关于数学的严谨性（Word）

1、关于数学的严谨性数学是一门研究数量关系和空间形式的科学,具有严密的符号体系、独特的公式结构、形象的图像语言,对培养学生思维品质的作用无可替代。思维的严谨性是学习数学最基本的要求。数学具有严密的逻辑性,任何数学结论必须借助于严密的逻辑方法来实现。 严谨性是数学科学的基本特点。它要求数学结论的叙述必须精练、准确，而对结论的推理论证和系统安排都要求既严格，又周密。 即使是一些最基本、最常用，甚至不能藉逻辑方法加以定义的原始概念，数学科学也不满足于直观描述，而要求用公理来加以确定。对公理的选择，还必须满足“独立性”、“相容性”和“完备性”的严格要求。在新的数学结论的推证过程中，则步步要有根据，处处应合

2、乎逻辑理论的要求。要数学内容的系统安排上，也必须符合学科内在的逻辑顺序。数学科学的严谨性，还有日益加强的趋势。由于各种专门符号的广泛使用，大量命题的陈述和论证都日益符号化、形式化。1）数学的严谨性并不是一下子形成的。在它达到当前高度严谨性以前，也有过一个相对来说不那么严谨的漫长历程。例如，作为全部数学的严格基础的数的系统理论，只是到了十九世纪末期才达到当前的严谨程度。在此以前，它处于不太严谨、甚至是很不严谨的境况。 总之，任何数学课程，都必须达到一定的严谨性。但是，究竟需要达到何种程度，则由该门课程的开设目的所决定。而且，严谨性的要求，也不是一下子完全达到，而可以逐步地满足。例如，现行数学教材

3、中的函数概念的精确化是经历了一个漫长的历史过程的。 2）学生对数学的严谨性要求，要有一个逐步适应的过程。刚上中学的学生，由于他们认识上的特点，以及在小学阶段的训练基础，对严谨性的要求要有一个适应过程。开始，学生对一些较精确的数学语言，如“互为相反数”、“任意非零整数”、“存在”、“唯一”、“仅当”等等，往往缺乏足够的理解。所以，对一些定义、法则往往局限于背诵条文和模仿范例解题。对法则的适用范围和具体要求，往往考虑不够。因此，在综合运用时经常互相混淆而出错，更谈不上灵活运用了。 对于严格推证，学生更是不适应。学生习惯于用不完全归纳法，从个别实例中归纳出一般结论，而认识不到论证的必要性。在证明过程

4、中，又经常根据证明的需要而临时“创造”出新的论据，假如教学过程不进行足够训练，并使学生逐步掌握教材的严谨性，那么，甚至到了高年级，他们还经常把对概念的一些常识性、直观性理解，来代替精确定义；也会毫无根据地把一些数学结论推广到不适当的场合。例如，他们把点理解为很小很小的、大小可以忽略不计的球；把相似理解为形状相象；把函数理解为随着别的数的改变而变化的数；把极限理解为近似，等等。他们还经常毫无根据地2 / 4“运用”分配律得出类似于log（+）=log+log的错误结果。 不过，对这些现象应当有一个正确的分析。一方面应当认识到，由于年龄特点，学生对严谨性要求确实有不适应之处，而另一方面也必须看到，

5、出现这些现象往往是教学中缺乏基本训练的结果。事实上，正如前面谈到的那样，传统的教材和教法侧重于机械记忆加模仿，学生当然会养成不求甚解、不问根由的习惯。近年来国内外的大量实验证明，学生对严谨性的要求，是可以逐步适应的。学生经过一定的训练以后，对“有唯一解”、“取非负值”等术语能灵活运用，对一些比较严格的推理和证明也能很好接受，还能独立地完成一些代数和几何的证明和讨论。 可见，对严谨性的要求，学生开始时在接受上确实有一定的局限性，要有一个适应的过程。但是，倘若要求合理，教法得当，适应过程可以大大缩短。 严谨性是数学的重要特征之一，由于学生知识所限以及不同的教学目标要求，教学中对一些数学概念在学生能

6、够理解基础上不一定强调其严谨性。学生受到能力、知识限制，有时反而越解释学生越糊涂，因此数学教学中一定要拿捏好严谨性，哪些地方需要强调严谨，哪些地方需要模糊，值得我们平时教学中思考。 3）那么，数学教学内容的严谨性，究竟要达到什么程度才合适呢？它应当符合以下几点要求： 首先，必须保证内容的科学性。 考虑学生的理解能力和教学上的实际需要，中学数学内容的严谨性要求可以适当降低，但必须保证对相应的数学内容要有正确的理解和掌握。 例如，我们可以用“无限接近于”等较形象的语言来描述数列或变量的极限概念，而不用“-”式的严格定义。但是，在结合实例进行描述时，必须讲清楚，这是某些无穷变量变化时的一种变化趋势，

7、不要让学生误以为这是取无穷变量的近似值。又如，利用直角三角形讲锐角三角函数时，也应当明确指出：锐角三角函数是随着角的改变而改变的变量，而且它的变化可以由相应的线段之比来确定，特别当取定某一锐角时，它的三角函数值与直角三角形的边长无关。不要使学生误认为“锐角三角函数只是边长一定的直角三角形的两边之比”，这样不符合科学性的要求。 其次，必须有助于发展学生的逻辑思维能力。 发展学生的逻辑思维能力，是中学数学课的重要目的之一。而数学的严谨性要求，正是发展学生逻辑思维的核心环节。逐步加强教学内容的严谨性，并使学生真正消化理解，是培养学生逻辑思维的重要措施，也为今后教学进一步提高严谨性创造了有利条件。不断地丰富学生的数学语言就是一项十分关键的工作，它不仅达到上述目的，还有利于提高学生阅读数学书籍的能力。 最后，数学内容的严谨性要求，应当是学生力所能及，而又必须经过努力才能达到的。所以，必须充分估计学