圆的对称性（二）

1、初三数学备课组执教人 曾山 圆是轴对称图形圆是轴对称图形. . 想一想想一想圆的对称轴是任意一条经过圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线圆心的直线, ,它有无数条对它有无数条对称轴称轴. .O可利用可利用折叠的方法折叠的方法即可解决即可解决上述问题上述问题. .1. 1.圆是轴对称图形吗？圆是轴对称图形吗？如果是如果是, ,它的对称轴是什么它的对称轴是什么? ?你能找到多少条对称你能找到多少条对称轴？轴？你是用什么方法解决上述问题的你是用什么方法解决上述问题的? ? 想一想想一想O2. 2.圆是中心对称图形吗？圆是中心对称图形吗？你又是用什么方法解决这个问题的你又是用什么方法解决这个问题的? ?

2、圆也是中心对称图形圆也是中心对称图形. .它的对称中心就是圆心它的对称中心就是圆心. .如果是如果是, ,它的对称中心是什么它的对称中心是什么? ?用用旋转的方法旋转的方法即可解决这个即可解决这个问题问题. .AM=BM,垂径定理垂径定理 如图：如图：AB是是 O的一条弦的一条弦.（2）你能发现图中有哪些等量关系）你能发现图中有哪些等量关系?与同与同伴说说你的想法伴说说你的想法. 探究活动探究活动1作直径作直径CD,使使CDAB,垂足为垂足为M.O（1）所作的图是轴对称图形吗）所作的图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴其对称轴是什么是什么? 发现发现图中有图中有:ABCDM CD是直径是直

3、径 CDAB可推得可推得 AC=BC, AD=BD.操作探究垂径定理垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。且平分弦所对的两条弧。题设题设结论结论（1）过圆心）过圆心（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧知二得三知二得三动动脑筋动动脑筋 已知：在已知：在 O中，中，CD是直径，是直径，AB是弦，是弦，CDAB，垂足为，垂足为E。求证：。求证：AEBE，ACBC，ADBD。C.OAEBD叠叠 合合 法法证明：连结证明：连结OA、OB，则，则OAOB。 垂直于弦垂直于

4、弦AB的直径的直径CD所在的直所在的直线既是等腰三角形线既是等腰三角形OAB的对称轴又的对称轴又是是 O的对称轴。的对称轴。 当把圆沿着直径当把圆沿着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个半圆重合，两侧的两个半圆重合，A点和点和B点重点重合，合，AE和和BE重合，重合，AC、AD分别分别和和BC、BD重合。重合。 AEBE，ACBC，ADBD垂径定理垂径定理三种语言三种语言 定理定理 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧. 提示提示: 垂径定理是圆垂径定理是圆中一个重要的中一个重要的结论结论,三种语言三种语言要相互转化要相互转化,形形成整体成整体,

5、才能运才能运用自如用自如. 记一记记一记 OABCDM如图如图 CD是直径是直径, CDAB。AM=BM, AC =BC, AD=BD.CDAB,垂径定理的推论垂径定理的推论 AB是是 O的一条弦的一条弦,且且AM=BM.你能发现图中有哪些等量关系你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说与同伴说说你的想法和理由你的想法和理由. 探究活动探究活动2过点过点M作直径作直径CD.O下图是轴对称图形吗下图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?发现发现图中有图中有:CD CD是直径是直径 AM=BM可推得可推得 AC=BC, AD=BD. MAB平分弦平分弦（不是直径不是直径）的直径

6、垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦分弦所对的两条弧所对的两条弧. 如果圆的两条弦互相平行如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相那么这两条弦所夹的弧相等吗等吗? 提示提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况这两条弦在圆中位置有两种情况: 垂径定理的推论垂径定理的推论OABCD1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧 圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等. 练一练练一练驶向胜利的彼岸挑战自我挑战自我1、判断：、判断： 垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条并且平分弦所对的两条弧弧. （ ）

7、平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧一条弧. （ ）经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ） 3.已知：如图，在以已知：如图，在以O为圆心的两个同心为圆心的两个同心圆中，大圆的弦圆中，大圆的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点。两点。你认为你认为AC和和BD有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？证明：相等。理由：证明：相等。理由： 过过O作作

8、OEAB，垂足为，垂足为E， AEBE，CEDE。 AECEBEDE ACBD.ACDBOE2.2.在半径为在半径为5 5的的OO中，弦中，弦AB=8AB=8，则则O O到到ABAB的距离的距离= = ，OABOAB的余弦值的余弦值= = 。 OABP0.83mm注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，是一种常用的辅助线添法的垂线，是一种常用的辅助线添法CDABE4. 4.已知：已知：AB作法：作法： 连结连结AB.作作AB的垂直平分线的垂直平分线 CD，交弧，交弧AB于点于点E.点点E E就是所求弧就是所求弧ABAB的中点。的中点。求作：求作：AB的中点的

9、中点你能你能破镜重破镜重圆圆吗？吗？ABACmnO 1.作弦作弦ABABACAC及它们的垂直平分线及它们的垂直平分线mmn n，交于，交于OO点；点； 2.以以OO为圆心，为圆心，OAOA为半径作圆。为半径作圆。你能你能破镜重破镜重圆圆吗？吗？ABACmnO 1.作弦作弦ABABACAC及它们的垂直平分线及它们的垂直平分线mmn n，交于，交于OO点；点； 2.以以OO为圆心，为圆心，OAOA为半径作圆。为半径作圆。 1300多年前多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图如图)的桥拱的桥拱是圆弧形是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对是弦的长弧所对是弦的长)为为 37.4 m

10、,拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离,也叫弓形高也叫弓形高)为为7.2m,求桥拱的半求桥拱的半径径(精确到精确到0.1m). 例题解析例题解析OABCRD7.237.4赵州石拱桥赵州石拱桥 赵州石拱桥赵州石拱桥解：由题设得解：由题设得, 2 . 7, 4 .37CDABABAD21, 7 .184 .3721DCOCOD. 2 . 7 R在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,222ODADOA.)2 . 7(7 .18222RR即解得解得 R27.9（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.OABCRD37.47.2垂径定理的应用垂径定理的应用 在直径为在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示截面如图所示.若油面宽若油面宽AB = 600mm，求油的最，求油的最大深度大深度. 做一做做一做BAOED 600ED 反思自我反思自我 想一想想一想, ,你的收获和困惑有你的收获和困惑有哪些哪些? ? 回顾与思考回顾与思考请你可以写出相应的命题吗请你可以写出相应的命题吗?1. 1.垂径定理