随机变量的联合分布

1、编辑编辑ppt1 到现在为止，我们只讨论了一维到现在为止，我们只讨论了一维r.vr.v及其分布及其分布. . 但有些但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述变量来描述. . 在打靶时在打靶时, ,命中点的位置是由一命中点的位置是由一对对r .v r .v ( (两个坐标两个坐标) )来确定的来确定的. . 飞机的重心在空中的位置是由三飞机的重心在空中的位置是由三个个r .v (r .v (三个坐标三个坐标) )来确定的等等来确定的等等. .第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布编辑编辑ppt2一、二

2、维随机变量及其分布函数一、二维随机变量及其分布函数 二、二维离散型随机变量二、二维离散型随机变量 三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量 四、两个常用的分布四、两个常用的分布 五、小结五、小结3.1 随机变量的联合分布编辑编辑ppt3一一 二维随机变量二维随机变量有些随机现象需要用两个随机变量才能描述，有些随机现象需要用两个随机变量才能描述，如：向一球门射球，观察射入点的位置。如：向一球门射球，观察射入点的位置。令令 X 表示射中点的横坐标，表示射中点的横坐标，则样本空间可用随机变量则样本空间可用随机变量 X 与与 Y 联合表示为：联合表示为： ,X YX YD 称（称（X，Y）为）为二

3、维随机变量。二维随机变量。设球门占平面区域设球门占平面区域 D ，Y 表示射中点的纵坐标。表示射中点的纵坐标。编辑编辑ppt4图示图示( )Y()X, ,( )( ),(, ),.EXXYYX Y 设是一个随机试验 它的样本空间是设和是定义在上的随机变量由它们构成的一个向量叫作二维随机向量或二维随机变量一、二维随机变量及其分布函数 1.定义定义编辑编辑ppt5实例实例1 炮弹的弹着点的炮弹的弹着点的位置位置 ( X, Y ) 就是一个二维就是一个二维随机变量随机变量. 二维随机变量二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与的性质不仅与 X 、Y 有关有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系

4、而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.实例实例2 考查某一地考查某一地 区学前区学前儿童的发育情况儿童的发育情况 , 则儿童的则儿童的身高身高 H 和体重和体重 W 就构成二就构成二维随机变量维随机变量 ( H, W ).说明说明 编辑编辑ppt62.二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数 (1)分布函数的定义分布函数的定义 (P48-定义定义1).,),(,)()(),( :,),( 的的联联合合分分布布函函数数和和机机变变量量或或称称为为随随的的分分布布函函数数称称为为二二维维随随机机变变量量二二元元函函数数对对于于任任意意实实数数是是二二维维随随机机变变量量设设YXYXyYxXPy

5、YxXPyxFyxYX Joint Probability Distribution Function编辑编辑ppt7xoy),(yx yYxX ,. ),(域内的概率域内的概率在如图所示区在如图所示区的函数值就是随机点落的函数值就是随机点落yxF编辑编辑ppt8(2) 分布函数的性质分布函数的性质o21212( , ),(, )(, ),F x yxyyxxF xyF x y是变量和的不减函数 即对于任意固定的当时).,(),(,1212yxFyxFyyx 时时当当对对于于任任意意固固定定的的o1 0( , )1,F x y , y3 对于任意固定的, 0),(lim),( yxFyFx,x

6、对对于于任任意意固固定定的的, 0),(lim),( yxFxFy编辑编辑ppt9. 1),(lim),( yxFFyxo4( , )(0, ),( , )( ,0),( , ),.F x yF xy F x yF x yF x yxy即关于右连续 关于也右连续, 0),(lim),( yxFFyxxoy),(yx yYxX ,编辑编辑ppt10o12125,xxyy对于任意有1212,P xXxyYy22122111 = (,)( ,)(,)( ,)0F xyF x yF xyF x y12,x y11,x y21,xy22,xyxy编辑编辑ppt11 若二维随机变量若二维随机变量 ( X,

7、 Y ) 所取的可能值是有所取的可能值是有限限对对或无限可列多或无限可列多对对,则称则称 ( X, Y ) 为二维离散型为二维离散型随机变量随机变量.二、二维离散型随机变量 及其联合分布律 定义定义 (P62) 例如例如 二维随机变量二维随机变量( X, Y ) 表示掷两颗骰子出现表示掷两颗骰子出现的点数的点数, 则则( X, Y )的所有可能取值为的所有可能取值为36对对. 编辑编辑ppt122. 二维离散型随机变量的分布律二维离散型随机变量的分布律 (P62-定义定义2) 1110,21.ijijijpp其中, . , ),( , 2, 1, 2, 1,),(),(的联合分布律的联合分布律

8、和和或随机变量或随机变量的分布律的分布律变量变量称此为二维离散型随机称此为二维离散型随机记记值为值为所有可能取的所有可能取的设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量YXYXjipyYxXPjiyxYXijjiji 11122122121nnpppppp即编辑编辑ppt13二维随机变量二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为的分布律也可表示为YX12 jyyy12ixxx1 11 21 jppp2 12 22 jppp12 iiijppp编辑编辑ppt14.),(. 1 , 4 , 3 , 2 , 1 的的分分布布律律试试求求整整数数值值中中等等可可能能地地取取一一在在另另一一个个随随机

9、机变变量量取取值值四四个个整整数数中中等等可可能能地地在在设设随随机机变变量量YXXYX解解:,的的取取值值情情况况是是jYiX , 4 , 3 , 2 , 1 i.的正整数的正整数取不大于取不大于ij且由乘法公式得且由乘法公式得,jYiXP iXPiXjYP ,411 i, 4 , 3 , 2 , 1 i. ij 的的分分布布律律为为于于是是),(YX例例1编辑编辑ppt15YX12341234410001881001121121210116116116161,jYiXP iXPiXjYP ,411 i, 4 , 3 , 2 , 1 i. ij 编辑编辑ppt16三三 二维连续型随机变量二维

10、连续型随机变量1.定义定义若存在一非负函数若存在一非负函数 ，使随机变量，使随机变量,f x y,X Y,yxf x y dxdy 则称则称 为为二维连续二维连续型随机变量，型随机变量，,X Y,X Y,f x y称为称为 的的（联合）概率密度（联合）概率密度或或（联合）（联合）分布密度。分布密度。,F x yP Xx Yy的联合分布函数的联合分布函数设设 为为二维二维随机变量，随机变量，,X Y编辑编辑ppt17 二维连续型随机变量二维连续型随机变量二维连续型随机变量二维连续型随机变量的的概率密度的性质概率密度的性质 3,DPX YDf x y dxdy 2,1fx y dxdyF 4,f

11、x yx y若若 在点在点 连续，则有连续，则有2,F x yf x yx y 1,0fx y编辑编辑ppt18 二维连续型随机变量二维连续型随机变量常见的二维连续型随机变量常见的二维连续型随机变量的分布的分布（1 1）均匀分布）均匀分布若某一质点等可能地落在平面区域若某一质点等可能地落在平面区域 D D 上，（上，（X X，Y Y）表示）表示质点落入点的坐标，则（质点落入点的坐标，则（X X，Y Y）的分布密度为：）的分布密度为：1,0,x yDA Df x yx yDA DD其中其中 表示表示 的面积。的面积。这时称（这时称（X X，Y Y）在）在 D D 上服从二维均匀分布。上服从二维均

12、匀分布。均匀分布对应的是几何概型。均匀分布对应的是几何概型。编辑编辑ppt19 二维连续型随机变量二维连续型随机变量常见的二维连续型随机变量常见的二维连续型随机变量的分布的分布（2 2）正态分布）正态分布若（若（X X，Y Y）的分布密度为：）的分布密度为： 2211222221212122 12121,21xxyyfx ye 则称（则称（X X，Y Y）服从参数为）服从参数为 的二维正态分布。的二维正态分布。1212, 其中其中 均为参数，且均为参数，且1212, 120,0, 11 ,xy 编辑编辑ppt20例例2 2 设随机变量（设随机变量（X X，Y Y）的概率密度为：）的概率密度为：

13、6,02, 24,0,Axyxyf x y其它地方其它地方其中其中 3,3PX YDDx y xy求：求： 21,3 ;P XY 1;A224422061022xAxyxdyAy dy解：解： 42201,6f x y dxdyAxy dx dy 4221081AyyA18A 编辑编辑ppt21例例2 2 设随机变量（设随机变量（X X，Y Y）的概率密度为：）的概率密度为：6,02, 24,0,Axyxyf x y其它地方其它地方其中其中 3,3PX YDDx y xy求：求： 21,3 ;P XY 1;A解：解： 1321,3,XYP XYfx y dxdy1231320201166882

14、xxy dx dyxyxdy 323221111 113828228yyy dy1,3编辑编辑ppt22例例2 2 设随机变量（设随机变量（X X，Y Y）的概率密度为：）的概率密度为：6,02, 24,0,Axyxyf x y其它地方其它地方其中其中 3,3PX YDDx y xy求：求： 21,3 ;P XY 1;A解：解： 3,DPX YDf x y dxdy3320168yxy dx dy 232316 3382yyyydy323201682yxxyxdy524编辑编辑ppt23.)2();,()1(., 0, 0, 0,e2),(),()2(XYPyxFyxyxfYXyx 求概率求概率求分布函数求分布函数其它其它具有概率密度具有概率密度设二维随机变量设二维随机变量例例3 3编辑编辑ppt24解解 yxyxyxfyxFdd),(),()1( .,0, 0, 0,dde200)2(其他其他yxyxyxyx., 0. 0, 0),e1)(e1 (),(2其他得yxyxFyx编辑编辑ppt25,),(GYXXY ),(GYXPXYP (2) (2) 将将 ( ( X X, ,Y Y ) )看作是平面上随机点的坐标看作是平面上随机点的坐标,