排列组合与概率统计

1、 排列组合及概率统计基础 考纲解析 这类问题在各种考试中出现得都比较多，关键在于熟练，同时要注意审题，题意是可能设置陷阱的地方。对于这类问题，要掌握常用的方法，对于“在”与“不在”的问题，常常直接使用“直接法”或“排除法”，对特殊元素可优先考虑。 排列组合及概率论部分的内容是比较重要的，因为它很容易和别的部分的知识结合起来，例如条件概率或一些概率分布很容易运用在可靠性计算及图、路径和一些相应的算法问题上，所以在复习中一定要灵活掌握，从原理出发，活学活用，能够根据例题将知识运用到别的方面上。 资源链接 本讲对应CIU视频资源：概率论及数理统计.jbl。 本讲内容 10.1 排列组合基础10.1.

2、1 排列的基本概念及实例从n个不同的元素中，任取m(mn)个元素（被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。如果元素和顺序至少有一个不同。则叫做不同的排列。元素和顺序都相同的排列则叫做相同的排列。排列数的计算公式为（其中mn，m，nÎZ）。10.1（1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作7个元素的全排列 = 5040。（2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？解：根据分步计数原理7×6×5×4×3×2×1 = 7！= 5040。（3）7位同学站

3、成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作余下的6个元素的全排列 = 720。（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解：根据分步计数原理，第一步，甲、乙站在两端有种；第二步，余下的5名同学进行全排列有种，则共有=240种排列方法。（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法一（直接法）：第一步，从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有种方法；第二步，从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有种方法，所以一共有=2400种排列方法。对于相邻问题，常采用“捆绑法”，即先绑后松，关键在于怎么选择绑定的对象。

4、解法二：（排除法）若甲站在排头有种方法；若乙站在排尾有种方法；若甲站在排头，且乙站在排尾则有种方法。所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有=2400种。10.2 7位同学站成一排。（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法。所以这样的排法一共有=1440种。（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解：方法同上，一共有=720种。（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素

5、，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有种方法；将剩下的4个元素进行全排列有种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法。所以这样的排法一共有=960种方法。解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有2种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有种方法。解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有= 9

6、60种方法。10.1.2 组合的基本概念及实例一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号表示。组合数的计算公式为：或 （n，m Î N*，且mn） 组合数还具有下面的性质：。一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n - m个元素。因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n - m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n - m个元素的组合数，即：。在这里，

7、主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想。注意利用组合数的这些性质，在使用中往往可以起到简化计算的效果。组合问题的关键在于分类，怎样对情况进行划分。注意这里的不均匀分组和全排列的问题。注：1规定。2等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标。3此性质作用：当时，计算可变为计算，能够使运算简化。例如：=2002。4或。10.3 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球。（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：（1） （2） （3）可发现：。因为从口袋内的8个球中所取

8、出的3个球，可以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含有黑球。因此根据分类计数原理，上述等式成立。一般地，从这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是，这些组合可以分为两类：一类含有元素a1，一类不含有a1。含有a1的组合是从这n个元素中取出m -1个元素与a1组成的，共有个；不含有a1的组合是从这n个元素中取出m个元素组成的，共有个。10.4 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法。（1）分给甲、乙和丙三人，每人两本；（2）分为三份，每份两本；（3）分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；（4）分给甲、乙和丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；（5）分给甲、乙和丙三人，每人至少一本。 解

9、：（1）根据分步计数原理得到种。（2）分给甲、乙和丙三人，每人两本有种方法。这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙和丙三名同学有种方法。根据分步计数原理可得：，所以。因此分为三份，每份两本一共有15种方法。（3）这是“不均匀分组”问题，一共有种方法。（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有种方法。（5）可以分为三类情况：“2、2、2型”即（1）中的分配情况，有种方法；“1、2、3型”即（4）中的分配情况，有种方法；“1、1、4型”，有种方法。所以一共有90+360+90 = 540种方法。要理解概率的意义，所谓概率就是某一事件发生的可能

10、性相对于所有的可能性来说所占的比值。古典概率围绕事件进行，注意样本空间的概念，所谓样本空间就是所有的可能性，而样本点就是某一种可能性。注意取球问题是一个非常典型的应用，关键就是要把握是否有放回。10.2 概率论及应用数理统计基础概率论作为一门数学分支，它所研究的内容一般包括随机事件的概率、统计独立性和更深层次上的规律性。概率是随机事件发生的可能性的数量指标。在独立随机事件中，如果某一事件在全部事件中出现的频率，在更大的范围内比较明显的稳定在某一固定常数附近。就可以认为这个事件发生的概率为这个常数。任何事件的概率值一定介于0和1之间。有一类随机事件，它具有两个特点：第一，只有有限个可能的结果；第

11、二，各个结果发生的可能性相同。具有这两个特点的随机现象叫做“古典概型”。在客观世界中，存在大量的随机现象，其产生的结果构成了随机事件。如果用变量来描述随机现象的各个结果，就叫做随机变量。随机变量分为有限和无限，一般又根据变量的取值情况分成离散型随机变量和非离散型随机变量。一切可能的取值能够按一定次序一一列举，这样的随机变量叫做离散型随机变量；如果可能的取值充满了一个区间，无法按次序一一列举，这种随机变量就叫做非离散型随机变量。在离散型随机变量的概率分布中，比较简单而应用广泛的是二项式分布。如果随机变量是连续的，那么它有一个分布曲线，实践和理论都证明：有一种特殊而常用的分布，其分布曲线是有规律的

12、，这就是正态分布。正态分布曲线取决于这个随机变量的一些表征数，其中最重要的是平均值和差异度。平均值也叫数学期望，差异度也叫标准方差。10.2.1 古典概率所谓事件A的概率是指事件A发生可能性程度的数值度量，记为P(A)。规定P(A)0，P() = 1。满足下列两条件的试验模型称为古典概型：（1）所有基本事件是有限个；（2）各基本事件发生的可能性相同。在古典概型中，设其样本空间所含的样本点总数，即试验的基本事件总数为NW，而事件A所含的样本数，即有利于事件A发生的基本事件数为NA，则事件A的概率便定义为：。10.5 （取球问题）袋中有5个白球，3个黑球，分别按下列三种取法在袋中取球。（1）有放回

13、地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后放回袋中，再取下一个球。（2）无放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后不再放回袋中，再取下一个球。（3）一次取球：从袋中任取3个球。在以上取法中均求A=恰好取得2个白球的概率。解：（1）有放回取球NW = 8×8×8 = 83 = 512（袋中八个球，不论什么颜色，取到每个球的概率相等）（先从三个球里取两个白球，第一次取白球有5种情况，第二次取白球还有五种情况<注意是有放回>，第三次取黑球只有三种情况），。（2）无放回取球NW = 8 ´ 7 ´ 6 = = 336，故。（3）一次取球注意古典概率

14、的这几个性质，在实际应用中，基本上都是围绕着这几个性质展开。注意对于条件概率来说，关键在于理解它的思想，理解在某件事已发生的前提下其发生的意义。注意对照例子理解条件概率公式的意义。，故古典概率具有下面的性质。l 若AÌB，则P(B -A)=P(B )-P(A)。即差的概率等于概率之差。l 若AÌB，则P(A)P(B )。即概率的单调性。l P(A)1，对任意事件A，P()=1-P(A)。l 对任意事件A，B，有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)。10.6 设A，B，C为三个事件，已知P(A)=P(B)=P(C)=0.25，P(AB)=0，P(AC)=0，P(BC)

15、=0.125，求A，B，C至少有一个发生的概率。解：由于ABCÌAB，故0P(ABC)P(AB) = 0，从而P(ABC) = 0。所求概率为P(AÈBÈC) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)10.2.2 条件概率在实际问题中，常常需要计算在某个事件B已发生的条件下，另一个事件A发生的概率。在概率论中，称此概率为事件B已发生的条件下事件A发生的条件概率，简称为A对B的条件概率，记为P(A | B)。一般地，因为增加了“事件B已发生”的条件，所以P(A | B) ¹ P(A)。设A、

16、B为两个事件，且P(B) > 0，则称为事件B发生条件下事件A发生的条件概率，记为。再看一下乘法公式：设有事件A和B，若P(A) > 0或P(B) > 0，由概率得P(AB) = P(A)P(B | A)，或P(AB) = P(B)P(A | B)。再看n个事件的情况，设有n个事件A1，A2，An，若P(A1A2An-1) > 0，则有P(A1A2An) = P(A1)P(A2 | A1)P(A3 | A1A2)P(An | A1A2An-1)。事实上，由事件的包含关系有P(A1)P(A1A2)P(A1A2A3).P(A1A2An1)0，故公式右边的每个条件概率都是有意

17、义的，于是由条件概率定义可得。10.7 甲、乙和丙3人参加面试抽签，每人的试题通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题签中有4个难题签，按甲先、乙次及丙最后的次序抽签。求甲抽到难题签、甲和乙都抽到难题签、甲没抽到难题签而乙抽到难题签及甲、乙和丙都抽到难题签的概率。解：设A，B和C分别表示甲、乙和丙各抽到难题签的事件，则有，。在概率中，还经常利用已知的简单事件的概率，推算出未知的复杂事件的概率。为此，常需把一个复杂事件分解为若干个互不相容的简单事件的和，再由简单事件的概率求得最后结果，这就需要用到全概率公式。在很多实际问题中若事件A发生的概率的计算比较困难，则可利用全概率公式转为寻求划分B

18、1，B2，Bn及计算P(Bi)和P(A | Bi)的问题。10.8 盒中有12只新乒乓球，每次比赛时取出3只，用后放回，求第3次比赛时取到的3只球都是新球的概率。解：设A表示第3次比赛取到3只新球的事件，Bi (i = 0,1,2,3)表示第2次取到i只新球的事件，由，得。10.9 某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过4件，且具有如下的概率：一批产品中的次品数0.10.20.40.20.1概率01234现进行抽样检验，从每批中随机抽取出10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格，求一批产品通过检验的概率。注意对于贝叶斯公式的应用来说，关键在于一个转换，也

19、就是说怎样完成A发生条件下B发生的概率和B解：设A表示一批产品通过检验的事件，Bi (i = 0,1,2,3,4)表示一批产品中含有i件次品，则由，得。10.2.3 贝叶斯公式设A为样本空间W的事件，B1，B2，Bn为W的一个划分，且，则。这一公式称为贝叶斯公式。若把A视为观察的“结果”，把B1，B2，Bn理解为“原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并做出了“由果溯因”的推断。B发生条件下A发生的概率的转换，要理解题意。首先要理解独立性的意义，就是相互间没有关系，体现在计算上就是可以乘出来。而对于贝努里试验来说，公式套用很简单，但要注意对照例题明确怎样去判断重数。10.10 设某工厂

20、甲、乙和丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%，35%和20%。且各车间的次品律依次为4%，2%和5%。现在从待出厂产品中检查出1个次品，问该产品是由哪个车间生产的可能性大？解：设A表示产品为次品的事件，B1，B2，B3分别表示产品有甲、乙和丙车间生产的事件，则由，得于是有 ； ； 。可知该产品是由甲车间生产的可能性最大。10.2.4 事件的独立性及贝奴里实验设事件A，B满足，则称事件A，B是相互独立的。若事件A，B相互独立，且，则有，在实际问题中，常常不是根据定义来判断事件的独立性，而是由独立性的实际含义，即一个事件发生并不影响另一个事件发生的概率来判断两事件的相互独立性。假设在相

21、同条件下进行n次重复试验，并且每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；同时在每次试验中，A发生的概率均一样，即；而各次试验是相互独立的，则称这种试验为贝努里概率模型，或称为n重贝努里试验。在n重贝努里试验中，人们感兴趣的是事件A发生的次数。若表示n重贝努里试验中A出现k(0kn)次的概率，则n重贝努里试验A中出现k次的概率计算公式为，。10.11 一大楼有5个同类型的独立供水设备，调查表明，在任意时刻t，每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻，（1）恰有两个设备被使用的概率是多少？（2）至少有三个设备被使用的概率是多少？（3）至多有三个设备被使用的概率是多少？（4）至少有一个设备被使用

22、的概率是多少？解：在同一时刻观察5个设备，它们工作与否是相互独立的，故可视为5重贝努里试验，p = 0.1，q = 10.1 = 0.9，于是可得（1）。（2）。（3）。（4）。注意对于离散型随机变量来说，关键就在它的离散上，作用域是一个个独立的点，取值时要注意几个点就对应一个区间。二项分布要注意和贝奴里试验的对应关系。对于泊松分布来说，主要是公式的运用。连续型随机变量首先要理解区间的概念，是从负无穷到正无穷，但并不是每一10.2.5 离散型随机变量及其分布为了使各种不同性质的试验能以统一形式表示实验中的事件，并能将微积分等工具引进概率论，需引入随机变量的概念。设试验的样本空间为，在上定义一个

23、单值实函数X = X(e)，e，对试验的每个结果e，X = X(e)有确定的值与之对应。由于实验结果是随机的，所以X = X(e)的取值也是随机的，称此定义在样本空间 上的单值实函数X = X(e)为一个随机变量。引进随机变量后，试验中的每个事件便可以通过此随机变量取某个值或在某范围内取值来表示。通俗地讲，随机变量就是依照试验结果而取值的变量。如果随机变量X的所有可能取值为有限个或可列个，则称随机变量X为离散型随机变量。下面看一下离散型随机变量的几个重要分布。1两点分布如果随机变量X为0时概率为q，为1时概率为p，并且q = 1 - p，0 < p < 1，则称X服从参数为p的(0

24、-1)两点分布，简称为两点分布，记为XB(1,P)。2二项分布如果随机变量X的分布律为，k = 0, 1, 2n，其中0 < p < 1，q = 1 p，则称X服从参数为(n，p)的二项分布，记为XB(n，p)。10.12 一批产品的废品率为0.03，进行20次独立重复抽样，求出现废品的频率为0.1的概率。解：令X表示20次独立重复抽样中出现的废品数。XB(20，0.03)（注意：不能用X表示频率，若X表示频率，则它就不服从二项分布），所求的概率为。3泊松分布如果随机变量X的分布律为PX = k =，k = 0，1，2，其中l > 0，则称X服从参数为的泊松分布，记为Xp(l

25、 ) 或者XP(l)。10.13 设Xp(l)且已知PX = 1 = PX = 2，求PX = 4。解：由于Xp(l)，即X的分布律为PX = k =，k = 0，1，2，于是有，由PX = 1 = PX = 2可得方程，即2l = l2。解得l = 2，0（弃去）。所以Xp(2)于是查表0.0902。10.2.6 连续型随机变量及其分布所谓连续型随机变量是指此随机变量的可能取值至少应充满某个区间且其分布函数应当是连续的，设F(x)为随机变量X的分布函数，如果存在非负函数f (x)使得对任意实数X，有，则称X为连续型随机变量，f (x)为X的概率密度。对于概率密度，有一个重要的结果：。段上都有

26、定义，区分概率密度和概率函数。注意结合例题体会公式的运用。注意积分区间段的运用。正态分布主要注意标准型的使用。10.14 一种电子管的使用寿命为X小时，其概率密度为某仪器内装有三个这样电子管，试求使用150小时内只有一个电子管需要换的概率。解：首先计算一个电子管使用寿命不超过150小时的概率，此概率为，令Y表示工作150小时内损坏的电子管数，则，服从二项分布。于是，此仪器工作150小时内仅需要更换一个电子管的概率。1均匀分布如果随机变量X的概率密度为，则称X在区间a，b上服从均匀分布，记为XUa，b；其分布函数为。10.15 某公共汽车从上午7：00起每隔15分钟有一趟班车经过某车站，即7：0

27、0，7：15，7：30，时刻有班车到达此车站，如果某乘客是在7：00至7：30间等可能地到达此车站候车，问他等候不超过5分钟便能乘上汽车的概率。解：设乘客于7点过X分钟到达车站，则XU0，30，即其概率密度为f (x) = ，于是该乘客等候不超过5分钟便能乘上汽车的概率为p10X15或25X30 = p10X15 + p25X30=。2指数分布如果随机变量X的概率密度为，其中l > 0，则称X服从参数为l的指数分布，记为XE(l)，其分布函数为。10.16 设随机变量X服从参数为l = 0.015的指数分布。（1）求px > 100。（2）若要使pX > x < 0.1，问x应当在哪个范围内？解：由于XE(0.015)，即其概率密度为，于是，（1）pX > 100 = （2）要pX > 0 <