专题平面向量常见题型与解题指导

1、实用文档平面向量常见题型与解题指导一、考点回顾1、本章框图2、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题， 掌握向量垂直的条件。6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所

2、学知识解决实际问题的能力。 3、热点分析 对本章内容的考查主要分以下三类：1 .以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2 .以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主3 .向量在空间中的应用（在 B类教材中）.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究 三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此,掌握双基、精通课本是本章关键 .分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本

3、运算。对 于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行 考查。本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化 运算，重视应用。考查的重点是基础知识和基本技能。4、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类 是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸

4、缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种 运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。二是向量的坐 标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思 想在解决数学问题上的作用。在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是 重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力。标准文案二、常见题型分类题型一：向量的有关概念与运算此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运管舁、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件

5、标准文案1 :已知a是以点 A(3,1)为起点，且与向量b = ( 3,4)平行的单位向量，则向量 a的终点坐标思路分析：与a平行的单位向量,ae=±-|a |方法一：设向量a的终点坐标是(x,y),则a =(x-3,y+1),则题意可知4 (x -3) +3 (y +1) =0 曲飞 解得(x 3)2 -K y + 1) 2 =1慢5或1-5189 y = "I可，故填(12)或(18 ,- 9 )555 5方法二 与向量b = (-3,4)平行的单位向量是土(-3,4),故可得a = ± (-, ),从而向量a的终点坐标是(x,y)=55 5a (3, - 1

6、),便可得结果.点评：向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念例2：已知| a |=1,| b |=1, a与b的夹角为60° , x =2a- b, y=3b- a，则x与y的夹角的余弦是多少?思路分析：要计算x与y的夹角依需求出冈,|y|,x y的值.计算时要注意计算的准确性解：由已知|a|=|b|=1, a与b的夹角a 为 60°，得 a ,要计算x与y的夹角0,需求出|x|,|y|, x - y 的值.|x|2= x2=(2a b)2=4a2 4a - b+ b2=4 4X +1=3

7、 ,2|y|2= y2=(3b-a)2=9b2-6b a+a2=9-6X 1+1=7.2x y=(2a b) - (3b a)=6a b 2a2 3b2+ a b=7a , b 2a23b2 =7 x23=,又x y=|x|y|cos Q 即一3 =53 x J7 cos 8 cos2. 21=-14点评：本题利用模的性质|a|2=a2,在计算x,y的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设 AB=b, AC = a, AD =2a,/BAC=60。.由向量减法的几何意义，得BD = AD AB =2ab.由余弦定理易得| BD |= J3 ,即|x|= V3 ,同理可得|y

8、|= 77 .题型二：向量共线与垂直条件的考查例1 .平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点 A(3, 1) , B( 1,3),若点C满足OC = aQA + POB ,其中ot, pCR且o(+P=1,求点C的轨迹方程。.解：(法一)设 C(x,y),则 OC、(x,y),由 OC =(x,y)=染,1)+ 个1,3)=(3 “-8 o+3 3)x = 3a - Py =ot +3P(可从中解出份又< o+ 3= 1 消去 a> 3 得 x+2y-5=0(法二) 利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知:A, B, C三点共线，故点 C的轨迹方程即为直线 A

9、B的方程x+ 2y- 5=0,例2.已知平面向量a=(J3, 1), b = (l , 亘).(1)若存在实数k和t,便得x=a+(t23)b,y= ka+tb,22且xy,试求函数的关系式k = f(t); (2)根据(1)的结论，确定k = f的单调区间.思路分析：欲求函数关系式 k=f(t),只需找到k与t之间的等量关系，k与t之间的等量关系怎么得至"求函数单调区间有哪些方法?(导数法、定义法)导数法是求单调区间的简捷有效的方法?解：(1)法一：由题意知t2 -2、. 3 - 3 . 3t2 -2.3-2x=( ,),y= ( t 33 k,1+ k),又 x_Ly22故x y

10、=上6二321x ( t v3 k) 十 2.3t2 -2.3-2.3X t+k) = 0.2整理得：t3-3t-4k = 0,即 k=1t33t44法二：; a=(、,'3, 1), b=( 一 , -),. a =2, b=1且a_Lb22. x±y,x y=0,即一k a 2 + t(t2 3) b 2=0, . t33t 4k = 0,即 k= 113-1t44(2)由(1)知：k=f(t) = - t3- 3t ，k，= f，(t) = 3t33, 4444令 k , v 0 得一1 vtv 1；令 k，> 0 得 tv 1 或 t>1.故k= f(t)

11、的单调递减区间是(一1,1),单调递增区间是(一00, 1)和(1,十8).点评：第(1)问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的(但运算过程大大简化，值得注意).第(2)问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用例3:已知平面向量a=(J3, - 1), b = ( ,、2),若存在不为零的实数k和角a ,使向量C = a +(sin22a 3)b, d = - k a + (sin a ) b ,且c

12、，d ,试求实数k的取值范围.解：由条件可得：k= ( sin a )2 M- 1< sin a <1,42161，当sina=1时，k取最大值1; Sina =1时，k取最小值一 一.，-1 I I又 kw0 ，k的取值范围为 ,0) U (0,1.2很好地考查了向量与三角函数、点拨与提示：将例题中的t略加改动，旧题新掘，出现了意想不到的效果, 不等式综合运用能力.例4：已知向量a=(1,%；2),b = (七2,1),若正数k和t使得向量.21 "x=a+(t +1)bWy = ka+,b垂直，求 k 的取小值.21解：x _ y = x y = 0即a(t 1)b

13、* (-ka -b) = 0_2_2 t 1 212=-ka b a b - k(t 1)a b = 0t t a=(1,/2),b=(-V2,1),|a|='3, |b|=V3t 11 _ab = 、；2 + J2 ,代入上式一3k+3=t+2 2t t当且仅当t=1,即t=1时，取“=”号，即 k的最小值是2.t题型三：向量的坐标运算与三角函数的考查向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查 例 7.设函数 f (x)= a b,其中向量 a= (2cosx , 1), b= (cosx, J3 sin2x), x C R. (1)若

14、f(x)= 1 J3 且 x C 土，33Tj,求x; (2)若函数y=2sin2x的图象按向量c= (m , n) ( m < 3)平移后得到函数 y=f(x)的图象，求实数m、n的值.思路分析：本题主要考查平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等基本技能，解：(1)依题设，f(x)= (2cosx, 1) (cosx,43 sin2x)= 2cos2x+ 3z sin2x= 1 + 2sin(2x+ ) f3由 1 +2sin(2x+ )=1 v3 ,得 sin(2x+ )= .二 二 二 二5 二二 二二.一 & WxW , . 1 2 2x+ v ,2x+

15、-=, 即 x=-.(2)函数y= 2sin2x的图象按向量c= (m , n)平移后得到函数 y= 2sin2(x- m)+n的图象，即函数 y=f(x) 的图象.,_ _n、. I I n由(1)得 f (x) = 2sin2(x +)+1 m < , m = - - , n= 1. 12212实用文档点评：把函数的图像按向量平移，可以看成是C上任一点按向量平移，由这些点平移后的对应点所组成的图象是C',明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系，也就找到了此问题的解题途径.一般地，函数y=f(x)的图象按向量a= (h , k)平移后的函数解析式为y k=f(xh)、例

16、8：已知a=(cos% sina),b=(cossin * (。必力劝，(1)求证：a+ b与a-b互相垂直；(2)若ka+ b 与a-kb的模大小相等(kC R且kw。)，求3 a解：(1)证法一：a = (cos a, sin a) ,b= (cossin $a+ b= ( cos 0+ cos sin a+ sin 6 ,a-b= ( cos c-cos 8 sin - sin 6(a+b) (a-b)= (cos o+cos 8 sin 於 sin 6 , (cos o-cos 3, sin 纺 sin 6 =cos2 纺cos2 /sin2 维 sin2 3=0(a+b)±

17、 (a-b)证法二：a= (cos o, sin a) ,b= (cossin 6|a|= 1, |b|= 1(a+b) (- a-b)= a2-b2= |a白b|2=0. (a + b)± (a-b)证法三：a= (cos a, sin a) ,b= (cos sing)|a|= 1, |b|= 1,记 OA=a, OB=b,则 |OA|= |OB |=1,又并3, O、A、B三点不共线.由向量加、减法的几何意义， 可知以OA、OB为邻边的平行四边形 OACB是菱形，其中0C=a+ b, BA =a-b,由菱形对角线互相垂直，知(a+ b)± (a-b)(2)解：由已知得

18、|ka+b|与|a-kb|,又 |ka+ b|2= (kcoso+cos 3)2+(ksin o+sin 3)2=k2+1+2 kcos( 3力，|ka+ b|2= (cos 纺kcos 32+(sin a-ksin 睚k2+1-2kcos( 3 *2kcos( 3 0= -2 kcos( 3)又, kw 0cos( 3- o) = 0- 0< a< 兀 0< 3必兀 - 3=2注：本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，同时也体现了向量垂直问题的多种证明方法，常用的方法有三种，一是根据数量积的定义证明，二是利用数量积的坐标运算来证明，三是利用向量运算的几何意

19、义来证明.题型四：向量运算的几何意义与解析几何由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带，文科应重视由向量运算的几何意义求圆的方程和椭圆方程。例9:设G、H分别为非等边三角形 ABC的重心与外心，A(0, 2), B (0, 2)且GM =力一 aB (入C R). ( I )求点C(x, y)的轨迹E的方程；(n)过点(2, 0)作直线L与曲线E交于点M、N两点，设OP = OM +ON , 是否存在这样的直线 L,使四边形OMPN是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由思路分析：(1)通过向量的共线关系得到坐标的等量关系.(2

20、)根据矩形应该具备的充要条件，得到向量垂直 关系，结合韦达定理，求得 k的值.解：(1)由已知得,x y、 T T xG(-,-),又GH =，“AB，.- H(,0)3 33 CH=HAx 22(x-)y(2)设l方程为y=k(x-2),代入曲线22= (-)2 +4即 ' +L =1(x#±2T3)3124E 得(3k2+1) x2-12k2x+12(k2-1)=0标准文案_ 2_212k12(k -1)设N (x1,y1) M(x2,y2),则x1+x2=-2 ,x1 x2=23k2 13k2 1.OP=ON+OM ,若四边形OMPN是矩形，则四边形OMPN是平行四边形

21、.HON _ OM1- Xi x2+y1 y2=012(k2-1) . 2.12(k2-1)24k22k (2-24)3k2 1 3k2 1 3k2 1=0 得 k=±J3直线 l 为：y= y =±J3(x -2)点评：这是一道平面几何、解析几何、向量三者之间巧妙结合的问题2例10:已知椭圆方程 ' +y2 =1 ,过B ( 1, 0)的直线l交随圆于C、D两点，交直线x= 4于E点，B、4E分CD的比分入1、入2.求证：入1+x 2=0解：设l的方程为y= k(x+1),代入椭圆方程整理得 (4k2+1) x2+8k2x+ 4(k21)=0.8k2设 C(X1,

22、y2),D( X2, y2),则 xi+X2=2,x1x24k 14k2 -44k2 1由 CB =，-1BD 得(1 x1,y)=*、(x2 +1,yz)x11一 一所以1 Xi = A(X2 + 1), % =-.同理，记 E(Y, yE),CE = %EDX21/口x14行一4-Xi ='2(X2 .4), '2=一'' 1 ：" '''' 2 =x24x1 1x1 4x21x242x1x2 5(x1x2) 8(X2 1)(x2 4)4k2 -4其中2X1X2 5(X1 X2) 8=2 -4k2 1-5学 8=0,

23、4k 112 - 0.例11:给定抛物线C:y2=4x, F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A B两点.设l的斜率为1,求OA与OB 夹角的余弦。解：C的焦点为F (1, 0),直线l的斜率为1,所以l的方程为y=x1,将y=x1代入方程y2=4x,并整理得x2 6x+ 1 = 0实用文档设 A (xi, yi) ,B( X2, y2),则有 xi + X2=6, xiX2=1,从而 OA , OB = X1X2+yiy2= 2xi2(Xi+X2)+1 = 3I OA I - I OB I = %；X12 + y12 . ；X2 + y2 = V41 ,cos/OA,ObU OA OB =_4IOA QB41例12.已知点 G是ABC的重心,A(0, -1), B(0, 1),在X轴上有一点M,满足凉尸觉|,拼温(九CR).求点C的轨迹方程；若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点 P, Q,且满足|AP|=|AQ|,试求k的取值范围.分析本题依托向量给出等量关系，既考查向量的模、共线等基