高中数学必修1函数及其表示题型总结

1、.函数及其表示考点一求定义域的几种情况若 f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；若 f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0 的实数集；若 f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0 的实数集合；若 f(x)是对数函数，真数应大于零。.因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。若 f(x)是由几个部分的数学式子构成的， 则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；若 f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题考点二映射个数公式mCard(A)=m,card(B)=n, m,n N ,则从 A 到 B 的映射个数为 n。简单说成“

2、前指后底” 。方法技巧清单方法一函数定义域的求法1（2009江西卷文）函数 yx23x4 的定义域为（）A B xC (0,1D 4, 0) (0,14,14, 0)解析由x0得4x0或,故选 D.x2 3x400 x 12（2009江西卷理）函数 yln( x1)的定义域为()x23x4A( 4,1)B (4,1)C ( 1,1)D (1,1解析x10x11 x1.故选 C由23x404xx13.（ 2009福建卷文）下列函数中，与函数y1有相同定义域的是()xA . f ( x)ln xB. f ( x)1C. f (x) | x |D. f ( x)exx解析 由 y1可得定义域是 x0

3、. f ( x)ln x 的定义域 x0 ； f ( x)1的定义域是 x 0； f ( x) | x |xx;.的定义域是 xR; f ( x)ex 定义域是 xR。故选 A.4.（ 2007年上海） 函数 ylg( 4x ) 的定义域是答案x x4 且 x3x325.求下列函数的定义域。 y=x2x 2 .y=x1.y=x1 1xxx6.已知函数 f(x)的定义域为1,5 ，求函数 F(x)=f(3x-1)-f(3x+1)的定义域。方法二函数概念的考察52xln x1. 下列各组函数中表示同一函数的是（）A.y= 5x 和 yxB.y=ln e 和 yeC. yx1x 3和 yx 3D.

4、y01x1x和 y0x2函数 y=f(x)的图像与直线 x=2 的公共点个数为A.0个 B.1个C.0个或 1个D. 不能确定23已知函数 y= x 2 定义域为1,0.1,2 ，则其值域为方法三 分段函数的考察 求分段函数的定义域和值域2x+2x1,01 求函数 f(x)=1 xx0,2的定义域和值域23x2,x22( x R) ， f ( x)g( x)x4, x g ( x),2（2010天津文数） 设函数 g (x) g( x)x,x g ( x ).则 f ( x) 的值域是（ A）9 ,0(1, )（B） 0,)（C） 9,) （D）9 ,0(2,)444x22 (x 4), x

5、x22x22, x1或 x2【解析】依题意知 f (x)2 x, x x2 2， f ( x)x22 x, 1 x 2x2求分段函数函数值3（2010湖北文数） 3.已知函数 f ( x)log3 x, x 0，则 f ( f (12x, x0)9A.4B.14C.-4D- 141111【解析】根据分段函数可得f ( )log 32 ，则 f ( f ( ) f ( 2) 22，所以 B正确.9994;.解分段函数不等式4.（ 2009天津卷文）设函数 f (x)x24x6, x0 则不等式 f( x)f (1) 的解集是（）x6, x0A.( 3,1) (3,)B.( 3,1)( 2,)C.

6、 (1,1)(3,)D. (, 3)(1,3)答案 A解析由已知，函数先增后减再增当 x0 ， f ( x)2 f (1)3 令 f ( x) 3,解得 x 1, x3 。当 x 0 ， x63, x3 故 f (x)f (1)3，解得3x1或x35（2009天津卷理）已知函数f ( x)x24x,x0若 f (2a2 )f (a), 则实数 a4xx 2 ,x0的取值范围是 A (, 1)(2,)B ( 1,2)C (2,1)D (,2)(1,)解析：由题知 f ( x) 在 R 上是增函数，由题得 2a2a ，解得2a1，故选择 C。1x0,16.（ 2009北京理）若函数 f (x)x则

7、不等式|f ( x) |的解集为 _.1x3), x0(3x01x0x0解析 （1）由 | f( )|x113x0（.2）由 | f( )|x1x11x0x1 .131333333x不等式 | f ( x) |1 的解集为 x |3x1 ，应填3,1 .3log 2 x, x0,7。（2010天津理数） 若函数 f(x)= log 1 (x), x 0 ,若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是2（ A）（ -1，0）（ 0，1） （B）（-， -1）（ 1,+）（ C）（-1， 0）（ 1,+） （ D ）（ -，-1）（ 0,1）【答案】 C 由分段函数的表达式知，需要对a

8、 的正负进行分类讨论。f ( a) f ( a)a 0a<0a 0a0log 2 a log1a或log 1( a) log2 ( a)1或1或a 1 -1 a 0aaa222【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，同事要注意底数在（ 0， 1）上时，不等号的方向不要写错。解分段函数方程;.8（2009北京文）已知函数 f ( x)3x ,x1, 若 f ( x) 2 ，则 x.x,x1,.w 解析5.u.c 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x 的值 . 属于基础知识、基本运算的考查 .x1x log3 2 ， x1无解，故应填 lo

9、g 3 2 .由2x23xx2方法四求函数的解析式1 求下列函数的解析式 已知 f x1313 ,求 f ( x).xxx 已知 f 21lg x，求 f ( x).x 已知 f(x)是二次函数，若f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1, 求 f(x). 已知 f(x)满足 2 f x f13x. 求 f(x).x方法五函数图像的考察1. (2009山东卷理 )函数 yyex e ex eyxx的图像大致为().yy11O1xO 1AB11xO 1xO1xDC;.解 析函 数 有 意 义 , 需 使 exe x0 , 其 定 义 域 为x | x0, 排 除C,D, 又 因 为ex

10、e y ex exe2 x112,所以当 x0 时函数为减函数 ,故选 A.xe2x1e2 x12.（ 2009 广 东卷 理 ）已知甲、乙两车由同一起点同时出发 ,并沿同一路线（假定为直线）行驶甲车、乙车的速度曲线分别为 v甲和 v乙 （如图 2 所示）那么对于图中给定的 t 和 t ，下列判断中一定正确的是（）A. 在 t1 时刻，甲车在乙车前面B. t1 时刻后，甲车在乙车后面C. 在 t0 时刻，两车的位置相同D. t0时刻后，乙车在甲车前面解析由图像可知，曲线 v甲 比 v乙 在 0 t0 、 0 t1 与 x 轴所围成图形面积大，则在 t0 、 t1 时刻，甲车均在乙车前面，选A.

11、yP(x, y)3.（ 2009江西卷文）如图所示，一质点P( x, y) 在 xOy 平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在 x 轴上的投影点Q( x,0) 的运动速度 VV (t ) 的图象大致为()V (t)V (t)V (t )V (t)OtOtOOtABCO Q(x,0)tD解析由图可知，当质点 P(x, y) 在两个封闭曲线上运动时， 投影点 Q( x,0) 的速度先由正到0、到负数，再到 0，到正，故 A 错误；质点 P( x, y) 在终点的速度是由大到小接近0，故 D 错误；质点 P( x, y) 在开始时沿直线运动，故投影点Q( x,0) 的速度为常数，因此C 是错误的，故选

12、B .4（2010山东理数） (11)函数 y=2 x - x2 的图像大致是;.【解析】因为当 x=2 或 4 时， 2x -2=0，所以排除、；当x=-2时， x-214<0，故排除D，所xB C2x=4以选 A。5（2010安徽文数） 设 abc0 ,二次函数 f ( x) ax2bxc 的图像可能是【解析】当 a0 时， b 、 c 同号，（ C）（D）两图中 c0 ，故 bb0 ，选项（ D ）符合0,2a【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分a0 或 a0 两种情况分类考虑 .另外还要注意 c值是抛物线与 y 轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.方

13、法六 映射概念的考察21设 f : xx 是集合 A 到集合 B 的映射，如果 B= 1,2，则 AB= （ ）A.B. 1C.或 2D.或 12 集合 M= a, b, c， N= 1,0.1 映射 f: MN 满足 f(a)+(b)+f(c)=0, 那么映射 f: MN 的个数是（ ）A.4B.5C. 6D. 73 集合 M= a, b, c到集合 N=1,0.1一共有个不同的映射。方法七函数值域和最值的求法21利用二次函数在有限区间上的范围求值域求函数 y=x 6x5 的值域2分离常数法求函数 y= 3x1 的值域x23换元法求函数 y= x41x 的值域4数形结合法求函数 y= x1x

14、4 的值域;.22 的值域5判别式法求函数 y=2 xx2xx1方法八函数奇偶性和周期性的考察1.（ 2009全国卷理）函数 f ( x) 的定义域为 R，若 f ( x 1) 与 f ( x1) 都是奇函数，则 ()A. f (x) 是偶函数B. f ( x) 是奇函数C. f ( x) f (x2)D. f (x3) 是奇函数答案D 解析f ( x 1) 与 f ( x1) 都是奇函数，f ( x 1)f ( x 1), f ( x 1)f ( x 1) ，函数 f ( x)关于点 (1,0)，及点 (1, 0)对称 ，函 数 f (x) 是周 期 T 21 (1)的4周期函数.f ( x

15、14)f ( x14) ， f (x3)f (x 3) ，即 f ( x 3) 是奇函数。故选 D2.(2009山东卷理 )定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=log 2 (1x), x0，f (x 1)f ( x2), x0则 f （2009）的值为()A.-1B. 0C.1D. 2答案C 解析由已知得 f (1)log2 21 , f (0)0 , f (1)f (0)f ( 1)1 ,f (2)f (1)f (0)1, f (3)f (2)f (1)1 (1) 0,f (4)f (3)f (2)0 (1)1 , f (5)f (4)f (3)1, f (6)f (5)f (4)

16、0 ,所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现 .,所以 f（2009） = f （ 5） =1,故选 C.3.（2009 江西卷文）已知函数 f ( x) 是 (,) 上的偶函数，若对于 x 0 ，都有 f ( x2） f (x) ，且当x0,2) 时， f (x)log 2 ( x1），则 f (2008) f (2009) 的值为（）A 2B 1C 1D 2答案C 解析f ( 2008)f (2009) f (0) f (1)log12 log 221,故选 C.方法九函数奇偶性和对称性考察1.（ 2009全国卷文）函数 ylog 22x 的图像（）2x;.（ A） 关于原点对称（

17、 B）关于主线 yx 对称（ C） 关于 y 轴对称（ D ）关于直线 yx 对称答案 A解析由于定义域为（ -2，2）关于原点对称，又 f(-x)=-f(x) ，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选 A。2（2010重庆理数） (5)函数 f x4x1的图象2xA. 关于原点对称B. 关于直线 y=x 对称C. 关于 x 轴对称 D. 关于 y 轴对称4 x11 4 xf(x)f ( x) 是偶函数，图像关于 y 轴对称解析： f ( x)2 x2 x方法十函数奇偶性和单调性的考察1.(2009山东卷文 )已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ，满足 f (x4)f ( x) ,且在区间

18、 0,2上是增函数 ,则().A. f (25)f (11)f (80)B. f (80)f (11)f ( 25)C. f (11)f (80)f (25)D.f ( 25)f (80)f (11)答案D 解析 因为 f (x) 满足 f ( x 4)f (x) ,所以 f ( x8) f ( x) ,所以函数是以 8为周期的周期函数 ,则 f (25)f (1) , f (80)f(0) ,f (11)f (3) ,又因为 f ( x) 在 R 上是奇函数，f (0)0 ,得f (80)f (0)0,f (25)f (1)f (1),而由f (x4) 得fxf (11)f (3)f (3)

19、f (14)f (1) ,又因为 f ( x) 在区间 0,2上是增函数 ,所以 f (1)f (0)0 ,所以f (1)0 ,即 f ( 25)f (80)f (11) ,故选 D.2.（ 2009全国卷文）设 a lg e, b(lg e) 2 , clge, 则（）（A） a b c（B） a c b（C） c a b（D ） c b a答案B 解析 本题考查对数函数的增减性，由1>lge>0,知 a>b,又 c= 1 lge, 作商比较知 c>b,选 B。23.（ 2009辽宁卷文）已知偶函数f ( x) 在区间 0,) 单调增加，则满足 f (2 x1) f

20、( 1 ) 的 x 取值范围3是()（A）（1，2）B.1，2）C.（1，2）D.1，2）33332323;.答案A解析由于 f(x)是偶函数 ,故 f(x)f(|x|) 得 f(|2x 1|) f( 1 ),再根据 f(x)的单调性得 |2x 1| 31 解得 1 x 23334（.2009陕西卷文）定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足：对任意的 x1 , x20,)( x1x2 ) ，有 f ( x2 )f ( x1 )0 .x2x1则( )(A) f (3)f ( 2)f (1)B. f (1)f ( 2)f (3)C. f ( 2)f (1)f (3)D. f (3)f (1)f

21、 ( 2)答案A 解析由 ( x2 x1 )( f ( x2 )f ( x1 ) 0 等价，于 f (x2 )f (x1)0则 f ( x) 在x2x1x1 , x2(,0( x1x2 ) 上单调递增 , 又 f (x) 是偶函数 ,故 f (x) 在x1 , x2(0,( x1x2 ) 单调递减 .且满足 n N * 时 ,f ( 2)f (2), 3>210 ,得f (3)f (2) f (1) ,故选 A.5.(2009陕西卷理 )定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足：对任意的 x1, x2(,0( x1 x2 ) ，有 ( x2 x1 )( f (x2 )f (x1)0.则

22、当 nN *时,有()(A) f (n)f (n1)f ( n1)B. f (n1)f (n)f (n1)C. C. f (n1) f (n)f (n1)D. f (n1)f ( n1)f (n)答案C解析：x1 , x 2x2x1时，f ( x ) 为偶函数而 n+1>n>n-1>0,(, 0( x1x 2 )( x2x 1 )( f ( x 2 )f ( x1 )0f( x 2 )f ( x 1 )f ( x) 在 (, 0 为增函数f( x ) 在 (0 ，为减函数f ( n1)f ( n )f ( n1)f ( n 1)f ( n )f ( n 1)6.（ 2009

23、江苏卷）已知 a5 1 ，函数 f ( x) ax ，若实数 m 、 n 满足 f (m) f ( n) ，则 m 、 n 的大小2关系为.解析a5 1(0,1) ，函数 f ( x)ax 在 R 上递减。由 f (m)f (n) 得： m<n2;.7（2010安徽文数）（7）设 a352（253252（ ） , b5）， c（ ） ，则 a，b，c 的大小关系是55（ A）a c b（ B）a b c（ C）c a b（D ）bca22)x 在 x7.A【解析】 yx5在 x0 时是增函数，所以 ac ， y (0 时是减函数，所以 cb 。5方法十一抽象函数的解法1.（ 2009 四

24、川卷理）已知函数f (x) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf ( x1)(1x) f (x) ，则 f ( f ( 5) 的值是()2A.0B. 1C.1D. 522答案 A 解析 令 x1 ，则1 f ( 1 )1 f ( 1 )1 f ( 1 )f ( 1 ) 0 ；令 x0 ，则 f ( 0) 022222222由 xf ( x 1)(1x) f ( x) 得 f ( x 1)x1 f ( x) ，所以x5535353152f (2f (0f ( f (f ( 0)0 ，故选择 A。f ( )3)3f ( )31)22222222.(2009山东卷理 )

25、已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ，满足 f ( x4)f ( x) ,且在区间 0,2上是增函数 ,若方程 f(x)=m(m>0) 在区间8,8上有四个不同的根 x1, x2 , x3 , x4 ,则 x1x2 x3x4 _.答案-8解析因为定义在 R上的奇函数，满足 f ( x4)f (x) ,所以 f ( x4)f ( x) ,所以 , 由f ( x) 为奇函数 ,所以函数图象关于直线 x2 对称且 f (0)0 ,由 f (x 4)f ( x) 知 f ( x8)f (x) ,所以函数是以 8 为周期的周期函数 ,又因为 f ( x)在区间 0,2上是增函数 ,所以 f

26、( x) 在区间 -2,0上也是增函数 .如图所示 ,那么方程 f(x)=m(m>0) 在区间8,8 上有四个不同的根 x1, x2 , x3 , x4 ,不妨设 x1x2x3x4 由对称性知 x1x212 x3x44 所以 x1x2x3x4124 8yf(x)=m (m>0)-8-6-4-202468x;.方法十二 对数函数的考察3（2010全国卷 1 文数） (7)已知函数 f ( x) | lg x |.若 a b 且， f (a)f (b) ，则 a b 的取值范围是(A) (1, )(B)1,) (C) (2, )(D) 2, )C【命题意图】做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得 a+b= a12 ,从而错选aD,【解析 1】因为 f(a)=f(b),所以 |lga|=|lgb|, 所以 a=b(舍去 )，或 b1 ，所以 a+b= a1 又 0<a<b,所以aa0<a<1<b ，令 f ( a) a1 由“对勾”函数的性质知函数 f (a) 在 a (0,1)上为减函数，所以 f(a)>f(1)=1+1=2,a即 a+b 的取值范围是 (2,+ ).0a10x1【解析】由0<a&l