为0. 06）. 解：设X100个产品中的次品数，则，所求概率为.10. 甲、乙两人各有赌本30元和20元，以投掷一枚均匀硬币进行赌博. 约定若出现正面，则甲赢10元，乙输10元；如果出现反面，则甲输10元，乙赢10元. 分别求投掷一次后甲、乙两人赌本的概率分布及相应的概率分布函数.解：设投掷一次后甲的赌本，投掷

14、一次后乙的赌本.则的取值为20，40，且，所以与的分布律分别为： 20 40 10 30 1/2 1/2 1/2 1/2 , 11. 设离散型随机变量的概率分布为：（1）； （2），分别求（1）、（2）中常数的值. 解：（1）因为即 ，所以.(2) 因为 即，所以 .12. 已知一电话交换台服从的泊松分布，求：（1）每分钟恰有8次传唤的概率；（2）每分钟传唤次数大于8次的概率.解：设X每分钟接到的传唤次数，则，查泊松分布表得（1）；（2）.13. 一口袋中有5个乒乓球，编号分别为1、2、3、4、5，从中任取3个，以示3个球中最小号码，写出的概率分布.解：的所有可能的取值为1，2，3.；.所以X

15、的概率分布为：X123P6/103/101/1014. 已知每天去图书馆的人数服从参数为的泊松分布. 若去图书馆的读者中每个人借书的概率为，且读者是否借书是相互独立的. 求每天借书的人数X的概率分布. 解：设每天去图书馆的人数,则，当时，即X的概率分布为.15. 设随机变量的密度函数为，且，试求常数和. 解：；，由得，16. 服从柯西分布的随机变量的分布函数是F(x)=A+B, 求常数A, B; 以及概率密度f(x).解：由得.所以；.17. 设连续型随机变量的分布函数为求：（1）常数的值；（2）的概率密度函数；（3）. 解：（1）由的连续性得即，所以，；（2）；（3）.18. 设随机变量的分

16、布密度函数为试求：（1）系数；（2）；（3）的分布函数. 解：（1）因为所以，； （2）；(3) 当时，当时，当时，所以 19. 假设你要参加在11层召开的会议，在会议开始前5 min你正好到达10层电梯口，已知在任意一层等待电梯的时间服从0到10 min之间的均匀分布. 电梯运行一层的时间为10 s，从11层电梯口到达会议室需要20 秒. 如果你不想走楼梯而执意等待电梯，则你能准时到达会场的概率是多少？解：设=在任意一层等待电梯的时间,则，由题意，若能准时到达会场，则在10等电梯的时间不能超过4.5 min，所求概率为.20. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间（min）服从的指数分布. 某顾

17、客在窗口等待服务，若超过10 min，他就离开. 若他一个月到银行5次，求：(1) 一个月内他未等到服务而离开窗口的次数的分布；(2) 求. 解：（1）由已知，其中所以的分布为；（2）.21. 设随机变量，求使： （1）；（2）. 解：由得（1）查标准正态分布表得：，所以；（2）由得，所以即，查标准正态分布表得，所以22. 设，求. 解：由得；.23. 某地8月份的降水量服从的正态分布，求该地区8月份降水量超过250 的概率. 解：设随机变量该地8月份的降水量，则，从而所求概率为24. 测量某一目标的距离时，产生的随机误差服从正态分布，求在3次测量中至少有1次误差的绝对值不超过30 的概率.

18、解：由得设在3次测量中误差的绝对值不超过30 的次数，则其中所以P3次测量中至少有1次误差的绝对值不超过30 =25. 已知测量误差，X的单位是mm，问必须进行多少次测量，才能使至少有一次测量的绝对误差不超过的概率大于0. 9. 解：设必须进行n次测量才能使至少有一次测量的绝对误差不超过的概率大于0. 9.由已知，设n次测量中，绝对误差不超过的次数，则其中所求概率为，即，解之得，必须进行3次测量，才能使至少有一次测量的绝对误差不超过的概率大于0. 9.26. 参加某项综合测试的380名学生均有机会获得该测试的满分500分. 设学生的得分，某教授根据得分将学生分成五个等级：A级：得分；B级：；C

19、级：；D级：；F级：. 已知A级和C级的最低得分分别为448分和352分，则： （1）和是多少？（2）多少个学生得B级？解：（1）由已知，解之得（2）由于0.3413×380=129.66，故应有130名学生得B级。27. 已知随机变量的概率分布如下， -1 0 1 2 0. 2 0. 25 0. 30 0. 25 求及的概率分布. 解：的所有可能的取值为4，1，-2，-5.且；.所以的分布律为-5 -2 1 40.25 0.3 0.25 0.2的所有可能的取值为1，2，5且；.所以的分布律为 1 2 50.25 0.5 0.2528. 设随机变量，求的密度函数.解：由XN(0,1)

20、，得 ，设的分布函数为FY(y)，则当y1时，；当y<1时， . 即 29. 随机变量X的概率密度为求的密度函数. 解：由于y=lnx是一个单调函数，其反函数为， 利用公式得Y=lnX的密度函数为 (0,1)a图130. 设通过点的直线与x轴的交角在上服从均匀分布，求这直线在x轴上截距X的密度函数.解：以表示过（0，1）点的直线与x轴的交角，见图1。由题意知：随机变量在(0,)内服从均匀分布，故得的概率密度为 设随机变量X表示直线在x轴上的截矩，易知，即，其分布函数为： 。其密度函数为 第三章习题解答1.设随机变量(X, Y)的联合分布为Y12311/61/91/1821/3abX若X，

21、Y相互独立，则（ A ）. A. B. C. D. 解：根据离散型随机变量独立性的定义，px=1y=2=px=1py=2 即：1/9=（1/6+1/9+1/18）（1/9+a）得：a=2/9px=1y=3=px=1py=3 得：b=1/9 2. 同时掷两颗质体均匀的骰子, 以X, Y分别表示第1颗和第2颗骰子出现的点数, 则( A ). A. B.C. D. 解：根据离散型随机变量独立性的定义，因为所有的样本点为（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）一直到（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6

22、）共36个X=Y共6个，故B选项，则C选项 XY的样本点数为21个， 3. 若,且X, Y相互独立，则( C ). A. B.C. D.参看课本69页推论2：随机变量，且相互独立，常数不全为零，则有4. 已知相互独立，记 则( A ). A. B. C. D. 5. 已知(X, Y)的密度函数为则C的值为( D ).A. B. C. D. 解：根据二维随机变量密度函数的性质：即： 解得：c= 6为使 为二维随机向量(X, Y)的联合密度,则A必为( B ). A. 0 B. 6 C. 10 D. 16解：同上题类似 7. 设的密度函数为, 则(X, Y)在以(0,0), (0,2), (2,1

23、)为顶点的三角形内取值的概率为( C ).A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8解：以(0,0), (0,2), (2,1)为顶点的三角形内，密度函数解析式不唯一。以(0,0), (0,1), (2,1)为顶点的三角形内，以(0,1), (2,1), (0,2)为顶点的三角形内, 所以，=0.68. 设（，）的联合密度函数为判断与是否相互独立.解：根据课本62页定理1，先求，然后看是否成立。经判断，不独立9一个袋中有4个球，分别标有数字1、2、2、3，从袋中随机取出2个球，令、分别表示第一个球和第二个球上的号码，求：（，）的联合分布列. 解：根据实际意义得：px=1y=1=0

24、px=3y=3=0其它概率直接求即可。 YX 1 2 31 0 1/6 1/122 1/6 1/6 1/63 1/12 1/6 0 10设随机变量和的分布如下： 0 1 0 1P 又已知，试求的联合分布，并判断和是否独立.解： 由得：px=-1y=1=0，px=1y=1=0根据联合分布和边缘分布的关系，py=1=1/2，得px=0y=1=1/2 px=0=1/2，得px=0y=0=0, px=1=1/4，得px=1y=0=1/4px=-1=1/4，得px=-1y=0=1/4 联合分布为： YX0 1-1 1/4 000 1/211/4 0因为px=0y=1=1/2，而px=0 py=1=1/4

25、，所以X，Y不独立11设的分布列如下，写出与的边缘分布. （X,Y）(0，0) （-1，1） （-1，3） （2，0）P1/6 1/3 1/12 5/12解：根据联合分布和边缘分布的关系得：X-1 0 2Y0 1 35/12 1/6 5/127/12 1/3 1/12 12设二维随机变量（，）的密度函数为求常数及边缘分布密度函数.解：考查二维随机变量密度函数的性质及密度函数与边缘密度函数的关系由得：所以C=1边缘密度公式： 带入得：, 13. 设二维随机变量（，）的密度函数为（1） 求和的边缘密度，并判断和是否独立；（2）求 解：（1）与上题类似，判断是否独立，看是否成立。（2） 求区域上的概

26、率。即高等数学上求二重积分。 =65/7214. 独立投掷一枚均匀的骰子两次，记、为两次中各出现的点数，求一元二次方程有实根的概率和有重根的概率.解：方程有实根即，参看选择第二题，样本点数为19，故P=19/36.方程有重根即，样本点为2个，P=2/36.15. 证明二维正态随机变量相互独立的充要条件是. 证明：参见教材61页例3.16. 设是由直线，及所围成的三角形区域，二维随机变量在上服从均匀分布，求： (1) 的联合概率密度；（2）的边缘分布密度函数;(3) 条件密度和.解：（1）由均匀分布的定义（64页例6），D为平面上面积为A的有界区域. 求区域的面积A=32，所以（2）边缘密度公式

27、： ，将密度函数带入得 , （3）条件密度公式： 17设随机变量与相互独立，且分别服从参数为和的泊松分布，求的概率分布. 解：，即Z服从参数为+的泊松分布.18设（，）的概率分布为：YX-112-15/202/206/2023/203/201/20求：和的分布列.解：考查离散型随机变量函数的分布，参看课本67页例1-2 0 1 3 4 P5/20 2/20 9/20 3/20 1/20 -1 -2 1 2 4 P 2/20 9/20 5/20 3/20 1/20 19. （系统管理）设某系统由两个相互独立的子系统与连接而成，已知与的寿命（单位：年）分别为随机变量与，它们的分布密度为 式中的，与

28、的连接方式为（1）串联；（2）并联；（3）留备用. 若系统的寿命为，试求的分布密度，若，试求. 解：(1) 串联的情况。由于当L1和L2中有一个损坏时，系统L就停止工作，所以这时L的寿命为Z = min(X, Y)不难求得与分布函数分别为 于是Z = min(X, Y)的分布函数Z = min(X, Y)的密度函数(2) 并联的情况。由于当且仅当L1和L2都损坏时，系统L才停止工作，所以这时L的寿命为Z = max(X, Y)其分布函数于是Z = max(X, Y)的密度函数(3)备用的情况。由于当L1损坏时才启用L2，因此系统L的寿命是L1和L2两者寿命之和，即有Z = X + Y于是，当z

29、>0时Z的密度函数为当时，所以第四章习题解答1设随机变量XB（30，），则E（X）( D ). A.； B.； C.； D.5.2已知随机变量X和Y相互独立，且它们分别在区间-1，3和2，4上服从均匀分布，则E(XY)=（ A ）.A. 3；B. 6； C. 10； D. 12. 因为随机变量X和Y相互独立所以3设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则X2的数学期望E(X 2)_18.4_4某射手有3发子弹，射一次命中的概率为，如果命中了就停止射击，否则一直射到子弹用尽设表示X耗用的子弹数求E（X）.解：X123P2/32/91/95设X的概率密度函数为求

30、 解：,.6设随机向量(X，Y)的联合分布律为：YX-112-10.250.10.320.150.150.05求 解：X-12P0.650.35.Y-112P0.40.250.357设二维随机向量（X，Y）的联合概率密度为求（1）; (2) . 解：8设随机变量X与Y相互独立，且D(X)=1，D(Y)=2，则D(X-Y)= 3 .9设正方形的边长在区间0，2服从均匀分布，则正方形面积A=X2的方差为_64/45_. X的密度函数10设随机变量X的分布律为X-1012P1/51/21/51/10求 D(X). 解：，,.11设随机变量X的概率密度函数为，求D(X )解：，.12设随机变量X，Y相

31、互独立，其概率密度函数分别为 求D(X )，D(Y )，D(X-Y )解：由本章习题5知，于是有.由知.由于随机变量X，Y相互独立，所以.13设D(X)=1,D(Y)=4,相关系数，则cov(X,Y)=_1_.cov(X,Y)=14设二维随机变量(X, Y )的联合密度函数为求cov(X,Y )， 解：,.由对称性 , .cov(X,Y )=15设二维随机变量(X, Y )有联合概率密度函数试求E(X)，E(Y)，cov(X, Y)， 解：,由对称性.,cov(X,Y )= .,. 由对称性.16设X, Y相互独立，XN(0，1)，Y N(1，2)，Z = X+2Y，试求X与Z的相关系数解：,

32、.17设随机变量(5,3)，Y在0，6上服从均匀分布，相关系数，求（1）；（2）.解：,18设二维随机向量（X，Y）的概率密度为求（1）E（XY）；（2）E（XY）；（3）. 解：; cov(X,Y )= ，第五章习题解答 1. 设随机变量X的方差为2，则根据车比雪夫不等式有估计 1/2 . 2. 随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，相关系数为-0.5，则根据车比雪夫不等式有估计 1/12 . 3. 电站供应一万户用电设用电高峰时，每户用电的概率为09，利用中心极限定理，（1）计算同时用电的户数在9030户以上的概率；（2）若每户用电200 w，电站至少应具有多大发电量才能以095的概率保证供电？ 解： 设表示用电户数，则 由中心定理（定理4）得 设发电量为，依题意即 4. 某车间有150台同类型的机器，每台机器出现故障的概率都是0