2022版高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式4.2用数学归纳法证明不等式举例课件新人教A版选修4_5

1、-1-二二用数学归纳法证明不等式举例用数学归纳法证明不等式举例目标导航知识梳理重难聚焦典例透析1.通过教材掌握几个有关正整数n的结论.2.会用数学归纳法证明不等式.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析121.本节的有关结论(1)n2-1,x0,n为大于1的自然数,那么有(1+x)n1+nx.贝努利不等式更一般的形式:当是实数,并且满足1或者-1),当是实数,并且满足0-1).(4)如果n(n为正整数)个正数a1,a2,an的乘积a1a2an=1,那么它们的和a1+a2+ann.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析122.用数学归纳法证明不等式使用数学归纳法证明不等式,难点往往出现在由当n=k时命题成立

2、推出当n=k+1时命题成立这一步.为完成这步证明,不仅要正确使用归纳假设,还要灵活利用问题的其他条件及相关知识.目标导航知识梳理重难聚焦典例透析12知识梳理重难聚焦典例透析目标导航12 1.观察、归纳、猜测、证明的方法观察、归纳、猜测、证明的方法剖析：这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索型问题剖析：这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索型问题,命题命题的成立不成立都预先需要归纳与探索的成立不成立都预先需要归纳与探索,而归纳与探索多数情况下是而归纳与探索多数情况下是从特例、特殊情况入手从特例、特殊情况入手,得到一个结论得到一个结论,但这个结论不一定正确但这个结论不一定正确,因因为这是靠不完

3、全归纳法得出的为这是靠不完全归纳法得出的,因此因此,需要给出一定的逻辑证明需要给出一定的逻辑证明,所所以以,通过观察、分析、归纳、猜测通过观察、分析、归纳、猜测,探索一般规律探索一般规律,其关键在于正确其关键在于正确的归纳猜测的归纳猜测,如果归纳不出正确的结论如果归纳不出正确的结论,那么数学归纳法的证明也那么数学归纳法的证明也就无法进展了就无法进展了.在观察与归纳时在观察与归纳时,n的取值不能太少的取值不能太少,否那么将得出错误的结论否那么将得出错误的结论.前几前几项的关系可能只是特殊情况项的关系可能只是特殊情况,不具有一般性不具有一般性,因而因而,要从多个特殊事要从多个特殊事例上探索一般结论

4、例上探索一般结论.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航122.从从“n=k到到“n=k+1的方法与技巧的方法与技巧剖析：在用数学归纳法证明不等式问题中剖析：在用数学归纳法证明不等式问题中,从从“n=k到到“n=k+1的过渡的过渡,利用归纳假设是比较困难的一步利用归纳假设是比较困难的一步,它不像用数学归纳法它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样证明恒等式问题一样,只需拼凑出所需要的构造来只需拼凑出所需要的构造来,而证明不等式而证明不等式的第二步中的第二步中,从从“n=k到到“n=k+1,只用拼凑的方法只用拼凑的方法,有时也行不通有时也行不通,因为对不等式来说因为对不等式来说,它还涉及它还涉及“放缩的问

5、题放缩的问题,它可能需要通过它可能需要通过“放放大或大或“缩小的过程缩小的过程,才能利用上归纳假设才能利用上归纳假设,因此因此,我们可以利用我们可以利用“比较法比较法“综合法综合法“分析法等来分析从分析法等来分析从“n=k到到“n=k+1的的变化变化,从中找到从中找到“放缩尺度放缩尺度,准确地拼凑出所需要的构造准确地拼凑出所需要的构造.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四分析：先通过n取比较小的值进展归纳猜测,确定证明方向,再用数学归纳法证明.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四当n=1时,21=212=1,当n=2时,22=4=22,当n=3时,23=

6、852=25,当n=6时,26=6462=36.故猜测当n5(nN+)时,2nn2,下面用数学归纳法加以证明.(1)当n=5时,2nn2显然成立.(2)假设当n=k(k5,且kN+)时,不等式2nn2成立,即2kk2(k5),那么当n=k+1时,知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四2k+1=22k2k2=k2+k2+2k+1-2k-1=(k+1)2+(k-1)2-2(k+1)2(因为(k-1)22).由(1)(2)可知,对一切n5,nN+,2nn2成立.综上所述,知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四 反思 利用数学归纳法比较大小,关键是先用不完全归纳法归

7、纳出两个量的大小关系,猜测出证明的方向,再用数学归纳法证明结论成立.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四(1)求函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数,并说明理由;(2)设数列an(nN+)满足a1=a(a0),f(an+1)=g(an),证明：存在常数M,使得对于任意的nN+,都有anM.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四当x(0,+)时,(x)0,从而(x)在(0,+)上单调递增,那么(x)在(0,+)内至多只有一个零点,因此,h(x)在(0,+)内也至多只有一个零点.综上所述,h(x)有且只有两个零点.由此猜测:anx0.下面用数学归纳法证明

8、.当n=1时,a1x0显然成立.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四下面用数学归纳法证明.当n=1时,a1a显然成立.因此,当n=k+1时,ak+1a成立.故对任意的nN+,ana成立.综上所述,存在常数M=maxx0,a,使得对于任意的nN+,都有anM.知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四(1)求数列an的通项公式;(2)求证:对一切正整数n,不等式a1a2anQn.假设x=0,那么Pn=Qn.假设x(-1,0),那么P3-Q3=x30,所以P3Q3.P4-Q4=4x3+x4=x3(4+x)0,所以P4Q4.假设当n=k(k3,kN+)时,有PkQk(k3),那么当n=k+1时,Pk+1=(1+x)Pk(1+x)Qk=Qk+xQk知识梳理重难聚焦典例透析目标导航题型一题型二题型三题型四即当n=k+1时,不等